優(yōu)化灰色模型在變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究

張華平，聶 飛

（江西省地質(zhì)局地理信息工程大隊(duì)，江西 南昌 330001）

0 引言

在城市建設(shè)工程的整個(gè)生命周期中，建筑物或構(gòu)筑物的空間位置、形狀和行為是建設(shè)工程的核心內(nèi)容。這種空間位置、形態(tài)和行為的變化統(tǒng)稱為變形。它是指工程建筑物等在受外界原因作用下產(chǎn)生外形、高度等的變化。常見(jiàn)的城市建設(shè)工程中的變形破壞現(xiàn)象，如建筑物的傾覆、道路橋梁的沉陷等，會(huì)對(duì)工程建設(shè)和人民的生命財(cái)產(chǎn)造成巨大的損失，甚至發(fā)生更具破壞性的災(zāi)難。變形所導(dǎo)致的破壞防治方法是在城市建設(shè)工程的建造、運(yùn)營(yíng)期間，對(duì)建筑物和構(gòu)筑物進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以便掌握變形程度，揭示變形原因，總結(jié)變形規(guī)律，控制變形發(fā)展，防止危害。灰色模型預(yù)測(cè)能夠掌握系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律，通過(guò)原始數(shù)據(jù)處理和灰色模型的建立，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)未來(lái)走向預(yù)測(cè)。如果能夠?qū)⒒疑Ｐ蛷V泛應(yīng)用于各大建筑物的變形預(yù)測(cè)中，將會(huì)有很大的意義。

1 灰色模型的系統(tǒng)原理

1.1 灰色模型理論概述

灰色模型作為一個(gè)新的前沿主題，具有廣泛的橫截面、強(qiáng)大的滲透性和廣闊的發(fā)展空間，是一個(gè)簡(jiǎn)單易學(xué)易用的新理論。變形系統(tǒng)本身也具有灰色特征，過(guò)去使用的數(shù)據(jù)處理方法受到需要大量數(shù)據(jù)才能實(shí)現(xiàn)變形預(yù)測(cè)的限制。但使用灰色模型預(yù)測(cè)的主要優(yōu)點(diǎn)之一是建模并不需要大量數(shù)據(jù)，對(duì)于無(wú)序數(shù)據(jù)序列，可以使用數(shù)據(jù)生成方法將其更改為具有明顯規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后對(duì)生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。該方法成功地解決了數(shù)學(xué)家認(rèn)為無(wú)法解決的微分方程建模問(wèn)題，并對(duì)系統(tǒng)的發(fā)展和變化進(jìn)行了綜合分析［1］。

1.2 灰色模型生成

1.2.1 灰色模型生成分類(lèi)

灰色模型生成方法可以根據(jù)需要分為整體生成和局部生成。整體生成是整個(gè)序列的轉(zhuǎn)換。局部生成是轉(zhuǎn)換序列中的某些部分?jǐn)?shù)據(jù)。例如，在變形監(jiān)測(cè)過(guò)程中，由于某種原因，不能及時(shí)進(jìn)行觀察或觀察到的數(shù)據(jù)是異常的，然后在消除數(shù)據(jù)后將序列變?yōu)椴坏葧r(shí)間序列。此時(shí)，有必要用生成方法填充數(shù)據(jù)的空位，并將序列轉(zhuǎn)換為相等的時(shí)間序列，即局部生成。

1.2.2 生成方法

1）累加生成。通過(guò)累加生成得到光滑的生成數(shù)列，充分揭示原始數(shù)據(jù)中的特征以及規(guī)律性，也可以使時(shí)間序列上下波動(dòng)，因其具有一系列線性或指數(shù)律特征，從而發(fā)現(xiàn)灰色量積累過(guò)程的發(fā)展態(tài)勢(shì)［2］。

2）累減生成。設(shè)原始序列為r次生成數(shù)列，對(duì)其做r次累減生成，定義為“一次累減”，累減生成是累加生成的逆變換，對(duì)累加生成起到還原作用。

3）插值生成。根據(jù)生成函數(shù)，對(duì)給定函數(shù)的生成進(jìn)行盡可能逼近，并生成插值函數(shù)。無(wú)論灰色函數(shù)的形狀如何，折線都可以看作是一種逼近。

以上，是灰色系統(tǒng)中常用的幾種生成方法，但使用灰色理論模型，有時(shí)會(huì)遇到一些特殊的情形，譬如建模需要非負(fù)增量數(shù)據(jù)，所以當(dāng)有消極的項(xiàng)目序列，它必須通過(guò)某種方式轉(zhuǎn)化為非負(fù)序列，然后使用該模型［3］。

1.3 灰建模

1.3.1 GM模型建模過(guò)程

1）考查原始序列是否滿足建模條件。

序列的非負(fù)性；

序列的動(dòng)態(tài)隨機(jī)性。

2）時(shí)間響應(yīng)函數(shù)離散化。共有k-1 個(gè)時(shí)間間隔，將其作為第0 個(gè)數(shù)據(jù)的前提下，經(jīng)過(guò)k-1 個(gè)時(shí)間間隔才到達(dá)。

3）模型精度檢驗(yàn)。對(duì)于初始模型，需要對(duì)它進(jìn)行診斷性檢驗(yàn)，以考核模型的合理性，只有檢驗(yàn)合格的模型，才可以用于預(yù)測(cè)［4］。

1.3.2 灰色預(yù)測(cè)模型的建模步驟及MATLAB程序

1）灰色預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程主要包括以下幾個(gè)步驟：

原始序列的累加生成處理，得新的序列；

累加生成序列的緊鄰均值生成，得新的序列；

構(gòu)建矩陣B 和Y，估計(jì)模型參數(shù)；

依據(jù)得到的模型參數(shù)建立灰色預(yù)測(cè)模型；

依據(jù)所建立的灰色預(yù)測(cè)模型計(jì)算模型模擬值、預(yù)測(cè)值；

依據(jù)模擬值及預(yù)測(cè)值計(jì)算模型的相對(duì)模擬，預(yù)測(cè)百分誤差；

依據(jù)系統(tǒng)精度要求，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M及預(yù)測(cè)性能；

倘若模型通過(guò)檢驗(yàn)則可用于預(yù)測(cè)，否則需要優(yōu)化或重新構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型［5］。

2）建立GM（1，1）模型的MATLAB 程序。

程序名稱：GM（1，1）模型。

功能：?jiǎn)巫兞繒r(shí)序數(shù)據(jù)的模擬及預(yù)測(cè)。

輸出結(jié)果：模擬數(shù)據(jù)、模擬殘差、模擬百分誤差、預(yù)測(cè)結(jié)果。

MATLAB 中程序編寫(xiě)如圖1 所示。

圖1 建立GM(1,1)模型的MATLAB 程序

點(diǎn)擊運(yùn)行即可，輸入數(shù)據(jù)。

2 GM(1,1)模型在建筑物變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

2.1 工程概況

某區(qū)域一大型工程建筑物，于2021 年年初施工，2022 年4 月封頂。按照業(yè)主以及設(shè)計(jì)部門(mén)的要求，對(duì)工程建筑物的主體框架進(jìn)行監(jiān)測(cè)。依據(jù)變形監(jiān)測(cè)國(guó)家規(guī)范要求，監(jiān)測(cè)方埋設(shè)了10 個(gè)沉降觀測(cè)點(diǎn)，3 個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，共歷時(shí)15 個(gè)月。在整個(gè)施工過(guò)程中，一共進(jìn)行了20 次沉降觀測(cè)，以及精度為二等水準(zhǔn)的20 條閉合水準(zhǔn)路線，且每條閉合路線的高差閉合差均合理。該大型工程建筑物的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置分布如圖2 所示：

圖2 大型建筑物的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置分布圖

2.2 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析應(yīng)用

工程建筑物某一監(jiān)測(cè)點(diǎn)在各階段的沉降數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 沉降數(shù)據(jù) 單位：mm

同時(shí)依據(jù)監(jiān)測(cè)所獲得各期數(shù)據(jù)制作折線圖，下面將利用灰色預(yù)測(cè)模型GM（1，1）對(duì)該工程的建筑物變形預(yù)測(cè)進(jìn)行研究，以該工程建筑物為例研究如何建立建筑物變形預(yù)測(cè)模型。

2.3 建立GM（1,1）模型

在大壩、房屋、基坑等一系列工程建筑物的變形沉降過(guò)程中，它們受許多因素的影響，這樣一系列的建筑物變形沉降就具有了模糊性和不確定性。建立GM（1，1）模型就是為了減少這些模糊性與不確定性，通過(guò)少量的數(shù)據(jù)來(lái)找出變形沉降數(shù)據(jù)的規(guī)律性，達(dá)到變形預(yù)測(cè)的目的。以該工程建筑物為例，運(yùn)用灰色模型預(yù)測(cè)模型GM（1，1）時(shí)候，通常討論時(shí)間序列的單變量。以灰建模為理論基礎(chǔ)，對(duì)該實(shí)例進(jìn)行建模探究。取監(jiān)測(cè)的前10 期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為原始序列建模，后面的6 期數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)的比較對(duì)象。

1）建立原始序列。

2）對(duì)原始數(shù)列作列加生成得到序列。

3）計(jì)算緊鄰均值生成序列，發(fā)展系數(shù)、白化方程、模擬數(shù)據(jù)等可通過(guò)MATLAB 計(jì)算得出。

2.4 利用MATLAB程序計(jì)算

以下為MATLAB 生成的報(bào)告：

GM（1.1）模型：

輸入原始序列：［0.24 0.50 0.81 1.24 1.66 2.11 2.57 3.00 3.53 4.02 4.57 4.99 5.42 5.90 6.41］

----------------------------------

1）輸入原始序列為：

Columns 1 through 3

0.24 0.5 0.81

Columns 4 through 6

1.24 1.66 2.11

Columns 7 through 9

2.57 3 3.53

Columns 10 through 12

4.02 4.57 4.99

Columns 13 through 15

5.42 5.9 6.41

2）GM（1，1）模型的參數(shù)a、b分別為-0.132 和1.212。

3）GM（1，1）模型誤差檢驗(yàn)表數(shù)據(jù)如表2 所示。

表2 GM（1,1）模型誤差檢驗(yàn)表數(shù)據(jù)

4）平均相對(duì)模擬誤差（%）：24.44。

2.5 灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)處理分析

通過(guò)報(bào)告中的數(shù)據(jù)表建立折線圖后，進(jìn)行分析。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，精度檢驗(yàn)計(jì)算出方差為0.194，可以發(fā)現(xiàn)精度比較好。不過(guò)，平均相對(duì)誤差為24.44%，這一結(jié)果誤差過(guò)大，相對(duì)精度不高，說(shuō)明模型精度普通，需要進(jìn)行優(yōu)化。

比對(duì)折線圖，可以發(fā)現(xiàn)在監(jiān)測(cè)的中期精度很好，但是GM（1，1）模型是指數(shù)模型，具有一直增長(zhǎng)的特性。根據(jù)建筑物的變形特點(diǎn)，建筑物的沉降在一段時(shí)間后，會(huì)趨于緩和，故而GM（1，1）模型后期預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)，精度會(huì)越來(lái)越低，長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的可靠性嚴(yán)重缺失。

2.6 GM（1.1）模型優(yōu)化

根據(jù)殘差修正模型的理論，可以通過(guò)建立殘差序列來(lái)建立模型，提高精度。

1）將殘差數(shù)據(jù)提取一些出來(lái)建立新的序列。數(shù)據(jù)處理的時(shí)候，需要取絕對(duì)值建立序列。

通過(guò)MATLAB 程序計(jì)算出結(jié)果。

GM（1.1）模型：

輸入原始序列：［0.002 0.277 0.603 1.013］

----------------------------------

1）輸入原始序列為：

Columns 1 through 3

0.002 0.277 0.603

Column 4

1.013

2）GM（1，1）模型的參數(shù)a、b分別為-0.579和0.224。

3）GM（1，1）模型誤差檢驗(yàn)表如表3 所示。

表3 GM（1,1）模型優(yōu)化誤差檢驗(yàn)

4）平均相對(duì)模擬誤差（%）：6.07。

5）得到新的改正序列。

通過(guò)殘差修正的方法建立新的修正模型得到新的修正值。計(jì)算得出改正后方差值為0.468，平均相對(duì)誤差為4.14%，精度得到提高，模型良好。

將得出的數(shù)據(jù)整理為折線圖，可以看出改正后的遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)更加接近觀測(cè)值，但是早期的數(shù)據(jù)還是存在一些問(wèn)題，優(yōu)化后的數(shù)據(jù)也只是針對(duì)模型遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)，故而當(dāng)進(jìn)行全部數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)時(shí)，則需要進(jìn)行刪減或者換其他方法。

通過(guò)該工程案例結(jié)合灰色模型，最初建立的GM（1，1）模型以前15 期作為原始序列，但是精度不佳，效果不理想。對(duì)于這種情況，做出優(yōu)化，選擇殘差修正。優(yōu)化后的模型精度得到明顯提高，但是通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，這種模型只適合短期的預(yù)測(cè)，同時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)還要有一定的要求。

2.7 建立DGM(1,1)模型

GM（1，1）模型是通過(guò)差分方程估計(jì)模型參數(shù)，通過(guò)微分方程推導(dǎo)模型時(shí)間響應(yīng)式，因此上述模型兼具部分微分（光滑）部分差分（跳變）的性質(zhì)。DGM（1，1）的參數(shù)估計(jì)與時(shí)間響應(yīng)式均來(lái)自差分方程，確保了模型參數(shù)設(shè)計(jì)與模型時(shí)間響應(yīng)式來(lái)源的一致性，因此DGM（1，1）模型能實(shí)現(xiàn)對(duì)齊次指數(shù)序列的無(wú)偏模擬。對(duì)于該工程，使用DGM（1，1）模型如下：

設(shè)置離散灰色預(yù)測(cè)模型DGM（1，1）模型。同時(shí)計(jì)算緊鄰均值生成序列，若為參數(shù)列，則離散灰色預(yù)測(cè)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列應(yīng)滿足相應(yīng)條件。

利用MATLAB 計(jì)算得出以下結(jié)果：

（1）輸入原始序列為：

Columns 1 through 3

0.24 0.5 0.81

Columns 4 through 6

1.24 1.66 2.11

Columns 7 through 9

2.57 3 3.53

Columns 10 through 12

4.02 4.57 4.99

Columns 13 through 15

5.42 5.9 6.41

2）DGM（1，1）模型的參數(shù)a、b分別為1.14 和1.31。

3）GM（1，1）模型誤差檢驗(yàn)表如表4 所示。

表4 DGM（1,1）模型誤差檢驗(yàn)數(shù)據(jù)表

4）平均相對(duì)模擬誤差（%）：24.85。

2.8 DGM(1,1)模型結(jié)果分析

通過(guò)報(bào)告中的數(shù)據(jù)表5 建立折線圖進(jìn)行分析。

表5 報(bào)告數(shù)據(jù)

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，精度檢驗(yàn)計(jì)算出方差為0.194，可以發(fā)現(xiàn)精度比較好，平均相對(duì)誤差為24.84%，模型精度相對(duì)來(lái)講一般。但是通過(guò)建立DGM（1，1）模型解決了經(jīng)典GM（1，1）模型的缺陷。GM（1，1）模型及DGM（1，1）模型的最大特點(diǎn)是單序列建模，不用考慮系統(tǒng)發(fā)展受到哪些因素的影響及其影響程度?；疑碚撜J(rèn)為，一個(gè)不確定性系統(tǒng)的發(fā)展與演化，受到諸多復(fù)雜外部環(huán)境與內(nèi)部因素的影響，在這樣的情況下，很難建立一個(gè)確定的因變量和自變量之間的函數(shù)關(guān)系去分析和預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)。但是，系統(tǒng)在因素的影響和制約下，其運(yùn)行結(jié)果是確定的，以本工程建筑物預(yù)測(cè)為例，變形受地下水位、地質(zhì)狀況和周?chē)h(huán)境等多種因素的影響，然而沉降所體現(xiàn)出的是一個(gè)確定的數(shù)值。結(jié)合本實(shí)例，在預(yù)測(cè)的時(shí)候可以將DGM（1，1）模型預(yù)測(cè)當(dāng)作相對(duì)精確的結(jié)果，將殘差改正后經(jīng)典的GM（1，1）模型預(yù)測(cè)當(dāng)作近似結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要介紹灰色模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用，其中包括變形監(jiān)測(cè)的內(nèi)容與方法以及灰色模型的理論方法。同時(shí)以某區(qū)域的一大型建筑物監(jiān)測(cè)為案例，研究了普通GM（1，1）模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用，以該工程的前10 期變形數(shù)據(jù)為原始數(shù)列建立模型，但是預(yù)測(cè)結(jié)果不理想，對(duì)于這種情況，對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，通過(guò)殘差的方法進(jìn)行修正得到新的殘差GM（1，1）修正模型，實(shí)現(xiàn)了模型精度的提高，DGM 改善缺陷驗(yàn)證了灰色模型在建筑物變形預(yù)測(cè)中的可靠性。