巧用構(gòu)造法 解答數(shù)學(xué)題

楊少婷

(福建省晉江市英林中學(xué),福建 泉州 362256)

構(gòu)造法就是當(dāng)處理部分?jǐn)?shù)學(xué)試題時(shí),采用常規(guī)方法或者按照定向思維很難處理,可結(jié)合題目中已知條件與所求結(jié)論的性質(zhì)、特征,基于新觀點(diǎn)、新視角重新分析與理解,把握好反映問題條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,以原題中條件為基礎(chǔ),通過已知數(shù)學(xué)理論與關(guān)系式構(gòu)造出新對(duì)象,呈現(xiàn)題目中的隱性關(guān)系,從而方便、快捷地解決數(shù)學(xué)試題[1].初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指引學(xué)生巧用構(gòu)造法解答試題,使其會(huì)根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造新對(duì)象,讓他們輕松完成試題求解.

1 巧用方程構(gòu)造法,解答數(shù)學(xué)題

“方程”作為學(xué)生從小學(xué)階段就開始接觸到的一個(gè)知識(shí),進(jìn)入初中以后,他們將會(huì)學(xué)習(xí)到更多與方程相關(guān)的知識(shí),不僅要學(xué)習(xí)簡單的一元一次方程,還要學(xué)習(xí)一元二次方程及方程組等內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著關(guān)鍵地位,而且方程知識(shí)在解題中應(yīng)用廣泛.針對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說,部分試題難度系數(shù)較高,教師可以指導(dǎo)學(xué)生以認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容為前提,根據(jù)題干中給出的已知條件與數(shù)量關(guān)系構(gòu)造出新的方程形式,由此把方程思想體現(xiàn)出來,使其結(jié)合方程知識(shí)找到合理的解題思路,讓他們有效轉(zhuǎn)化問題,降低解題難度,順利解答數(shù)學(xué)題.

例1 已知x、y、z為三個(gè)不一樣的實(shí)數(shù),其中x>y>z,滿足x+y+z=1,x2+y2+z2=1,請(qǐng)求出x+y的取值范圍.

分析本題中出現(xiàn)的方程比較特殊,形式分別是三元一次方程和三元二次方程.如果使用常規(guī)方法受限于已知條件難以順利完成解題,首選思路通常是采用整體替換法,根據(jù)題目中給出的條件進(jìn)行替換,但是采用這樣的方法解題過程較為復(fù)雜,很難輕松求出代數(shù)式x+y的取值范圍.可以巧妙應(yīng)用構(gòu)造方程的方法,根據(jù)題干中的所給條件與結(jié)論構(gòu)造出新的方程形式,然后再利用方程相關(guān)知識(shí)求出x+y的取值范圍.

例2 已知三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z同時(shí)滿足x+y=3,xy=(z-3)2+x+1,請(qǐng)問x+2y+3z的值是什么?

分析本題屬于較為常見的代數(shù)式求值類題目,可以先對(duì)題干中給出的幾個(gè)條件進(jìn)行變形處理,將原式整理為關(guān)于兩個(gè)式子的求解題目,再認(rèn)真觀察題目提供的已知式子的特征與形式,代入和化簡后構(gòu)造出一個(gè)新方程,隨后借助方程的性質(zhì)就能輕松解題.

詳解因?yàn)閤+y=3,所以y=-x+3,將式子y=-x+3代入到式子xy=(z-3)2+x+1中,消去變量y,然后所有項(xiàng)全部移動(dòng)至右邊,配方以后可以得到一個(gè)新的方式(x-1)2+(z-3)2=0,由此得到x-1=0,z-3=0,解得x=1,z=3,又因?yàn)閤y=(z-3)2+x+1,求得y=2,所以x+2y+3z=1+2×2+3×3=1+4+9=14.

2 巧用不等式構(gòu)造法,解答數(shù)學(xué)題

不等式本身就是一類與眾不同的代數(shù)式,通常用“>、<、≥、≤、≠”等特殊符號(hào)來表示式子的大小關(guān)系,學(xué)生在小學(xué)階段也有所接觸,不過在初中階段他們所學(xué)的不等式知識(shí)更為復(fù)雜,難度和深度均更高,會(huì)遇到一元二次不等式與不等式組等新知識(shí),而且很多題目中都涉及不等式方面的內(nèi)容.對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言,當(dāng)遇到部分題干比較長的題目時(shí),教師需要提醒學(xué)生在閱讀過程中關(guān)注一些特殊詞語,像“最小”“最大”“至少”“不高于”“不低于”等,使其審清題意構(gòu)造出不等式,讓他們結(jié)合不等式的性質(zhì)解答數(shù)學(xué)題.

例3 已知某公司準(zhǔn)備有A、B兩種材料,重量分別是360千克和290千克,現(xiàn)在計(jì)劃使用這兩種材料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品一共50個(gè),生產(chǎn)一個(gè)甲產(chǎn)品分別需用到A、B兩種材料9千克與3千克,利潤為700元/個(gè),生產(chǎn)一個(gè)乙產(chǎn)品分別需A、B兩種材料4千克與10千克,利潤是1200元/個(gè),請(qǐng)求:

(1)根據(jù)上述條件與要求生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品一共有幾種方案?分別寫出來;

(2)設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品能夠得到的總利潤為y(元),生產(chǎn)甲商品x個(gè),那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)指出(1)種哪種生產(chǎn)方案可以得到最大利潤?最大利潤是多少錢?

分析處理第(1)問時(shí),本題題干較長,閱讀過程中需善于把握住關(guān)鍵信息,基于專業(yè)的數(shù)學(xué)語言重新描述題意,結(jié)合已知條件巧妙應(yīng)用構(gòu)造法構(gòu)造一個(gè)不等式組,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)將符合題意的幾種方案都設(shè)計(jì)出來;解決第(2)問時(shí),可結(jié)合第(1)問信息列出一個(gè)函數(shù)解析式,隨后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及實(shí)際生產(chǎn)情況確定最終生產(chǎn)方案,且求出最大利潤.

(2)結(jié)合題意能夠列出函數(shù)解析式y(tǒng)=700x+1 200(50-x)=-500x+60 000(30≤x≤32),結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)知道這是一個(gè)減函數(shù),x的值越大,y的值就越小,所以當(dāng)x=30時(shí)利潤有最大值,即為生產(chǎn)甲產(chǎn)品30個(gè)、乙產(chǎn)品20個(gè)時(shí)可以得到最大利潤,這時(shí)y=-500×30+60 000=45 000,求出最大利潤是45 000元,所以說y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-500x+60 000,按照(1)中的方案①可以得到最大利潤,最大利潤為45 000元.

3 巧用函數(shù)構(gòu)造法,解答數(shù)學(xué)題

函數(shù)可謂是貫穿于整個(gè)初高中的數(shù)學(xué)教學(xué),在課程體系中有著相當(dāng)重要的地位.學(xué)習(xí)好函數(shù)知識(shí)意義重大,不僅可以解決函數(shù)方面的問題,還能夠用來分析和解決其它方面的數(shù)學(xué)試題,究其原因主要在于很多數(shù)學(xué)試題都可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行解題,雖然有時(shí)難以直接求解,不過有助于解題思路的打開.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,當(dāng)遇到難度較大的試題時(shí),如果在短時(shí)間內(nèi)很難找到解題的切入點(diǎn),教師可指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題干內(nèi)容,從中找到關(guān)鍵性信息,讓他們構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,使其根據(jù)函數(shù)圖像、性質(zhì)等處理數(shù)學(xué)試題.

(1)籃球在空中運(yùn)行過程中最高點(diǎn)是多高?

(2)如果這名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行跳投時(shí),出手時(shí)籃球與地面的高度為2.25米,請(qǐng)問他同籃筐中心之間的水平距離為多遠(yuǎn)?

圖1 一位籃球員投籃示意圖

分析處理第(1)問時(shí),需要將整個(gè)函數(shù)圖形給構(gòu)造完整,結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)計(jì)算出籃球整個(gè)運(yùn)行軌跡中最高點(diǎn)是多高;解決第(2)問時(shí),應(yīng)該把這一函數(shù)的坐標(biāo)系構(gòu)造出來,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解,順暢求出這名運(yùn)動(dòng)員同籃筐中心之間的水平距離.

(2)在圖1建立坐標(biāo)系,如圖所示,經(jīng)過審題后能夠判定出該籃球運(yùn)動(dòng)員所處位置的橫坐標(biāo),根據(jù)籃筐處的高度為y=3.05米,代入拋物線的解析式可以求得這時(shí)x=1.5米;

再結(jié)合該籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行跳投時(shí)出手高度是y=2.25米,則求得x=-2.5(x≤0),所以說該運(yùn)動(dòng)員同籃筐中心之間的水平距離為1.5+2.5=4米.

例5 如果x1、x2是方程(x-m)(x-3)=-1的兩個(gè)根,且x1

(A)m

分析雖然本題是一道典型的方程題目,但是方程和函數(shù)存在著十分密切的聯(lián)系,處理此類試題時(shí)可基于函數(shù)視角切入,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù),借助函數(shù)的圖象平移與性質(zhì)等順利完成解題.

詳解因?yàn)閤1、x2是方程(x-m)(x-3)=-1的兩個(gè)根,且x1

所以可構(gòu)造函數(shù)y1=(x-m)(x-3),y2=(x-m)(x-3)+1,

其中函數(shù)y1圖象與x軸的交點(diǎn)是x=m,x=3,

函數(shù)y2圖象與x軸的交點(diǎn)是x1、x2,

函數(shù)y2圖象能夠視為由函數(shù)y1圖象,往上平移一個(gè)單位后得到的,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖2所示,能夠清晰看到m

所以正確答案是選項(xiàng)A.

圖2 函數(shù)y1與函數(shù)y2的圖象