包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架

程 佑,廖備水

(1. 浙江大學 哲學學院,浙江 杭州 310000;2. 浙江大學 邏輯與認知研究所,浙江 杭州 310000)

0 前言

論辯框架理論在計算語言學領域有廣泛的應用,例如,在處理基于關系的論辯挖掘[1]和情感極性分類[2]等問題時,運用論辯框架評估論證能提升分類器的性能[2]。

論辯框架的核心任務是對不完全的、不確定的和不一致的知識和信息進行表示和推理,得到可接受的結(jié)論[3]。抽象論辯框架(Abstract argumentation framework, AF)簡稱論辯框架,將論證、攻擊關系等概念抽象化,為包含信息沖突的現(xiàn)實場景的表示和計算提供了靈活高效的框架[4]。抽象論辯框架的語義最常用的有基于外延的語義和基于標記的語義[5]。這兩種語義各有優(yōu)缺點。根據(jù)基于外延的語義,一個論證集合是可接受的,則其內(nèi)部是無沖突的且能防御它的攻擊者。這種語義被用于提供可解釋性[6]。根據(jù)基于標記的語義,論證的狀態(tài)由其攻擊者的狀態(tài)決定。相對于基于外延的語義,基于標記的語義更易于計算。在抽象論辯框架下,這兩種語義之間的對應關系已被證明[7]。雙極論辯框架(Bipolar Argumentation Framework, BAF)在抽象論辯框架基礎上引入了支持關系[8]。值得注意的是,支持關系在不同研究者的框架中有不同的解釋[9],在BAF中通常被解釋為演繹支持(Deductive Support)[10]、必要支持(Necessary Support)[11-12],有時也被解釋為基于證據(jù)的支持[13]。在框架定義方面,這些框架只引入一種支持關系,而實例中往往同時存在多種支持關系。同時,一些框架對沖突的定義基于特殊論證序列結(jié)構(gòu)[10,12],不夠簡潔和一般化。在語義方面,雖然基于外延的語義和基于標記的語義各有優(yōu)缺點,可以優(yōu)勢互補,但在雙極論辯框架下,兩者之間尚未形成聯(lián)系,相關的對應關系沒有被證明。

本文旨在建立一種包含多種支持關系的論辯框架,給出它們的基于外延的語義和基于標記的語義,并在兩者之間建立聯(lián)系。本文基于強度來定義攻擊關系,相比已有的基于特定結(jié)構(gòu)來定義攻擊關系的方法,得到的結(jié)果更簡潔且更有表達力。同時,本文提出一種基于伴隨圖的方法,將論辯框架中的多種關系簡化為一種,讓基于標記的語義求解更加簡單。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下: 第1節(jié)介紹包含支持關系的論辯框架的相關工作;第2節(jié)介紹本文研究內(nèi)容有關的基礎知識;第3節(jié)定義包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架,以及它們的基于外延的語義和基于標記的語義;第4節(jié)證明本文框架下兩種語義之間的對應關系;第5節(jié)總結(jié)本文的工作,并對未來工作進行展望。

1 相關工作

本文研究包含支持關系的論辯框架。將支持關系引入到論辯框架的方法有以下幾種: 將支持關系作為一種抽象關系引入抽象論辯框架,比如雙極論辯框架和基于證據(jù)的論辯系統(tǒng)(Evidential Argumentation Systems, EAS);將支持關系實例化,例如,ASPIC+(Argumentation Service Platform with Integrated Components);將支持關系整合到依賴關系,例如,抽象辯證框架(Abstract Dialectical Framework,ADF)。

雙極論辯框架在抽象論辯框架的基礎上引入了支持關系[8]。雙極論辯框架中的支持關系有著不同的解釋,可以是演繹支持關系[10]和必要支持關系[11-12]。已有研究基于結(jié)構(gòu)定義了受支持攻擊、調(diào)停攻擊、間接攻擊、擴展攻擊等[11]。這些攻擊關系被分別定義,在定義語義時所起的作用卻是相同的,比較繁瑣。本文采用的基于強度的定義,比基于結(jié)構(gòu)的定義更簡潔。本文將演繹支持關系和必要支持關系同時引入到框架中。雖然演繹支持和必要支持有二重性,可以互相轉(zhuǎn)化,但也有研究表明,兩者在實例化時的表現(xiàn)有所不同[14]。另外,演繹支持和必要支持在實例中是同時存在的,引入兩種支持關系到同一框架下而無需轉(zhuǎn)化,無疑是一種更直接和自然的表示方式。

在基于證據(jù)的論辯系統(tǒng)中支持關系也是抽象的。與雙極論辯框架相比,其不同點在于攻擊關系和支持關系都必須開始于包含證據(jù)論證的論證集合。雖然EAS中的支持關系被解釋為基于證據(jù)的支持關系,不同于BAF中的演繹支持關系和必要支持關系,但也有研究者認為EAS中的支持關系是一種特殊的必要支持關系[9]。同時,在EAS中,定義基于證據(jù)的支持要用到一類特殊的用于表示環(huán)境的證據(jù)論證?？紤]到這些,本文沒有將基于證據(jù)的支持關系引入到框架中。

ASPIC+框架是AF的實例化,它給AF中的論證和攻擊以具體的結(jié)構(gòu)[15]。一個ASPIC+框架包含邏輯語言、推理規(guī)則、知識庫和從知識庫及推理規(guī)則構(gòu)建起來的論證集。在ASPIC+中論證之間的支持關系有兩種,一種是一個論證被它的子論證支持,另一種是被支持的論證的前提是其支持者的結(jié)論。研究表明第二種支持關系在抽象化成演繹支持時存在問題[14]。因此ASPIC+中的支持關系接近于必要支持。EAS可以被實例化為ASPIC+,這也印證了EAS中的支持關系是一種特殊的必要支持。本文同時考慮了演繹支持和必要支持兩種支持。相比ASPIC+和EAS,本文的框架可以處理更豐富的支持。

一個抽象辯證框架(Abstract Dialectical Framework, ADF)是一個有向圖,其中的節(jié)點表示論證,箭頭表示論證間的依賴關系[14]。在ADF中,論證的狀態(tài)為可接受或不可接受。每個論證都被分配一個可接受條件,表示它的狀態(tài)如何取決于它的父論證的狀態(tài)。ADF利用可接受條件來決定論證的狀態(tài)。這種方式比直接用支持關系更靈活,但有研究認為ADF有時無法刻畫演繹支持[9]。與ADF相比,本文提出的框架和語義能夠表示和處理演繹支持。

本文采用基于等式賦值的方法來定義框架的基于標記的語義。這種方法起初被應用于AF[16]。本文用演繹支持關系和必要支持關系擴展了AF,并將這種方法運用于新框架下,同時對其與基于外延的語義之間的關系給出了詳細證明。

2 背景知識

2.1 抽象論辯框架及其語義

一個AF可以被看作是一個有向圖,其中節(jié)點和邊分別表示論證和攻擊。抽象論辯框架定義如下[9]。

定義1(抽象論辯框架)AF=(,att)是一個抽象論辯框架,其中,是一組有窮且非空的論證集合,att是上的二元關系,即att?×。

給定一個AF,論證評估的目的是確定這個AF中,哪些論證集合是可接受的。一個可接受的論證集合,應滿足無沖突、可防御和可相容三個基本特征。

定義2(無沖突、可防御和可相容)給定一個論辯框架AF=(,att)和一組論證集合?。是無沖突的,當且僅當a,b∈,使得(a,b)∈att。一個論證a∈對于是可防御的,當且僅當?(b,a)∈att,?c∈,使得(c,b)∈att。是可相容的,當且僅當是無沖突的,并且中的每個論證對于是可接受的。

基于外延的語義是一組預先定義的評價標準,用于確定一個AF中集體可接受的論證集合。

定義3(基于外延的語義)給定一個論辯框架AF=(,att)和一組論證集合?。是AF的一個完全外延,當且僅當是可相容的,并且每個對于可接受的論證都在中。是AF的一個優(yōu)先外延,當且僅當是(在集合包含意義上)極大的完全外延。是AF的基外延,當且僅當是(在集合包含意義上)最小的完全外延。是AF的一個穩(wěn)定外延,當且僅當無沖突且?b∈,?a∈使得(a,b)∈att。

基于標記的語義為每個論證指派一個標記,再檢查標記的合理性,按照相關研究[7],合法標記和基于標記的語義定義如下:

定義4(合法標記)給定一個論辯框架AF=(,att),AF的一個標記定義為一個全函數(shù): AF→{IN,OUT,UNDEC}。給定a∈,給a指派的標記是IN是合法的,當且僅當(a)=IN,且a的所有攻擊者都標記為OUT;a指派的標記是OUT是合法的,當且僅當(a)=OUT,且存在一個a的攻擊者標記為IN;a指派的標記是UNDEC是合法的,當且僅當(a)=UNDEC,且不存在一個a的攻擊者標記為IN,且并非所有a的攻擊者都標記為OUT。

定義5(基于標記的語義)給定一個論辯框架AF=(,att)以及AF的一個標記:

2.2 雙極論辯框架

雙極論辯框架在抽象論辯框架的基礎上加入了支持關系,定義如下[9]。

定義6(雙極論辯框架)BAF=(,att,sup)是一個雙極論辯框架,其中是一組有窮且非空的論證集合,att?×是上的攻擊關系,sup?×是上的支持關系,sup∩att=?。

演繹支持可以理解為充分條件,必要支持可以理解為必要條件。給定一個BAF和asupb,在sup被解釋為演繹支持的條件下,如果a是可接受的,b必然是可接受的;在sup被解釋為必要支持的條件下,如果a是不可接受的,b必然是不可接受的。在一個BAF中,如果支持被解釋為演繹支持,受支持攻擊(Supported Attack)和調(diào)停攻擊(Mediated Attack)有如下定義[9]:

定義7(受支持攻擊和調(diào)停攻擊)給定一個雙極論辯框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在從a到b的受支持攻擊,當且僅當存在一個序列a11…n-1an,n≥3,其中,a1=a,an=b,并且?i=1…n-2,i=sup,n-1=att。存在從a到b的調(diào)停攻擊,當且僅當存在一個序列a1Rsup…Rsupan-1,并且anRattan-1,n≥3,其中,a1=a,an=b。

在一個BAF中,如果支持被解釋為必要支持,間接攻擊(Secondary Attack)和擴展攻擊(Extended Attack) 有如下定義[9]:

定義8(間接攻擊和擴展攻擊)給定一個雙極論辯框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在從a到b的間接攻擊,當且僅當存在一個序列a1atta2sup…supan,n≥3,其中,a1=a,an=b。存在從a到b的擴展攻擊,當且僅當存在一個序列a1sup…supan,并且a1attap,n≥2,其中,an=a,ap=b。

3 包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架

本文將演繹支持關系引入抽象論辯框架,更直接地、更自然地表示相關實例中的演繹支持和必要支持。

3.1 包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架

定義9(包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架)AFDN=(,att,duc,nec)是一個包含演繹支持關系和必要支持關系的論辯框架。其中是一個有限非空的論證集合,att是上的攻擊關系,duc是演繹支持關系,nec是必要支持關系,att∩duc=?,att∩nec=?,duc∩nec=?。

例3.1.1(“周末安排”案例)

圖1中的雙箭頭表示演繹支持,單箭頭表示必要支持,劃線箭頭表示攻擊。演繹支持和必要支持可以與攻擊組合成更復雜的攻擊,如a3atta5neca6,根據(jù)日常直覺,一個在爬山的人不會在公司工作,存在從a3到a6的攻擊。我們把這種組合成的攻擊稱為復雜攻擊。

圖1 表示“周末安排”的AFDN

定義10(復雜攻擊)給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個從a1到an的序列:a11a2…akkak+1…an-1n-1an。這個序列指示了一個從a1到an的復雜攻擊,當且僅當?!i∈{1,…,n-1}使得i=att,并且?j∈{1,…,n-1},如果j≠i那么其中是duc的逆轉(zhuǎn),即表示同理。

在一個AF中,論證間的攻擊是定義各種語義概念的基礎。然而,在一些雙極論辯框架中,并非所有的由支持和攻擊組合成的攻擊都會被用于定義語義概念[9]。同樣的,在一個AFDN中,并非所有復雜攻擊都會被用于定義語義概念。以圖1中的論證序列a4neca3atta5為例,因為滿足復雜攻擊的定義,所以存在從a4到a5的復雜攻擊。根據(jù)日常直覺,存在戶外的工作,a4表示的“在戶外”和a5表示的“工作”是可以同時接受的,a4和a5之間也不存在沖突。因此有的復雜攻擊不應被用于定義語義概念。本文把那些會被用于定義語義概念的復雜攻擊稱為強攻擊。

定義11(強攻擊)給定一個a11a2…aiattai+1…an-1n-1an,如果這個序列滿足以下兩個條件,則其指示的復雜攻擊(a1,an)是一個強攻擊:

例3.1.2根據(jù)例3.1.1中定義的AFDN,有如下強攻擊關系:

3.2 AFDN的基于外延的語義

前文定義的強攻擊和抽象論辯框架中的攻擊有相同性質(zhì),因此在定義AFDN的語義時,可以直接采用AF的語義概念的形式[4]。

定義12(無沖突、可接受和可相容)給定一個AFDN=(,att,duc,nec),它的強攻擊關系str和一組論證集合?:

(2) 一個論證a∈對于是可接受的,當且僅當?(b,a)∈str,?c∈使得(c,b)∈str;

定義13(基于外延的語義)給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一組論證集合?:

與已有研究相比,本文的框架采取的攻擊定義得到的語義結(jié)果更簡潔,它不需要像額外定義像封閉性這樣的約束[12]。

定義14(封閉性)給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個它的完全外延。滿足封閉性當且僅當: 給定(b,a)∈nec,如果a∈,則b∈;給定(a,b)∈duc,如果a∈,則b∈。

AFDN得到的完全外延滿足封閉性。

命題1給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一組它的完全外延,則滿足封閉性。

證明:給定a∈,假設命題不成立,則?b∈使得(b,a)∈nec或者(a,b)∈duc,且b對于不可接受。?c∈使得 (c,b)∈str,可得(c,a)∈str。因為是一個完全外延,c對于是可接受的,因此b對于是可接受的,這和假設矛盾。

根據(jù)3.1.2中的強攻擊關系,例3.1.1中定義的AFDN計算結(jié)果如下例子:

例3.2例3.1.1中定義的AFDN,有如下外延:

? 完全外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7},{a7};

? 基外延: {a7};

? 優(yōu)先外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7};

? 穩(wěn)定外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7}。

3.3 基于等式的方法

根據(jù)基于外延的語義,在論證評估之前,需要計算強攻擊的集合。這一過程是比較煩瑣的,需要進行全局計算。相對于基于外延的語義,基于標記的語義更易于計算[7,17],因此本文提出一種用于AFDN的基于標記的語義。本文先根據(jù)給定的AFDN生成一個伴隨圖,再采用基于等式的方法為伴隨圖和AFDN中的論證賦值。

3.3.1 AFDN的伴隨圖

一個論證的否定被定義為這個論證表示的命題的否定。

定義15(伴隨論證)給定一個AFDN和a∈,a的伴隨論證是a的否定,用a表示。p是中的論證及其伴隨論證組成的集合,即p=∪{a|a∈}。

利用伴隨論證,AFDN中的攻擊關系、必要支持關系和演繹支持關系能夠轉(zhuǎn)化成蘊涵關系。

定義16(蘊涵關系)給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和p。蘊涵關系p是p上的二元關系,即p?p×p。?a,b∈p,(a,b)∈p當且僅當:

(1) (ai,aj)∈duc且a=ai,b=aj;

(2) (ai,aj)∈duc且a=aj,b=ai;

(3) (ai,aj)∈nec且a=ai,b=aj;

(4) (ai,aj)∈nec且a=aj,b=ai;

(5) (ai,aj)∈att且a=ai,b=aj。

在一些流行的BAF中,攻擊關系的優(yōu)先級比支持關系更高: 給定a攻擊b,c演繹支持b,因為優(yōu)先考慮攻擊關系,b是不可接受的,c受到反向的影響也是不可接受的。因此a到b的攻擊關系轉(zhuǎn)換成a到b的蘊涵關系,而a到b演繹支持除了轉(zhuǎn)換成a到b的蘊涵關系,還要轉(zhuǎn)化成b到a的蘊涵關系,以表達a受到的反向影響。

定義17(伴隨圖)給定一個AFDN=(,att,duc,nec),這個AFDN的伴隨圖為CG= (p,p),其中,p是伴隨論證集,p是p上的蘊涵關系。

例3.3.1給定圖3.3.1(1)中AFDN,其中nec=(a2,a1),sup=(a2,a3),att=(a4,a3),其伴隨圖CG如3.3.1(2)所示,其中p={(a1,a2),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a2),(a4,a3)},如圖2所示。

圖2 伴隨圖案例

3.3.2 基于等式的方法

基于等式的方法通過函數(shù)給論證賦值,一個論證的合法賦值由其父論證的值和賦值函數(shù)得到。一個論證的父論證定義如下:

定義18(父論證函數(shù))給定一個CG=(p,p),父論證函數(shù)是一個從論證到論證集合的函數(shù)p:p→2。給定a∈p,則p(a)=且?b∈,(b,a)∈p。

用p(a)表示a的父論證集合,則CG的賦值函數(shù)定義如下:

定義19(CG的賦值函數(shù))給定一個AFDN的伴隨圖CG=(p,p),CG的賦值函數(shù)fC定義為fC:p→{0,0.5,1}。fC是一個合法的賦值函數(shù),當且僅當?ai,ai∈p,以下條件成立:

(1) 如果p(ai)=?,則fC(ai)=1,fC(ai)=0;

(2) 如果p(ai)≠?,fC(ai)=maxn∈p(ai)fC(n),fC(ai)=1-fC(ai)。

本文用1(fC)指代{a|fC(a)=1 且a∈p},0(fC)指代{a|fC(a)=0且a∈p},0.5(fC)指代{a|fC(a)=0.5且a∈p}。

定義20(AFDN的賦值函數(shù))給定一個AFDN=(,att,duc,nec),AFDN的賦值函數(shù)fA定義為fA:→{0,0.5,1}。fA是一個合法的賦值函數(shù),當且僅當fA=fCA且fC是一個合法的賦值函數(shù)。fCA是一個函數(shù),由fC的定義域被限定到得到。

例3.3.2給定例3.3.1中的AFDN及其CG,其合法賦值如圖3所示。

圖3 合法賦值案例

4 性質(zhì)與結(jié)果

基于外延的語義和基于標語的語義有各自的優(yōu)點。這一節(jié)研究兩者之間的對應關系。在研究這些性質(zhì)時,本文不考慮存在由同一種支持關系組成有向環(huán)的情況,因為這種情況會導致循環(huán)支持[12]。

4.1 合法賦值與強攻擊之間的關系

在一個AFDN中,給一個論證的賦值會沿著攻擊關系和兩種支持關系傳播到其他論證。關于強攻擊和合法賦值之間的關系,有以下結(jié)果:

一個沒有受到強攻擊的論證被賦值為1是合法的。

命題2給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fA。給定a∈,如果b∈使得(b,a)∈str,則fA(a)=1。

情況2: 如果?c∈使得cneca,則p(a)≠?,fC(a)=maxn∈p(a)fC(n);

子情況2: 如果?c∈使得cnecn,則p(n)≠?,fC(n)=maxm∈p(n)fC(m);

給定一個從b到a的強攻擊,相應的序列在一個CG中如圖4所示,其中,b=a1且a=an。

圖4 AFDN中的強攻擊在CG中對應的序列

?j≠i,則p(aj)≠?,所以有如下等式:

fC(aj)=maxn∈p(aj)fC(n),?j≠i

(1)

一個論證被賦值為1是合法的,則強攻擊它的論證合法賦值為0。

命題3給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fA。如果fA(a)=1,則?b∈使得(b,a)∈str,fA(b)=0。

證明：給定一個如圖4所示的強攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),給定fC(an)=fA(an)=1,(an)=0,如果j∈{i+1,…,n},則fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=0,fC(aj)=1-fC(aj)=1;如果j∈{1,…,i-1},則fC(aj)=1。所以有fC(b)=fC(a1)=0且fA(b)=0。

給定一個論證,如果所有強攻擊它的論證的合法賦值都為0,則這一個論證被賦值為1是合法的。

命題4給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fB。如果?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=0,則fA(a)=1。

證明：給定一個如圖4所示的強攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。因為?b∈str,fA(b)=0,且根據(jù)定義10,(aj,an)∈str,其中,j∈{1,…,i},所以fC(ai)=0。同理,?n∈p(ai+1),(n,an)∈str,所以fC(n)=0 且fC(ai+1)=0。類似地,當j∈{i+1,…,n},?n∈p(aj),fC(n)=0。所以,fA(a)=fC(an)=1。

一個論證被賦值為0是合法的,則存在一個強攻擊它的論證合法賦值為1。

命題5給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fA,如果fA(a)=0,則?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1。

證明：假設命題不成立,即?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)=0或者0.5。給定一個如圖4所示的強攻擊(b,a),其中,b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=1 或者0.5;如果j=i,fC(aj)=0 或者 0.5;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=0或者0.5。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=1或者0.5,這和假設相矛盾。

給定一個論證,如果存在一個強攻擊它的論證的合法賦值為1,則這一個論證被賦值為0是合法的。

命題6給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fB。如果?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1,則fA(a)=0。

證明：給定一個如圖4所示的強攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=1;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=1。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=0。

根據(jù)以上命題,有如下定理:

定理1給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和一個合法的賦值fA。

(1)fA(a)=1當且僅當?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)=0;

(2)fA(a)=0當且僅當?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1;

(3)fA(a)=0.5當且僅當?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)≠0; 且對于每個∈滿足(b,a)∈str,fA(b)≠1。

證明：根據(jù)命題3和命題4,定理1.1得證;根據(jù)命題5和命題6,定理1.2得證;根據(jù)定理1.1和1.2,定理1.3得證。

4.2 合法賦值與強攻擊之間的關系

根據(jù)論證的賦值與強攻擊關系的對應,基于外延的語義和基于標記的語義也可以對應起來。

命題7給定一個AFDN和它的一個fA。如果fA合法,則1(fA)是一個完全外延。

證明：(1)無沖突: 假設命題不成立,即存在a,b∈1(fA)使得(a,b)∈str。根據(jù)1(fA)的定義,fA(a)=1且fA(b)=1,這和命題3相矛盾。

(2)可相容: 假設b∈1(fA)且a∈1(fA)滿足(b,a)∈str。因為fA(a)=1且(b,a)∈str,根據(jù)命題3,fA(b)=0。因此?c∈1(fA)使得(c,b)∈str且fA(c)=1。因此c∈1(fA)滿足(c,b)∈str,且1(fA) 可相容。

(3)所有對于1(fA)可接受的論證都屬于1(fA): 假設命題不成立,即存在c∈1(fA)且c對于1(fA)來說是可接受的。對于每個b∈A,如果(b,c)∈str,則存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。因為c?1(fA),fA(c)≠1,根據(jù)定理1,存在b∈A使得(b,c)∈str且fA(b)≠0。因為(b,c)∈str,根據(jù)假設存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。所以fA(a)=1且(a,b)∈str,這與fA(b)≠0相矛盾,所以c不存在。

反過來,可以通過完全外延得到合法的賦值函數(shù)。

命題8給定一個AFDN=(,att,duc,nec)和它的一個完全外延。定義一個賦值函數(shù)fA:→{0,0.5,1}如下: 對每個a∈,

則fA是這個AFDN的一個合法的賦值函數(shù)(+表示受到攻擊的論證集合)。

證明：給定任意的a∈,根據(jù)定義我們考慮如下兩種情況:

(2) ?b∈,滿足(b,a)∈str。

(2.1) ?b∈使得fA(b)=1。b∈,因此a∈+且fA(a)=0。根據(jù)命題6,fA(a)是合法的賦值。

(2.2) ?b∈使得fA(b)=0。因此b∈+,a∈且fA(a)=1。需要注意?c∈使得(c,b)∈str且fA(c)=1。根據(jù)命題4和命題5,fA(a)是合法的賦值。

(2.3) ?b∈,fA(b)≤0.5;且?b∈,fA(b)=0.5,b?。需要注意a?+;否則b∈。同時a?: 假設命題不成立,a∈。是可相容的,因此?b∈,使得(b,a)∈str,b∈。這和?b?+矛盾。因此fA(a)=0.5。根據(jù)定理1,fA(a)是合法的賦值。

其他外延與賦值函數(shù)之間的關系,如表1所示。

表1 合法賦值函數(shù)與基于外延的語義的關系

5 總結(jié)與展望

本文致力于用演繹支持關系和必要支持關系對抽象論辯框架進行擴展,給出其基于外延的語義和基于標記的語義,并證明兩者之間存在對應關系。

與現(xiàn)有的框架相比,本文提出的框架有以下優(yōu)點:

(1) 在定義由攻擊和支持組合成的復雜攻擊時,本文采用基于強度的方法。與BAF和EAS中的基于特定結(jié)構(gòu)來定義攻擊關系的方法相比,本文提出的方法更具一般性,且在此基礎上得到的基于外延的語義更簡潔。

(2) BAF,ASPIC+框架中的支持關系類型單一,本文提出的框架能夠刻畫更復雜的實例。

(3) BAF在計算論證可接受性之前需要計算存在的復雜攻擊。本并采用的基于一種等式的方法為論證賦值,避免了復雜攻擊的計算,讓框架求解更簡單。

(4) 本文為提出的框架給出了兩種語義,并給出了對應關系的證明。因此和ADF框架及BAF框架相比,本文提出的框架同時具有可解釋和易于計算的特性。

雖然相比于已有框架,本文提出的AFDN能夠更方便直接地刻畫存在多種支持關系的實例,但現(xiàn)實中的論證往往帶有概率或強度。未來工作包括用概率或強度擴展AFDN的表達能力等。