齒根裂紋擴(kuò)展對(duì)輪齒時(shí)變嚙合剛度變化關(guān)系的分析

周新濤，張文亭，吳玉文，周錦濤

（1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000；2.西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048；3.西安弘迪安瑞智能科技有限公司研發(fā)中心，西安 710000）

齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成單元，傳動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，齒輪輪齒的健康狀態(tài)直接影響整臺(tái)機(jī)械的工作效率[1-2]。經(jīng)大量研究與統(tǒng)計(jì)，齒輪在循環(huán)彎曲應(yīng)力和應(yīng)力集中等條件下，齒輪的失效形式主要表現(xiàn)為齒輪的齒面點(diǎn)蝕、輪齒磨損、齒根裂紋和齒面膠合等故障現(xiàn)象[3-5]。在上述齒輪故障中，輪齒的齒根裂紋占據(jù)40%的比重，其是齒輪故障的主要表現(xiàn)形式[6-7]。當(dāng)輪齒故障發(fā)生時(shí)，輕則導(dǎo)致停機(jī)，影響生產(chǎn)效率，重則引起重大經(jīng)濟(jì)損失，甚至是出現(xiàn)人身傷亡等重大事故[8-9]。

當(dāng)齒根裂紋產(chǎn)生后，新裂紋會(huì)進(jìn)一步延伸或擴(kuò)展，將會(huì)導(dǎo)致輪齒斷裂。根據(jù)不同狀態(tài)的齒根裂紋對(duì)齒輪的嚙合剛度帶來(lái)較大影響，使齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)特性和傳動(dòng)效率大為降低。另外，齒根裂紋還會(huì)引起傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，惡化機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行環(huán)境，給傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)巨大挑戰(zhàn)，導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備的使用壽命降低[10-11]。最終，大幅度增加了設(shè)備的使用和維護(hù)成本。

針對(duì)輪齒齒根裂紋的研究，國(guó)內(nèi)外有許多專家和學(xué)者在此領(lǐng)域貢獻(xiàn)出大量的研究成果。如文獻(xiàn)[12]以風(fēng)電機(jī)的增速齒輪組為研究對(duì)象，采用了非線性動(dòng)力學(xué)理論和數(shù)值仿真法研究了齒根裂紋對(duì)輪齒時(shí)變嚙合剛度的影響情況。文獻(xiàn)[13]基于勢(shì)能法，計(jì)算含有磨損和裂紋的齒頂修形斜齒輪的嚙合剛度，并將計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了勢(shì)能法研究輪齒嚙合剛度的有效性。文獻(xiàn)[14]采用有限元法研究齒根裂紋擴(kuò)展路徑，并采用勢(shì)能法求解了裂紋路徑與時(shí)變嚙合剛度之間的力學(xué)關(guān)系。文獻(xiàn)[15]研究齒根裂紋尖端到單齒中線的距離與1/2 齒頂圓齒后的關(guān)系，采用能量法分析嚙合剛度與輪齒裂紋深度之間的變化關(guān)系，得出了裂紋深度大于50%時(shí)輪齒剛度值減小幅度加劇。并且，采用有限元法仿真驗(yàn)證理論模型的有效性。但是，這些研究成果都沒(méi)有涉及到齒根裂紋擴(kuò)展方向和裂紋深度對(duì)多種輪齒嚙合剛度值的影響情況。

因此，本論文在上述研究的基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度4 種剛度形式。同時(shí)，考慮了齒輪本體柔性變形對(duì)理論剛度值的偏差較大，并給出了理論剛度計(jì)算方法的修正形式，能夠得到理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際剛度數(shù)值進(jìn)一步相接近。

1 輪齒嚙合時(shí)變剛度的原理

采用輪齒嚙合變形的能量法，研究輪齒時(shí)變嚙合剛度與4 種主要變形情況的計(jì)算關(guān)系。再利用鍵合圖建模法，建立單、雙齒周期性交替嚙合的剛度模型，并通過(guò)數(shù)值仿真的方式研究輪齒的時(shí)變嚙合剛度與相關(guān)參數(shù)之間的變化規(guī)律。

1.1 單齒嚙合剛度

輪齒嚙合傳動(dòng)時(shí)，儲(chǔ)存在輪齒內(nèi)部的能量主要有4 種：Hertz 接觸能、徑向壓縮變形能、彎曲勢(shì)能和剪切變形能。根據(jù)能量法的計(jì)算原理，結(jié)合圖1 所示的單齒嚙合時(shí)輪齒的受力情況，可分別得出輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、輪齒的彎曲剛度和輪齒的剪切剛度的計(jì)算關(guān)系（齒數(shù)小于41），如式（1）—（4）所示。當(dāng)齒輪的齒數(shù)大于41 時(shí)，可將這4 種剛度公式中的非積分項(xiàng)去掉，并將積分項(xiàng)的積分上限α2改為α4即可。

圖1 單齒嚙合的受力圖

式中：μ為泊松比；E為彈性模量；B為齒寬；α為壓力角；

采用能量法，考慮輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度等4 種剛度形式。按照這種方法計(jì)算輪齒的嚙合剛度時(shí)，因沒(méi)有考慮齒輪本身的柔性變形，從而導(dǎo)致計(jì)算得出的理論剛度值比齒輪的實(shí)際剛度值偏大。若不解決這個(gè)問(wèn)題，將會(huì)對(duì)后續(xù)輪系動(dòng)態(tài)特性的研究帶來(lái)較大影響。

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[16]，給出了齒輪本體柔性變形的計(jì)算關(guān)系，如式（5）所示

式中：B為輪齒的齒寬；αm為嚙合角；L*、M*、P*、Q*為多項(xiàng)式的系數(shù)項(xiàng)，滿足式（6）的函數(shù)關(guān)系

式中：X*={L*，M*，P*，Q*}，且各參數(shù)的含義及取值，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

即，齒輪基體的柔性剛度Kf，由式（7）求得

當(dāng)主、從動(dòng)齒輪在單嚙合區(qū)嚙合時(shí)，可根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)剛度串聯(lián)原理計(jì)算，將這對(duì)輪齒嚙合的綜合時(shí)變嚙合剛度Ksgle的計(jì)算關(guān)系，如式（8）所示

式中：i為1、2，分別為主動(dòng)輪、從動(dòng)輪。

1.2 雙齒嚙合剛度

同理，主、從動(dòng)齒輪對(duì)應(yīng)輪齒在雙嚙合區(qū)嚙合時(shí)，可按照并聯(lián)剛度原理計(jì)算，其輪齒嚙合的綜合時(shí)變嚙合剛度Kttal的計(jì)算關(guān)系，如式（9）所示

式中：i為1、2 時(shí)分別為第一對(duì)嚙合的輪齒、第二對(duì)嚙合的輪齒。

1.3 單、雙齒嚙合時(shí)變剛度

根據(jù)式（8）、式（9），可得出齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合時(shí)變嚙合剛度K（t），可按照式（10）所示的關(guān)系描述

式中：輪齒從進(jìn)入嚙合開(kāi)始直至完全退出嚙合時(shí)的周期記作T；n為輪齒順序號(hào)；則第二對(duì)主、從動(dòng)齒輪的輪齒進(jìn)入嚙合時(shí)時(shí)間為t1，t1=T/ε；以及第三對(duì)主、從動(dòng)齒輪的輪齒進(jìn)入嚙合階段的時(shí)間為t2，t2=1-1/ε；ε 為齒輪的重合度，其值在（1，2）的范圍內(nèi)。

2 齒根裂紋的力學(xué)模型

2.1 齒根裂紋的力學(xué)原理

圖2 是含有齒根裂紋AB的單齒模型，假設(shè)A點(diǎn)是齒根受力的最大值點(diǎn)，也是裂紋開(kāi)始產(chǎn)生的起始點(diǎn)，B點(diǎn)是裂紋的截止點(diǎn)（尖端奇異點(diǎn)）。裂紋AB與輪齒中心線的夾角為（裂紋擴(kuò)展的方向角），假設(shè)該角在裂紋擴(kuò)展時(shí)始終保持為同一常數(shù)。同時(shí)，假設(shè)含有裂紋的輪齒在齒根部位尚未產(chǎn)生撓度變形，該輪齒仍然可簡(jiǎn)化為變截面的懸臂梁。在這種條件下，該輪齒的齒廓曲線仍保持完好。因此，輪齒的赫茲剛度和徑向壓縮剛度均與正常齒輪的剛度一樣。但是，由于齒根裂紋的存在，從而改變了齒根位置處的受力環(huán)境，導(dǎo)致輪齒的彎曲剛度和剪切剛度發(fā)生變化。

圖2 含齒根裂紋故障的受力示意圖

含有齒根裂紋故障時(shí)，在距離基圓距離為x位置處的慣性矩Ix和有效截面積Ax的計(jì)算關(guān)系，改變?yōu)槭剑?1）和式（12）所示

式中：B為輪齒沿軸向方向的厚度。

2.2 齒根裂紋仿真模型的設(shè)置

圖3 是輪齒的齒根裂紋擴(kuò)展示意圖，如裂紋的上邊界為AG，下邊界為CG。D點(diǎn)是裂紋上、下邊界初始點(diǎn)A、C連線的中點(diǎn)，G點(diǎn)是裂紋尖端點(diǎn)。連接DG并反向延長(zhǎng)與輪齒中線OO交于B點(diǎn)，即以線段DG的長(zhǎng)度近似描述裂紋的大小。ν是裂紋DG與輪齒中線OO的夾角，即為裂紋擴(kuò)展的方向角。根據(jù)齒根裂紋在不同尺寸下的長(zhǎng)度lx，來(lái)定義裂紋故障擴(kuò)展的程度，其定義方法見(jiàn)表1。

表1 不同尺度下的裂紋程度

圖3 齒根裂紋擴(kuò)展模型

3 齒根裂紋對(duì)嚙合時(shí)變剛度的影響研究

3.1 裂紋擴(kuò)展程度與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究

本節(jié)采用數(shù)值仿真的方法，來(lái)說(shuō)明齒根裂紋擴(kuò)展程度與嚙合剛度之間的波動(dòng)關(guān)系。根據(jù)輪齒嚙合剛度的計(jì)算關(guān)系式與給出的仿真條件，得出了如圖4 所示的是一對(duì)嚙合傳動(dòng)齒輪時(shí)變剛度的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù)Z1=16，Z2=24；模數(shù)m=4.5 mm；齒寬B=38 mm；彈性模量E=2.1×105N/mm2；泊松比μ=0.3。

圖4 裂紋程度與嚙合剛度的變化關(guān)系

從圖4 中可得，正常健康輪齒的時(shí)變嚙合剛度呈現(xiàn)出恒周期性；當(dāng)單個(gè)輪齒的齒根出現(xiàn)裂紋故障時(shí)，使該輪齒的嚙合剛度明顯降低很多，且在整個(gè)時(shí)變嚙合剛度圖中故障剛度也隨著齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率而呈現(xiàn)出大周期性。另外，時(shí)變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴(yán)重程度的增大而減小。而且，隨著齒根裂紋擴(kuò)展的嚴(yán)重程度進(jìn)一步增強(qiáng)，時(shí)變嚙合剛度由雙齒嚙合到單齒嚙合和單齒嚙合到雙齒嚙合等過(guò)渡階段的突變現(xiàn)象較大。

3.2 裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系研究

本節(jié)采用數(shù)值仿真法，研究齒根裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間的波動(dòng)關(guān)系。根據(jù)直齒圓柱齒輪自身的特性，結(jié)合圖3 所示的裂紋擴(kuò)展模型，將裂紋擴(kuò)展的方向設(shè)定為20°、30°、45°和60° 四種特殊的角度。

按照設(shè)置好的仿真條件，通過(guò)仿真計(jì)算后，得出如圖5 所示的一對(duì)相互嚙合傳動(dòng)的齒輪，反映出不同程度輪齒齒根裂紋擴(kuò)展方向與時(shí)變剛度間的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù)Z1=16，Z2=24；模數(shù)m=4.5 mm；齒寬B=38 mm；彈性模量E=2.1×105N/mm2；泊松比μ=0.3。

圖5 裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度的變化關(guān)系

由圖5（a）所示的前期裂紋與時(shí)變嚙合剛度的變化曲線可得：當(dāng)齒根裂紋在前期時(shí)，其含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而減小。同時(shí)，單對(duì)輪齒嚙合剛度由健康輪齒時(shí)的非單調(diào)性向單調(diào)遞減方向轉(zhuǎn)變。

圖5（b）所示的中期裂紋的嚙合剛度曲線可得：此時(shí)，含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而增大。同時(shí)，單對(duì)輪齒嚙合剛度曲線的單調(diào)性增強(qiáng)。

同理，圖5（c）所示的后期裂紋的嚙合剛度變化曲線中得出，其變化規(guī)律與前期、中期裂紋對(duì)剛度值的影響規(guī)律相同。

裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度變化的局部區(qū)域，含有齒根裂紋輪齒的時(shí)變剛度值隨著裂紋擴(kuò)展程度的增大而降低。當(dāng)齒根裂紋在擴(kuò)展的整個(gè)時(shí)期里，故障輪齒的時(shí)變嚙合剛度值隨著方向角的增大而增大。另外，故障輪齒的時(shí)變嚙合剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展程度嚴(yán)重性的增強(qiáng)，方向角度的變化對(duì)時(shí)變嚙合剛度值的影響程度降低。

4 結(jié)論

本論文基于能量法，針對(duì)齒輪的齒根裂紋擴(kuò)展與時(shí)變嚙合剛度之間變化關(guān)系，經(jīng)研究得出了以下幾點(diǎn)結(jié)論。

1）在傳統(tǒng)剛度的理論模型基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度4 種剛度形式。同時(shí)，將齒輪的柔性變形也考慮在內(nèi)，建立起優(yōu)化的時(shí)變嚙合剛度的理論模型。

2）在輪齒齒根裂紋擴(kuò)展程度與時(shí)變嚙合剛度間的變化關(guān)系的研究中，得出了時(shí)變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴(yán)重程度的增大而減小。

3）在對(duì)裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究中，得出了時(shí)變嚙合剛度值隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而增大。

4）齒根裂紋的擴(kuò)展程度和擴(kuò)展方向，對(duì)時(shí)變嚙合剛度的變化規(guī)律影響不大。