圓形直方圖線性化的高精度高適應(yīng)性多閾值分割方法

黃聰，鄒耀斌?，孫水發(fā)

（1.三峽大學(xué)湖北省水電工程智能視覺(jué)監(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北宜昌 443002；2.三峽大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

多閾值分割方法能有效解決彩色圖像的多目標(biāo)分割問(wèn)題［1-3］，彩色圖像多閾值分割方法被廣泛應(yīng)用于醫(yī)療影像［4］、深空探測(cè)［5］、遙感檢測(cè)［6］等諸多實(shí)際領(lǐng)域。彩色圖像多閾值分割的核心問(wèn)題之一是自動(dòng)確定合理的分割閾值，但是隨著分割閾值數(shù)量的增加，分割閾值的計(jì)算代價(jià)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。為了降低多閾值分割方法的計(jì)算代價(jià)，一些研究工作將元啟發(fā)式優(yōu)化算法引入多閾值分割方法。BHANDARI［7］將Beta 概率分布應(yīng)用到差分進(jìn)化算法，并將Tsallis熵作為適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行全局尋優(yōu)，最后在彩色衛(wèi)星圖像上進(jìn)行了分割測(cè)試。張海濤等［8］引入最優(yōu)解引導(dǎo)、局部搜索邊界遞減和限定食物生成范圍3 種策略改進(jìn)人工蜂群算法，并選擇二維Otsu 法作為適應(yīng)度函數(shù)來(lái)搜索閾值。RODRíGUEZ-ESPARZA等［9］將哈里斯鷹優(yōu)化算法應(yīng)用到多閾值圖像分割中，選擇最小交叉熵作為適應(yīng)度函數(shù)，在特定的乳房X 線攝影圖像上進(jìn)行了分割測(cè)試。上述研究將元啟發(fā)式優(yōu)化算法應(yīng)用到多閾值圖像分割中，雖然提升了閾值搜索速度，但是分割精度不高且分割適應(yīng)性較差。

彩色圖像可表示為三維向量，現(xiàn)有彩色圖像多閾值分割方法一般需要將三維空間向低維空間投影，再構(gòu)建一維或二維直方圖以計(jì)算分割閾值。然而，一維直方圖或二維直方圖的構(gòu)建并未充分考慮彩色圖像的顏色信息［10-11］，這也是現(xiàn)有彩色圖像多閾值分割方法分割精度不高和分割適應(yīng)性較差的根本原因。由KANG 等［12-14］提出的圓形直方圖線性化閾值分割方法頗具新意。這類(lèi)方法首先根據(jù)HSV顏色空間中的色調(diào)分量構(gòu)建圓形直方圖，然后將圓形直方圖截?cái)嗪笱诱篂榫€性直方圖，最后在線性直方圖上計(jì)算分割閾值。

圓形直方圖線性化閾值分割方法的難點(diǎn)之一是確定合理的截?cái)帱c(diǎn)?，F(xiàn)有的兩種圓形直方圖線性化閾值分割方法分別利用洛倫茲曲線［12］和累積分布熵［13］計(jì)算截?cái)帱c(diǎn)。然而，基于洛倫茲曲線或累積分布熵的截?cái)帱c(diǎn)計(jì)算方法都存在計(jì)算復(fù)雜度較高、所得截?cái)帱c(diǎn)不合理的缺點(diǎn)。一方面降低了這兩種方法的分割精度，另一方面也限制了它們的分割適應(yīng)性。此外，如果將圓形直方圖線性化閾值分割方法拓展到多閾值分割，分割方法的時(shí)間復(fù)雜度將高達(dá)O(Lc)（L是圓形直方圖最大色調(diào)級(jí)，c是圖像待分割類(lèi)別數(shù)，c≥2）。

本文提出一種圓形直方圖線性化的高精度高適應(yīng)性多閾值分割方法（MTCHL）。MTCHL 方法的主要改進(jìn)如下：1）為了有效地評(píng)估圓形直方圖中的合理截?cái)帱c(diǎn)，提出累積分布方差最大化準(zhǔn)則作為圓形直方圖線性化延展的依據(jù)，以期獲得合理的線性直方圖；2）為了提高方法的分割適應(yīng)性，在線性直方圖上構(gòu)建自適應(yīng)Tsallis 熵加權(quán)類(lèi)間方差的多閾值分割目標(biāo)函數(shù)；3）為了降低尋找分割閾值的計(jì)算代價(jià)，在新設(shè)計(jì)的多閾值分割目標(biāo)函數(shù)上，引入快速高效的麻雀搜索算法（SSA）［15］。

1 MTCHL 方法

1.1 圖像超像素預(yù)處理

彩色圖像中的噪聲或者隨機(jī)細(xì)節(jié)使得現(xiàn)有彩色圖像多閾值分割方法經(jīng)常會(huì)誤分割目標(biāo)和背景。超像素預(yù)處理將超像素區(qū)域的平均值替換為一個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有像素值，能有效抑制彩色圖像中的干擾信息［16］。為了獲得更合理的超像素劃分，采用文獻(xiàn)［17］提出的基于多尺度形態(tài)學(xué)梯度重建的分水嶺變換方法（MMGR-WT）。MMGR-WT 方法首先構(gòu)建Lab 顏色空間下彩色圖像的梯度圖像，然后在梯度圖像上應(yīng)用基于多尺度形態(tài)學(xué)梯度重建方法（MMGR），得到一幅去除大量無(wú)用局部極小值且保留重要邊緣細(xì)節(jié)的修正梯度圖像，最后在該修正梯度圖像上應(yīng)用分水嶺變換（WT）得到一幅超像素圖像，如圖1 所示（彩色效果見(jiàn)《計(jì)算機(jī)工程》官網(wǎng)HTML 版，下同）。鑒于MMGR-WT 方法能有效聚合彩色圖像中同類(lèi)顏色像素，首先應(yīng)用MMGR-WT方法對(duì)輸入彩色圖像進(jìn)行預(yù)處理，然后在預(yù)處理后的超像素圖像上進(jìn)行后續(xù)處理。

圖1 MMGR-WT 方法的一般步驟Fig.1 General steps of the MMGR-WT method

1.2 累積分布方差最大化導(dǎo)向的圓形直方圖線性化方法

圓形直方圖線性化閾值分割方法首先根據(jù)HSV顏色空間中色調(diào)分量和顏色的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)建圓形直方圖，然后在圓形直方圖上選擇合理截?cái)帱c(diǎn)將其截?cái)嗪笱诱篂榫€性直方圖，最后在線性直方圖上選擇合理閾值，如圖2所示。圓形直方圖線性化閾值分割方法的核心問(wèn)題之一是確定圓形直方圖上的合理截?cái)帱c(diǎn)t*1。

圖2 圓形直方圖線性化閾值分割方法的基本步驟和關(guān)鍵問(wèn)題Fig.2 Basic steps and key problems of circular histogram linearization threshold segmentation method

圖3（a）給出了以圖1 中超像素圖像為基礎(chǔ)構(gòu)建的圓形直方圖，從中可以觀察到：圓形直方圖與色調(diào)分量類(lèi)似，具有周期性特征。圓形直方圖與色調(diào)分量之間存在一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，即圓形直方圖上不同刻度處統(tǒng)計(jì)頻數(shù)的內(nèi)在含義表示為彩色圖像中某一種顏色像素的統(tǒng)計(jì)量。基于這一客觀事實(shí)，為了獲得更優(yōu)的分割結(jié)果圖像，圓形直方圖線性化方法計(jì)算所得截?cái)帱c(diǎn)t*1應(yīng)盡可能滿足如下條件：盡量避免圓形直方圖上屬于同一顏色類(lèi)別的像素統(tǒng)計(jì)量被截?cái)帱c(diǎn)分成不同類(lèi)別。圖3（b）展示了在=18處截?cái)鄨D3（a）中圓形直方圖所生成的線性直方圖，從該線性直方圖可以觀察到：截?cái)帱c(diǎn)強(qiáng)制地分離了屬于同一顏色類(lèi)別的像素統(tǒng)計(jì)量［見(jiàn)圖3（b）中橘紅色像素統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)待分割目標(biāo)］，因此導(dǎo)致基于該線性直方圖的閾值分割結(jié)果出現(xiàn)大量誤分類(lèi)像素［見(jiàn)圖3（c）］。

圖3 色調(diào)分量與圓形直方圖的關(guān)系以及錯(cuò)誤截?cái)帱c(diǎn)所得誤分割結(jié)果圖像Fig.3 Relation between H component and circular histogram and the image segmentation result by a wrong breakpoint

對(duì)于圓形直方圖H(t)，如果以截?cái)帱c(diǎn)t1為起始點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较驅(qū)⑵浣財(cái)嗪笤傺诱篂榫€性直方圖h(t,t1)，H(t)和h(t,t1)有如下關(guān)系：

其中：t和t1?{0,1,…,L-1}，L表示圓形直方圖最大色調(diào)級(jí)，L=256。

在不同截?cái)帱c(diǎn)t1處得到的線性直方圖h(t,t1)所對(duì)應(yīng)的累積分布如下：

其中：r=0,1,…,L-1。

在所有可能的截?cái)帱c(diǎn)t1中存在一個(gè)最優(yōu)截?cái)帱c(diǎn)：以該截?cái)帱c(diǎn)作為起始點(diǎn)的線性直方圖能保持圓形直方圖的顏色分布形態(tài)。進(jìn)一步地，累積分布P(r,t1)的均值和方差計(jì)算如下：

最后通過(guò)最大化D(t1)以自動(dòng)評(píng)估出合理的截?cái)帱c(diǎn)

表1 3 種線性化方法的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間比較Table 1 Average CPU elapsed time of the three linearization methods 單位：s

圖4 LCL、CDEL 和CDVMCL 方法在3 幅測(cè)試圖像上所得的線性直方圖Fig.4 Linear histograms obtained by LCL，CDEL and CDVMCL methods on three test images

1）基于LCL 或CDEL 方法得到的線性直方圖存在明顯的同一顏色像素統(tǒng)計(jì)量被截?cái)帱c(diǎn)分離的情形［見(jiàn)圖4（c）和圖4（d）的第1 行和第2 行子圖］，驗(yàn)證了利用洛倫茲曲線或累積分布熵計(jì)算圓形直方圖截?cái)帱c(diǎn)的不合理性。相比之下，CDVMCL 方法基于累積分布方差最大化準(zhǔn)則選取的截?cái)帱c(diǎn)更為合理，延展而來(lái)的線性直方圖能更好地保持圓形直方圖的顏色分布形態(tài)［見(jiàn)圖4（e）］。

2）LCL、CDEL 和CDVMCL 方法的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間分別為1.265 6 s、0.060 4 s 和0.035 8 s，CDVMCL 方法的計(jì)算效率相對(duì)更高。

綜合上述分析，CDVMCL 方法不僅在時(shí)間性能上占優(yōu)，而且能很好地保持圓形直方圖的顏色分布形態(tài)，為后續(xù)在線性直方圖上計(jì)算分割閾值奠定基礎(chǔ)。

1.3 自適應(yīng)Tsallis 熵加權(quán)類(lèi)間方差的多閾值分割目標(biāo)函數(shù)

圓形直方圖線性化閾值分割方法的另一個(gè)核心問(wèn)題是：在將圓形直方圖延展為線性直方圖后，如何在線性直方圖上定義合適的多閾值分割目標(biāo)函數(shù)以提高方法的分割適應(yīng)性。對(duì)此，構(gòu)建一個(gè)自適應(yīng)Tsallis 熵加權(quán)類(lèi)間方差（ATEWBV）目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)在類(lèi)間方差上添加一個(gè)能自適應(yīng)確定熵參數(shù)q的Tsallis 熵權(quán)重項(xiàng)，以便通過(guò)閾值的Tsallis 熵調(diào)整類(lèi)間方差。為了便于理解，下面先分析如何在線性直方圖h(t,)上構(gòu)建ATEWBV 單閾值目標(biāo)函數(shù)。首先定義圓形直方圖H(t) 中的頻率和如下：

其中：Ω表示線性直方圖h(t,)中非零元素?cái)?shù)量。

在閾值為t2時(shí)權(quán)重Tsallis 熵Gq(,t2)的計(jì)算如下：

最終，在線性直方圖h(t,)上應(yīng)用ATEWBV 單閾值目標(biāo)函數(shù)選擇最佳閾值可表示如下：

ATEWBV 單閾值目標(biāo)函數(shù)可以在線性直方圖上直接推廣至多閾值的情形。由圖2 可得，圓形直方圖劃分為c個(gè)類(lèi)別（c≥2）需要1個(gè)截?cái)帱c(diǎn)和c-1個(gè)閾值因此，ATEWBV 在線性直方圖上的多閾值目標(biāo)函數(shù)可以定義如下：

注意如果按式（16）直接計(jì)算c個(gè)類(lèi)別的閾值，時(shí)間復(fù)雜度將高達(dá)O(Lc)，且當(dāng)c≥4 時(shí)分割閾值的計(jì)算速度非常慢。為了提升方法的計(jì)算效率，下一節(jié)引入快速高效的SSA［15］以降低多閾值的計(jì)算工作量。

1.4 基于SSA 的快速分割閾值計(jì)算

SSA［15］是一種群體智能優(yōu)化算法，模擬自然界中麻雀種群覓食并逃避捕食者的行為。

假設(shè)在一個(gè)d維搜索空間中存在M只麻雀，則第i只麻雀在d維空間中的位置可以表示如下：

其中：xid表示第i只麻雀在第d維的位置，i=1,2,???,M。

算法設(shè)計(jì)中麻雀位置的更新主要分為3 種。首先是發(fā)現(xiàn)者，發(fā)現(xiàn)者通常占種群數(shù)量的10%～20%，其位置更新公式如下：

其中：j表示當(dāng)前的迭代次數(shù)；T表示總的迭代次數(shù)；B為d維的單位矩陣；α為[0,1]的隨機(jī)數(shù)；Q為服從正態(tài)分布[0,1]的隨機(jī)數(shù)；預(yù)警值R2?[0,1]；安全值?[0.5,1]。

然后，除發(fā)現(xiàn)者外，其余麻雀均作為加入者，位置更新公式如下：

最后，種群中具有偵查預(yù)警功能的麻雀（包括發(fā)現(xiàn)者、加入者）占10%～20%，位置更新公式如下：

其中：fi表示第i只麻雀當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度值；fg和fw分別為當(dāng)前麻雀種群的最優(yōu)和最差適應(yīng)度值；β為步長(zhǎng)控制參數(shù)；K為[ -1,1]的隨機(jī)數(shù)；e 為一個(gè)避免分母為0 的極小常數(shù)。

為了驗(yàn)證SSA 的收斂速度、尋優(yōu)精度以及運(yùn)行時(shí)間，在3 種不同類(lèi)型的測(cè)試函數(shù)上將SSA 與6 種不同的群體智能優(yōu)化算法進(jìn)行比較。3 種基準(zhǔn)函數(shù)如表2 所示，其中，F(xiàn)1 具有單模態(tài)特征，在整個(gè)搜索區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，可以用來(lái)測(cè)試算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，F(xiàn)2 和F3 分別具有多模態(tài)特征、復(fù)合模態(tài)特征，在整個(gè)搜索區(qū)間內(nèi)存在多個(gè)極值點(diǎn)（局部最優(yōu)解），可以用來(lái)測(cè)試算法跳出局部最優(yōu)解的能力。

表2 基準(zhǔn)函數(shù)Table 2 Benchmark functions

7 種不同的群體智能優(yōu)化算法分別為SSA、粒子群優(yōu)化（PSO）［19］、蟻群優(yōu)化（ALO）［20］、飛蛾撲火優(yōu)化（MFO）［21］、禿鷹優(yōu)化（AVO）［22］、北方蒼鷹優(yōu)化（NGO）［23］和白鯊優(yōu)化（WSO）［24］算法。在實(shí)驗(yàn)中算法的通用參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模Pop=50 以及最大迭代次數(shù)MI=200。

7 種群體智能優(yōu)化算法在3 個(gè)不同基準(zhǔn)函數(shù)上的收斂曲線、最優(yōu)精度以及運(yùn)行時(shí)間如圖5 所示，可以觀察到：1）PSO、ALO、MFO、WSO 等算法在具有單模態(tài)特征的F1 函數(shù)以及多模態(tài)特征的F2 函數(shù)上都未收斂，算法搜索能力較差；2）AVO 算法在F1 和F2 基準(zhǔn)函數(shù)上能快速收斂到最優(yōu)精度，但是在具有復(fù)合模態(tài)特征的F3 函數(shù)上未達(dá)到理論最優(yōu)值；3）SSA 和NGO 算法在不同的基準(zhǔn)函數(shù)上都能收斂，表明這兩種算法的搜索能力優(yōu)于前面的5 種群體智能優(yōu)化算法，其中，SSA 在所有基準(zhǔn)函數(shù)上都能最快地收斂到最優(yōu)精度，具有最快的收斂速度，并且算法的CPU 運(yùn)行時(shí)間保持在0.2 s 以內(nèi)。

圖5 7 種群體智能優(yōu)化算法在3 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上的收斂曲線、最優(yōu)精度以及運(yùn)行時(shí)間Fig.5 Convergence curve，optimal accuracy and elapsed time of seven swarm intelligence optimization algorithms on three benchmark functions

綜上所述，相較于其他類(lèi)型的群體智能優(yōu)化算法，SSA 不僅對(duì)不同特征的目標(biāo)函數(shù)具有更強(qiáng)的搜索能力，而且收斂速度較快，因此采取SSA 來(lái)降低線性直方圖上多閾值的計(jì)算工作量，即將應(yīng)用于線性直方圖上的ATEWBV 多閾值目標(biāo)函數(shù)式（16）作為SSA 的適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行求解，函數(shù)值表示適應(yīng)度值，閾值數(shù)量表示求解維度。最終，通過(guò)不斷迭代找到適應(yīng)度值最大的閾值，即為ATEWBV 多閾值目標(biāo)函數(shù)在線性直方圖上的最優(yōu)閾值。

2 算法步驟

為了更清晰地說(shuō)明如何利用式（1）～式（6）、式（13）和式（16）～式（20）計(jì)算圓形直方圖上的截?cái)帱c(diǎn)以及線性直方圖上的分割閾值下面對(duì)MTCHL 方法涉及的關(guān)鍵步驟進(jìn)行梳理，如圖6所示。

圖6 MTCHL 方法流程Fig.6 Procedure of the MTCHL method

算法MTCHL 算法

輸入RGB 彩色圖像

輸出分割結(jié)果圖像

步驟1對(duì)輸入的RGB 彩色圖像，應(yīng)用MMGRWT 方法得到超像素圖像。

步驟2首先，將超像素圖像轉(zhuǎn)換為HSV 彩色圖像后提取該圖像的色調(diào)（H）分量，并基于H 分量構(gòu)建圓形直方圖H(t)。然后，遍歷圓形直方圖H(t)的截?cái)帱c(diǎn)區(qū)間[0,L-1]，對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的每個(gè)截?cái)帱c(diǎn)t1，基于式（1）以其為起始點(diǎn)逆時(shí)針將圓形直方圖截?cái)嗪笱诱篂榫€性直方圖，并應(yīng)用式（2）～式（4）計(jì)算當(dāng)前截?cái)帱c(diǎn)下線性直方圖的累積分布方差。最后，基于式（5）選擇截?cái)帱c(diǎn)區(qū)間中累積分布方差最大時(shí)的截?cái)帱c(diǎn)作為最佳截?cái)帱c(diǎn)，并通過(guò)式（6）得到相應(yīng)的線性直方圖h(t,)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論

3.1 比較方法、評(píng)價(jià)指標(biāo)和實(shí)驗(yàn)環(huán)境

為了評(píng)估提出方法的分割精度、分割適應(yīng)性和計(jì)算效率，在8 幅合成圖像和500 幅真實(shí)世界圖像上將提出的MTCHL 方法和4 種主流元啟發(fā)式算法優(yōu)化的多閾值分割方法、5 種代表性聚類(lèi)分割方法進(jìn)行全面比較。4 種主流元啟發(fā)式算法優(yōu)化的多閾值分割方法分別是基于差分進(jìn)化算法和Tsallis 熵的多閾值分割方法（DETEMT）［7］、基于粒子群算法和Kapur 熵的多閾值分割方法（PSOKEMT）［25］、基于人工蜂群算法和OTSU 法的多閾值分割方法（ABCOMT）［8］、基于哈里斯鷹算法和最小交叉熵的多閾值分割方法（HHOMMT）［9］。5 種代表性聚類(lèi)分割方法分別是基于螢火蟲(chóng)算法的模糊c 均值聚類(lèi)方法（FAFCM）［26］、基于阿基米德優(yōu)化器的直方圖快速模糊聚類(lèi)方法（AOHBFFIC）［27］、快速和魯棒的模糊c 均值聚類(lèi)方法（FRFCM）［28］、基于超像素的快速模糊c 均值聚類(lèi)方法（SFFCM）［17］、自動(dòng)模糊聚類(lèi)框架（AFCF）［29］。

為了定量比較不同方法在合成圖像和真實(shí)世界圖像上的分割結(jié)果，采用峰值信噪比（PSNR）、結(jié)構(gòu)相似性（SSIM）、特征相似度（FSIM）、概率蘭德指數(shù)（PRI）、全局一致性誤差（GCE）、信息差異（VI）6 個(gè)量化指標(biāo)［30-31］。PSNR 用于衡量分割結(jié)果圖像和分割參考圖像之間的失真程度。SSIM 用于衡量分割結(jié)果圖像和分割參考圖像之間的結(jié)構(gòu)相似性。FSIM 計(jì)算圖像之間的特征相似度。PRI 是一種相似性度量，計(jì)算分割結(jié)果圖像和分割參考圖像之間標(biāo)簽一致的像素對(duì)的比例。GCE 計(jì)算兩個(gè)分段相互一致的程度。VI 同樣是一種相似性度量，根據(jù)平均條件熵度量?jī)蓚€(gè)分割圖像之間的距離。當(dāng)分割結(jié)果圖像與分割參考圖像越接近時(shí)，PSNR、SSIM、FSIM、PRI 越大，GCE 和VI 越小。

比較方法的各項(xiàng)參數(shù)設(shè)定如下：DETEMT 方法中差分進(jìn)化算法的縮放因子設(shè)置為0.8，交叉概率設(shè)置為0.1 以及Tsallis 熵參數(shù)設(shè)置為0.01；PSOKEMT方法中粒子群算法的速度更新時(shí)慣性權(quán)重設(shè)置為0.6，粒子個(gè)體經(jīng)驗(yàn)權(quán)重和粒子群體經(jīng)驗(yàn)權(quán)重都設(shè)置為1.4；ABCOMT 方法中人工蜂群算法的雇傭蜂群數(shù)量和觀察蜂群數(shù)量統(tǒng)一設(shè)置為50；FAFCM 方法中螢火蟲(chóng)算法的光強(qiáng)吸收系數(shù)設(shè)置為0.1，隨機(jī)衰減因子設(shè)置為0.98；AOHBFFIC 方法中阿基米德優(yōu)化器的4 個(gè)控制參數(shù)分別設(shè)置為2、6、2 和0.5；MTCHL 方法中SSA 的安全值設(shè)置為0.6，發(fā)現(xiàn)者比例和危險(xiǎn)麻雀比例都設(shè)置為0.2。需要注意的是，HHOMMT 法中哈里斯鷹算法并沒(méi)有硬參數(shù)需要設(shè)置。此外，上述方法中元啟發(fā)式算法的種群數(shù)量Pop和最大迭代次數(shù)MI統(tǒng)一設(shè)置為50 和200。在FRFCM 方法中，用于多元形態(tài)學(xué)重建和隸屬度濾波的窗口為一個(gè)3×3 大小的正方形。SFFCM、AFCF和MTCHL 方法中應(yīng)用MMGR-WT 方法進(jìn)行超像素預(yù)處理時(shí)，最小結(jié)構(gòu)元素半徑與最小誤差閾值分別設(shè)置為2 和10-4。

實(shí)驗(yàn)所用軟硬件的主要參數(shù)如下：Intel?CoreTMi5-10300H 2.50 GHz CPU，16 GB DDR4 內(nèi)存，Windows 10 64位操作系統(tǒng)，MATLAB 2021開(kāi)發(fā)平臺(tái)。

3.2 在合成圖像上的比較實(shí)驗(yàn)

為了比較10 個(gè)分割方法對(duì)噪聲的敏感性和適應(yīng)性，將它們?cè)? 幅合成噪聲圖像上進(jìn)行測(cè)試。這8 幅合成噪聲圖像分別通過(guò)在8 幅無(wú)噪合成圖像上依次添加10%、20%、30%和40%的高斯噪聲和椒鹽噪聲生成。

圖7、圖8給出了10種方法在8幅合成噪聲圖像上的分割結(jié)果，從中可以看出：1）DETEMT、PSOKEMT、ABCOMT、HHOMMT、FAFCM 和AOHBFFIC 方法都對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲敏感，分割效果較差；2）FRFCM方法對(duì)高斯噪聲敏感導(dǎo)致分割結(jié)果中包含大量誤分割，而對(duì)椒鹽噪聲保持良好的抗噪性［見(jiàn)圖7（i）和圖8（i）］；3）AFCF 方法通過(guò)引入融合超像素的密度峰值算法自動(dòng)獲取聚類(lèi)數(shù)，但是隨著噪聲比例的增加，容易出現(xiàn)聚類(lèi)數(shù)量過(guò)多或過(guò)少的情形［見(jiàn)圖7（k）和圖8（k）的第3 行和第4 行子圖］；4）SFFCM 和MTCHL方法一方面利用超像素算法平滑圖像噪聲和保持圖像結(jié)構(gòu)信息，另一方面融合顏色直方圖到后續(xù)的聚類(lèi)或閾值分割，它們的分割結(jié)果優(yōu)于前面8 種方法，具有較強(qiáng)的抗噪性，另外，當(dāng)噪聲比例較高時(shí)，MTCHL方法在圖像邊緣細(xì)節(jié)保持方面明顯優(yōu)于SFFCM 方法，取得了更好的分割效果［見(jiàn)圖7（j）、圖7（l）、圖8（j）和圖8（l）的第4 行子圖］。

圖7 10 種分割方法在4 幅添加不同比例高斯噪聲合成圖像上的分割結(jié)果Fig.7 Results of ten segmentation methods on four synthetic images with Gaussian noise of different ratios

圖8 10 種分割方法在4 幅添加不同比例椒鹽噪聲合成圖像上的分割結(jié)果Fig.8 Results of ten segmentation methods on four synthetic images with Salt &Pepper noise of different ratios

表3 給出10 種分割方法在8 幅合成噪聲圖像上的6 種評(píng)價(jià)指標(biāo)的平均值（最優(yōu)指標(biāo)值用加粗字體標(biāo)示，下同），從中可以看出：1）DETEMT、PSOKEMT、ABCOMT、HHOMMT、FAFCM 和AOHBFFIC 方法在PSNR、SSIM、FSIM 和PRI 這4 項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)上都得到了較低的數(shù)值，進(jìn)一步說(shuō)明了這些方法對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲敏感，抗噪性差；2）FRFCM 方法由于采用多元形態(tài)重構(gòu)對(duì)圖像進(jìn)行簡(jiǎn)化，并利用隸屬度濾波提高分割精度，因此所有指標(biāo)的整體評(píng)價(jià)要優(yōu)于前面6 種方法；3）在噪聲比例較低時(shí)，AFCF 方法能自適應(yīng)地確定圖像的聚類(lèi)數(shù)并取得較高的分割精度，在噪聲比例較高時(shí)，AFCF 方法易出現(xiàn)聚類(lèi)數(shù)量錯(cuò)誤的情形，結(jié)果在PSNR、SSIM、PRI 等指標(biāo)上的評(píng)價(jià)反而要低于FRFCM 方法；4）SFFCM 方法在目標(biāo)函數(shù)中融入了自適應(yīng)的局部空間信息和全局顏色特征，大幅度提升圖像的分割精度，得到比前面8 種方法更高的PSNR、SSIM、FSIM 和PRI 值，以及更低的GCE 和VI 值；5）MTCHL 方法結(jié)合超像素算法和圓形直方圖線性化閾值分割方法，對(duì)不同比例的高斯噪聲和椒鹽噪聲具有較強(qiáng)的抑制能力，6 種評(píng)價(jià)指標(biāo)明顯優(yōu)于其他方法。

表3 10 種方法在8 幅合成噪聲圖像上的平均PSNR、SSIM、FSIM、PRI、GCE 和VI 值Table 3 Average PSNR，SSIM，F(xiàn)SIM，PRI，GCE and VI values of ten methods on eight synthetic noise images

3.3 在真實(shí)世界圖像上的比較實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步比較10 個(gè)分割方法對(duì)真實(shí)世界圖像的分割適應(yīng)性，將它們?cè)贐SDS 數(shù)據(jù)集［16］上進(jìn)行測(cè)試。BSDS 數(shù)據(jù)集被廣泛地應(yīng)用于圖像分割測(cè)試，包含測(cè)試圖像500 幅，并且每幅測(cè)試圖像都有4～9 幅由人工標(biāo)注的分割參考圖像。作為代表性示例，圖9和圖10 展示了10 種分割方法在15 幅測(cè)試圖像上的分割結(jié)果，從中可以看出：1）對(duì)于基于灰度直方圖的彩色圖像多閾值分割方法，即DETEMT、PSOKEMT、ABCOMT 和HHOMMT 方法，它們的分割效果隨著閾值個(gè)數(shù)的增加有一定提升，但是仍然包含大量誤分割；2）FAFCM 和AOHBFFIC 方法分別對(duì)灰度圖像的像素、直方圖進(jìn)行聚類(lèi)，由于沒(méi)有考慮彩色圖像的局部空間信息，實(shí)際分割效果與前面4 種閾值分割方法相差不大；3）FRFCM 方法引入多元形態(tài)重構(gòu)和隸屬度濾波，并基于像素的歐氏空間進(jìn)行彩色圖像分割，其分割效果要優(yōu)于前面方法，但分割結(jié)果中仍然存在部分像素被誤分類(lèi)［見(jiàn)圖9（h）和圖10（h）的第1 行和第3 行子圖］；4）SFFCM 和AFCF 方法利用超像素算法對(duì)自適應(yīng)局部空間信息進(jìn)行了預(yù)分割，結(jié)果獲得了比FRFCM 方法更好的分割結(jié)果，但是超像素算法在降低圖像復(fù)雜性的同時(shí)弱化了圖像的邊緣輪廓細(xì)節(jié)，導(dǎo)致后續(xù)在一些目標(biāo)輪廓較細(xì)的圖像上應(yīng)用模糊聚類(lèi)算法時(shí)難以獲得精確的分割結(jié)果［見(jiàn)圖9（i）第1 行子圖以及圖9（i）、圖9（j）、圖10（i）和圖10（j）的第3 行子圖］；5）MTCHL 方法在超像素算法預(yù)處理的基礎(chǔ)上通過(guò)CDVMCL 方法合理地將圓形直方圖截?cái)嗪笱诱篂榫€性直方圖，并采用分割適應(yīng)性較強(qiáng)的ATEWBV 目標(biāo)函數(shù)在線性直方圖上獲得分割閾值，對(duì)復(fù)雜彩色圖像展現(xiàn)出較好的分割處理能力。

圖9 10 種分割方法在BSDS 數(shù)據(jù)集中的9 幅代表性真實(shí)世界圖像上的分割結(jié)果Fig.9 Results of ten segmentation methods on nine representative real world images in the BSDS dataset

圖10 10 種分割方法在BSDS 數(shù)據(jù)集中的6 幅代表性真實(shí)世界圖像上的分割結(jié)果Fig.10 Results of ten segmentation methods on six representative real world images in the BSDS dataset

從圖9 和圖10 的分割結(jié)果來(lái)看，MTCHL 方法獲得了比其他9 種方法更好的分割效果。

在實(shí)際量化評(píng)估中，一般較難提出一種方法對(duì)數(shù)據(jù)集中的每一張圖像都獲得最佳分割結(jié)果，對(duì)此問(wèn)題通常使用數(shù)據(jù)集中所有圖像的平均分割結(jié)果來(lái)估計(jì)方法的總體性能［17］。本文也采用了這種總體分割性能評(píng)估策略，將BSDS 數(shù)據(jù)集所包含的500 幅圖像的每幅圖像待分割類(lèi)別數(shù)c設(shè)置為2～5，然后統(tǒng)計(jì)10 種分割方法的平均PSNR、SSIM、FSIM、PRI、GCE 和VI值如表4所示，從中可以看出：1）DETEMT、PSOKEMT、ABCOMT、HHOMMT、FAFCM 和AOHBFFIC 方法擁有相近且較低的PSNR、SSIM、FSIM、PRI值以及較高的GCE 和VI 值，分割適應(yīng)性較差；2）由于引入多元形態(tài)學(xué)重構(gòu)，F(xiàn)RFCM 方法在這6項(xiàng)量化指標(biāo)上的評(píng)價(jià)優(yōu)于前面的方法；3）SFFCM、AFCF 和MTCHL 方法通過(guò)超像素預(yù)處理以及融合顏色直方圖的聚類(lèi)或閾值分割，6 項(xiàng)量化指標(biāo)明顯要優(yōu)于其他7 種方法，其中，SFFCM方法在VI 指標(biāo)上取得最優(yōu)值，AFCF 方法在指標(biāo)PRI上取得最優(yōu)值，MTCHL 方法顯然是最優(yōu)秀的，分別取得了PSNR、SSIM、FSIM 和GCE 等4 個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)值，進(jìn)一步驗(yàn)證了MTCHL 方法在真實(shí)世界圖像上具有較強(qiáng)的分割適應(yīng)性。

表4 10 種方法在BSDS 數(shù)據(jù)集中500 幅測(cè)試圖像上的平均PSNR、SSIM、FSIM、PRI、GCE 和VI 值Table 4 Average PSNR，SSIM，F(xiàn)SIM，PRI，GCE and VI values of ten methods on the BSDS dataset with 500 test images

3.4 計(jì)算效率比較實(shí)驗(yàn)

圖11 顯示了10 種分割方法在BSDS 數(shù)據(jù)集上將圖像待分割類(lèi)別數(shù)c設(shè)置為2 到5 時(shí)的平均CPU運(yùn)行時(shí)間。DETEMT、PSOKEMT、ABCOMT、HHOMMT、FAFCM 和AOHBFFIC 方法各自的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間都穩(wěn)定在0.63 s 左右，這主要是因?yàn)樗鼈冃枰?jīng)過(guò)200 次尋找最佳閾值或聚類(lèi)中心的迭代搜索過(guò)程。FRFCM 方法在彩色圖像上是針對(duì)像素進(jìn)行聚類(lèi)而非直方圖，并且需要執(zhí)行多元形態(tài)學(xué)重構(gòu)和隸屬度濾波的計(jì)算，因此計(jì)算復(fù)雜度較高，平均CPU 運(yùn)行時(shí)間高達(dá)2.60 s。SFFCM 方法通過(guò)超像素算法降低了彩色圖像復(fù)雜性，并且將顏色直方圖融入后續(xù)的模糊聚類(lèi)算法，平均CPU 運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較短，穩(wěn)定在0.70 s。AFCF 方法相對(duì)于SFFCM 方法需要執(zhí)行密度峰值算法自動(dòng)獲取聚類(lèi)數(shù)，因此平均CPU 運(yùn)行時(shí)間略高一些，穩(wěn)定在0.72 s。盡管MTCHL 方法需要執(zhí)行超像素預(yù)處理、圓形直方圖線性化和SSA 迭代閾值搜索3 個(gè)步驟，但是時(shí)間消耗主要集中在SSA迭代閾值搜索過(guò)程，平均CPU 運(yùn)行時(shí)間穩(wěn)定在0.65 s。

圖11 10 種分割方法在BSDS 數(shù)據(jù)集上的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間Fig.11 Average CPU elapsed time of ten segmentation methods on the BSDS dataset

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)彩色圖像多閾值分割問(wèn)題，本文提出一種圓形直方圖線性化的高精度高適應(yīng)性多閾值分割方法。首先引入累積分布方差定義一種新的圓形直方圖截?cái)帱c(diǎn)選取準(zhǔn)則，然后在線性直方圖上提出自適應(yīng)Tsallis 熵加權(quán)類(lèi)間方差的多閾值分割目標(biāo)函數(shù)，最后以該目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)并利用麻雀搜索算法快速精確地得到分割閾值。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與9 種不同的彩色圖像分割方法相比，提出方法不僅抗噪性更強(qiáng)，而且分割圖像質(zhì)量更佳。在未來(lái)工作中，將會(huì)考慮通過(guò)遞推算法的形式直接在圓形直方圖上應(yīng)用自適應(yīng)Tsallis 熵加權(quán)類(lèi)間方差法，去掉圓形直方圖線性化這一步驟，進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜性。