基于融合評價指標的k-means聚類算法的地鐵車輪踏面磨耗分析

易 佳，陸正剛

（同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海 200092）

0 引言

輪對踏面廓形會隨著列車運行里程的增加而不斷磨損，當這些磨損超過一定標準限值時，就必須進行鏇修，使其恢復到標準外形，從而保證列車的運行安全性。目前主要的鏇修方式為等級鏇修，由于車輪踏面和輪緣的特殊外形，每恢復1 mm的輪緣厚度，在車輪踏面直徑方向上就需要切削掉5 mm 左右[1]，車輪踏面直徑方向的鏇修量仍然較大。目前，經濟鏇修方案中主要從兩方面進行研究，一個是從經濟鏇修外形的設計上，另一個是制定合理的經濟鏇修周期。

在經濟鏇修外形的設計上，我國眾多學者也開展了一定的研究。文獻[2-3]提出一種多學科設計優(yōu)化方法，并驗證了該優(yōu)化廓形能顯著減少車輪鏇修量。目前對車輪踏面的優(yōu)化設計大多為單輪對優(yōu)化設計，優(yōu)化對象單一，因而所獲得的優(yōu)化鏇修外形不具有一定的普適性，在工程實施上還具有一定難度。

面對大量車輪磨耗數(shù)據(jù)，聚類分析這種對原始數(shù)據(jù)進行劃分的方法成為研究熱點。聚類分析即用數(shù)學方法研究和處理給定對象分類，是分析學的一種基本方法[4]。聚類分析過程中通常要解決兩個問題，即如何劃分一個給定的數(shù)據(jù)集并使得劃分結果最優(yōu)以及確定數(shù)據(jù)集的最佳聚類數(shù)。其中，第一個問題通常由聚類算法來解決，而第二個問題則由聚類有效性指標來評價[5]。k-means 聚類算法作為最典型，也是最常見的一種聚類算法，具有高效、準確的聚類效果，針對車輪踏面外形這類數(shù)據(jù)的處理具有較好的普適性。聚類有效性指標一般用于判斷目標數(shù)據(jù)集的最佳聚類簇數(shù)。目前，已有一些經典的指標，如CH 指 標[6]、COP 指 標[7]、DB 指 標[8]、Dunn 指 標[9]以及I指標[10]等得到廣泛應用。

本文基于現(xiàn)有的車輪磨耗數(shù)據(jù)，從指標間的差異程度出發(fā)，分析聚類特征數(shù)據(jù)對聚類數(shù)的影響；基于kmeans 算法，提出融合評價指標確定聚類數(shù)及評價聚類效果；選擇聚類效果最好的方案對所有待鏇修的磨耗踏面開展聚類分析，并對聚類方法進行適應性分析，驗證方案的有效性，為車輪經濟優(yōu)化鏇修提供參考。

1 地鐵車輛輪對踏面磨耗特征分析

以某條線路的地鐵為例，列車為6 節(jié)編組，共28 列車。本文以該線路地鐵2022 年9 月底所有車輪為研究對象，并對車輪踏面外形進行了數(shù)據(jù)預處理，最終得到1 344個車輪外形數(shù)據(jù)，按照車輪幾何參數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖1～3所示。

圖1 車輪的輪緣厚度分布情況

圖1 所示為所有車輪的輪緣厚度分布情況。由圖可知，輪緣厚度大概在3 個范圍分布較為集中，分別為7.5、29、31 mm 左右。圖2所示為輪緣高度分布情況。圖3 所示為qR 值分布情況。由圖可知，qR值的變化范圍相對集中，輪緣高度大概在3個范圍分布較為集中，分別為27.8、28.5、30 mm左右。

圖2 車輪的輪緣高度分布情況

圖3 車輪的qR值分布情況

目前針對薄輪緣踏面的優(yōu)化設計研究，基本上是針對列車中某一個車輪踏面進行優(yōu)化設計。但在實際列車運營中，由于不同車輪會產生多種不同的磨耗踏面，若要同時對每個磨耗踏面進行優(yōu)化鏇修是不切實際的，在工程上沒有可操作性。

因此，針對每一列車里不同輪對的踏面磨耗情況及相近特征，采用聚類分析方法，將相似度高的磨耗踏面歸為同一類，進行統(tǒng)一的鏇修優(yōu)化分析是比較好的解決方案。

2 聚類分析方法

2.1 聚類特征選擇方法

對于聚類指標的選取，可在進行聚類分析之前運用相關性分析，方差計算，結合專業(yè)知識對指標進行篩選，盡量采用那些在不同類別之間存在明顯差異的指標，剔除那些類間差異不明顯的指標；亦可在聚類分析后，利用類間方差分析結果進行指標篩選，剔除不具有顯著性差異的指標，使分類結果客觀真實[11]。本文綜合考慮輪對參數(shù)相關性和方差分析選擇聚類指標。

對各個輪對參數(shù)進行相關性分析，以各輪對參數(shù)的方差作為評價數(shù)據(jù)集的離散程度指標，方差越大，代表該維度的數(shù)據(jù)區(qū)分度越大，定義如式（1）所示。

式中：XiN為各類踏面數(shù)據(jù)中的N個數(shù)據(jù)樣本；μi為各類踏面數(shù)據(jù)的均值。

2.2 聚類特征變換方法

在進行聚類分析時，由于聚類指標的量綱差異，可能會掩蓋其他變差效度指標作用，因為數(shù)量級單位大的指標往往其變化差異也大，相對權重將會增大。因此，未標準化的數(shù)據(jù)相當于具有不同的權重，可能會對數(shù)據(jù)的真實結構產生很大影響[13-14]，但出于某種需要，為強調某指標的意義時，也可通過計算加權距離的方法實現(xiàn)[12]。本文選用4種不同的聚類參數(shù)處理方法進行研究分析。

（1）Z-Score 標準化。X用X?=轉換，其中μ和σ為原始數(shù)據(jù)集X的均值和標準差，X?為經過變換后的數(shù)據(jù)集。

（2）最值轉換法。X用X?=轉換，其中Xmax和Xmin分別表示X指標的最大值和最小值，X?為經過變換后的數(shù)據(jù)集。

（3）相對平均值轉換法。X用X?=轉換，其中表示X指標的平均值，X?為經過變換后的數(shù)據(jù)集。

（4）權重比定義聚類參數(shù)

通過一定的權重比，綜合考慮輪緣高度h輪緣、dqR值和輪緣厚度d輪緣這3 個輪對參數(shù)。首先，采用權重為1∶1∶1的方式，定義聚類參數(shù)如式（2）所示。

其次，采用式（3）定義聚類參數(shù)。

式中：η1、η2、η3為相應輪對參數(shù)的方差值。

方差作為評價數(shù)據(jù)集的離散程度指標，可代表數(shù)據(jù)的區(qū)分度，采用方差作為權重系數(shù)，利于區(qū)分不同磨耗情況的輪對踏面。

2.3 k-means聚類算法原理

k-means 算法[15]，即k均值算法，其根據(jù)數(shù)據(jù)對象的一定特征參數(shù)，將相似度大的對象聚成同一類，使不同類別間的相似度盡可能小，是一種無監(jiān)督式學習算法[16]。k-means 算法基本原理[17]：針對一個確定的數(shù)據(jù)集，可先隨機選擇k個數(shù)據(jù)點作為聚類中心，然后計算每個數(shù)據(jù)樣本到各聚類中心的距離，并歸類到距離最近的一個聚類中心，成為一類；接著計算各類數(shù)據(jù)樣本的新的聚類中心，當目標函數(shù)的變化小于一定限度時，表示聚類中心收斂，否則返回重新調整各類數(shù)據(jù)樣本。k-means算法具體流程如圖4所示。

圖4 K-means聚類算法流程

k-means 算法需要提前確定好初始聚類數(shù)目k及k個初始聚類中心，因此最關鍵的部分是確定聚類簇數(shù)。本文結合“平均輪廓系數(shù)”和“密度指標”，提出融合評價指標確定k值，在聚類算法某一數(shù)據(jù)集聚類劃分結束后，亦可通過聚類有效性指標函數(shù)計算出的數(shù)值來評價聚類劃分的好壞[18]。

（1）密度指標

聚類有效性指數(shù)SDbw基于的標準（即緊湊性和分離）是聚類的基本標準。它通過對比“類內的緊密性”和“類間的密度”來評估聚類的有效性。計算式如式（4）～（6）所示。

式中：Scat(c)為c個聚類內的平均散布情況，該值越小，說明聚類越緊湊；Dbw(c)為c個聚類之間的平均點數(shù)，即聚類間密度，與聚類內的密度有關，該值越小，說明類間分離的越好；d(vi)為第i類的聚類中心vi的密度；d(vj)為第j類的聚類中心vi的密度；d(uij)為第i類和第j類之間的聚類中心uij的密度；‖σ(Ci) ‖為向量σ(Ci)的L2 范數(shù)，即與原點的歐氏距離[19]；σ(D)為數(shù)據(jù)集D，即所有樣本的方差向量；‖σ(D) ‖為向量σ(D)的L2 范數(shù)。聚類有效性指數(shù)SDbw達到最小時的聚類數(shù)目k被認為是數(shù)據(jù)集中存在的聚類數(shù)目的最佳值。

（2）平均輪廓系數(shù)SC

當密度指標判斷效果不顯著時，引入另一聚類有效性指標SC，如式（7）所示。

式中：a(i)為某個樣本與其所在簇內其他樣本的平均距離；b(i)為某個樣本與其他簇樣本的平均距離；N為樣本數(shù)量。其中，SC取值范圍為[-1，1]，其值越接近1 代表這一類里的數(shù)據(jù)與其他類的數(shù)據(jù)差別越大，同一類里的數(shù)據(jù)相似性越高。

（3）融合評價指標S

該指標能將密度指標與SC相結合，當其中一方變化不明顯時，能更清晰、快速地對k值做出準確判斷。

由于密度指標取值范圍不確定，且其值越小越好，要對其進行轉換，具體計算如式（8）所示。

式中：SD為轉換后的密度指標值。

結合密度指標和SC值，通過熵權法計算權重得到融合評價指標，具體如式（9）～（10）所示。

式中：S為融合評價指標值；wi為各項指標權重；m為指標個數(shù)，這里m=2；dj為計算信息熵冗余度；j為指標個數(shù)，取j=2。最后S取值范圍為[0，1]，其值越接近1表示聚類效果越好。

3 基于磨耗踏面廓形的聚類分析

3.1 聚類特征選擇

表1所示為輪對參數(shù)（1 344個數(shù)據(jù)組）的方差計算結果。圖5所示為輪對參數(shù)的相關性情況。由圖可知，輪緣厚度、等效錐度和qR值三者之間相關性較強，踏面徑向磨耗量和輪緣高度之間相關性較強，為降低數(shù)據(jù)維度，可減少相關性較強的輪對參數(shù)。根據(jù)表1可知，輪緣高度、輪緣厚度、qR值的方差較大。因而綜合相關性和方差分析，最終選取輪緣厚度、輪緣高度以及qR值作為聚類特征參數(shù)。

表1 輪對參數(shù)方差

圖5 輪對參數(shù)相關性

3.2 聚類特征變換影響分析

3.2.1 聚類特征變換方法對聚類參數(shù)的影響

將選取的輪緣厚度、輪緣高度以及qR值作為聚類特征參數(shù)，并將其經過4 種聚類參數(shù)轉換方法處理后，計算總平均值、最大（Xmax）最?。╔min）值及標準差（Sˉ）列于表2。結果表明，有些聚類參數(shù)轉換方法對上述特征值有極大的壓縮作用，可大大減小聚類參數(shù)間的離散程度；有些聚類參數(shù)轉換方法能保留特征值的差異性，可使聚類效果更接近原始數(shù)據(jù)分類。對于最值轉換方法，無論原始數(shù)據(jù)的聚類參數(shù)極差和離散程度多大，該方法均能有效地將最大值和最小值壓縮到1和0，從而能大大減小聚類參數(shù)的離散程度；對于方差權重轉換法通過方差加權區(qū)分特征參數(shù)在聚類過程中的影響，加強重要特征參數(shù)的影響，對簇的形成起積極作用。

表2 聚類特征變換方法處理后的特征參數(shù)統(tǒng)計值

3.2.2 聚類特征變換方法對聚類數(shù)的影響

針對不同聚類特征變換方法計算聚類數(shù)（k值），比較其差異性。

（1）Z-Score標準化

根據(jù)標準化后定義聚類參數(shù)Z1，根據(jù)聚類參數(shù)Z1進行聚類分析，得到如圖6 所示的聚類有效性指數(shù)（SDbw）和平均輪廓系數(shù)（SC）隨聚類數(shù)（k）的變化曲線。由圖可知，當k＜4 時，SDbw下降明顯，在k=4 和k=7 時，SC出現(xiàn)峰值，隨著SDbw的變小，聚類效果變好。綜上，k=7。

圖6 標準化后不同類別對應的SDbw指標

（2）最值轉換

根據(jù)最值轉換后定義聚類參數(shù)Z1，根據(jù)聚類參數(shù)Z1進行聚類分析，得到如圖7所示的SDbw和SC隨k的變化曲線。由圖可知，當k＞3 時，SDbw下降明顯，在k=4 時SC出現(xiàn)最大值，隨著SDbw的變小，聚類效果變好。綜上，k=7。

圖7 最值轉換后不同類別對應的SDbw指標

（3）相對平均值轉換

根據(jù)相對平均值轉換后定義聚類參數(shù)Z1，根據(jù)聚類參數(shù)Z1進行聚類分析，得到如圖8所示的SDbw和SC隨k的變化曲線。由圖可知，當k＜6時，SDbw下降趨勢明顯，當k=2 時，SC出現(xiàn)最大值，但聚成兩類無法很好地展示出車輪的磨耗特征，隨著SDbw的變大，聚類效果變差。綜上，k=4。

圖8 相對平均值轉換后不同類別對應的SDbw指標

（4）1∶1∶1權重轉換

根據(jù)式（2）1∶1∶1 加權后定義聚類參數(shù)Z1，根據(jù)聚類參數(shù)Z1進行聚類分析，得到如圖9 所示的SDbw和SC隨k的變化曲線。由圖可知，當k＜6 時，SDbw下降趨勢明顯，當k=7 時，SC出現(xiàn)最大值，隨著SC的變小，聚類效果變差。綜上，k=7。

圖9 不同類別對應的SDbw指標

（5）方差權重轉換

根據(jù)式（3）方差加權后定義聚類參數(shù)Z1，根據(jù)聚類參數(shù)Z1進行聚類分析，得到如圖10所示的不同類別數(shù)計算的SDbw和SC指標。由圖可知，當k為5 和6 時，SC值最大，聚類數(shù)為5與聚類數(shù)為6的SDbw指標相當，聚類數(shù)大于6 時，SC下降明顯，隨著SC的變小，聚類效果變差。綜上，k=5。

圖10 不同類別對應的SDbw指標

3.3 融合評價指標S下聚類數(shù)分析

采用融合評價指標對不同聚類參數(shù)轉換方法的k值進行選擇，選取其值最大時對應的k作為最佳聚類數(shù)，并根據(jù)指標大小對比聚類效果。如圖11 所示，其k值計算結果與圖6～10 結果一致，方差權重和1∶1∶1 權重的聚類特征轉換方法的綜合指標值較高，其中方差權重轉換能在原始數(shù)據(jù)上放大各指標差異性，方差權重最終k=5，1∶1∶1 權重最終k=7，可知有效區(qū)分各指標的重要性，在原始聚類參數(shù)上進行方差加權能提高聚類效果，保證信息的完整性。

圖11 不同聚類參數(shù)轉換方法的綜合指標值隨k變化

因此，最后采用融合評價指標確定k值，采用方差權重轉換法對聚類特征參數(shù)（h輪緣，d輪緣，qR 值）進行處理后，基于k-means算法進行聚類分析。

3.4 聚類分析結果

針對該線路地鐵2022年9月底的1 344個車輪外形數(shù)據(jù)，選用方差權重轉換后的輪緣厚度、輪緣高度、qR 值進行聚類分析，進一步得到車輪踏面的5 種典型磨耗廓形。圖12 所示為所有1 344 個車輪聚類分析后按類描述的踏面外形疊加圖，對應分成5 類，劃分在同一類的踏面外形相似度較高，整體外形較接近。同時，基于聚類結果，針對每一類磨耗踏面，采用均值法獲得該類踏面的典型磨耗踏面外形，具體車輪外形如圖12所示。由圖可知，5 類典型磨耗踏面的區(qū)別主要在輪緣和踏面磨耗處。圖13 所示為典型磨耗踏面的磨耗量情況，其中第2類和第3類磨耗量較少。圖14所示為聚類中心分布情況。由圖可知，5 個聚類中心有明顯區(qū)別，距離相隔較遠，典型廓形具體的輪對參數(shù)如表3所示。

表3 五類典型磨耗踏面的輪對參數(shù)

圖12 車輪踏面聚類效果

圖13 5個典型磨耗踏面外形

圖14 典型磨耗踏面外形磨耗量

圖15 聚類中心分布

3.5 聚類分析方法適應性檢驗

為驗證該聚類方法的適應性，應選擇與原始數(shù)據(jù)日期較為接近的另外兩組數(shù)據(jù)進一步分析。這里選取該線路2022 年9 月初及2022 年7 月初的兩組車輪廓形數(shù)據(jù)，基于融合評價指標的k-means聚類算法進行k值分析。如圖16～17 所示，方差權重和1∶1∶1 權重的聚類特征轉換方法的綜合指標值較高，針對9 月初數(shù)據(jù)，方差權重最終k=5，1∶1∶1 權重最終k=5，針對7 月初數(shù)據(jù)，方差權重最終k=5，1∶1∶1 權重最終k=6。對比9 月底的聚類數(shù)k變化，最終選用方差權重方法得到的綜合指標值最高，k值均為5，由此驗證了方差加權法對聚類參數(shù)進行處理的有效性。

圖16 不同聚類參數(shù)轉換方法的綜合指標值隨k變化（9月初）

圖17 不同聚類參數(shù)轉換方法的綜合指標值隨k變化（7月初）

4 結束語

本文對某地鐵公司同一線路的1 344個輪對的車輪踏面磨耗情況進行分析，基于聚類分析方法研究分析聚類效果的影響因素，并對地鐵車輪踏面進行聚類分析研究，主要結論如下：

（1）影響聚類分析方法應用效果的因素主要包括聚類指標因素、數(shù)據(jù)處理。在進行聚類分析之前，必須充分做好前期工作，盡量考慮變量之間的相關性，盡量減少不良影響的作用。

（2）提出一種基于融合評價指標的k-means 聚類算法，以帶權重的輪緣高度h輪緣、輪緣綜合值qR和輪緣厚度d輪緣作為描述踏面特征的聚類參數(shù)，將密度指標與平均輪廓系數(shù)SC結合得到融合評價指標S確定聚類數(shù)K值，同時使用各個輪對參數(shù)（h輪緣、qR、d輪緣）的方差作為權重，每一類車輪磨耗踏面外形的聚類結果具有較高的準確性。

（3）基于聚類結果，針對每一類磨耗踏面，采用均值法獲得該類踏面的典型磨外形，并對聚類方案的適應性進一步分析，驗證了方案的普適性。

進一步地，將針對每一類典型磨耗廓形進行鏇修模板優(yōu)化，制定合理的經濟優(yōu)化鏇修策略，為實現(xiàn)地鐵車輪踏面優(yōu)化經濟鏇修的工程應用奠定基礎。