融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)

張笑華,劉婷婷,陳富強(qiáng),何 鵬,阮翔愉

(1.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院,福建 福州 350108; 2.福建建工集團(tuán)有限責(zé)任公司,福建 福州 350001;3.中國(guó)建筑第二工程局有限公司,北京 101149; 4.江蘇東華測(cè)試技術(shù)股份有限公司,江蘇 泰州 214500)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)是利用采集到的數(shù)據(jù),通過一系列時(shí)域[1]、頻域[2]或者小波域[3-4]的信號(hào)處理方法,來感知、評(píng)估和預(yù)警結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。根據(jù)傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理,結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采樣頻率必須超過信號(hào)最高頻率的兩倍才能確保信號(hào)不失真,從而帶來結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的海量數(shù)據(jù),增加監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的傳輸和存儲(chǔ)壓力。壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論的出現(xiàn)為SHM信號(hào)的采集和分析提供了一種全新的方案[5-6]。該理論對(duì)可壓縮信號(hào)以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的方式進(jìn)行采樣,并利用重構(gòu)算法恢復(fù)原始信號(hào)。鑒于CS理論的優(yōu)越性,學(xué)者們將其應(yīng)用在圖像恢復(fù)[7]、圖像優(yōu)化[8]、光學(xué)成像[9],磁共振成像[10],無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)數(shù)修復(fù)[11]等領(lǐng)域。

CS理論的應(yīng)用前提是信號(hào)具有稀疏性。而土木工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)在頻域、小波域或者其它變換域上具有近似稀疏的特性,因此不少學(xué)者將CS理論應(yīng)用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中。Bao等[12]利用CS理論壓縮黃河公路大橋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集的加速度數(shù)據(jù),并與基于小波變換和霍夫曼編碼方法采集的加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,分析CS的數(shù)據(jù)壓縮能力。結(jié)果表明,相較于其它方法,CS能將振動(dòng)數(shù)據(jù)有效壓縮,減少了數(shù)據(jù)采集量,節(jié)約了數(shù)據(jù)傳輸與存儲(chǔ)的成本。Peckens和Lynch[13]設(shè)計(jì)了一個(gè)仿生CS方法,利用受耳蝸激發(fā)的傳感器采集結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),實(shí)時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行高壓縮,提高數(shù)據(jù)的傳輸效率。季賽[14]提出基于壓縮感知的無(wú)線傳感結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)方法,該方法利用高斯隨機(jī)矩陣將航空鋁板的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)從高維投影到低維空間中,以此實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮采樣,最后再采用改進(jìn)的正交匹配追蹤算法對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。張笑華等[15]通過增加觀測(cè)矩陣和稀疏基的不相關(guān)性對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化,以這種方式提高橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的壓縮感知?jiǎng)恿憫?yīng)信號(hào)重構(gòu)精度。這些研究成果表明壓縮感知理論可以運(yùn)用在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)壓縮和重構(gòu)上。重構(gòu)算法的選擇會(huì)影響原始信號(hào)重構(gòu)的精度。已有的重構(gòu)算法可以分為兩類:凸優(yōu)化算法和貪婪算法。凸優(yōu)化算法需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解,而這個(gè)過程可能會(huì)非常耗時(shí)。貪婪算法雖然速度快,但是它的精度不如凸優(yōu)化算法高。因此,為了解決這些問題,學(xué)者們開始探索新的壓縮感知重構(gòu)算法,提出了基于貝葉斯框架的重構(gòu)算法[16-17]。

Ji等[16]首次將貝葉斯理論應(yīng)用到壓縮感知中,使壓縮感知重構(gòu)問題與稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法相結(jié)合,提出一種貝葉斯壓縮感知(Bayesian Compressive Sensing,BCS)算法,并闡述了BCS的理論分析及數(shù)學(xué)推導(dǎo)。Huang等[17]利用BCS算法來重構(gòu)近似稀疏信號(hào),并使用北京國(guó)家游泳中心(水立方)和臺(tái)灣高雄市的一座斜拉橋的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的真實(shí)信號(hào)來驗(yàn)證算法的性能。Ji等[18]在BCS的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種多任務(wù)貝葉斯壓縮感知方法,充分利用了信號(hào)之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,基于多任務(wù)的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)理論將一個(gè)信號(hào)通過不同觀測(cè)矩陣進(jìn)行多次觀測(cè),從多個(gè)不同的低維觀測(cè)中聯(lián)合重構(gòu)出原始信號(hào),以此降低重構(gòu)信號(hào)的不確定性。馬云飛等[19]提出了一種旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)貝葉斯壓縮重構(gòu)方法,通過利用拉普拉斯先驗(yàn)及稀疏塊相關(guān)性來增強(qiáng)信號(hào)的稀疏性,從而提高壓縮感知的效率和精度。

由于噪聲的影響,結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)稀疏性較差,影響了原始響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)的精度。鑒于此,在BCS的基礎(chǔ)上,引入小波閾值減噪的思想,提出一種融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)方法。針對(duì)土木工程結(jié)構(gòu)測(cè)量信號(hào)具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點(diǎn),采用閾值法增強(qiáng)信號(hào)的稀疏度,以改善后續(xù)響應(yīng)重構(gòu)的精度,通過BCS壓縮信號(hào)并重構(gòu)原始信號(hào),解決橋梁結(jié)構(gòu)健康實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)海量數(shù)據(jù)造成存儲(chǔ)和傳輸成本高的問題。

1 貝葉斯壓縮感知

根據(jù)壓縮感知理論,N×1的一維信號(hào)x可以線性表示為:

x=Ψθ

(1)

式中:Ψ是N×N的稀疏正交基;θ稱為K稀疏向量,K為稀疏度。

信號(hào)通過M×N維的觀測(cè)矩陣Φ(M

y=ΦΨTx=Φθ

(2)

將稀疏向量θ分解為向量θs與向量θe兩項(xiàng),式(2)改寫為:

y=Φ(θs+θe)=Φθs+ne

(3)

式中:θs的N-K個(gè)元素對(duì)應(yīng)的是K稀疏向量θ中N-K個(gè)值最大的元素,其余K個(gè)元素為0;θe的K個(gè)元素對(duì)應(yīng)的是K稀疏向量θ中K個(gè)值最小的元素,其余N-K個(gè)元素為0,ne=Φθe。

由于觀測(cè)矩陣Φ是隨機(jī)的,根據(jù)中心極限定理,ne中的元素可視為均值為零、方差為σ2的高斯噪聲。則y的高斯似然模型為:

(4)

由此,將傳統(tǒng)的壓縮感知理論中求解稀疏權(quán)重系數(shù)問題轉(zhuǎn)變成稀疏情況下θ稀疏約束的線性回歸問題[20]。

(5)

為了讓噪聲的超參數(shù)和信號(hào)的超參數(shù)相匹配,將噪聲的超參數(shù)設(shè)為噪聲方差的倒數(shù),即:

α0=1/σ2

(6)

定義超參數(shù)α和α0均服從Gamma分布以簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)超參數(shù)α進(jìn)行邊緣分布計(jì)算,得到稀疏向量θ的概率分布函數(shù):

(7)

式中:a、b是Gamma參數(shù)。

根據(jù)上面所確定的先驗(yàn)概率分布和觀測(cè)信號(hào)y可通過貝葉斯準(zhǔn)則求得后驗(yàn)概率分布為:

p(θi|yi,α)=

(8)

其中

(9)

(10)

式中:對(duì)角矩陣A=diag(α1,α2,…,αN)。

BCS信號(hào)重構(gòu)的主要任務(wù)就是估計(jì)先驗(yàn)超參數(shù)α,然后根據(jù)式(9)求出稀疏向量μ,也即重構(gòu)的稀疏向量,然后可恢復(fù)所對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)。

2 快速超參數(shù)估計(jì)方法

(11)

(12)

式中:C-i表示去掉第i個(gè)相關(guān)基φi后的協(xié)方差矩陣C,后項(xiàng)就是去除的部分。

通過上述計(jì)算可以對(duì)最大化后驗(yàn)概率密度函數(shù)的似然對(duì)數(shù)L(α,α0)進(jìn)行分解:

L(α,α0)=L(α-i,α0)+

(13)

(14)

(15)

式中:si被稱為“稀疏因子”,用來判斷基向量φi是否與模型中剩余所有基向量重疊;qi被稱為“質(zhì)量因子”,用于矯正去除基向量φi后對(duì)模型誤差。

對(duì)式(13)進(jìn)行求導(dǎo),使其對(duì)αi的導(dǎo)數(shù)為零可得:

(16)

(17)

(18)

其中B=α0I。根據(jù)上式得到的參數(shù)Sm、Qm可以用來更新“稀疏因子”si及“質(zhì)量因子”qi,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(19)

由上式可知,當(dāng)αi=∞時(shí),sm=Sm,qm=Qm。

3 基于閾值法稀疏化振動(dòng)信號(hào)

壓縮感知理論的應(yīng)用需要先將實(shí)際中原信號(hào)通過稀疏變換轉(zhuǎn)化為稀疏向量,然后再利用壓縮感知的原理進(jìn)行采樣和重構(gòu)。信號(hào)的稀疏度會(huì)影響信號(hào)的重構(gòu)效果。在采樣條件不變的情況下,信號(hào)的稀疏度越高,原始信號(hào)被高精度地恢復(fù)的可能性就越高。理想的稀疏信號(hào)是指在大部分時(shí)刻里信號(hào)取值為零,而在少數(shù)時(shí)刻里信號(hào)的幅值相對(duì)較大。

而實(shí)際上,由信號(hào)x經(jīng)稀疏變換得到的稀疏向量θ并不具有理想的稀疏性。經(jīng)稀疏變換得到的稀疏向量θ雖在少部分時(shí)刻里有較大的幅值,不過在很多時(shí)刻里也具有較小的幅值,導(dǎo)致信號(hào)的重構(gòu)精度和重構(gòu)概率下降。因此為了提高重構(gòu)概率和重構(gòu)精度,通過引入小波閾值去噪方法來提升稀疏向量θ的稀疏程度[22]。其基本思想是:根據(jù)稀疏向量θ的信號(hào)特征,引用硬閾值法[23],對(duì)稀疏向量θ進(jìn)行閾值處理,即根據(jù)不同信號(hào)在不同壓縮比下設(shè)置不同的閾值,比較稀疏向量θ與閾值的大小,將低于閾值的系數(shù)置零,高于閾值的系數(shù)保持不變。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(20)

通過閾值處理,不僅可以很好地保留信號(hào)的局部特征,而且在相同采樣條件下提高信號(hào)重構(gòu)概率和重構(gòu)精度。

4 融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法步驟

融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法步驟總結(jié)如下:

步驟1:選取適當(dāng)?shù)南∈杌?按照式(1)把信號(hào)x在稀疏基Ψ上做稀疏表示,獲取稀疏向量θ,其中Ψ是N×N的稀疏正交矩陣。

步驟5: 計(jì)算均值μ及協(xié)方差Σ,同時(shí)利用式(17)與(18)初始化sm與qm。

步驟8: 更新噪聲方差,根據(jù)式(9)和式(10)更新均值μ和協(xié)方差Σ,同時(shí)根據(jù)式(17)和式(18)更新sm和qm。

步驟9: 判斷算法是否滿足收斂條件,如滿足則結(jié)束計(jì)算,否則重復(fù)執(zhí)行步驟4～步驟9。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法的有效性和適用性,以實(shí)驗(yàn)室簡(jiǎn)支外伸梁和吉安大橋?yàn)槔?模擬振動(dòng)信號(hào)的壓縮和重構(gòu)。

5.1 實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)概況

簡(jiǎn)支外伸梁全長(zhǎng)4 m,橫截面尺寸為50 mm×15.65 mm。梁的彈性模量E=205 GPa,密度為7 780 kg/m3,泊松比為0.3。將梁先安裝在滾柱軸承和鉸鏈軸承上,然后軸承底板用四個(gè)螺栓固定于混凝土塊頂部厚鋼板上,如圖1所示。試驗(yàn)中在梁的端部安裝了B&K4374型加速度計(jì),利用LDS V451勵(lì)磁器、B&K信號(hào)發(fā)生器和LDS PA500功率放大器相結(jié)合以產(chǎn)生隨機(jī)激勵(lì),激勵(lì)點(diǎn)位置設(shè)置在離鉸支座0.5 m的位置,如圖2所示。加速度響應(yīng)通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)KYOWA EDX-100A 以500 Hz的采樣頻率采集。其它有關(guān)試驗(yàn)的詳細(xì)情況可見參考文獻(xiàn)[24]。

圖1 簡(jiǎn)支外伸梁

圖2 激勵(lì)位置和傳感器位置

5.2 簡(jiǎn)支外伸梁信號(hào)重構(gòu)及數(shù)據(jù)分析

為了評(píng)價(jià)信號(hào)的重構(gòu)效果,定義重構(gòu)相對(duì)誤差為:

(21)

重構(gòu)相對(duì)誤差ξ越小,則重構(gòu)精度越高。

此外,在壓縮感知的數(shù)據(jù)壓縮中用到了壓縮比的概念,定義壓縮比為:

(22)

式中:M是觀測(cè)信號(hào)即壓縮信號(hào)的長(zhǎng)度,N代表原始信號(hào)的長(zhǎng)度,均用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)來表示。

稀疏基與觀測(cè)矩陣分別采用離散余弦基和高斯隨機(jī)矩陣,并考慮0.2、0.4、0.6和0.8等四種壓縮比。

在確定閾值大小時(shí),先對(duì)采集的加速度信號(hào)做稀疏變換,變換后的DCT系數(shù)如圖3所示。依照DCT系數(shù)經(jīng)過試算,為了最大程度保留信號(hào)的有用信息,所選取的閾值應(yīng)小于10,這里選取閾值為2、4、6、8,然后利用本文提出的算法對(duì)測(cè)量的加速度振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行壓縮感知重構(gòu),重構(gòu)誤差如表1所示。閾值選取不同,對(duì)應(yīng)壓縮信號(hào)的稀疏度也不同,閾值越大,幅值較小的信號(hào)被舍棄越多,信號(hào)的稀疏度也越大。壓縮比較小時(shí),測(cè)量信號(hào)保留較多,重構(gòu)的響應(yīng)精度較高,則可取較小閾值來稀疏化信號(hào)。壓縮比較大時(shí),測(cè)量信號(hào)保留較少,為了更好地恢復(fù)原始信號(hào),可以取較大的閾值,以保留更多的稀疏信號(hào),以提高重構(gòu)精度。表1中帶下劃線的誤差是不同壓縮比下取不同閾值重構(gòu)后的最小誤差,對(duì)應(yīng)的閾值可定為該壓縮比下的最合適閾值。因此0.2、0.4、0.6和0.8的壓縮比下分別選取閾值2、4、8和8用于后續(xù)的壓縮感知響應(yīng)重構(gòu)。

表1 振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)誤差(實(shí)驗(yàn)室簡(jiǎn)支外伸梁)

圖3 加速度信號(hào)的DCT系數(shù)

為了對(duì)比分析,將融合閾值法的貝葉斯壓縮感知信號(hào)重構(gòu)結(jié)果與未使用閾值化處理的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

圖4 使用閾值前后的信號(hào)重構(gòu)誤差(實(shí)驗(yàn)室梁)

從圖4可見,用提出的方法重構(gòu)的結(jié)果相比于未使用閾值法得到的重構(gòu)結(jié)果,誤差更小。其時(shí)程信號(hào)對(duì)比如圖5所示,當(dāng)壓縮比較低時(shí),如不大于0.4時(shí),未使用閾值的與使用閾值的重構(gòu)時(shí)程信號(hào)都與原始信號(hào)吻合良好;但壓縮比逐漸增大時(shí),未使用閾值的重構(gòu)時(shí)程信號(hào)誤差越來越大,而用本文提出的融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)法得到的重構(gòu)響應(yīng)仍與原始信號(hào)吻合良好。

5.3 吉安大橋簡(jiǎn)介及試驗(yàn)概況

吉安大橋位于江西省吉安市,位于贛江水道之上,如圖6所示。該橋?yàn)殇摴芑炷林谐惺焦皹?全長(zhǎng)536 m,主橋橋面總寬28 m,跨徑為36 m+138 m+188 m+138 m+36 m。為了測(cè)試橋面豎向的自振特性,在橋吊桿和立柱連接處的上下兩側(cè)的橋面上分別選取88個(gè)測(cè)點(diǎn),共176個(gè)測(cè)點(diǎn),其測(cè)點(diǎn)的平面布置圖如圖7所示。其中測(cè)點(diǎn)布置的傳感器選用941-B型伺服加速度傳感器,傳感器檢測(cè)到的環(huán)境振動(dòng)加速度信號(hào)經(jīng)過INEV-16和IEVN-9多功能放大器的放大和濾波后,由32通道東方科卡數(shù)據(jù)采集儀進(jìn)行采集,并將采集到的數(shù)據(jù)保存到電腦的硬盤中?，F(xiàn)場(chǎng)采用的采樣頻率為200 Hz,采樣20 min,每個(gè)通道采樣的加速度時(shí)程數(shù)據(jù)為200×20×60=240 000個(gè)。其它有關(guān)試驗(yàn)的詳細(xì)情況可查看文獻(xiàn)[25]。

圖6 吉安大橋

圖7 傳感器測(cè)點(diǎn)布置(單位:m)

5.4 吉安大橋信號(hào)重構(gòu)及數(shù)據(jù)分析

選取中跨下游D90測(cè)點(diǎn)某段10 s的加速度時(shí)程信號(hào)作為原始信號(hào)作為研究對(duì)象,對(duì)其進(jìn)行壓縮采樣并重構(gòu)。其中稀疏基依舊采用離散余弦基,觀測(cè)矩陣也選用高斯隨機(jī)矩陣,同樣考慮0.2、0.4、0.6和0.8等四種壓縮比。對(duì)選取的數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏變換,經(jīng)變換后的DCT系數(shù)如圖8所示。

圖8 D90測(cè)點(diǎn)加速度信號(hào)的DCT系數(shù)

依照DCT系數(shù)并經(jīng)過試算,為了保留信號(hào)的有用信息,選取的閾值不宜大于4.0×10-4。因此選取閾值為0.5×10-4、1.0×10-4、1.5×10-4、2.0×10-4、2.5×10-4對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行閾值化處理,然后再使用提出的重構(gòu)算法重構(gòu)原始信號(hào)。重構(gòu)結(jié)果如表2所示。表中帶下劃線的數(shù)值是不同壓縮比下取不同閾值重構(gòu)后的最小誤差,對(duì)應(yīng)的閾值可定為該壓縮比下的最合適閾值。因此0.2、0.4、0.6和0.8的壓縮比下分別選取閾值1.0×10-4、1.0×10-4、1.5×10-4和2.0×10-4用于后續(xù)響應(yīng)重構(gòu)。

表2 振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)誤差(測(cè)點(diǎn)D90)

圖9是融合閾值法的貝葉斯壓縮感知信號(hào)重構(gòu)誤差與未使用閾值化處理的壓縮感知響應(yīng)重構(gòu)誤差的對(duì)比圖。從圖9可以看到,在各壓縮比下,利用融合閾值法的貝葉斯壓縮感知重構(gòu)算法得到的結(jié)果精度均高于未使用閾值法的結(jié)果,尤其是在高壓縮比的情況下。加速度振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的時(shí)程信號(hào)對(duì)比圖如圖10所示。從圖10可以看出,經(jīng)過閾值化處理后的重構(gòu)信號(hào)與原始時(shí)程信號(hào)吻合更加良好。

圖9 使用閾值前后的信號(hào)重構(gòu)誤差(吉安大橋)

圖10 響應(yīng)信號(hào)時(shí)程對(duì)比(吉安大橋)

6 結(jié) 論

針對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)因海量數(shù)據(jù)導(dǎo)致數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸壓力大以及監(jiān)測(cè)信號(hào)受外界環(huán)境噪聲影響導(dǎo)致信號(hào)稀疏性較差的問題,提出了一種融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法。主要結(jié)論如下:

(1) 提出了融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法。根據(jù)經(jīng)稀疏變換所得到的稀疏向量的信號(hào)特征,引用硬閾值法,將低于閾值的系數(shù)置零,高于閾值的系數(shù)保持不變,以此實(shí)現(xiàn)對(duì)稀疏向量的閾值化處理,從而改善后續(xù)的原始信號(hào)重構(gòu)精度。

(2) 提出的算法優(yōu)于未使用閾值的算法。實(shí)驗(yàn)室簡(jiǎn)支外伸梁和吉安大橋的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,在各壓縮比下,利用融合閾值法的BCS算法重構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的結(jié)果優(yōu)于未使用閾值法的BCS算法得到的結(jié)果,尤其是高壓縮比下。

(3) 使用融合閾值法的BCS算法重構(gòu)得到的時(shí)程信號(hào)與原始時(shí)程信號(hào)吻合更加良好,表明融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法是實(shí)現(xiàn)用少量采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)較為準(zhǔn)確原始信號(hào)的有效方法。