線性回歸方法在鋁合金熔煉過程中的應(yīng)用

朱曉毛

摘 要：鋁合金材料制成的汽車零件對其機械性能有著嚴(yán)苛的設(shè)計要求，許多汽車零部件失效案例，如開裂，異響以及裝配功能不良等早期失效，究其原因大多與硬度和機械性能不達(dá)標(biāo)有關(guān)。本文列舉的天窗導(dǎo)軌由6060鋁型材制成，加工工藝有擠出、沖壓、彎曲、銑削、時效（熱處理）、陽極氧化以及鉚接等。本文應(yīng)用回歸方程建模，找出熔煉過程中的鐵元素的含量對于抗拉強度和斷后伸長率的對應(yīng)關(guān)系，對回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗，通過解一組不等式來確定“鐵（Fe）”元素的含量，從而指導(dǎo)實際熔煉過程中的控制和預(yù)測。

關(guān)鍵詞：鋁合金 線性回歸 質(zhì)量控制

1 引言

鐵（Fe）元素如果過量對于鋁合金而言是具有危害作用的，雜質(zhì)的鐵（Fe）會生成Fe3Al2的針狀結(jié)晶，形成硬點，降低鋁合金規(guī)定非比例伸長應(yīng)力和對應(yīng)的伸長率，因此需要精細(xì)和嚴(yán)格控制。當(dāng)含鐵（Fe）量超過1.2 %時，會降低合金流動性，如缺料，壁厚不均，損害擠出件的品質(zhì)，如拉伸開裂，變形，另外還會縮短擠出設(shè)備中金屬組件的壽命，如頂桿，柱塞，另外將加速擠出模的磨損。大多數(shù)鋁合金中，鐵（Fe）元素都屬于受控制的雜質(zhì)，有鐵（Fe）元素的存在，通常會降低合金的塑性性能，對斷裂韌度有負(fù)面影響，影響壓力加工和鑄造性能。失效模式見圖1。

天窗導(dǎo)軌變形、開裂，弧度不良，尺寸穩(wěn)定性等問題是天窗開發(fā)過程中經(jīng)常遇到的頑疾，其開發(fā)涉及多個工藝技術(shù)，需滿足多種匹配方案，具有特殊性、復(fù)雜性?，F(xiàn)有多種工藝技術(shù)新的方法還在源源不斷應(yīng)用，需比較/分析各種方法的特點，探索科學(xué)高效的導(dǎo)軌制造和質(zhì)量控制處理思路，設(shè)計具有性能良好，較高經(jīng)濟的參數(shù)方案，已成為設(shè)計、項目、質(zhì)量和管理等部門亟待解決的問題。導(dǎo)軌工藝方法選擇不合理、熔煉配比設(shè)計不科學(xué)、熱處理工藝控制不精確，質(zhì)量管理不到位等問題，將影響天窗總成質(zhì)量、項目周期及成本，也有可能延期整車發(fā)布和危害公眾生命安全。需要深入研究國內(nèi)外天窗導(dǎo)軌控制經(jīng)驗和相關(guān)研究成果，提升質(zhì)量能力。

2 熔煉數(shù)據(jù)整理

首先，收集鋁型材供應(yīng)商不同爐次的鋁水化驗結(jié)果，剔除異常數(shù)據(jù)后，整理得出以下數(shù)據(jù)，見表1。

描述兩個變量之間關(guān)系的模型，首先想到的是一元回歸分析，兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系是其研究的主要對象。結(jié)合本案例，以鐵（Fe）含量作為橫坐標(biāo)，以抗拉強度（MPa）作為縱坐標(biāo)，將這些數(shù)據(jù)標(biāo)在一個坐標(biāo)系中，以散點圖的形式展現(xiàn)，則可得圖2和圖3。

從兩幅圖中可以大致看出，數(shù)據(jù)點基本落在一條直線附近，能夠初步判斷出自變量X與應(yīng)變量Y呈現(xiàn)某種線性回歸關(guān)系。從圖中還可以看出，并非所有的數(shù)據(jù)點都完全落在一條直線上，因此X與Y的關(guān)系并沒有確切到可以唯一地由一個X值確定一個Y值的程度，其它因素，諸如其它微量元素（如錳、鉻、鎳、鋅等）的含量以及試驗誤差、測量誤差、記錄誤差等因素均會影響Y的結(jié)果，要進(jìn)一步研究X與Y的關(guān)系，則必須使用線性擬合方法。

3 建立含鐵量與抗拉強度回歸關(guān)系

上述數(shù)據(jù)分析后，開始嘗試建立回歸模型，為分析抗拉強度和伸長率這兩項指標(biāo)與含鐵（Fe）量之間的關(guān)系，建立三者之間相互關(guān)系的回歸模型，設(shè)Y1，Y2分別為該6060鋁合金的抗拉強度和伸長率，X為含鐵量，則：

Y1=β01+β1X+ε1

Y2=β02+β2X+ε2

Y與X之間的關(guān)系可以用兩個方面表述，一個方面是由于X的變化引起Y線性變化的部分，即β01+β1X；另一方面是由其他所有隨機因素引起的，記為ε。上述兩式是變量Y對X的一元線性理論回歸方程。通常情況下Y被稱為因變量，X為自變量。其中β01和β1是位置參數(shù)，稱β01為回歸常數(shù)，β1是回歸系數(shù)。Ε表示其他隨機因素的總體影響，是一個隨機變量，通常假設(shè)ε滿足E（ε）=0，主要含義是數(shù)學(xué)期望，Var（ε）表示ε的方差，通過兩端求期望，得到公式E（Y）=Y1=β01+β1X1。

為了由樣本數(shù)據(jù)得到回歸參數(shù)β01和β1的理想估計值，通常情況下會運用到最小二乘估計（Ordinary Least Square Estimation， OLSE），即對每個樣本值（Xi，Yi）進(jìn)行考慮觀測值Yi與其回歸值E（Yi）=β01+β1Xi的離差越小越好，綜合地考慮n個離差值，定義離差平方和：

所謂最小二乘法，就是選擇Xi和Yi使Q（Xi，Yi）最小，尋找參數(shù)β01，β1的估計值β^0，β^1，使公式定義的離差平方和達(dá)到極小，即尋找β^0，β^1，滿足：

按照微積分知識要求，可以得知，要想使公式取得最小值，必須滿足以下兩個條件：

進(jìn)一步將公式加以簡化得到以下正態(tài)方程組：

通過以上計算，即可得到回歸系數(shù)的最小二乘估計，在知道了回歸斜率系數(shù)的估計值后，可以采用截距系數(shù)的估計值公式來手動計算出它的數(shù)值。需要注意的是，最小二乘估計值并不是“最佳估計”的唯一方法和準(zhǔn)則。此處采用是由于這種方法公式較為簡單，計算方便，得到的回歸系數(shù)b0和b1具有更好的統(tǒng)計性質(zhì)（指殘差和總是等于零，或者說誤差的樣本均值為零。無論樣本的散點圖分布如何，最小二乘法擬合的回歸線總是穿過散點的質(zhì)心），線性、無偏性和有效性。

利用上述公式，逐步計算回歸方程的各個參數(shù)。首先抗拉強度與鐵含量之間的回歸方程，計算得：

x-=5.619/40=0.140475，y-=5574/40=139.35

=0.801043-40×（0.140475）2=0.012103975

=785.665-40×0.140475×139.35=2.65735

帶入下式

β^1=Lxy/Lxx=2.65735/0.012103975=226.85

β^0=y--β^1x-=139.35–（226.85×0.140475）=107.48

于是得到抗拉強度與鐵含量的回歸方程為

Y1=107.48+226.85X1

Minitab進(jìn)行了復(fù)核，會話窗口輸出結(jié)果見圖4。

回歸分析：抗拉強度（MPa）與鐵（Fe）

回歸方程為：

抗拉強度（MPa）=107+227鐵（Fe）

從計算機輸出結(jié)果中可以得出，自變量列中的兩個值即為β^0=107.48，β^1=226.85，這與手工計算結(jié)果是一致的。得到此問題的經(jīng)驗回歸方程后，還不能馬上就用它去做分析和預(yù)測，因為還未充分確定Y1=β01+β1X1是否真正描述了變量Y與X之間的統(tǒng)計規(guī)律性。

對于判斷是否拒絕原假設(shè)，我們利用t分布和軟件計算出來的t統(tǒng)計量的值，計算概率P（︱t︱＞︱t值︱），此處的概率值被稱為P值，即P（︱t︱＞︱t值︱）=P值。根據(jù)t分布的性質(zhì)可知：︱t值︱越大，P值越?。沪騮值︱越小，則P值越大。因此對于給定的顯著性水平a，每當(dāng)P值＜a時，應(yīng)該拒絕原假設(shè)；每當(dāng)P值＞a時，則不應(yīng)該拒絕原假設(shè)。在給定顯著性水平的情況下，使用P值不需要查分布表就可以做出判斷是否拒絕原假設(shè)。

另外，β^0的標(biāo)準(zhǔn)差=3.061，β^1的標(biāo)準(zhǔn)差=21.63，t=10.49，取顯著水平a=0.05，自由度n-2=40-2=38，查t分布表得臨界值t（a/2） =1.686，由︱t︱=3.061＞ 1.686可知，應(yīng)拒絕原假設(shè)H0：β1=0，認(rèn)為抗拉強度與鐵含量的一元線性回歸方程：Y1=107.48+226.85X1的效果顯著。

4 建立鐵含量與伸長率之間回歸關(guān)系

同理，根據(jù)最小二乘法的估計算法，重復(fù)上述步驟，可以得出伸長率與鐵（Fe）的回歸方程，Minitab會話窗口所得參數(shù)如下：

回歸分析：伸長率（%）與鐵（Fe）

回歸方程為：

伸長率（%）=20.8-39.0鐵（Fe）

建立伸長率與鐵含量的經(jīng)驗回歸方程為

Y2=20.8–39X2

殘差見圖5。另外得到β^02的標(biāo)準(zhǔn)差為0.6924，β^2的標(biāo)準(zhǔn)差是4.893，t值為-7.96，同樣取顯著水平a=0.05，自由度為n-2=40-2=38，查t分布表臨界值t（a/2）=1.686，由︱t︱=7.96＞2.101可知，應(yīng)拒絕原假設(shè) H0：β1=0，認(rèn)為伸長率與鐵含量的一元線性回歸的效果顯著。

5 計算鐵含量的控制范圍

由于所得到的兩個回歸方程都是高度顯著的，因此能夠應(yīng)用于實際生產(chǎn)控制，由本案例所給出的質(zhì)量控制要求，抗拉強度Y1應(yīng)大于120 MPa，伸長率Y2應(yīng)大于14%，對兩個指標(biāo)均是單側(cè)控制要求（無上限設(shè)置），即要求含鐵量X的控制范圍，使以下兩個公式同時滿足要求

P（Y^1–D1＞120）=0.995

P（Y^2–D2＞14）=0.995

樣本容量N=40，較大，因此可用近似公式求解D1和D2，a=0.01，ta（N-2）=t0.01（38）在t分布表中查臨界值，得t0.01（38）=2.4286，于是：

D1=t0.01=2.4286×3.061=7.43

D2=t0.01=2.4286×0.6924=1.68

得以下不等式組：

107.48+226.85X–7.43＞120

20.8–39X-1.68＞14

解此不等式組，得：0.088＜X＜0.132。由此得知，只要在鋁合金熔煉過程中將含鐵（Fe）控制在0.088%～0.132%之間，就可以有百分之九十九的把握使該鋁合金型材的抗拉強度大于120MPa，伸長率大于14%。

6 結(jié)論

本文介紹了線性回歸方程這一數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于實際生產(chǎn)的案列，收集了不同爐次的化驗數(shù)據(jù)，剔除異常，簡析熔煉方法和成分配比，明確了鐵元素（Fe）對于抗拉強度和伸長率之間的回歸關(guān)系，運用最小二乘法，建立了鐵元素（Fe）與這兩者之間的線性回歸方程，得到回歸參數(shù)β01和β1的理想估計值，采用截距系數(shù)的估計值公式來手動計算出它的數(shù)值，分別進(jìn)行殘差分析，最終得出線性回歸效果顯著，故可用于日常生產(chǎn)控制，通過解不等式組，得出鐵元素（Fe）含量的控制范圍，很好地指導(dǎo)了過程質(zhì)量控制。

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