一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法*

陳維義，何 凡，劉國強(qiáng)，毛偉偉

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院，武漢 430030；2.海軍士官學(xué)校兵器系，安徽 蚌埠 230000）

0 引言

目前，卡爾曼濾波及其改進(jìn)形式已經(jīng)廣泛應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤問題中。但是當(dāng)目標(biāo)機(jī)動十分復(fù)雜時，會出現(xiàn)濾波模型與目標(biāo)機(jī)動模型不匹配的情況，影響目標(biāo)跟蹤精度［1-4］。針對這一問題，交互式多模型（interacting multiple model，IMM）展現(xiàn)出更加優(yōu)越的性能［5-7］。正因?yàn)槿绱?，IMM 算法受到了很多學(xué)者的關(guān)注，并在結(jié)構(gòu)和參數(shù)等層面對IMM 算法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［4］基于恒速和當(dāng)前統(tǒng)計模型設(shè)計了IMM算法，該算法中，當(dāng)前統(tǒng)計模型的平均速度通過最小二乘法估計得到，然后將當(dāng)前統(tǒng)計模型應(yīng)用于IMM 算法。該方法通過提高模型精度來提高濾波精度。文獻(xiàn)［5］在多個層面對IMM 算法進(jìn)行了改進(jìn)，包括采用改進(jìn)的卡爾曼濾波器作為子濾波器、不同模型之間的非對稱狀態(tài)估計和基于熵的模型概率更新公式。文獻(xiàn)［3，6］提出了IMM 的一種替代方法，模型集中的模型都由勻加速模型構(gòu)成，降低了模型集的復(fù)雜程度。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［7］提出了一種自適應(yīng)IMM 算法，首先利用濾波器對目標(biāo)的加速度進(jìn)估計，然后選取估計加速度附近的值構(gòu)建模型，該方法可以減少模型集中模型的數(shù)量，在降低計算量的同時提高了模型精度。文獻(xiàn)［8］基于二階馬爾科夫鏈提出了一種二階IMM 算法，由于利用了更多的先驗(yàn)信息，進(jìn)一步提高了濾波精度。由于上述IMM 的模型集中的模型種類和數(shù)量不變，所以又稱為固定結(jié)構(gòu)IMM（fixed structure IMM，F(xiàn)SIMM）。

為了避免因模型不匹配而造成的精度誤差，在使用IMM 算法時，應(yīng)使用盡可能多的模型覆蓋目標(biāo)機(jī)動模型。但值得注意的是，單個模型集中模型過多，同樣會降低濾波精度［9］。在此背景下，變結(jié)構(gòu)IMM（variable structure IMM，VSIMM）應(yīng)運(yùn)而生［14］。VSIMM 經(jīng)過不斷的發(fā)展和改進(jìn)，大致可以分為4種：模型組切換（model group switching，MGS）、可能模型集（likely mode set，LMS）、期望模型增強(qiáng)（expected mode augmentation，EMA） 和自適應(yīng)網(wǎng)格（adaptive grid，AG）［10-11］。其中，MGS 將模型集分成模型子集，一個時刻只會選中一個模型子集進(jìn)行估計，模型子集之間根據(jù)模型子集轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行切換［12］。LMS 在每個時刻模型都分為3 種類型：不可能的、重要的和主要的模型，每個時刻用于估計的模型子集由主要的模型和接近主要的模型構(gòu)成［13］。與MGS 類似，EMA 將一個大的模型集分成小的模型子集，然后計算下一時刻所有模型子集的概率，選擇概率最大的模型子集用于估計［9，14-15］。AG 算法結(jié)合圖理論，將所有的模型構(gòu)成一個網(wǎng)格，利用先驗(yàn)信息和當(dāng)前數(shù)據(jù)得到一個局部細(xì)化網(wǎng)格，細(xì)化網(wǎng)格中的模型構(gòu)成候選模型子集，然后根據(jù)規(guī)則選擇模型構(gòu)成下一時刻用于估計的模型子集。

值得注意的是，上述EMA 方法在計算似然函數(shù)和模型子集概率時，對公式進(jìn)行了近似。針對這一問題，本文設(shè)計了一種新的VSIMM 濾波算法（novel VSIMM，NVSIMM），給出精確的數(shù)學(xué)模型。另外，EMA 將大的模型集分成小的模型子集時，為了降低計算成本，構(gòu)建的模型子集并非所有模型的全排列組合。為了保證所有模型子集中存在與目標(biāo)機(jī)動模式最匹配的模型子集，在已有模型子集的基礎(chǔ)上，根據(jù)規(guī)則構(gòu)建一個新的模型子集，從而得到了自適應(yīng)VSIMM 算法（adaptive VSIMM，AVSIMM）。由于新的模型子集中的模型與目標(biāo)機(jī)動模型最為匹配，可進(jìn)一步提高目標(biāo)跟蹤精度。

1 交互式多模型算法

1.1 問題描述

系統(tǒng)離散化的狀態(tài)方程如下：

其中，zk為量測向量，Hj為模型j 的測量矩陣，是均值為0 的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Rj。

基于上述狀態(tài)方程、量測方程和貝葉斯理論，IMM 濾波算法根據(jù)量測集合和模型集Ω 估計系統(tǒng)k 時刻的狀態(tài)xk。

1.2 IMM 算法

IMM 算法框圖如下頁圖1 所示，一般可以分為以下4 個步驟［2-3］：

圖1 IMM 算法框圖Fig.1 Block diagram of IMM algorithm

Step 1 輸入交互

Step 2 濾波

分別基于每一個模型進(jìn)行卡爾曼濾波：

1）預(yù)測狀態(tài)

2）預(yù)測協(xié)方差矩陣

3）卡爾曼增益

4）濾波

5）濾波值的協(xié)方差

Step 3 模型概率更新

模型概率更新公式為：

Step 4 輸出交互

最終的狀態(tài)估計和協(xié)方差估計：

2 自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法

2.1 NVSIMM 算法

為了避免模型集中模型數(shù)量過多，提高模型精度，本節(jié)設(shè)計了NVSIMM 算法。NVSIMM 濾波算法包括多個模型子集，每個模型子集獨(dú)立運(yùn)行IMM，通過選取概率最高的模型子集的估計結(jié)果作為最終的估計狀態(tài)輸出［16-18］。NVSIMM 算法框圖如圖2所示，包括以下幾個步驟：

圖2 NVSIMM 算法框圖Fig.2 Block diagram of NVSIMM algorithm

Step 1 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計

Step 2 計算每個模型子集的似然函數(shù)

模型子集的似然函數(shù)為：

Step 3 計算模型子集概率

Step 4 NVSIMM 濾波狀態(tài)估計

選擇概率最大的模型子集的IMM 估計結(jié)果作為最終的狀態(tài)估計輸出，首先求出概率最高的模型子集編號：

從而可以得到最終的狀態(tài)估計和對應(yīng)的協(xié)方差為：

2.2 AVSIMM 算法

假設(shè)NVSIMM 算法中模型子集中模型數(shù)量為L，若全排列組合可以得到CrL個模型子集，但為了降低計算成本，往往只需構(gòu)造r-1 個模型子集即可覆蓋所有的模型（記為原始模型子集）。但是這r-1個模型子集可能并非是與目標(biāo)機(jī)動方式最為匹配的模型子集，為了在不過度增大計算量的情況下，提高模型子集的匹配性，下文在NVSIMM 的基礎(chǔ)上，基于所有原始模型子集構(gòu)建一個新的模型子集?；谛碌哪Ｐ妥蛹驮寄Ｐ妥蛹瘜顟B(tài)進(jìn)行估計，為AVSIMM 算法的主要思想［19-20］。AVSIMM算法包括以下幾個步驟：

Step 1 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計

對所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 1 相同。

Step 2 計算每個模型子集的似然函數(shù)

對所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 2 相同。

Step 3 計算模型子集概率

對所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 3 相同。

Step 4 構(gòu)建新的模型子集

根據(jù)下式尋找概率前L 大的模型子集：

Step5 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計

對所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 1 相同。

Step 6 計算每個模型子集的似然函數(shù)

對所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 2 相同。

Step 7 計算模型子集概率

對所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 3 相同。

Step 8：AVSIMM 狀態(tài)估計

具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 4 相同。

3 仿真與討論

為了驗(yàn)證AVSIMM 的有效性，針對兩種目標(biāo)機(jī)動情況展開分析討論，這兩種情況下，均假設(shè)目標(biāo)在二維平面內(nèi)運(yùn)動（比如地面目標(biāo)、海面目標(biāo)或機(jī)動過程中高度變化較小的空中目標(biāo)）。在第1 種情況下，目標(biāo)為某空中飛行器，飛行高度變化較小，近似為平面運(yùn)動。目標(biāo)的初始位置、速度和加速度分別為（10 km，40 km）、（300 m/s，0）和（0，0）。該空中目標(biāo)航跡規(guī)劃后設(shè)置的機(jī)動參數(shù)如下：

1）30 s 的勻速直線運(yùn)動；

2）30 s 的勻加速運(yùn)動，加速度大小為（-10 m/s2，10 m/s2）；

3）30 s 的勻速直線運(yùn)動；

4）30 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，轉(zhuǎn)彎角速率為0.2 rad/s；

5）30 s 的勻速直線運(yùn)動。

第2 種情況下，目標(biāo)為某地面車輛，目標(biāo)的初始位置、速度和加速度分別為（300 m，100 m）、（5 m/s，0）和（0，0），該目標(biāo)的機(jī)動參數(shù)如下：

1）20 s 的勻速直線運(yùn)動；

2）20 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，轉(zhuǎn)彎角速率為0.157 rad/s；

3）10 s 的勻加速運(yùn)動，加速度大小為（-2 m/s2，0 m/s2）；

4）10 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，轉(zhuǎn)彎角速率為0.157 rad/s；

目標(biāo)運(yùn)動軌跡如圖3 所示。利用蒙特卡洛法分析對比IMM、NVSIMM 和AVSIMM 的性能。其中，IMM 算法包括3 個模型：勻速直線運(yùn)動模型（constant velocity，CV）、勻加速運(yùn)動模型（constant acceleration，CA）和勻速轉(zhuǎn)彎模型（constant turn，CT）［21-23］。AVSIMM 算法包括兩個模型子集，第1 個模型子集包括CV、CA，第2 個模型子集包括CV、CT；NVSIMM濾波算法包括的模型子集和AVSIMM 相同?？梢宰⒁獾剑珹VSIMM 和NVSIMM 僅需兩個原始模型子集即可包括所有的模型，但這兩種算法的原始模型子集并不包括模型子集CA、CT。設(shè)模型轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

圖3 目標(biāo)運(yùn)動軌跡Fig.3 Target trajectory

假設(shè)過程噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為1 m/s2，測量值通過雷達(dá)或GPS 等傳感器得到，第1 種情況下轉(zhuǎn)換成橫縱坐標(biāo)后的噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為50 m，第2 種情況下的標(biāo)準(zhǔn)差為5 m，仿真結(jié)果如圖4 ～圖10 所示。

圖4 IMM 中模型概率Fig.4 Model probability in IMM

圖4 給出了IMM 中模型概率變化曲線，可以觀察到最大概率所對應(yīng)的模型與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動模型相同。圖5 給出了NVSIMM 中模型子集概率的變化曲線，其中，概率最大的模型子集總是包括與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動模式相符的模型。從圖6 中可以看出，AVSIMM 模型子集概率曲線與圖5 大致相同。但是，對于第1 種情況而言，在區(qū)間（90 s，120 s），模型子集CACT 的概率最大，說明新的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動方式最為匹配；對于第2 種情況而言，大約在區(qū)間（50 s，60 s），模型子集CACT 的概率最大，說明在此時間段新的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動方式最為匹配。圖7 描述了構(gòu)建新模型子集的時刻，分析該圖可以得到與圖6 相同的結(jié)論。

圖5 NVSIMM 中模型子集概率Fig.5 Model subset probability in NVSIMM

圖6 AVSIMM 中模型子集概率Fig.6 Model subset probability in AVSIMM

圖7 AVSIMM 中是否構(gòu)建了新的模型子集CAVTFig.7 Whether a new model subset CAVT is constructed in AVSIMM

圖8 給出了IMM、NVSIMM 和AVSIMM 對目標(biāo)運(yùn)動軌跡的跟蹤效果，這3 種方法都能夠?qū)δ繕?biāo)軌跡進(jìn)行較好的估計，三者之間的差異具體體現(xiàn)在圖9 中。圖9 描述了IMM、NVSIMM 和AVSIMM 對目標(biāo)位置估計的均方根誤差曲線，從圖中可以看出，在絕大多數(shù)時間里，NVSIMM 和AVSIMM 的均方根誤差小于IMM，只有在目標(biāo)機(jī)動模型改變的短暫時間里，NVSIMM 和AVSIMM 性能會降低，但是會立刻恢復(fù)。值得注意的是，NVSIMM 和AVSIMM 的性能非常接近，二者主要的區(qū)別體現(xiàn)在構(gòu)建新的模型子集的時間段，第1 種情況下體現(xiàn)在區(qū)間段（90 s，120 s），第2 種情況下體現(xiàn)在區(qū)間段（50 s，60 s）。圖10 單獨(dú)對比了這兩種情況下相應(yīng)區(qū)間段AVSIMM和NVSIMM 的性能，從圖中可以看出，AVSIMM 的性能優(yōu)于NVSIMM，原因在于新構(gòu)建的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動模型更加匹配。

圖8 目標(biāo)軌跡跟蹤效果Fig.8 Tracking effects of target trajectory

圖9 位置跟蹤的均方根誤差Fig.9 Root mean square errors of position tracking

圖10 位置跟蹤的均方根誤差Fig.10 Root mean square errors of position tracking

4 結(jié)論

為了進(jìn)一步提高對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤精度，本文設(shè)計了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法。建立了NVSIMM 的精確模型，在NVSIMM 基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)，得到了AVSIMM 算法，該方法在原始模型子集的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的模型子集，可以在不過度增加計算成本的情況下，提高模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動模型的匹配程度，從而提高對目標(biāo)的跟蹤精度。通過與IMM 和NVSIMM 比較，AVSIMM 具有最好的跟蹤效果。