滲透數(shù)學(xué)思想方法 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“角平分線的定義及應(yīng)用”教學(xué)為例

鄭 莉

(福建省永泰縣第二中學(xué),福建 福州 350703)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體是“四基”和“四能”[1].因此,在教學(xué)活動(dòng)中,教師既要注重學(xué)生基本知識(shí)與基本技能的落實(shí),還要注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,特別是數(shù)學(xué)思想方法的滲透,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想,并內(nèi)化為心理特征.文章以“角平分線的定義及應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,闡述教師引導(dǎo)學(xué)生類比“線段的中點(diǎn)”的探究方法去探究“角平分線”.圍繞著問題串,展開一系列的思維活動(dòng),有意識(shí)地挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,體會(huì)教學(xué)中的類比遷移、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 教學(xué)內(nèi)容分析

義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo),發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體.這節(jié)課內(nèi)容為《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(人教版)七年級(jí)上冊第四章第四節(jié)《角的比較與運(yùn)算》(第2課時(shí)),主要內(nèi)容為角平分線的定義及其應(yīng)用,是在學(xué)生學(xué)習(xí)角的和差基礎(chǔ)上,將問題特殊化,引入角平分線.角的平分線與線段的中點(diǎn)是類比性知識(shí),都是從數(shù)和形兩個(gè)方面進(jìn)行研究;都采用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言來進(jìn)行描述;都從具體到抽象(模型→圖形→文字→符號(hào)),或反向進(jìn)行訓(xùn)練.教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生類比“線段的中點(diǎn)”進(jìn)行學(xué)習(xí),通過問題串展開探究活動(dòng),在獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,為后續(xù)圖形與幾何的學(xué)習(xí)提供必備的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與思想方法.

2 學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過本章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容,對(duì)于線段、角等圖形的基本特征已有一些感性的了解,但僅僅局限于形的認(rèn)識(shí),還沒上升到用數(shù)來描述圖形.一開始,學(xué)生對(duì)這章的學(xué)習(xí)信心滿滿,因?yàn)閮?nèi)容熟悉,但很快感到一片茫然,面對(duì)問題,知道結(jié)論,卻不懂如何表達(dá),真是一籌莫展.究其原因,主要是學(xué)生的抽象思維能力較差,無法理解圖形語言、文字語言、符號(hào)語言之間的可轉(zhuǎn)化關(guān)系,更不要說在應(yīng)用中滲透類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法,并且達(dá)到融會(huì)貫通.為此,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng),不斷感悟數(shù)學(xué)基本思想,積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn),發(fā)展、提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)理解角平分線的意義及數(shù)量關(guān)系.能結(jié)合角平分線的直觀圖形,用文字語言和符號(hào)語言描述其數(shù)量關(guān)系.反過來,也能根據(jù)文字語言和符號(hào)語言的表述,畫出直觀圖形來.體會(huì)轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學(xué)生反向思維能力,提升抽象能力等核心素養(yǎng).

(2)類比線段中點(diǎn)的研究,將其方法遷移到到角平分線的探究中,應(yīng)用角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系解決問題,體會(huì)類比與數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)及運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

(3)在變式訓(xùn)練中,體會(huì)分類討論思想方法,發(fā)展學(xué)生的推理能力等核心素養(yǎng).

4 教學(xué)支持條件分析

利用黑板板書知識(shí)框架,強(qiáng)調(diào)格式規(guī)范書寫;通過希沃白板展示課件內(nèi)容;利用幾何畫板展示圖形變換,從靜態(tài)到動(dòng)態(tài),讓學(xué)生從觀察、操作、想象、交流中認(rèn)識(shí)圖形.

基于上述的分析確定這節(jié)課的重難點(diǎn):

教學(xué)重點(diǎn):掌握角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系,感受類比的思想.

教學(xué)難點(diǎn):能應(yīng)用角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系靈活解決問題,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

5 教學(xué)過程

5.1 回顧舊知,初步滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題1 如圖1,已知點(diǎn)C為線段AB上的任意一點(diǎn),則圖中線段AC、BC、AB存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?如果點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),則它們之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

圖1 線段AB

變式已知AB=100,

(1)點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn),D、E分別是AC和BC的中點(diǎn),求DE的長度.

(2)將(1)中的“線段AB”改為“直線AB”,結(jié)論還成立嗎?

師生活動(dòng)學(xué)生思考、回憶解決問題的方法,教師利用幾何畫板演示圖形動(dòng)態(tài)變化(點(diǎn)C相對(duì)線段AB的不同位置),學(xué)生代表回答解題思路,師生一起點(diǎn)評(píng).

[設(shè)計(jì)意圖]上述問題的提出,讓學(xué)生在回顧線段中點(diǎn)定義及應(yīng)用的同時(shí),掌握根據(jù)已有的圖形或畫符合條件的圖形來求線段之間的數(shù)量關(guān)系的方法,初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法在幾何綜合應(yīng)用中的重要性,為后面角的學(xué)習(xí)提供類似的學(xué)習(xí)方法做更進(jìn)一步的鋪墊,提升了幾何直觀、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

5.2 探究新知,逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題2 類比線段之間的數(shù)量關(guān)系,說說角之間有哪些數(shù)量關(guān)系?請?jiān)诰毩?xí)本上畫圖:

①畫有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC.

②表示出圖中的所有數(shù)量角.

③說出這些角存在的關(guān)系.

師生活動(dòng)學(xué)生動(dòng)手畫圖,教師走到學(xué)生當(dāng)中去,關(guān)注學(xué)生的解答情況,并展示有代表性的答案.教師利用幾何畫板演示射線OC相對(duì)于∠AOB的位置的動(dòng)態(tài)變化圖(繞點(diǎn)O順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)),引導(dǎo)學(xué)生觀察并歸納射線OC在∠AOB的內(nèi)部或外部.

追問1 類比線段的中點(diǎn),射線OC有沒有一種特殊的位置,使得∠AOC和∠BOC相等?若有,請畫出圖形.并給這種特殊位置的射線OC取一個(gè)名字.

師生活動(dòng)學(xué)生畫出圖形,如圖2,并口頭作答(角中點(diǎn)、角中線等),教師給出規(guī)范的名稱(角的平分線).

圖2 射線OC相對(duì)于∠AOB的位置動(dòng)態(tài)變化圖

[設(shè)計(jì)意圖]類比線段的中點(diǎn)的探究方法,從畫射線OC開始,OC相對(duì)于∠AOB的位置從一般到特殊,引入角平分線,過渡自然,讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合與類比等思想,同時(shí)加深理解知識(shí)之間的緊密聯(lián)系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

追問2 類比線段的中點(diǎn)的表示方法,你能用符號(hào)及文字表示圖2中∠AOC、∠BOC、∠AOB之間的關(guān)系嗎?

追問3 請回顧一下我們是如何學(xué)習(xí)角平分線?反過來,由角平分線可以得出哪些結(jié)論(結(jié)合圖2)?

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生類比線段中點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法,從相等、二倍、一半關(guān)系來理解角平分線的概念;學(xué)生小組交流,由代表發(fā)言,教師及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤描述,并規(guī)范板書推理過程.

[設(shè)計(jì)意圖]通過類比,讓新知自然生成,讓學(xué)生在討論、探究與解決問題中,逐步感悟類比思想,有效地提升學(xué)生幾何直觀、抽象能力等核心素養(yǎng).

5.3 運(yùn)用新知,持續(xù)滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

例1 如圖2,OC是∠AOB的平分線,若∠BOC=29.5°,則∠AOC=____, ∠AOB=____.

變式1 如圖2,OC平分∠AOB,∠AOB=59°,求∠AOC.

變式2 判斷“如果∠AOB=2∠BOC,那么OC平分∠AOB.”這句話對(duì)嗎?為什么?

師生活動(dòng)例1由學(xué)生口頭回答,教師給出評(píng)價(jià);變式1由師生共同解答;變式2由學(xué)生討論解決,教師加以引導(dǎo).

[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)計(jì)例1的目的是為了考查學(xué)生是否理解角平分線的幾何意義,能否正確選擇對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系解題,從而正確地完成文字語言、圖形語言、符號(hào)語言三者的相互轉(zhuǎn)化.其中變式2中射線OC相對(duì)于∠AOB的位置不明確,引導(dǎo)學(xué)生類比問題2,畫出圖形(OC在∠AOB的內(nèi)部與外部兩種),直觀形象,學(xué)生能正確做出判斷,同時(shí)發(fā)現(xiàn)角平分線的性質(zhì)反過來說不一定成立,為后續(xù)的互逆命題的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、類比遷移等思想,提升學(xué)生幾何直觀、抽象能力和推理能力等核心素養(yǎng).

5.4 課堂小結(jié),深入滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題6 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)哪些知識(shí)內(nèi)容?

追問回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,我們從線段中點(diǎn)的問題入手,引入角平分線,從三種語言的相互轉(zhuǎn)化中,形成并利用角平分線的定義解決問題,從中你體會(huì)最深的是什么?

[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)置開放性問題,學(xué)生能暢所欲言.教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié),從中提煉數(shù)學(xué)思想與研究方法,深入體會(huì)到類比遷移、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法在本節(jié)中的運(yùn)用,為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供類似的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

6 教學(xué)反思

核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的知識(shí)層面,也蘊(yùn)含可感、可知的思想層面.因此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),教師必須考慮在哪些環(huán)節(jié),采用何種方法將相關(guān)的思想滲透進(jìn)去,讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)、解答問題,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于這點(diǎn),設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí),無論是回顧知識(shí),還是探究新知,或是新知的應(yīng)用等環(huán)節(jié)中,應(yīng)無時(shí)無刻地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.讓學(xué)生在循序漸進(jìn)的教學(xué)中,反復(fù)不斷地感悟類比遷移、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想,提升解決問題的能力.

總之,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升始終伴隨在教與學(xué)中,在知識(shí)和技能的掌握中,在數(shù)學(xué)思想的形成中,在問題的發(fā)現(xiàn)和提出、分析與解決中,而其中的思想看不見,摸不著,經(jīng)常被忽略.所以在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想,最終內(nèi)化為自身的能力.