基于外置光闌針孔相機的高精度偏折測量技術(shù)

葉璐，張祥朝，王軍華，徐敏，鄭列華

（1 復(fù)旦大學(xué) 上海超精密光學(xué)制造工程中心，上海 200438）

（2 中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海 200083）

0 引言

隨著光學(xué)系統(tǒng)分辨率不斷提高，光學(xué)鏡面面型的復(fù)雜度和加工精度要求也隨之提高，從而導(dǎo)致檢測難度大、檢測時間長。傳統(tǒng)的非球面檢測方法［1，2］可以分為點掃描檢測法和干涉檢測法兩大類。光學(xué)非球面通常在研磨階段采用以三坐標為代表的駐點掃描三維輪廓測量，此方法檢測時間長、成本高、被測鏡的大小受限于測量儀器的結(jié)構(gòu)尺寸。在光學(xué)加工的拋光階段，通常采用高精度的干涉測量法，但也存在著弊端。由于干涉量程的限制，不同參數(shù)的非球面需要一個特定的零位補償器［3］輔助測量，導(dǎo)致測量成本高，并且對于非球面度比較大的情況，全口徑出光較難。尤其是研磨階段到拋光階段的過渡測量，現(xiàn)有方法均無法同時滿足測量精度和動態(tài)范圍的要求。

偏折測量技術(shù)是近年來新興的三維光學(xué)檢測技術(shù)。該方法將特定編碼的圖樣顯示在屏幕上，用相機記錄被測面反射的圖像，進而重構(gòu)被測面的三維形貌。國內(nèi)四川大學(xué)［4］、長春光機所［5］、復(fù)旦大學(xué)［6，7］等都對該技術(shù)展開了全方位的研究，并實現(xiàn)了多種鏡面物體的測量。國外，SU P 等［8，9］提出了基于相位測量偏折術(shù)的軟件配制光學(xué)檢測系統(tǒng)（Software Configurable Optical Test System，SCOTS），目前有報道顯示他們已成功將SCOTS 運用于巨型麥哲倫（Giant Magellan Telescope，GMT）主鏡子鏡（RMS 為0.4 μm）的檢測。

偏折測量具有動態(tài)范圍大、抗噪能力強、測量速度快、硬件成本低的優(yōu)勢，且不存在干涉測量的量程限制問題，能明確指導(dǎo)修正加工，減少面型迭代次數(shù)，因此適用于車間中的復(fù)雜工況測量。但是偏折測量又有其自身的局限性，測量精度直接依賴于系統(tǒng)中各個元件相對位置的計算準確性，即幾何標定精度。偏折測量通常將相機視為針孔相機模型，拍攝標定板在不同位姿下的圖片，通過張正友標定法［10］獲取相機內(nèi)參和外參，通過軟件計算獲取相機CCD 上每個像素的坐標。傳統(tǒng)的相機標定方法過程復(fù)雜，受標定板精度的影響較大，并且相機標定和幾何標定一般是分別獲得的，坐標系的轉(zhuǎn)換過程中也會存在誤差的傳遞和耦合。大多數(shù)工業(yè)相機鏡頭為了消除像差采用對稱結(jié)構(gòu)，孔徑光闌位于鏡組中間，為了直接獲得相機光闌中心坐標（也叫光心坐標），需在鏡頭前添加外置光闌，雖然可以直接通過測量獲取光心坐標，可是會影響相機的視場角，給測量帶來不便。偏折測量需要一個理論曲面模型來估計整個表面的測量點的位置，一般的初始模型為了方便計算采用平面模型或者球面模型，但是不確定的表面模型往往對計算法線產(chǎn)生較大的誤差，從而影響測量精度［11，12］。

為了解決以上問題，本文提出了一種針孔相機鏡頭的設(shè)計方法，能夠快速、準確的獲取光心坐標并可以實現(xiàn)簡單便捷的反射光線標定，適用于多種應(yīng)用場景的標定。

1 基本原理

偏折測量技術(shù)是一種獲得光學(xué)表面斜率的方法，測量原理圖如圖1 所示，液晶顯示器（Liquid Crystal Display，LCD）顯示編碼的結(jié)構(gòu)光圖樣，相機采集經(jīng)過鏡面反射后畸變的條紋，根據(jù)反射定律，入射光線和反射光線的角平分線為鏡面被測點的法線，進而得到被測鏡表面的梯度，而表面面型可通過表面斜率積分來擬合重構(gòu)。

圖1 偏折測量原理圖Fig.1 Diagram of deflectometric measurement

由光線的反射定律，可以得到關(guān)系式［8，9］

式中，（xc，yc，zc）為相機光心坐標，由幾何標定獲得；xm和ym為被測點的橫坐標，由每個相機像素與光心相連所得反射光線與待測表面計算交點得到；（xs，ys，zs）為對應(yīng)的屏幕像素坐標，可以通過相移算法獲得；dm2s和dm2c分別為被測點到屏幕像素點和被測點到相機光心的空間距離，也是通過精確的幾何標定來獲得；W(xm，ym)實際上是未知的，初始值由理想的設(shè)計參數(shù)代替，在迭代過程中替換為當(dāng)前重構(gòu)的值；gx(xm，ym)和gy(xm，ym)是測量得到的被測點在x和y方向上的斜率。

如果光源為LCD 屏投射四步相移條紋，偏折術(shù)測量系統(tǒng)的分辨率［13］表示為

式中，Δz為偏折測量系統(tǒng)的z坐標分辨率，NA 為相機的數(shù)值孔徑，Δφ為相位分辨率，文獻［13］給出經(jīng)驗值為2π/400，xpix為相機像素大小，對于像素尺寸為7 μm 和F#為2 的相機，由式（2）可以計算，系統(tǒng)分辨率約等于4 nm，因此，偏折術(shù)測量方法的檢測精度可以達到納米級測量分辨率。

根據(jù)圖1 的測量原理，可以推導(dǎo)出

式中，Δz為被測點局部的高度變化值，xcam為相機的空間分辨率，即每個像素對應(yīng)的鏡面的大小，tanα為被測點的斜率。外置光闌中心坐標由三坐標測量，測量誤差可以控制在0.02 mm 之內(nèi)，若光闌到被測鏡的距離為1 m，鏡面分辨率為0.1 mm，則由于光闌位置測量誤差導(dǎo)致的被測點斜率偏差為20 μrad，根據(jù)式（3），被測點的高度誤差為2 nm。

若光闌大小為1 mm，所有進入相機的光線在光闌位置的坐標橫向偏差最大為0.5 mm，是測量誤差的25 倍，根據(jù)上面的推導(dǎo)可以計算出，相機邊緣視場的光線由于光闌大小引起的被測點的高度誤差為50 nm。因此，可通過增加被測面到相機的距離來提高測量精度。

2 實現(xiàn)過程

2.1 針孔相機鏡頭設(shè)計

本文設(shè)計了一款光闌位于鏡頭外部的可見光相機鏡頭，這樣設(shè)計的好處是不僅可以免去商業(yè)鏡頭復(fù)雜的相機標定，而且可以通過光闌的物理位置快速獲取相機光心坐標，提高光心坐標點的獲取精度。通過計算分析，此鏡頭適用于大多數(shù)光學(xué)反射鏡的偏折測量。實驗室原有的一臺工業(yè)相機，相機參數(shù)如表1 所示，相機靶面大小為14.18 mm×10.37 mm，對角線約為17.56 mm。

表1 相機參數(shù)列表Table 1 Camera specification list

光學(xué)加工車間中常見的反射鏡F#一般大于1.3，為了減小所需屏幕的尺寸，在偏折測量光路中一般將相機放置在被測鏡曲率中心附近，通過式（4）計算相機焦距。其中D為被測鏡口徑，R0為被測鏡頂點曲率半徑，d為相機靶面大小，f為相機焦距。

相機鏡頭的像面大小要與相機感光面的大小兼容，尺寸不匹配的話，會影響邊緣視場的像質(zhì)。在這里設(shè)計相機鏡頭焦距為22 mm，視場角±15°，基本滿足本實驗室加工中所有反射鏡的偏折測量要求。在光闌前置的設(shè)計方案中，光學(xué)結(jié)構(gòu)失去對稱性，導(dǎo)致像差矯正困難，最終優(yōu)化結(jié)果為四片式結(jié)構(gòu)，其中一片為雙膠合鏡片，需要注意考慮相機探測器的保護窗厚度。設(shè)計光路如圖2 所示。

圖2 相機鏡頭光路圖Fig.2 Camera lens layout

光闌位于第一片鏡片之前4 mm 的位置。改變光闌的大小不影響鏡頭的視場角，僅僅改變?nèi)肷涞界R頭內(nèi)部的光通量。

鏡頭系統(tǒng)的點列圖如圖3 所示，隨著光闌口徑縮小，屏幕的分辨力得到提升，即數(shù)值孔徑越小景深越大，有利于保證條紋成像的清晰度，這對測量是有利的，但是同時，光闌口徑減小，光通量隨之減小，造成圖像信噪比的下降，而通過額外的照明來增加光通量，則會導(dǎo)致產(chǎn)生雜光，影響面形的重構(gòu)精度。因此，實驗中在不過曝的前提下，采用增加曝光時間的方法來改善圖像清晰度。

圖3 相機鏡頭點列圖Fig.3 Camera lens standard spot diagram

鏡頭的成像質(zhì)量好壞是指顯示圖樣能否清晰成像或者有沒有失真情況，當(dāng)各視場的彌散斑面積均小于艾里斑時，表明系統(tǒng)具有較高的成像質(zhì)量，偏折術(shù)中主要關(guān)注鏡頭的畸變，一般的商業(yè)鏡頭畸變小于2%，并且畸變可通過相機標定及軟件算法進行后期補償，這里的光學(xué)系統(tǒng)畸變設(shè)計值為0.707%，如圖4 所示，可以滿足使用要求。

圖4 相機鏡頭畸變Fig.4 Camera lens distortion

鏡頭的機械結(jié)構(gòu)如圖5所示，在鏡頭的最前端做一個可更換光闌的螺紋結(jié)構(gòu)，方便更換不同大小的光闌，光闌的外形設(shè)計為一個較長的圓柱，方便采用三坐標或者激光跟蹤儀等外部測量設(shè)備獲取光闌中心坐標。根據(jù)被測鏡的參數(shù)不同，相機的工作距離也有相應(yīng)的調(diào)整。小于最小工作距離或大于最大工作距離的系統(tǒng)一般都不能清晰成像，設(shè)計調(diào)焦結(jié)構(gòu)，使鏡頭組與相機感光面之間可通過螺紋結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)，來適應(yīng)不同曲率的被測鏡。

圖5 相機結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Camera structure model diagram

2.2 幾何標定

如圖1 所示，偏折測量系統(tǒng)的幾何標定主要是確定相機、屏幕以及被測鏡之間的相對位姿關(guān)系，并且將三者統(tǒng)一至以被測鏡中心點建立的世界坐標系中。規(guī)定坐標系的轉(zhuǎn)換均使用右手坐標系，其中固定一個旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)方向從固定軸的反方向觀察，順時針為旋轉(zhuǎn)逆向，逆時針為正向。

若坐標系繞著X軸旋轉(zhuǎn)角度θx，繞著Y軸旋轉(zhuǎn)角度θy，繞著Z軸旋轉(zhuǎn)角度θz，則坐標系轉(zhuǎn)換前后的關(guān)系可以用式（5）和式（6）來表示。

以羅德里格矩陣的變換理論為基礎(chǔ)［14］，任意兩個坐標系之間需要已知三個不共線的點坐標，即可完成坐標系之間的轉(zhuǎn)換，在被測鏡工裝上添加標志物，用三坐標或激光跟蹤儀等外部設(shè)備測量標志物的幾何位置，構(gòu)建出空間三個不共線的點坐標。相機光心坐標可通過外置光闌直接確定，屏幕坐標通過影像儀獲取，依靠已知點的像素坐標轉(zhuǎn)換至工件坐標系，使屏幕和相機都轉(zhuǎn)換至工件坐標系下，實現(xiàn)坐標系的統(tǒng)一。

2.3 反射光線標定與被測點求解

為了標定相機光線方向，即測量光路中反射光線的方向，本文采用一種簡單便捷的方法，運用高精度的相移算法來確定反射光線方向，原理如圖6 所示。

圖6 光線方向標定Fig.6 Calibration diagram of rays

反射光線求解過程如圖7 所示。

圖7 反射光線與被測點的求解過程Fig.7 The calculating process of reflected rays and measured points

相移法計算的相位值在( -π，π)之間折疊，并不是真正的相位，采用相位展開算法，可得到連續(xù)光滑的相位值，本文采用標志點的方法，從標志點的像素點開始遍歷，比較前后兩個相位值的大小，如果前后相位之差超過π，則說明出現(xiàn)了截斷相位，判斷條紋周期k，再加上或減去2kπ 使其回歸到真實周期。

測量光路中每一個相機像素對應(yīng)的光線方向可以用式（7）來表示。

式中，xc，yc，zc為相機光闌中心坐標，xs，ys，zs為每一個相機像素對應(yīng)的屏幕像素坐標，l，m，n為每一個相機像素對應(yīng)的方向向量，代表了反射光線的方向。

由空間直線對稱式方程很容易導(dǎo)出空間直線參數(shù)方程，由式（8）表示，其中t為參數(shù)。

每一個相機像素對應(yīng)的反射光線可表示為

若被測面為二次非球面，則被測面可以表示為

式中，c=1/R0，R0為非球面頂點曲率半徑，k為非球面二次曲率系數(shù)，聯(lián)立式（9）和式（10），有

從式（11）可看出t為一元二次方程的解，將t代入式（9），即可求出每一個相機像素對應(yīng)的被測點坐標矩陣。

空間光學(xué)系統(tǒng)中，由于離軸反射系統(tǒng)無色差、無遮攔的優(yōu)點，大口徑的離軸反射鏡常常出現(xiàn)在光學(xué)加工車間，對此類鏡面面型，無法用簡單的表達式來表示，因此被測點坐標的計算難度增大，若用平面或球面模型，導(dǎo)致計算法線的誤差較大，影響面型重構(gòu)精度。離軸非球面的坐標系XYZ和母鏡坐標系X′Y′Z′之間的關(guān)系如圖8 所示。

圖8 離軸非球面的坐標系Fig.8 Coordinates of off-axis aspheric surface

通過公式推導(dǎo)［15］，離軸反射鏡面在坐標系XYZ中的表達式可以表示為

令a=1+ksin2θ，b=1+kcos2θ，代入式（9），可得

從式（13）可看出t為一元二次方程的解，將t代入式（9），即可求出每一個相機像素對應(yīng)的被測點坐標矩陣。此公式推導(dǎo)為被測點坐標的精確解，有利于重構(gòu)精度的提升。

3 實驗驗證

實驗中被測鏡為一個凹拋物面鋁鏡，由單點金剛石車床加工，口徑為110 mm，曲率半徑為800 mm，屏幕為7.9 英寸（1 英寸=2.54 cm）的iPad mini2，屏幕分辨率為2 048×1 536，相機型號為Manta G-1236，分辨率為4 112×3 008，像素大小為3.45 μm×3.45 μm，鏡頭焦距22 mm，光闌直徑為1 mm，偏折測量實驗裝置如圖9 所示，相機和屏幕分別放在被測鏡曲率中心附近，調(diào)焦使相機采集的條紋具有清晰的對比度。

圖9 實驗裝置Fig.9 Experimental setup

用影像儀標定屏幕像素坐標系下的像素坐標以及屏幕工裝坐標系下的像素坐標，如圖10 所示，通過第2.2 節(jié)的坐標轉(zhuǎn)換公式，通過點亮已知像素并測量在屏幕像素坐標系與屏幕工裝坐標系的坐標值，即可計算兩個坐標系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，實現(xiàn)坐標系的轉(zhuǎn)換。如圖9 所示，鏡子工裝上安裝了3 個發(fā)黑的鋁塊，作為參考點，用三坐標測量工件坐標系下三個鋁塊的坐標值以及屏幕坐標系下三個鋁塊的坐標值，確定兩個坐標系之間的變換關(guān)系，相機光心坐標可以直接測量獲得。

圖10 屏幕像素坐標標定Fig.10 Calibration of screen pixel coordinates

相機采集經(jīng)過被測鏡反射的畸變條紋后，用三坐標進行高精度的幾何標定，將屏幕移至相機與被測鏡之間，如圖11 所示，按2.3 節(jié)中的方法標定光線的反射方向，并求解被測點坐標。

圖11 反射光線方向的標定Fig.11 Calibration of reflected light direction

將以上步驟獲得的數(shù)據(jù)代入式（1），求得被測點x和y方向的斜率，采用區(qū)域波前重構(gòu)獲得被測鏡的表面面型。圖12 對SCOTS 法的面型重構(gòu)結(jié)果進行了詳細的對比，和Luphscan 輪廓儀測量結(jié)果在一個數(shù)量級，面型高低分布也基本相同，面型分布有較大的離焦和像散證明了這些像差為被測鏡本身的面型誤差而非測量引起的誤差，為了進一步對比分析，采用Zygo 干涉儀用平面鏡自準的方式來測量拋物面面型，平面鏡自身的面形精度RMS 優(yōu)于1/80λ（λ=632.8 nm），干涉儀采用F數(shù)為5.1 的球面鏡頭，測量光路中平面鏡中孔遮攔大小為22 mm，因為干涉儀無法測出光焦度，因此SCOTS 重構(gòu)數(shù)據(jù)去除Zernike 項Z1～Z4后，再去除中心22 mm 后與干涉儀數(shù)據(jù)對比，干涉儀測試RMS 為0.121λ，SCOTS 法重構(gòu)結(jié)果為0.131λ，可以證明，通過高精度的幾何標定，偏折測量可以達到干涉儀同等測試精度。

圖12 重構(gòu)結(jié)果Fig.12 Reconstruction results

偏折測量數(shù)據(jù)的重構(gòu)處理僅僅采用一次面型重構(gòu)，沒有采取迭代算法，證明了反射光線標定的準確性以及被測點求解的準確性，面型重構(gòu)的結(jié)果可以達到和LuphoScan 相當(dāng)?shù)臏y量精度，并且可以測量出離焦和像散等低階誤差，說明幾何標定精度較高。

為了驗證測量精度，采用偏折術(shù)的重構(gòu)結(jié)果分別與Luphoscan 和激光干涉儀測試結(jié)果逐像素做差，重構(gòu)誤差如圖13 所示，均表現(xiàn)為高級彗差。與Luphoscan 的面型偏差為0.043λ（27 nm）RMS，在鏡子的中心點面型誤差有局部高點，這是因為Luphoscan 測量為螺旋線掃描，最終的面型數(shù)據(jù)由插值算法獲取，在局部陡度位置會產(chǎn)生微量的偏差，面型逐像素做差的過程中由于微量的位置錯位導(dǎo)致中心區(qū)域誤差較大。與激光干涉儀的面型偏差為0.032λ（20 nm） RMS，經(jīng)分析，偏折術(shù)測量光路的基準位于被測鏡的頂點位置，而激光干涉儀測量光路中，三維空間的鏡面成像到二維的探測器表面，此過程產(chǎn)生畸變，因此采集的面形圖基準有可能偏離非球面的頂點，兩種測量方法的基準存在偏差，因此導(dǎo)致面型做差產(chǎn)生誤差，根據(jù)實驗結(jié)果有理由認為實際上測量誤差應(yīng)該小于20 nm，并且證明此精度不僅可以滿足光學(xué)鏡面從研磨到拋光階段的測量精度需求，而且可以滿足更高精度的測量需求。

圖13 不同測量方法的比較Fig.13 Comparison of different measurement methods

偏折術(shù)測量的是待測面的梯度，不受被測鏡表面對稱性與非球面度的影響，不僅可以測量球面、非球面，也可以測量離軸非球面與自由曲面。為了驗證離軸非球面交點公式推導(dǎo)的準確性，采用本次實驗測量數(shù)據(jù)，取鏡面離軸區(qū)域數(shù)據(jù)，x方向離軸量設(shè)為27.5 mm，離軸區(qū)域設(shè)為口徑50 mm 的圓形區(qū)域，找出屏幕像素坐標、計算反射光線的屏幕坐標與被測鏡離軸區(qū)域一一對應(yīng)的數(shù)據(jù)，將坐標系由初始的同軸拋物面的中心轉(zhuǎn)換至被測鏡離軸區(qū)域中心，采用坐標轉(zhuǎn)換后的相機光心數(shù)據(jù)和標定反射光線的屏幕數(shù)據(jù)連線，帶入式（12）和式（13）求解離軸拋物面被測點坐標，離軸區(qū)域的重構(gòu)面形如圖14（a）所示。同軸拋物面的重構(gòu)面形取離軸區(qū)域后面形如圖14（b），兩幅圖面形分布和數(shù)量級基本一致，說明離軸鏡被測點求解公式正確。

圖14 離軸區(qū)域重構(gòu)結(jié)果對比Fig.14 Comparison of reconstruction results of off-axis paraboloid

4 結(jié)論

本文闡述了偏折測量系統(tǒng)中針孔相機的設(shè)計理念和結(jié)果，采用光闌中心坐標結(jié)合高精度的相移算法來確定反射光線方向，實現(xiàn)了相機校準和幾何校準的融合。該方法操作簡單、結(jié)果可靠、實驗數(shù)據(jù)表明偏折測量精度與干涉測試相當(dāng)，同時它結(jié)合了干涉儀與三坐標各自的優(yōu)點，可測量球面、非球面、自由曲面等多種面型，且動態(tài)范圍大、測量速度快、硬件成本低、抗噪能力強，可滿足光學(xué)車間復(fù)雜工況下鏡面的測量需求，對光學(xué)加工有重要的指導(dǎo)意義。