時標上的Clifford 值概周期函數(shù)與動力方程的Clifford值概周期解

趙莉莉

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南 昆明 650091)

0 引 言

神經網(wǎng)絡能夠從人腦的神經系統(tǒng)結構出發(fā),研究大腦的工作機制,進而揭示人工智能的本質,它是在許多學科的基礎上發(fā)展起來的新興的、綜合性、交叉性很強的學科.自20世紀80年代初期,美國加州理工學院的優(yōu)秀生物學家John J.Hopfield 博士,建立神經網(wǎng)絡的數(shù)學模型后,對實值神經網(wǎng)絡的研究進入了一個新的高潮時期,取得了大量的研究成果[1-5].雖然實值神經網(wǎng)絡在自動控制、模式識別、圖像處理、醫(yī)療衛(wèi)生等領域得到廣泛應用,但也有其局限性,無法直接處理復數(shù)數(shù)據(jù),因此,作為實值神經網(wǎng)絡的推廣,復值神經網(wǎng)絡應運而生,解決了一些實值神經網(wǎng)絡不能解決的問題[6],再次掀起了神經網(wǎng)絡研究熱潮,成為一個新的研究熱點.文獻[7]研究了一類具有時變時滯的復值神經網(wǎng)絡概周期解的存在性與穩(wěn)定性.文獻[8]研究了多個復值神經網(wǎng)絡在脈沖耦合機制下形成復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的全局漸進同步問題.文獻[9]研究了一類具有不確定性和時滯的分數(shù)階復值神經網(wǎng)絡無源性問題.文獻[10]研究了一類具有時滯的分數(shù)階復值神經網(wǎng)絡的準一致同步問題.

因在處理幾何問題上的優(yōu)勢,以及實際應用價值, Clifford值神經網(wǎng)絡已廣泛應用于自動化控制、計算機視覺、圖像與信號傳輸過程等領域之中,獲得了大量研究成果,成為又一個新的研究熱點.文獻[11]利用M矩陣的性質和微分不等式技巧,證明了一類帶有離散時滯和分布時滯的Clifford值遞歸神經網(wǎng)絡平衡點的存在性、唯一性,以及全局指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[12]基于Clifford代數(shù),利用圖論方法和線性矩陣不等式方法, 對帶有隨機項的時滯耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步性進行了研究.研究時標上Clifford值神經網(wǎng)絡,一方面即能涵蓋連續(xù)型神經網(wǎng)絡的研究,還能涵蓋離散型神經網(wǎng)絡的研究; 另一方面,還能將實值神經網(wǎng)絡、復值神經網(wǎng)絡,以及四元數(shù)值神經網(wǎng)絡的研究有機地統(tǒng)一在一起.再考慮到,要想更精確地描述動力系統(tǒng)的動力學行為,其概周期解的存在性與穩(wěn)定性起到了至關重要的作用, 因此,在時標上討論Clifford值神經網(wǎng)絡概周期解的存在性與穩(wěn)定性,既有理論意義,又有應用價值.

不動點原理是探討微分系統(tǒng)各類解函數(shù)存在性的常用方法之一,為了更好地在時標上使用不動點原理,討論Clifford值神經網(wǎng)絡的概周期解的存在性,需要將時標上的概周期函數(shù)的值域推廣到Clifford代數(shù)空間、建立完備的Clifford值概周期函數(shù)空間, 以及構建時標上一階動力方程的Clifford值概周期解的存在性定理.

1 時標上Clifford值概周期函數(shù)的相關概念

定義1[13]設Τ是實數(shù)集的一個非空閉子集(時標).前躍算子、后躍算子,以及粗細度函數(shù)分別定義如下:

σ(t)=inf{s∈Τ:s>t},ρ(t)=sup{s∈Τ,s

t∈Τ稱作是左稠密的,是指t>infΤ,且ρ(t)=t;稱作是左分散的,是指ρ(t)t.

時標上的點有以下4種類型1) 即是右稠密點,還是左稠密點,這樣的點稱為時標的稠密點,此時有ρ(t)=t=σ(t); 2) 右稠密且左分散點,此時有ρ(t)

定義2[13]函數(shù)f:Τ→稱作是回歸的,是指對于所有的t∈Τk,有1+μ(t)f(t)≠0.

函數(shù)g:Τ→稱作是右稠密連續(xù)的,是指g在時標Τ的右稠密點上連續(xù),在左稠密點上左極限存在.時標上全體回歸的右稠密連續(xù)函數(shù)構成的集合記為R=R(Τ,).令

R+=R+(Τ,)={r∈R,1+μ(t)r(t)>0,?t∈Τ}.

定義3[13]如果r是一個回歸函數(shù),則時標上的指數(shù)函數(shù)er定義如下

其中

從定義3可以得到:其一,當a是一個正常數(shù),且-a∈R+時,由ξμ(τ)(-a)是一個負值函數(shù)可得,時標上的指數(shù)函數(shù)e-a(t,s)關于第一個變元t單調遞減,關于第二變元s單調遞增; 其二,當r∈R+時,由ξμ(τ)(r(τ))關于r單調遞增可得,當t,s是時標上的固定點時,時標上的指數(shù)函數(shù)er(t,s)關于r單調遞增.

定義4[14]稱時標Τ是周期時標,是指

Π:={τ∈:t±τ∈Τ,?t∈Τ}≠{0}.

從定義4可以看出: 其一,Π關于實數(shù)的加法是封閉的,且Π的本身也是實數(shù)集的閉子集,是一個時標; 其二,在周期時標上,由前躍算子的定義可得:σ(t+τ)=σ(t)+τ,?t∈Τ,?τ∈Π; 其三,粗細度函數(shù)是周期時標上的周期函數(shù),Π中的每一個元素都是它的周期,從而當a是一個正常數(shù)且-a∈R+時,ξμ(τ)(-a)也是一個以Π中每一個元素為周期的周期函數(shù),故

e-a(t+τ,s+τ)=e-a(t,s),?t,s∈Τ,τ∈Π.

定義5[15-17]g維歐幾里德空間g上的實值Clifford代數(shù),定義如下

其中eA=es1es2…esv,A={s1,s2,…,sv},1≤s1

在下文中,用Crd(Τ,Αn)表示從時標Τ到n維Clifford代數(shù)空間Αn的全體右稠密連續(xù)函數(shù)構成的集合.

定義6設Τ是周期時標,且Τ∩Π≠?.函數(shù)f∈Crd(Τ,Αn)稱作是Clifford值概周期函數(shù),如果,f的ε-移位數(shù)集

E(f,ε)={τ∈Π:‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ}

對于每一ε>0,都在時標Τ上稠密.即,對于任意給定的ε>0,存在l=l(ε)∈(0,+∞)∩Π,使得時標上每一個以l(ε)為長度的區(qū)間中,都至少存在一點τ∈Π,使得 ‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε,?ε>0.

時標取為實數(shù)集時,定義在時標上的右稠密連續(xù)函數(shù),就是實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù); 而定義在整數(shù)集上的任意函數(shù)都是連續(xù)的,當然也是右稠密連續(xù)的,所以,定義6是實變量概周期函數(shù)以及概周期序列概念的合理推廣.

時標上全體Clifford值概周期函數(shù)構成的集合,記為AP(Τ,Αn).

2 時標上Clifford值概周期函數(shù)的相關性質

定理1如果f∈AP(Τ,Αn),則f在時標Τ上有界,且是一致右稠密連續(xù).

證對于一個給定的ε≤1,存在l=l(ε)∈(0,+∞)∩Π,使得時標上每一個以l(ε)為長度的區(qū)間中,至少存在一點τ∈Π,滿足

‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε≤1, ?t∈Τ.

(1)

τ∈(E(f,ε)∩[t-t0,t-t0+l(ε)]∩Τ).

則t-τ∈[t0-l(ε),t0]∩Τ.因此,‖f(t-τ)‖Αn

在時標中任取2個右稠密點u,t,滿足|u-t|<δ.取

則

故‖f(t)-f(u)‖Αn≤‖f(t)-f(t-τ)‖Αn+‖f(t-τ)-f(u-τ)‖Αn+‖f(u)-f(u-τ)‖Αn<ε,即函數(shù)在時標上一致右稠密連續(xù).

定理2如果f∈AP(Τ,Αn),則對于任意的ε>0,存在一個正常數(shù)l=l(ε)∈Π,使得對于每一個a∈Τ,都存在η∈(0,+∞)∩Π,以及α∈Τ,滿足([α,α+η]∩Τ)?([a,a+l]∩Τ),以及([α,α+η]∩Τ)?E(f,ε).

從而,令α=τ-η0,η=2η0后,可得([α,α+η]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),以及

([α,α+η]∩Τ)?E(f,ε).

定理3f,g∈AP(Τ,Αn),則對于任意的ε>0,E(f,ε)∩E(g,ε)是時標中非空的相對稠密集.

由定義6與定理2,設η=η(ε)是周期時標Τ的最小正周期,則可取

Li=li+η(i=1,2),L=max{L1,L2}.

τ1=mη∈([a,a+L1]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),

本研究以離子液體為反應介質，通過在溶解的纖維素溶液中加入氯乙酰胺和四氧化三鐵，制備磁性纖維素。紅外、掃描電鏡和透射電鏡等表征結果表明，氯乙酰胺及Fe3O4均成功負載于纖維素上。所制得的磁性纖維素具備鮮明的層狀結構和磁性性能，這有利與提高對亞甲基藍的吸附能力。

τ2=nη∈([a,a+L2]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),

τ∈([a,a+L+2Υ]∩Τ).

對于任意的t∈Τ,有

即時標上每一個以L+2Υ為長度的區(qū)間中,都至少存在一點τ∈E(f,ε)∩E(g,ε).也就是E(f,ε)∩E(g,ε)是時標中的非空稠密集.

對于任意的t∈Τ,有

‖f(t+τ)+g(t+τ)-f(t)-g(t)‖Αn≤‖f(t+τ)-f(t)‖Αn+‖g(t+τ)-g(t)‖Αn<ε,

即,τ∈E(f+g,ε), 再由a的任意性,f+g∈AP(Τ,Αn).

根據(jù)定理1,概周期函數(shù)f,g均在時標Τ上有界.令

即,τ∈E(fg,ε),再由a的任意性,fg∈AP(Τ,Αn).

3 時標上Clifford值概周期函數(shù)空間

證設{fm}是Crd(Τ,Αn)中任意一個柯西序列,即,對任意給定的ε>0,存在正整數(shù)N,當m,s>N時,有

‖fm(t)-fs(t)‖Αn<ε,?t∈Τ.

(2)

因為,對于每一個t∈Τ,{fm(t)}是Αn中的一個柯西序列,而(Αn,‖·‖Αn)是一個Banach空間,所以存在f(t), 使得fm(t)→f(t)(m→∞).因此,在(2)式中,令s→+∞, 可得

‖fm(t)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ.

特別地,有

‖fN+1(t)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈T.

對于任意給定的ε>0,以及t0∈Τ,由fN+1∈Crd(Τ,Αn),有以下兩種情形.

情形1如果t0是右稠密點,則存在δ=δ(t0)∈(0,+∞)∩Π,使得當t∈(t0-δ(t0),t0+δ(t0))∩Τ時,有‖fN+1(t)-fN+1(t0)‖Αn<ε,故

‖f(t)-f(t0)‖Αn≤‖f(t)-fN+1(t)‖Αn+‖fN+1(t)-fN+1(t0)‖Αn+
‖fN+1(t0)-f(t0)‖Αn<3ε.

(3)

‖f(t)-a‖Αn≤‖f(t)-fmk(t)‖Αn+‖fmk(t)-amk‖Αn+‖amk-a‖Αn<3ε.

(4)

從(3)與(4)式,可得f∈Crd(Τ,Αn).即Crd(Τ,Αn)賦予了上確界范數(shù)后構成一個Banach空間.

證對于任意的ε>0, 存在充分大的正整數(shù)m0,使得對于所有的t∈Τ,有

‖f(t+τ)-f(t)‖Αn≤‖f(t+τ)-fm0(t+τ)‖Αn+‖fm0(t+τ)-fm0(t)‖Αn+
‖fm0(t)-f(t)‖Αn<ε,

即τ∈E(f,ε),再由a的任意性,f∈AP(Τ,Αn).

定理7(AP(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間.

證根據(jù)定理6,AP(Τ,Αn)賦予了上確界范數(shù)后是(Crd(Τ,Αn),‖·‖∞)的閉子空間,又由定理5,(Crd(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間,故(AP(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間.

4 時標上一階動力方程Clifford值概周期解的存在性

引理1[18]設fi∈AP(Τ,Xi),其中每一個Xi(i=1,2,…,n)都是一個Banach空間,則對于每一個ε>0,所有函數(shù)f1,f2,…,fn具有一個公共的ε-概周期.

引理2設Τ是一個周期時標.如果存在-a∈R+,t,s∈Τ,r∈Π,則

證由(e-a(t,s))Δ=-a(t)e-a(t,s),可以得到

(e-a(t+τ,σ(s+τ)))Δ+a(t)e-a(t+τ,σ(s+τ))=

(a(t)-a(t+τ))e-a(t+τ,σ(s+τ)).

(5)

(5)式兩邊同乘e-a(σ(s),σ(t)),再沿著時標·上的區(qū)間[σ(s),t]∩Τ積分后,可得

注意到[ep(c,·)]Δ=-p[ep(c,·)]σ,再考慮到Τ是周期時標,σ(t+τ)=σ(t)+τ, 有

(6)

(6)式兩邊同乘e-a(t,σ(s))后,可得

定理8設Τ是一個周期時標,且Τ≠Π.如果f(t)∈AP(Τ,Αn),a(t)∈AP(Τ,+),且則一階動力方程xΔ(t)=-a(t)x(t)+f(t),?t∈Τ,一定存在Clifford值概周期解.

|a(t+τ)-a(t)|<ε, ‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ.

因此,由引理2可得

即x(t)∈AP(Τ,Αn).

5 結 語

本文主要探討時標上Clifford值概周期函數(shù)的相關性質,以及一階動力方程Clifford值概周期解的存在性.在第1節(jié)中,將時標上概周期函數(shù)的值域推廣到了Clifford值代數(shù)空間,并且將現(xiàn)有文獻中,要求時標上的概周期函數(shù),首先應是時標上的連續(xù)函數(shù),減弱為時標上的右稠密連續(xù)函數(shù),拓展了時標上Clifford值概周期函數(shù)的應用空間.第2節(jié)主要獲得時標上Clifford值概周期函數(shù)的有界性、一致右稠密連續(xù)性,以及關于函數(shù)加法、乘法的封閉性.第3節(jié)證明了時標上Clifford值概周期函數(shù)空間的完備性.在第4節(jié)中,利用時標上Clifford值概周期函數(shù)的相關性質,得到一階動力方程Clifford值概周期解的存在性定理.

以本文的結論作為理論基礎,使用不動點原理,可以探討時標上任意Clifford值神經網(wǎng)絡概周期解的存在性.第2節(jié)中的相關結論,可以用來考察Clifford值神經網(wǎng)絡的非齊次項部分是否概周期函數(shù).而第4節(jié)中的主要結論,可以用來構造時標上Clifford值概周期函數(shù)空間上的自反映射,若該映射還是壓縮映射,則由第3節(jié)中證明的時標上Clifford值概周期函數(shù)空間的完備性,使用不動點定理,可以得到Clifford值神經網(wǎng)絡概周期解的存在性.