能量有限元方法研究進(jìn)展及其非平面波情況下的改進(jìn)

于開平 王懷志

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

隨著技術(shù)的發(fā)展，高速行駛的機(jī)車以及航空航天中高速飛行器等結(jié)構(gòu)的研究都對動(dòng)響應(yīng)預(yù)示方法提出了更多的需求，傳統(tǒng)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法，如有限元和邊界元等[1]，隨著頻率的提高需要更高的網(wǎng)格密度，導(dǎo)致單元類的方法在中高頻響應(yīng)計(jì)算上效率較低，且隨著頻率的提高，結(jié)構(gòu)的模態(tài)更加密集，有限元方法很難得到準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)固有頻率信息[2]。統(tǒng)計(jì)能量分析方法（SEA）的出現(xiàn)可以解決有限元等方法在中高頻響應(yīng)計(jì)算上的一些問題[3]，基于能量在頻率和空間上的平均，SEA 可以將系統(tǒng)簡化為有限個(gè)數(shù)的子系統(tǒng)，簡化后的模型自由度數(shù)與子系統(tǒng)數(shù)相關(guān)，相對于有限元方法，統(tǒng)計(jì)能量模型的自由度小的多，同時(shí)由于進(jìn)行了空間和頻率上的取平均，SEA 也適用于具有一些不確定性和隨機(jī)特性的結(jié)構(gòu)[4]。但是由于子系統(tǒng)需要滿足模態(tài)密度的要求，子系統(tǒng)的特征尺寸一般較大，由于對結(jié)構(gòu)的能量進(jìn)行空間平均，SEA 無法對得到結(jié)構(gòu)的局部響應(yīng)信息，也無法考慮結(jié)構(gòu)局部質(zhì)量、剛度、阻尼和載荷等的不均勻分布問題。

能量有限元方法（EFEA）最初由Nefske[5]通過對功率流方程的研究，得到了與熱傳導(dǎo)方程類似的能量密度控制方程，該方程可以使用有限元程序進(jìn)行求解。Wohlever[6]推導(dǎo)了桿和梁結(jié)構(gòu)的能量密度方程，并對其特性進(jìn)行了研究。Bouthier[7]推導(dǎo)了板的能量密度方程，并與有限元方法進(jìn)行了比較。Bouthier[8]對板的能量有限元進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并給出了無限大結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程。Bouthier[9]推導(dǎo)了膜結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程。Park[10]研究了基于Timoshenko 梁理論的 EFEA，HAN[11]將 Rayleigh-Love 和Rayleigh-Bishop 桿的結(jié)果與經(jīng)典桿理論的結(jié)果進(jìn)行了比較，Bolt[12]用EFEA 對曲梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。Wang[13]考慮了熱作用下板的 EFEA，Chen[14]對梁在受到預(yù)應(yīng)力作用下的EFEA進(jìn)行了研究，并給出了預(yù)應(yīng)力作用下修正的輸入功率就算公式。

EFEA 還被應(yīng)用于一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，代文強(qiáng)等[15]對高速列車的車體和聲腔進(jìn)行了建模，綜合考慮了車廂受到的輪軌激勵(lì)、二系懸掛力、輪軌噪聲以及氣動(dòng)噪聲等復(fù)雜激勵(lì)的作用，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了相比，在分析頻段內(nèi)仿真結(jié)果可以較好的預(yù)測車內(nèi)的聲壓級響應(yīng)，在文獻(xiàn)[16]中，他們進(jìn)一步分析了各種激勵(lì)源對結(jié)構(gòu)和內(nèi)部聲場的影響，據(jù)此對輪軌噪聲進(jìn)行了優(yōu)化，有效的降低了車體內(nèi)部的聲壓級。張雙雙[17]使用EFEA 對車內(nèi)噪聲進(jìn)行了仿真分析。

在航空航天領(lǐng)域，Lima[18]使用EFEA 計(jì)算了飛機(jī)由湍流邊界層激勵(lì)引起的振動(dòng)和內(nèi)部噪聲，建立了可用于EFEA 的湍流邊界層載荷模型，通過對實(shí)測飛行數(shù)據(jù)的比較驗(yàn)證了EFEA 仿真結(jié)果的可靠性。Vlahopoulos[19]等使用EFEA 對鋁制圓柱殼進(jìn)行了仿真分析，該結(jié)構(gòu)具有沿周向的周期性加筋和沿軸向的加筋，通過激振器在結(jié)構(gòu)上施加4 個(gè)單點(diǎn)激勵(lì)，與實(shí)際測試結(jié)果比較表明，EFEA 可以預(yù)測由加筋結(jié)構(gòu)帶來的周期特性，仿真結(jié)果和實(shí)測結(jié)果表現(xiàn)了良好的一致性，文中還比較了是否考慮加筋的周期效應(yīng)對功率傳輸系數(shù)的影響，結(jié)果表明，如果不考慮加筋的周期效應(yīng)，則傳輸?shù)哪芰繒?huì)變得更少。Vlahopoulos[20]將EFEA 應(yīng)用于復(fù)合材料飛機(jī)機(jī)身結(jié)構(gòu)，其中復(fù)合材料使用了等效材料建模的方式，基于耦合邊界的位移協(xié)調(diào)和力平衡條件推導(dǎo)了復(fù)合材料層合板的耦合損耗傳輸系數(shù)，文中將飛機(jī)機(jī)身簡化為圓柱殼結(jié)構(gòu)，在10 個(gè)位置通過激振器施加單點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)，通過比較發(fā)現(xiàn)，EFEA 的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相關(guān)性很好，誤差基本滿足要求。

國內(nèi)對EFEA 在航空航天方面也有較為深入的應(yīng)用，Xie[21]使用殼單元建立了截錐形儀器艙的EFEA 模型，并分別對儀器艙在點(diǎn)載荷和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)提供的壓力載荷作用下的聲振耦合特性進(jìn)行了研究。王懷志、于開平等[22]首先針對雙星整流罩進(jìn)行了EFEA 建模（圖1），該整流罩結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)聲腔以及多個(gè)復(fù)合材料殼體結(jié)構(gòu)，實(shí)驗(yàn)?zāi)M了整流罩處于高聲壓級作用的情況，整流罩外表面受到混響場聲激勵(lì)作用，通過與實(shí)驗(yàn)值以及SEA 結(jié)果的比較，EFEA 在中高頻段獲得了良好的預(yù)示結(jié)果（圖2）。然后，他們又使用EFEA 對氣瓶整艙進(jìn)行了詳細(xì)的EFEA 建模[23]，考慮了結(jié)構(gòu)受到外界混響聲場激勵(lì)作用下的聲振耦合特性，仿真結(jié)果與SEA 的結(jié)果以及實(shí)測結(jié)果進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了EFEA 模型的可靠性。

圖1 整流罩結(jié)構(gòu)EFEA 模型及仿真結(jié)果Fig.1 EFEA model and simulation results of the fairing

圖2 聲腔的聲壓級響應(yīng)Fig.2 Sound pressure level response of the acoustic cavity

此外，原凱[24]、Xie[25]對EFEA 的發(fā)展以及應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)。相對于SEA，EFEA 可以考慮更多結(jié)構(gòu)的局部特征（如幾何、材料屬性或者阻尼等的變化），并得到結(jié)構(gòu)的局部響應(yīng)。相對有限元方法，EFEA 不僅具有性能上的優(yōu)勢，而且對于中高頻分析，由于響應(yīng)對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化比較敏感，有限元基于確定參數(shù)的建模往往會(huì)帶來較大的誤差[26-28]，基于統(tǒng)計(jì)的能量類方法可以較好的解決這個(gè)問題[3]。盡管EFEA 已經(jīng)有了較為深入的研究，但是對于EFEA 的一些基本假設(shè)，以及計(jì)算結(jié)果的可靠性缺乏系統(tǒng)的總結(jié)，本文以板為例，分析了目前在EFEA 中使用的一些基本假設(shè)，并總結(jié)了目前文獻(xiàn)中經(jīng)過驗(yàn)證的一些可靠性評估方法，對于不滿足平面波假設(shè)的情況，對一種改進(jìn)方法進(jìn)行了參數(shù)研究以及仿真分析。

1 能量密度的控制方程

EFEA 的能量密度控制方程基于功率流平衡，這種平衡關(guān)系可以用單元體來表示，如圖3 所示。

圖3 單元體的能量流關(guān)系Fig.3 Energy flow relationship of unit element

這個(gè)關(guān)系可以用以下公式來表示[5]

其中E表示單元體的能量，表示單元體邊界流出的能量強(qiáng)度，πdiss表示單元體內(nèi)由于阻尼等耗散的能量，πin表示單元輸出的能量。

假設(shè)系統(tǒng)阻尼可以簡化為滯后阻尼，且阻尼足夠小，則耗散的能量可以用以下公式來表述[3]

其中，η是內(nèi)損耗因子，ω是圓頻率。

結(jié)構(gòu)中單個(gè)面波分量可以用以下公式來描述

其中，A為波的幅值，K表示波的波數(shù)，r表示距離原點(diǎn)的距離。

以彎曲波為例，能量密度和能量強(qiáng)度可以表述為

其中，D表示彎曲剛度，ρ表示密度，k1為波數(shù)K的實(shí)部。

當(dāng)阻尼很小時(shí)，波數(shù)K的虛部可以忽略，則通過公式(4)可以得到能量密度和能量強(qiáng)度之間的關(guān)系為

其中，Cg是彎曲波對應(yīng)的群速度。

將公式(5)代入公式(1)中，可以得到單彎曲面波的能量密度控制方程

僅考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的情況，可以去除上式中的時(shí)間微分項(xiàng)，則穩(wěn)態(tài)的能量密度控制方程可以表述為

可以發(fā)現(xiàn)，從公式(1)到(7)使用面波方法的推導(dǎo)并不涉及具體的結(jié)構(gòu)（如桿、梁和板等），這說明公式(6)和(7)適用于普遍的擴(kuò)散場面波的傳播過程。面波假設(shè)廣泛應(yīng)用于能量類方法的公式推導(dǎo)中[4]，EFEA 假設(shè)結(jié)構(gòu)內(nèi)混響場占主導(dǎo)，可以近似用面波來表示。

如果將考慮反射波[6]或者將結(jié)構(gòu)擴(kuò)展為多維結(jié)構(gòu)[7]，在能量密度和能量強(qiáng)度的表達(dá)式中將會(huì)出現(xiàn)耦合項(xiàng)，該耦合項(xiàng)可以通過進(jìn)行局部空間平均的方法來消除掉。所以，理論上，EFEA 與SEA類似，是需要進(jìn)行空間平均的，不同的是EFEA的空間平均是局部平均，最小需要在一個(gè)波長內(nèi)進(jìn)行平均即可。對于桿、歐拉-伯努力梁[6]、板[7]、圓柱殼[29]、鐵木辛柯梁[10]以及一階剪切變形板[30]（單波形式）等常見結(jié)構(gòu)，通用的能量密度控制方程可以表述為

其中，〈*〉表示需要對該值進(jìn)行一個(gè)波長上的空間平均。而公式(5)表示的能量強(qiáng)度則可以重新寫成為

能量密度方程可以用有限元方法進(jìn)行離散，離散方法可以使用常規(guī)的EFEA，也可以使用0階EFEA[31]。0 階EFEA 采用了類似數(shù)值離散的集中質(zhì)量方法，每個(gè)單元可以看作是一個(gè)小的SEA 子系統(tǒng)，該方法可以直接使用耦合損耗因子，在相同網(wǎng)格密度的情況下，等效剛度矩陣由于是對角陣，實(shí)際上計(jì)算量略小于傳統(tǒng)的有限元離散方法。

公式(8)可通過Galerkin 加權(quán)余量方法來構(gòu)建能量有限元方程，對于2 維板結(jié)構(gòu)，余量方程為

其中N i為型函數(shù)。單元的能量可以表示為

公式(10)中的第一個(gè)積分項(xiàng)可以展開為

其中，

通過展開可以將公式(10)可以轉(zhuǎn)化為

公式(14)可以寫成以下形式

其中，

Q e表示單元邊界上輸入的功率流，對于結(jié)構(gòu)內(nèi)部（不存在幾何、材料等不連續(xù)），該項(xiàng)可以直接消去。而對于耦合邊界，需要通過耦合邊界的功率流平衡關(guān)系來得到耦合傳遞矩陣[32]，則板的能量有限元公式可以表示為

其中，JC表示耦合邊界的能量傳輸矩陣。

對于公式中的能量輸入項(xiàng)Pin，一般可以通過無限大結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)輸入導(dǎo)納來得到，即

如果使用相同無限大結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)輸入導(dǎo)納計(jì)算輸入功率，EFEA 的計(jì)算結(jié)果實(shí)際相當(dāng)于SEA進(jìn)行頻率平均后的結(jié)果[3]。因?yàn)閷τ谟邢薮蠼Y(jié)構(gòu)，如果在一定頻帶內(nèi)的，載荷為隨機(jī)或者系統(tǒng)本身為隨機(jī)，則其在帶寬內(nèi)的平均輸入導(dǎo)納約等于無限大板的原點(diǎn)輸入導(dǎo)納。這是EFEA 需要進(jìn)行頻率平均的一個(gè)原因。

2 EFEA 結(jié)果的有效性

目前，EFEA 計(jì)算結(jié)果的有效性主要可以從以下幾個(gè)方面：能量耗散的計(jì)算誤差，特征長度與結(jié)構(gòu)內(nèi)最大作用波長的比值以及直接場能量的占比。

Wohlever[6]指出，在EFEA 中，能量密度是結(jié)構(gòu)動(dòng)能和勢能的和，而損耗的能量主要來自結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，因此，公式中的能量密度實(shí)際代表的是結(jié)構(gòu)動(dòng)能密度的2 倍，對于結(jié)構(gòu)動(dòng)能和勢能同相位的結(jié)構(gòu)，如梁和板，在小阻尼假設(shè)下，可以近似認(rèn)為動(dòng)能和勢能是處處相等的，但是對于桿結(jié)構(gòu)，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)動(dòng)能和勢能具有相反的相位，所以如果桿結(jié)構(gòu)內(nèi)含有波長數(shù)不是半波長的整數(shù)倍，能量耗散值的計(jì)算就會(huì)引入誤差。當(dāng)頻率比較高時(shí)，桿結(jié)構(gòu)中含有的波長數(shù)增加，非整數(shù)波長引入的誤差比例會(huì)逐漸降低。

Gur[33]通過對板梁結(jié)構(gòu)在特定頻帶內(nèi)響應(yīng)的研究提出了板和梁結(jié)構(gòu)的波長準(zhǔn)則，對于梁結(jié)構(gòu)，一般要求單個(gè)梁的長度至少大于5 倍的彎曲波長；對于板結(jié)構(gòu)，板的特征長度要求大于2.4 倍的彎曲波長。

Moens[34]通過對不同形狀的板的研究指出，如果板結(jié)構(gòu)的特征長度小于2.4，動(dòng)能和勢能的相等性就無法得到保證。

此外，Langley[35]指出，在強(qiáng)阻尼情況下，直接場在結(jié)構(gòu)響應(yīng)中占比很大，在板結(jié)構(gòu)中，由EFEA能量密度方程描述的能量密度分布是成正比，而實(shí)際的能量密度分布應(yīng)該是成正比，其中r柱坐標(biāo)中響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的距離。因此，在直接場占比較大的情況下，如關(guān)注頻率較高時(shí)或者阻尼比較大時(shí)，相對于實(shí)際值EFEA 的結(jié)果一般表現(xiàn)為，在激勵(lì)點(diǎn)附近較小而在離激勵(lì)點(diǎn)很遠(yuǎn)的地方則相對較大。

Xiang jie[36]通過輻射能量傳輸方程給出了驗(yàn)證板結(jié)構(gòu)EFEA 結(jié)果有效性的準(zhǔn)則（公式(19)），文中指出EFEA 基于混響場假設(shè)，而公式(19)可以用來判斷結(jié)構(gòu)是否滿足混響場假設(shè)。對于阻尼越大，頻率越高，板的特征尺寸越大，直接場部分耗散的能量會(huì)更多，而進(jìn)入混響場的能量就會(huì)相對變小，從而導(dǎo)致不滿足文中提出的混響場假設(shè)

3 非平面波假設(shè)的改進(jìn)

第2 節(jié)的推導(dǎo)方法是EFEA 常用方法，該方法實(shí)際需要假設(shè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的波滿足平面波假設(shè)[7,8]。根據(jù)文獻(xiàn)[4]和[36]，在點(diǎn)激勵(lì)作用下，如果直接擴(kuò)散場占主導(dǎo)，則平面波假設(shè)是不滿足的，而混響場占主導(dǎo)時(shí)，由于各個(gè)方向的波是均勻分布的，可以滿足平面波假設(shè)。因此，可以考慮將板的響應(yīng)分為直接擴(kuò)散場和混響場兩個(gè)部分[37,38]，即

其中，下標(biāo)“total”表示總能量，“dir”代表直接場的能量，“rev”代表混響場的能量。

直接擴(kuò)散場的能量密度可以用公式(21)來表述[8]，而混響場部分的能量可以通過公式(8)來描述。

其中，r為距離激勵(lì)點(diǎn)的距離。

以一個(gè)四邊簡支單板為例，板的尺寸為1.5m×1.5m，厚度為0.002 m，材料參數(shù)如下：密度2700kg/m3，楊氏模量71×109N/m2，泊松比為0.33。在中心點(diǎn)位置施加一個(gè)頻帶400-500 Hz 區(qū)間的隨機(jī)點(diǎn)激勵(lì)，力的幅值大小為10 N。在400-500 Hz 區(qū)間內(nèi)，板共有33 階模態(tài)，有限元能量結(jié)果在頻帶內(nèi)取平均值，然后將結(jié)果在一個(gè)波長上取平均值。

對于單板系統(tǒng)，直接場能量在到達(dá)結(jié)構(gòu)邊界的時(shí)候會(huì)發(fā)生反射，而反射的功率流則作為混響場的能量輸入，即在結(jié)構(gòu)的邊界，能量流滿足公式(22)

板在x=0.75 m 中線上的響應(yīng)如圖4 所示。圖注中的“averaged”表示有限元平均后的結(jié)果，“rev”表示EFEA 計(jì)算的混響場能量，“dir”表示公式(21)計(jì)算的直接場能量，實(shí)心○標(biāo)注的是基于面波公式的結(jié)果。圖4 結(jié)果所采用的滯后阻尼系數(shù)為0.01，根據(jù)公式(19)計(jì)算得到判定系數(shù)為0.32，值略小于1?？梢园l(fā)現(xiàn)，此時(shí)直接場的能量相對于混響場的能量小了很多，與有限元結(jié)果相比，EFEA 基于面波的公式計(jì)算結(jié)果在激勵(lì)點(diǎn)位置偏小，在邊界位置偏大，這與上節(jié)的預(yù)期相符[8,35]。同時(shí)由于在基于面波的公式推導(dǎo)中忽略了近場項(xiàng)，這也導(dǎo)致了EFEA 結(jié)果在激勵(lì)點(diǎn)和邊界位置出現(xiàn)一定的偏差。此外，有限大板在中線和對角線位置的響應(yīng)要比其他位置大，所以用中線位置的結(jié)果進(jìn)行對比看起來差別較大，實(shí)際上差別較大的位置主要集中在激勵(lì)點(diǎn)附近以及中線和對角線位置，其他位置差別并不是很大，各種方法得到板的整體能量是基本相同的。整體結(jié)果對比可以得到，EFEA 基于面波的結(jié)果與SEA計(jì)算的能量密度平均值基本差別不大，而考慮了直接場能量的結(jié)果與有限元結(jié)果整體吻合較好。

圖4 板在x=0.5 m 中線位置的響應(yīng)（滯后阻尼系數(shù)為0.01）Fig.4 Response of the plate at x=0.5 m with damp loss factor is 0.01

將阻尼系數(shù)設(shè)置為0.1，此時(shí)由公式(19)計(jì)算的判定系數(shù)為3.19，值略大于1，結(jié)果如圖5 所示。可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)混響場的能量相對直接場的能量整體小了很多，兩者疊加后的總能量與有限元結(jié)果差別較小，基于面波的公式此時(shí)仍然表現(xiàn)為在激勵(lì)點(diǎn)處值偏小而在邊界位置值偏大，但與SEA 給出的平均值比較，EFEA 給出的能量密度分布相對更接近有限元的結(jié)果。

圖5 滯后阻尼系數(shù)為0.1 時(shí)，板在x=0.5 m 中線位置的響應(yīng)Fig.5 Response of the plate at x=0.5 m with damp loss factor 0.1

通過兩組結(jié)果的比較可以發(fā)現(xiàn)，采用直接場疊加混響場能量的結(jié)果整體與有限元的結(jié)果更為吻合，同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，滯后阻尼系數(shù)為0.01時(shí)，誤差相對更大一些，這是由于在EFEA 公式的推導(dǎo)中，一般會(huì)忽略近場項(xiàng)，當(dāng)阻尼系數(shù)較大時(shí)，近場項(xiàng)很快就衰減到很小值，而阻尼系數(shù)較小時(shí)，近場項(xiàng)的影響就更加明顯。公式(21)給出的結(jié)果實(shí)際上僅當(dāng)k·r遠(yuǎn)大于1 時(shí)是有效的[39]，公式在r=0的位置是奇異的，因此在k·r接近于1 的值附近，可以使用r=0 附近的平均值來代替，在本例中，r=0 附近的值用k·r=2 的平均值來代替。

類似的，對圖6 所示的四邊簡支耦合板進(jìn)行能量有限元分析，兩個(gè)板的尺寸均為1.5m×1.5m，厚度分別為2mm 和4mm，材料參數(shù)如下：密度2700kg/m3，楊氏模量71×109N/m2，泊松比為0.33。在其中一個(gè)板的中心位置(圖6 所示)施加一個(gè)作用于400-500Hz 區(qū)間內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)激勵(lì)，通過有限元分析可得耦合模型在400-500Hz 區(qū)間內(nèi)共有49階模態(tài)。

圖6 四邊簡支耦合板Fig.6 Coupling plates with simply supported on all edges

耦合板在內(nèi)部邊界以及耦合邊界滿足以下能量流平衡條件，

假設(shè)直接場傳入其他板的能量滿足平面波假設(shè)，則當(dāng)滯后阻尼系數(shù)為0.01 時(shí)，耦合板的在x=0.5 m 位置的響應(yīng)如圖7 所示。公式(19)計(jì)算的判定系數(shù)和單板相同，此時(shí)直接場能量除了在激勵(lì)點(diǎn)位置附近外，其他位置的能量相對小很多，所以基于面波的公式在距離激勵(lì)點(diǎn)較遠(yuǎn)的位置（例如靠近邊界以及其他板）誤差相對較小。

圖7 滯后阻尼系數(shù)為0.01 時(shí)，耦合板在x=0.5 m 中線位置的響應(yīng)Fig.7 Response of the plate at x=0.5 m with damp loss factor 0.01

圖8 滯后阻尼系數(shù)為0.1 時(shí)，耦合板在x=0.5 m 中線位置的響應(yīng)Fig.8 Response of the plate at x=0.5 m with damp loss factor 0.1

滯后阻尼系數(shù)為0.1 時(shí)，直接場的能量占主導(dǎo)，此時(shí)在遠(yuǎn)離激勵(lì)點(diǎn)位置的能量以及混響場的能量幾乎可以忽略?；谄矫娌ǖ墓皆谶@種情況下的結(jié)果相對SEA 具有一定的優(yōu)勢。對于耦合板，不同阻尼的情況下，通過單獨(dú)計(jì)算直接場能量和混響場能量的方法結(jié)果與有限元結(jié)果更加接近，這與四邊耦合單板的結(jié)果時(shí)一致的。

4 結(jié)論

本文簡述了能量有限元研究進(jìn)展，并通過平面波假設(shè)，說明了以波動(dòng)解為基礎(chǔ)的物理模型都可以使用能量有限元的推導(dǎo)方法得到能量平衡關(guān)系。對于目前在EFEA 中使用的一些可靠性評估方法進(jìn)行了系統(tǒng)的解釋。對于非平面波的情況，如點(diǎn)載荷作用下的板，以四邊簡支單板和耦合板為例，對板在直接場和混響場占主兩種導(dǎo)情況下（分別對應(yīng)兩種阻尼大?。┑捻憫?yīng)結(jié)果進(jìn)行對比分析，計(jì)算結(jié)果與具有足夠網(wǎng)格密度的有限元結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，對于單點(diǎn)載荷作用下的平板結(jié)構(gòu)，直接場的能量對激勵(lì)點(diǎn)附近的響應(yīng)結(jié)果影響很大，而阻尼足夠大時(shí)，結(jié)構(gòu)中的能量以直接場的能量占主導(dǎo)，傳統(tǒng)平面波假設(shè)的公式對能量密度的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，當(dāng)阻尼很小時(shí)，能量密度分布趨向于平均，但近場項(xiàng)等其它因素對結(jié)果的影響會(huì)更加明顯。仿真結(jié)果也表明，對于點(diǎn)載荷作用的情況，通過分別計(jì)算直接場和混響場能量的方法可以改善EFEA 的計(jì)算結(jié)果。