特征擾動頻率辨識的自適應(yīng)傾斜擾動抑制技術(shù)

吳紅梅，王 琛，馮 念，文 利，唐 濤*

1 中國科學(xué)院光場調(diào)控科學(xué)技術(shù)全國重點實驗室，四川 成都 610209；

2 中國科學(xué)院光束控制重點實驗室，四川 成都 610209；

3 中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；

4 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；

5 航天系統(tǒng)部裝備部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610000

1 引言

傾斜校正系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于高分辨率望遠(yuǎn)鏡、自由空間光通信等精密光學(xué)系統(tǒng)中，實現(xiàn)穩(wěn)像、光束穩(wěn)定等功能[1-2]。如在望遠(yuǎn)鏡中，傾斜校正系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)像時會受到擾動的影響，其中引起光束抖動的擾動普遍具有未知性和時變性[3]。因而抑制傾斜校正系統(tǒng)中的時變擾動對于提升光學(xué)系統(tǒng)視軸穩(wěn)定精度至關(guān)重要。目前，傾斜校正系統(tǒng)中抗擾方法主要集中在比例積分(PI)控制、擾動前饋(DFF)控制和擾動觀測器(DOBC)控制[4]。王等人提出基于SBG 的雙擾動捷聯(lián)控制進(jìn)行抗擾，提升穩(wěn)定精度。張等人提出一種新型控制方法，該方法既能進(jìn)行隔振抗擾，又能進(jìn)行高精度跟蹤[5-6]。但是這些方法對擾動的抑制能力有限，難以抑制時變隨機擾動。為了抑制傾斜校正系統(tǒng)中的時變擾動，許多自適應(yīng)控制方法被提出。張等人在光電穩(wěn)像平臺中提出了無跡卡爾曼濾波擾動力矩在線估計方法，結(jié)合前饋控制對于擾動力矩進(jìn)行自適應(yīng)補償[7]。在望遠(yuǎn)鏡中，有研究者針對時變擾動提出了基于頻譜分離和優(yōu)化算法的LQG控制，該方法在撫仙天文臺的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中得到驗證，并證明了系統(tǒng)在線識別性能的實時性[8]。但是這兩種方法需要精確的建模，這是一個耗時的過程。因此為了進(jìn)一步提高穩(wěn)像性能，阮等人提出基于在線功率譜密度估計的自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制，實現(xiàn)對一個或多個變化擾動的實時抑制，并且該方法不依賴精確的模型[9]。在其它高精度控制系統(tǒng)中，有采用基于頻率分離的自適應(yīng)前饋控制和基于狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)滑模控制對時變擾動進(jìn)行抑制[10-11]。由上述方法可知，自適應(yīng)控制的核心是參數(shù)辨識算法和控制結(jié)構(gòu)。參數(shù)辨識是對擾動信號的頻率、幅值、相位等特征進(jìn)行辨識[12-13]。目前辨識算法多數(shù)基于頻譜分析，如基于DFT、FFT 等的估計方法。這些自適應(yīng)控制算法是全頻域搜索，計算量大、耗時較長[14-15]。另一類自適應(yīng)算法從時域?qū)μ卣鲾_動頻率進(jìn)行估計，對實際采集到的信號基于最小均方(LMS)算法進(jìn)行降噪，再提取主峰頻率估計值[16]。Yuan 等人為抑制波浪擾動的影響，提出基于最小二乘辨識算法對波峰頻率進(jìn)行估計，最后仿真結(jié)果表明能對波峰頻率進(jìn)行準(zhǔn)確估計[17]。由于LMS 算法計算復(fù)雜度不高，近年來有較多基于LMS 算法的自適應(yīng)陷波頻率辨識方法的研究。如文獻(xiàn)[18-19]等采用自適應(yīng)陷波的方法對擾動頻率進(jìn)行估計，較為簡單和快速。

如上所述，在傾斜校正系統(tǒng)中進(jìn)行時變擾動抗擾時，多數(shù)自適應(yīng)控制算法進(jìn)行的是全頻域的搜索方式并且需要精確的建模，參數(shù)辨識部分的算法計算量大，調(diào)整的控制器參數(shù)較多，復(fù)雜且耗時。然而基于Youla 參數(shù)化控制的自適應(yīng)算法不依賴精確的模型，可以直接調(diào)整控制器的內(nèi)模，降低了自適應(yīng)控制器的復(fù)雜度，不涉及對控制器進(jìn)行復(fù)雜的重新設(shè)計。同時基于Youla 參數(shù)化的控制方法是一種優(yōu)化誤差的方法，能保證動態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性[20-21]。從辨識算法來說，基于LMS 的時域辨識算法簡單、快速，為控制器參數(shù)的快速調(diào)整提供了保障。因此，本文提出一種基于LMS 的特征擾動辨識與Youla 參數(shù)化控制結(jié)合的自適應(yīng)擾動抑制方法，以提高自適應(yīng)擾動抑制的速度，提升傾斜校正系統(tǒng)的閉環(huán)性能。

2 傾斜校正系統(tǒng)自適應(yīng)控制

在傾斜校正系統(tǒng)中，利用傳統(tǒng)的控制方法進(jìn)行閉環(huán)控制后系統(tǒng)中仍然存在兩種擾動難以抑制。這兩種擾動主要表現(xiàn)為幅值小、頻帶寬的擾動和大幅度窄帶擾動。為此Ruan 等人采用Youla 參數(shù)化控制，將控制器F(z)分為低通濾波器和帶通濾波器兩部分，對低頻擾動和大幅窄帶擾動進(jìn)行抑制。此結(jié)構(gòu)簡單且易于保持系統(tǒng)穩(wěn)定性，但是該方法不能應(yīng)對時變擾動[22]。因此本文基于頻率分割將帶通濾波器設(shè)計為自適應(yīng)控制器Q(z)，以應(yīng)對時變的大幅、窄帶尖峰干擾。同時兼顧了低通濾波器的優(yōu)勢，能對低頻擾動和大幅窄帶擾動進(jìn)行抑制。傾斜校正系統(tǒng)是基于圖像閉環(huán)的控制系統(tǒng)，如圖1 所示，由中心控制器、擴(kuò)展控制器、驅(qū)動器、傾斜鏡、圖像傳感器組成。其中圖像傳感器用于檢測目標(biāo)質(zhì)心，以提供受控的傾斜誤差。在擴(kuò)展控制器部分本文提出利用自適應(yīng)算法對特征擾動的主頻信號進(jìn)行在線快速辨識，調(diào)節(jié)自適應(yīng)控制器Q(z)的參數(shù)，與中心控制器共同衰減傾斜誤差。

圖1 自適應(yīng)傾斜校正系統(tǒng)Fig.1 Adaptive tip-tilt correction system

如圖2 所示，為本文所提出的自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制結(jié)構(gòu)，該控制方法的自適應(yīng)部分將Youla 參數(shù)化控制與自適應(yīng)頻率辨識相結(jié)合。如圖1 所示，由于光路中和平臺帶來的擾動會影響閉環(huán)誤差，因此頻率在線辨識部分對閉環(huán)誤差e(k)進(jìn)行估計，用估計所得的參數(shù)對控制器Q(z)進(jìn)行調(diào)整。中心控制C(z)是傳統(tǒng)的比例積分控制，M(z)為低通濾波器。將控制器Q(z)與低通濾波器M(z)合并為擴(kuò)展控制器K(z)，則該控制結(jié)構(gòu)的擾動抑制函數(shù)為

式中：K(z)=Q(z)+M(z)，P(z)是等效被控對象特性，z-n是系統(tǒng)延時，z-m為等效延時。原始閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的擾動抑制函數(shù)D′(z)=。若獲得系統(tǒng)模型與系統(tǒng)延時，則有：

此時D′′(z)=[1-K(z)z-m]D′(z)，因此若要提高系統(tǒng)擾動抑制能力，即實現(xiàn) 1-K(z)z-m的最小化。在理想情況下，當(dāng) 1-K(z)z-m=0時，閉環(huán)誤差可以被完全消除。但只有在中低頻條件下才較容易獲得系統(tǒng)模型，所以擴(kuò)展控制器K應(yīng)為一個低通濾波器，使接近于0。此時該控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中：

由式(3)可得特征多項式為

式(5)滿足小增益定理，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

針對傾斜校正系統(tǒng)中高頻擾動和低頻擾動的抑制，利用頻率分割的方法，控制器Q(z)與M(z)并聯(lián)，K(z)=Q(z)+M(z)。當(dāng)只有低頻擾動時，M(z)為低通濾波器，此時 1-K(z)z-m表現(xiàn)為 1-M(z)z-m，整體呈現(xiàn)高通濾波效果，可以對低頻擾動進(jìn)行有效抑制且滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性；對高頻擾動進(jìn)行抑制時，提高擾動抑制能力的主要任務(wù)是對自適應(yīng)控制器Q(z)進(jìn)行設(shè)計，即最小化 1-Q(z)z-m，以抑制時變的窄帶尖峰干擾。

3 基于閉環(huán)誤差的特征頻率辨識

自適應(yīng)傾斜校正系統(tǒng)中，對時變窄帶尖峰擾動的中心頻率進(jìn)行快速辨識是自適應(yīng)控制的關(guān)鍵。在頻率辨識的方法中，最直接且準(zhǔn)確的方法是進(jìn)行傅里葉變換。如FFT 算法，但是傅里葉變換運算復(fù)雜，并且需要采取一定的數(shù)據(jù)點，耗時較長。因此，本文從時域出發(fā)提出基于閉環(huán)誤差的特征擾動頻率辨識算法，理論上只需獲取三個數(shù)據(jù)點就能得到該時刻的頻率辨識值。假設(shè)主導(dǎo)擾動為余弦信號S(k)，則：

其中：I、ω、φ分別為未知閉環(huán)誤差信號的幅值、角頻率和初始相位。FS為采樣頻率，f為待辨識的擾動信號頻率。對S(k)進(jìn)行等間隔采樣，再利用離散的相鄰數(shù)據(jù)點S(k-2)、S(k-1)、S(k)求出關(guān)于擾動信號頻率的方程。根據(jù)三角恒等變換cosα+cosβ=可得：

然而在實際系統(tǒng)中，待辨識信號混雜了噪聲，這對于所取數(shù)據(jù)點具有很大的影響。直接采用式(7)難以準(zhǔn)確獲取特征擾動頻率。為了最小化估計誤差，對時變窄帶尖峰擾動的中心頻率進(jìn)行準(zhǔn)確辨識，采取如下處理，假設(shè)實際信號為V(k)，則有：

由式(8)可得：

γ=2cosω，為本文的特征擾動頻率辨識參數(shù)。

采用LMS 算法，建立如下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

此時目標(biāo)函數(shù)梯度為

根據(jù)梯度迭代搜索公式可得 γ的下一時刻更新值：

由于在傾斜校正系統(tǒng)中是對閉環(huán)誤差信號e(k)進(jìn)行估計，因此式(13)變?yōu)?/p>

其中，ζ=2μ為步長因子且ζ＞0。結(jié)合式(9)、(14)獲得 γ，其中步長因子 ζ的選取十分重要。由式(9)知γ=2cosω，則ω=arccos(0.5γ)，因此：

當(dāng)系統(tǒng)采樣頻率為2000 Hz 時可得：

由式(16)可得出，步長因子 ζ＜0.0001，即 0＜ζ＜0.0001時，擾動中心頻率變化小于1 Hz；步長因子 ζ＜0.00001，即 0＜ζ＜0.00001時，擾動中心頻率變化小于0.1 Hz。在此范圍內(nèi)ζ 越小，辨識越準(zhǔn)確但收斂速度越慢；ζ 越大，辨識速度越快但會導(dǎo)致辨識準(zhǔn)確度變差。因此，在工程應(yīng)用中應(yīng)考慮辨識精度以及實際系統(tǒng)噪聲等因素選擇合適的步長[23-24]。

4 自適應(yīng)控制器Q 的設(shè)計

在傾斜校正系統(tǒng)中實現(xiàn)自適應(yīng)控制包括兩個重要部分，分別為參數(shù)辨識和自適應(yīng)控制器的設(shè)計。參數(shù)辨識部分上一節(jié)進(jìn)行了討論，接下來是控制器的設(shè)計與參數(shù)調(diào)整。本文進(jìn)行自適應(yīng)控制時是以衰減閉環(huán)誤差為目的。在進(jìn)行參數(shù)辨識時采用式(9)、(14)結(jié)合，衰減誤差值 δ(k)，逼近特征頻率相關(guān)參數(shù) γ的值。因此在進(jìn)行自適應(yīng)控制器設(shè)計時也采用與式(9)類似的數(shù)字陷波器，二者保持一致性，進(jìn)而更新辨識部分參數(shù)時，也能同步更新自適應(yīng)控制器的參數(shù)，以達(dá)到δ(k)與閉環(huán)誤差衰減的一致性。本文所設(shè)計的自適應(yīng)控制器如圖3 所示，在原有低通濾波器M(z)的基礎(chǔ)上并聯(lián)自適應(yīng)控制器Q(z)，下面將對自適應(yīng)控制器Q(z)進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計。

圖3 自適應(yīng)控制器Fig.3 Adaptive controller

在第二節(jié)中提出提高擾動抑制能力主要是實現(xiàn) 1-Q(z)z-m的最小化，即最小化 1-Q(z)。令W(z)=1-Q(z)，為抑制窄帶尖峰干擾，W(z)應(yīng)該被設(shè)計為一個陷波器，所以自適應(yīng)控制器Q(z)應(yīng)該被設(shè)計為一個峰值濾波器。本文采用的數(shù)字陷波器為

其中：C1=1，C2=2cos(ω0)是本文控制器的設(shè)計參數(shù)，ρ∈(0,1)，為與陷波器的帶寬和深度有關(guān)的參數(shù)。根據(jù)式(17)可以得出X(z,ω0)和T(z,ω0)的輸出分別為p′(k)和p′′(k)，表示如下：

式(9)和式(18)一樣，因此在估計誤差收斂時，自適應(yīng)控制器的輸出也實現(xiàn)同步收斂。p′′(k)作為本文進(jìn)行特征擾動辨識時的估計誤差觀測值，實時反應(yīng)誤差收斂情況。自適應(yīng)控制器表示為

控制器Q(z)的輸出為

其中：b(k)為實際控制器輸出信號，式中陷波器的輸入為x(k)，x(k)=。C2為經(jīng)本文提出的基于最小均方誤差準(zhǔn)則的特征擾動頻率辨識參數(shù)，最后對它進(jìn)行調(diào)節(jié)。

本文采用的數(shù)字陷波器W(z)，其幅頻特性為W(ω)，相頻特性為 φ，則

其中：

如圖4 所示，通過仿真可以直觀看出該陷波器的頻率特性。當(dāng)參數(shù) ρ越接近1 時陷波器帶寬越小，陷波衰減特性越好；但是當(dāng)陷波深度越深時，帶寬較窄，對參數(shù)估計誤差的容忍度較小。減小 ρ的值，陷波器的帶寬會變大且深度還是很深，會影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此調(diào)節(jié)另一個參數(shù)C1，使它變?yōu)橐粋€接近于1 的數(shù)。在C1=1.00001時，陷波器的深度會變淺。而C1=1.00001保持不變，ρ依次為0.985 和0.905 時，ρ為0.905 深度會更深。因此采取一個合適的值，本次實驗所用參數(shù)C1、ρ分別為1.00001 和0.985。在實際工程應(yīng)用中，可以根據(jù)自身需求去調(diào)節(jié)相應(yīng)參數(shù)。

圖4 不同參數(shù)陷波器的幅頻特性曲線Fig.4 Amplitude-frequency characteristic curves of notch filters with different parameters

5 實驗驗證

為驗證本文所提出的控制方案，搭建如圖5 所示實驗平臺。TTM1 和TTM2 為音圈驅(qū)動的傾斜鏡，實驗過程中驅(qū)動TTM1 用來模擬加載平臺振動產(chǎn)生的擾動，TTM2 可以模擬光路中帶來的擾動。TTM3 是以壓電陶瓷驅(qū)動的傾斜鏡，該傾斜鏡具有X、Y兩個活動軸，閉環(huán)分辨率為0.05 μrad，角行程為2 mrad，作為被控對象。本實驗只對TTM3 的Y軸進(jìn)行控制，X軸是禁用的，擾動鏡也一樣。圖像傳感器PSD 用于獲取光斑的位置信息。進(jìn)行實驗時由激光器發(fā)出光源，經(jīng)過以壓電陶瓷驅(qū)動的TTM3 再反射到TTM2，最后回到圖像傳感器檢測目標(biāo)位置信息。圖像傳感器PSD 的采樣頻率為2000 Hz，分辨率為1 μm，將PSD 采集到的信息傳到閉環(huán)控制回路，對傾斜誤差進(jìn)行調(diào)控。

圖5 實驗平臺圖Fig.5 Experimental platform diagram

5.1 并聯(lián)濾波擾動抑制

為驗證本文提出頻率分割方法中并聯(lián)濾波的有效性，對PI 控制以及加入Youla 參數(shù)化控制結(jié)構(gòu)時僅使用濾波器M(z)，M(z)并聯(lián)Q(z)的三種頻率特性測試進(jìn)行對比，并繪制了誤差抑制曲線C、M、K。實驗采用帶寬為10 Hz 的二階低通濾波器M(z)，中心頻率為20 Hz 的陷波器Q(z)。圖6 所示，相比于PI 控制，使用低通濾波器M(z)以提高7 Hz 以下的擾動抑制能力，采用并聯(lián)濾波后，如黃色曲線所示，系統(tǒng)的誤差抑制能力進(jìn)一步提升，所設(shè)計的并聯(lián)濾波器對低頻和高頻的擾動抑制的有效性。

圖6 三種情況下的擾動抑制能力曲線Fig.6 Disturbance suppression ability curves in three cases

5.2 單頻時變擾動的自適應(yīng)抑制

為驗證控制器Q(z)對單頻時變尖峰擾動的自適應(yīng)抑制，進(jìn)行了如下實驗。其中擾動由TTM1 產(chǎn)生，輸入傾斜校正系統(tǒng)的模擬擾動頻率依次為23 Hz、30 Hz、35 Hz、42 Hz、48 Hz，單次擾動頻率發(fā)生變化的間隔時間約為17 s。控制系統(tǒng)閉環(huán)后，通過在線自適應(yīng)特征擾動頻率辨識可以得到未知擾動的中心頻率如圖7 所示。圖中標(biāo)出了頻率辨識的瞬時值與對每個擾動頻率進(jìn)行辨識的相對誤差平均值，可看出相對誤差不超過2%。本次實驗過程中考慮辨識精度與實際噪聲的因素，步長因子ζ 取值為0.0000001。在自適應(yīng)擾動抑制過程中，辨識算法估計誤差的觀測值隨時間的變化趨勢如圖8 所示，估計誤差發(fā)生劇烈變化的時間較短，能快速收斂且趨于穩(wěn)定。如圖9 所示，紅色曲線和藍(lán)色曲線分別表示自適應(yīng)控制方法和PI 控制方法下傾斜誤差的變化趨勢。且傾斜誤差變化趨勢與估計誤差變化趨勢一致，證明辨識的濾波參數(shù)與控制器調(diào)整并行化設(shè)計的有效性，以達(dá)到估計誤差和實際傾斜誤差的同步收斂。從頻域圖得出自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制較PI 控制時，對擾動的抑制能力提高了2到3 倍。實驗結(jié)果表明，當(dāng)擾動頻率發(fā)生變化時自適應(yīng)控制器Q(z)可以快速有效地抑制變化的擾動。

圖7 頻率辨識過程Fig.7 Frequency identification process

圖8 擾動連續(xù)變化時的估計誤差Fig.8 The estimation error when the disturbance changes continuously

圖9 擾動連續(xù)變化時傾斜誤差的時域、頻域圖Fig.9 Time domain and frequency domain diagram of tip-tilt error when disturbance changes continuously

為了更直觀地對比兩種控制方法的抗擾性能，列出了此次兩種控制方法的均方根誤差如表1 所示。在本次連續(xù)發(fā)生5 次變頻模擬擾動的實驗中，自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制算法對擾動的抑制率相比于PI 控制方法至少提升51.6%，平均擾動抑制率提升了58.7%。直觀地表現(xiàn)了本文所設(shè)計的控制器Q(z)能自適應(yīng)地對未知時變的尖峰擾動進(jìn)行快速、有效的抑制，有效提升傾斜校正系統(tǒng)的性能。

表1 均方根誤差Table 1 Root-mean-square error

5.3 多頻擾動的自適應(yīng)抑制

低頻擾動和高頻擾動同時存在或出現(xiàn)多個高頻擾動時，傾斜校正系統(tǒng)面臨更大的挑戰(zhàn)。為了驗證本文所提出的自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制算法對主頻擾動與低頻寬帶擾動的抑制能力，進(jìn)行了兩組多頻混合擾動的實驗，實驗中擾動均由TTM1 產(chǎn)生。第一組實驗輸入頻率為2 Hz、24 Hz 和50 Hz 的混合擾動信號。圖10(a)為混頻擾動信號輸入系統(tǒng)時傾斜誤差的時域頻域變化圖。藍(lán)色曲線為PI 控制下的傾斜誤差，紅色曲線為自適應(yīng)控制時的傾斜誤差。該組實驗中，2 Hz的低頻擾動得到有效抑制，同時24 Hz 的主頻擾動被衰減了8 dB 左右。采用PI 控制時，傾斜誤差的均方根誤差為15.49 μrad，進(jìn)行自適應(yīng)控制時為6.50 μrad。證明了控制器M(z)和自適應(yīng)控制器Q(z)的有效性。第二組實驗輸入頻率為10 Hz、20 Hz 和60 Hz 的混合擾動信號，如圖10(b)所示，在多個尖峰擾動的情況下，主頻干擾衰減約13 dB；自適應(yīng)控制方法較于傳統(tǒng)PI 控制方法，傾斜誤差的均方根誤差從19.29 μrad 衰減至5.12 μrad，證明了本文所提出的基于LMS 的自適應(yīng)Youla 參數(shù)化控制算法能對主頻干擾進(jìn)行有效抑制。

圖10 抑制多頻擾動的傾斜誤差。(a)低頻寬帶擾動混合尖峰擾動；(b)尖峰擾動Fig.10 Tip-tilt error of suppressing multifrequency disturbances.(a) Low-frequency broadband disturbance mixed spike disturbance;(b) Peak disturbance

6 結(jié)論

本文通過理論分析和實驗驗證，證明基于頻率分割的自適應(yīng)擾動抑制方法能對高頻擾動和低頻擾動進(jìn)行有效抑制。所提出的自適應(yīng)辨識算法采用最小均方誤差準(zhǔn)則，利用閉環(huán)誤差進(jìn)行特征頻率辨識，能快速有效的抑制未知時變的尖峰擾動。該辨識算法與Youla 參數(shù)化控制相結(jié)合，在不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，將擾動抑制問題轉(zhuǎn)變?yōu)檎`差衰減的問題。與傳統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制相比，在單頻時變擾動或多頻擾動下均可有效提升系統(tǒng)的閉環(huán)性能。同時本文提出的算法不僅能應(yīng)用在穩(wěn)像系統(tǒng)中，也可用于其它高精度控制系統(tǒng)。后續(xù)研究中將著重對多個特征擾動頻率進(jìn)行辨識，實現(xiàn)對多個擾動的同時抑制，使傾斜校正系統(tǒng)性能得到進(jìn)一步的提升。