船舶動(dòng)力定位非線性模型預(yù)測(cè)控制

張泉, 郭晨

(大連海事大學(xué) 船舶電氣工程學(xué)院,遼寧 大連 116026)

動(dòng)力定位(dynamic positioning, DP)是指船舶不借助錨泊而單獨(dú)利用其自身安裝的推進(jìn)器,實(shí)現(xiàn)船位、航向或預(yù)設(shè)航跡的自動(dòng)保持。DP是船舶進(jìn)行海洋資源開發(fā)時(shí)利用的重要技術(shù)手段,因此DP控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直備受關(guān)注,諸多控制算法被應(yīng)用在DP控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,如反步法控制[1]、動(dòng)態(tài)面控制[2]、滑模控制[3-4]、自抗擾控制[5-6]、魯棒控制[7-8]、智能控制[9-10]等。但這些控制器在設(shè)計(jì)階段大多忽略了2個(gè)問(wèn)題:1)船舶推進(jìn)系統(tǒng)存在推力飽和以及推力變化率飽和約束,無(wú)法提供任意大小的推力及力矩;2)船舶進(jìn)行DP作業(yè)時(shí)極有可能要求船舶保持低速航行,即對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行約束。一旦忽略了上述問(wèn)題,控制效果將難以達(dá)到預(yù)期,甚至可能無(wú)法保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,最終導(dǎo)致船舶控制失效。

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control, MPC)由于可以顯式處理約束條件、優(yōu)化控制作用而備受人們關(guān)注。在DP領(lǐng)域中,挪威廠商Konsberg首次在DP系統(tǒng)中應(yīng)用了MPC算法[11]。同年,文獻(xiàn)[12]利用精確反饋線性化方法將移動(dòng)式海上平臺(tái)動(dòng)力定位數(shù)學(xué)模型中的非線性問(wèn)題和已知擾動(dòng)做線性化處理,并結(jié)合線性MPC控制算法對(duì)平臺(tái)進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于拉蓋爾函數(shù)的線性MPC算法,該算法可提高DP控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。相比于線性MPC控制器,非線性MPC控制器(nonlinear model predictive control, NMPC)能夠更好地處理非線性系統(tǒng),控制效果更佳。文獻(xiàn)[14]針對(duì)DP作業(yè)的非線性階段和線性階段分別設(shè)計(jì)了NMPC控制器和MPC控制器,并設(shè)計(jì)了切換函數(shù)實(shí)現(xiàn)不同作業(yè)階段的控制器切換。上述工作對(duì)MPC在DP領(lǐng)域的應(yīng)用做出了較深入的研究,但在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性方面鮮有討論,仍需要進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[15]中已經(jīng)指出,選擇合適的終端要素可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定性,但構(gòu)造終端要素目前尚未有統(tǒng)一的方法?；谏鲜龇治?本文針對(duì)DP控制問(wèn)題,提出了一種NMPC控制方法。引入多面體描述系統(tǒng)和線性矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMI)理論設(shè)計(jì)NMPC控制器中的預(yù)測(cè)模型和終端要素,通過(guò)性能指標(biāo)遞減法理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

船舶在動(dòng)力定位時(shí)船速較低,為方便問(wèn)題研究,此時(shí)可認(rèn)為船舶所受阻尼是線性的,所受的科里奧利向心力近似為0。假設(shè)船舶關(guān)于艏艉線左右對(duì)稱,則在不計(jì)風(fēng)、浪、流等環(huán)境影響下,只考慮三自由度運(yùn)動(dòng)的船舶動(dòng)力定位數(shù)學(xué)模型可表示為[11]:

(1)

(2)

(3)

(4)

2 船舶動(dòng)力定位NMPC控制器設(shè)計(jì)

2.1 模型預(yù)測(cè)控制原理

考慮非線性系統(tǒng):

x(k+1)=f(x(k),u(k))

(5)

式中:x(k)為k時(shí)刻狀態(tài)變量;u(k)為k時(shí)刻輸入變量;f(·)為非線性函數(shù)且f(0,0)=0。在k時(shí)刻從系統(tǒng)狀態(tài)x(k)出發(fā)的MPC問(wèn)題可以表示為:

(6)

條件A1終端約束集Ω是狀態(tài)約束空間的子集,并且是一個(gè)包含原點(diǎn)的閉集;

條件A2對(duì)于所有的x∈Ω,終端控制律uF(x)均滿足輸入約束,并且當(dāng)x=0時(shí),uF(x)=0;

條件A3當(dāng)x∈Ω時(shí),uF(x)能控制系統(tǒng)狀態(tài)軌跡一直保持在終端約束集中;

2.2 控制目標(biāo)和NMPC控制器設(shè)計(jì)

(7)

在考慮控制目標(biāo)、狀態(tài)和輸入約束以及確保系統(tǒng)穩(wěn)定性的情況下,MPC性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)為:

(8)

3 NMPC算法穩(wěn)定性分析

3.1 船舶多面體描述系統(tǒng)

多面體描述系統(tǒng)廣泛用于描述存在不確定性的非線性系統(tǒng),它是由一系列線性系統(tǒng)構(gòu)成的集合,且該集合能夠包裹原非線性系統(tǒng)。將式(7)在平衡點(diǎn)ξ=0附近線性化,其Jacobian矩陣

Jacobian矩陣中的a13、a23、a14、a24、a15、a25會(huì)隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化,表達(dá)式為:

(9)

而Jacobian矩陣中的其余元素均為常數(shù),受篇幅限制不再逐個(gè)列出。

對(duì)式(7)建立多面體描述系統(tǒng)時(shí),可根據(jù)上述參數(shù)的最大值和最小值來(lái)確定多面體的頂點(diǎn)。式(7)的多面體描述集合Π定義為:

(10)

(11)

(12)

3.2 終端要素的設(shè)計(jì)方法

定理1[17]對(duì)于式(11)所示的多面體描述系統(tǒng),如果存在正定對(duì)稱矩陣X∈R6×6和矩陣Y∈R3×6,對(duì)所有的i=(1,2,…,q)滿足矩陣不等式:

(13)

(14)

根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)可知,式(14)等價(jià)于矩陣不等式:

(15)

將式(15)分別左乘PT和右乘P,可得:

Q-HTRH=S≥0

(16)

(17)

(18)

式中:τ*(k+i|k)表示在k時(shí)刻預(yù)測(cè)系統(tǒng)在未來(lái)k+i時(shí)刻的最優(yōu)控制作用;ξ*(k+i+1|k)表示與τ*(k+i|k)相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)系統(tǒng)狀態(tài)。式(17)與式(18)相減可得:

(19)

(20)

定理2對(duì)于式(11)所示的多面體描述系統(tǒng),如果存在正定對(duì)稱矩陣X∈R6×6和矩陣Y∈R3×6,滿足下述矩陣不等式:

(21)

(22)

定理2的證明詳見文獻(xiàn)[17],本文不再贅述。綜上可知,只要求解出符合定理1～2的矩陣X和Y,就可以確定終端懲罰項(xiàng)的權(quán)重矩陣P和終端控制律中的反饋矩陣H。

(23)

s.t.α>0,X0=αX,Y0=αY

文獻(xiàn)[19]指出當(dāng)X0為正定矩陣時(shí),log det(X0)是凸函數(shù)。因此,可利用凸優(yōu)化求解器和LMI工具箱對(duì)式(23)進(jìn)行求解,得到α、X和Y,進(jìn)而確定3個(gè)終端要素的具體表達(dá)形式。

4 數(shù)字仿真算例及結(jié)果分析

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)的船舶動(dòng)力定位NMPC控制器的性能,對(duì)一艘供給船(船長(zhǎng)76.2 m,滿載排水量4 591 t)在Matlab環(huán)境下進(jìn)行仿真。該船的水動(dòng)力參數(shù)詳見文獻(xiàn)[20]。

NMPC控制器參數(shù)設(shè)置如下:預(yù)測(cè)時(shí)域N=50,采樣時(shí)間h=0.5 s,權(quán)重矩陣Q=diag{5×109,1×1010,5×1012,1,1,1},權(quán)重矩陣R=diag{1,1,0.001}。利用YALMIP工具箱離線求解式(23)可得α=2.02×1020,P=diag{5×108,1×1010,5.1×1012, 9×1019,2×1020,6.6×1023}。

圖1～2是船舶不受外界擾動(dòng)時(shí)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線?？傮w來(lái)看,本文設(shè)計(jì)的NMPC控制器能夠控制船舶以較快的速度到達(dá)期望位置并穩(wěn)定在期望狀態(tài)上,穩(wěn)定時(shí)間大約為140 s,這表明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外,從圖1中還可以看出航向ψ快速穩(wěn)定在參考值上且沒(méi)有超調(diào),穩(wěn)定時(shí)間約為40 s。這是因?yàn)榇霸趯?shí)際進(jìn)行動(dòng)力定位時(shí),一般都會(huì)優(yōu)先穩(wěn)定住航向后再控制船舶的其他狀態(tài),故本文將航向ψ的權(quán)重設(shè)置的較大。圖3是船舶推力與力矩的響應(yīng)曲線,從圖中可以看出推力及力矩的大小未超出設(shè)定范圍,并且在控制期間內(nèi)推力及力矩變化平緩,符合海洋工程實(shí)踐需求。

圖1 無(wú)外界擾動(dòng)時(shí)船舶位置和航向響應(yīng)曲線Fig.1 Position and course curves with no disturbance

圖2 無(wú)外界擾動(dòng)時(shí)船舶速度狀態(tài)u、v、r響應(yīng)曲線Fig.2 u, v, r curves with no disturbance

圖4 有擾動(dòng)下船舶位置和航向響應(yīng)曲線Fig.4 Position and course curves with disturbances

圖5 有擾動(dòng)下船舶速度狀態(tài)u、v、r響應(yīng)曲線Fig.5 u, v, r curves with disturbances

圖6 有擾動(dòng)下船舶推力及力矩響應(yīng)曲線Fig.6 Control input curves with disturbances

5 結(jié)論

1)本文提出的NMPC方法能夠在較短時(shí)間范圍內(nèi)將船舶準(zhǔn)確地控制在期望狀態(tài)上,同時(shí)滿足實(shí)際作業(yè)中對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和推力的限制要求;

2)在動(dòng)力定位過(guò)程中存在干擾時(shí),本文提出的控制器亦能表現(xiàn)出良好的控制性能,具備本質(zhì)魯棒性。

本文建立多面體描述系統(tǒng)時(shí)頂點(diǎn)矩陣較多,這導(dǎo)致求解LMI矩陣時(shí)計(jì)算量較大,有時(shí)甚至無(wú)法求出合適的解。后續(xù)將研究如何簡(jiǎn)化LMI矩陣的求解問(wèn)題。