基于恒模復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正交相位編碼集設(shè)計(jì)

邱明劼,王建明,伍光新,張 鵬

(1. 南京電子技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210039)

(2. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司電子科學(xué)研究院, 北京 100041)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO)的思想起源于多變量控制理論,并在20世紀(jì)90年代被應(yīng)用于通信領(lǐng)域[1]。鑒于MIMO技術(shù)在通信領(lǐng)域發(fā)揮了巨大作用,研究學(xué)者們將其概念擴(kuò)展到了雷達(dá)探測(cè)領(lǐng)域[2]。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期發(fā)展,人們對(duì)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的基本原理和陣列信號(hào)處理進(jìn)行了充分研究,并且隨著數(shù)字信號(hào)處理和大規(guī)模集成技術(shù)的成熟,MIMO雷達(dá)已成為雷達(dá)行業(yè)創(chuàng)新且有前景的前沿研究領(lǐng)域[3-5]。

與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)每次發(fā)射特定波形不同,MIMO雷達(dá)可以通過(guò)不同的發(fā)射陣元同時(shí)發(fā)射不同的波形,在接收端通過(guò)匹配濾波將所有波形分離,并進(jìn)行聯(lián)合處理。采用正交波形發(fā)射時(shí),MIMO雷達(dá)具有比傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)更高的分辨率[6]、更好的信噪比改善[7]和更靈活的發(fā)射方向圖[8]等諸多優(yōu)勢(shì),這使得設(shè)計(jì)具有良好相關(guān)特性的正交波形集成為了關(guān)鍵[9-11]。

由于無(wú)法設(shè)計(jì)出具有完美相關(guān)特性的正交集,因此通常采用最小化代價(jià)函數(shù)的方式逼近完美特性,常見(jiàn)的代價(jià)函數(shù)包括累計(jì)副瓣電平(ISL)[12]、加權(quán)累計(jì)副瓣電平(WISL)[13]和峰值副瓣電平(PSL)[14]。文獻(xiàn)[15]基于PSL和ISL共同構(gòu)建了代價(jià)函數(shù),并采用模擬退火(SA)搜索算法進(jìn)行優(yōu)化,文獻(xiàn)[16]和[17]中則使用了遺傳算法(GA)來(lái)對(duì)編碼集進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[18]提出了由波形協(xié)方差矩陣(WCM)合成編碼集的循環(huán)算法(CA),并被文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步改進(jìn)為新的循環(huán)算法(CAN),使得設(shè)計(jì)得到的正交相位編碼集具有更好的相關(guān)特性。

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和信號(hào)處理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[20-22],復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CV-NN)也逐步被用于雷達(dá)通信領(lǐng)域的信號(hào)處理[23]。本文也進(jìn)行了相關(guān)嘗試,提出了一種基于恒模復(fù)值相關(guān)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CMCV-CorrNN)進(jìn)行正交相位編碼集設(shè)計(jì)的方法。為保證模值恒定,CMCV-CorrNN沒(méi)有像傳統(tǒng)方法那樣將復(fù)值權(quán)值劃分為實(shí)部和虛部進(jìn)行訓(xùn)練[24-26],而是對(duì)相位分離后單獨(dú)訓(xùn)練。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提方法可以在不受編碼序列長(zhǎng)度、集合內(nèi)編碼序列數(shù)量限制的情況下,獲得比CAN等現(xiàn)有先進(jìn)方法相關(guān)性更好的正交相位編碼集。

1 問(wèn)題描述

對(duì)于一組正交波形,相關(guān)特性包含自相關(guān)特性和互相關(guān)特性兩個(gè)部分。當(dāng)每個(gè)信號(hào)波形都與其自身的非零時(shí)移不相關(guān)時(shí),稱該波形集具有良好的自相關(guān)特性;當(dāng)任意兩個(gè)波形與對(duì)方任意的時(shí)移均不相關(guān)時(shí),稱其具有良好的互相關(guān)特性。如果將一個(gè)由L個(gè)波形組成的集合記為{sl(t),l=1,2,…,L},其中t為時(shí)間,則上述相關(guān)特性可以表示為[27]

(1)

(2)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;E為信號(hào)能量;τ表示時(shí)移;為實(shí)數(shù)域;“*”代表取復(fù)共軛。

在實(shí)際應(yīng)用中,如果集合中所有波形都是通過(guò)相位調(diào)制產(chǎn)生的,則該集合稱為正交相位編碼集。假設(shè)一個(gè)正交相位編碼集由L個(gè)離散時(shí)間序列組成,每個(gè)序列長(zhǎng)度為N,則集合中的第l個(gè)序列sl可以表示為列向量,即

sl=[exp[jφl(shuí)(1)], exp[jφl(shuí)(2)], …, exp[jφl(shuí)(N)]]T

(3)

式中:j為虛數(shù)單位;φl(shuí)(n)∈[0,2π],是第l個(gè)序列中第n個(gè)子碼的相位。

因此,編碼集可以表示為N×L復(fù)值矩陣,即

(4)

式中:第l列的值即為編碼集的第l個(gè)序列。

根據(jù)式(1)、式(2)和式(4),該正交編碼集的自相關(guān)函數(shù)A(sp,k)和互相關(guān)函數(shù)C(sp,sq,k)應(yīng)該滿足

A(sp,k)=

(5)

C(sp,sq,k)=

(6)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;sp和sq分別表示集合的不同序列;k表示時(shí)移。

如前文所述,一般通過(guò)最小化代價(jià)函數(shù)的方法對(duì)正交相位編碼集進(jìn)行優(yōu)化,其中,ISL能夠反映兩個(gè)序列相關(guān)性的整體性能,是最常用的代價(jià)函數(shù),可表示為

(7)

由于編碼集內(nèi)兩個(gè)不同序列任意時(shí)移的互相關(guān)結(jié)果都可認(rèn)為是副瓣,因此將ISL擴(kuò)展到互相關(guān)函數(shù)得到累積電平(IL)。

(8)

式中:p≠q;p=1,2,…,L;q=1,2,…,L。

綜合式(7)和式(8)可以得到用于評(píng)價(jià)正交相位編碼集整體相關(guān)性的代價(jià)函數(shù),即

(9)

編碼集的優(yōu)化是一個(gè)不斷減小代價(jià)函數(shù)的值,使其接近于0的過(guò)程。一旦將編碼集的所有序列作為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值,單一序列作為輸入,該過(guò)程就可以看作是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程。對(duì)于作為輸入的第l個(gè)序列(長(zhǎng)度為N)而言,網(wǎng)絡(luò)的期望輸出是只在第l個(gè)輸出神經(jīng)元的第N個(gè)輸出為1,而其他位置或其他神經(jīng)元的輸出均為0。

2 恒模復(fù)值相關(guān)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

基于上述分析,本文提出了一種恒模復(fù)值相關(guān)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CMCV-CorrNN)來(lái)進(jìn)行正交相位編碼集設(shè)計(jì)。

2.1 CMCV-CorrNN的結(jié)構(gòu)

根據(jù)正交相位編碼集的優(yōu)化過(guò)程與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的相似性,構(gòu)造的CMCV-CorrNN結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 恒模復(fù)值相關(guān)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.1.1 輸入層

輸入層只包含一個(gè)神經(jīng)元,每次接收編碼集中的一個(gè)復(fù)數(shù)序列作為網(wǎng)絡(luò)的輸入。在訓(xùn)練過(guò)程中,編碼集中的每一個(gè)序列依次通過(guò)輸入層的神經(jīng)元進(jìn)入到網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。當(dāng)使用第l個(gè)序列作為輸入時(shí),這一層的輸出記為向量il。

2.1.2 隱藏層(相關(guān)層)

隱藏層包含L個(gè)神經(jīng)元,其數(shù)量等于集合中序列的數(shù)量,該層用于計(jì)算編碼集的互相關(guān)函數(shù)。因此,直接使用編碼集中的序列作為每個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重模板,就可以在這一層的輸出端獲得輸入序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。對(duì)于該層的第l個(gè)神經(jīng)元,其輸出記為vl。

2.1.3 輸出層

輸出層同樣包含L個(gè)神經(jīng)元,用于對(duì)相關(guān)層輸出進(jìn)行取模運(yùn)算。經(jīng)過(guò)該層后,所有輸出都轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù),這有利于后續(xù)損失函數(shù)的計(jì)算。對(duì)于該層的第l個(gè)神經(jīng)元,其輸出記為ol。

2.2 網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出

網(wǎng)絡(luò)的輸入是編碼集中的序列,每個(gè)序列均為1×N的行向量。每輪訓(xùn)練時(shí),編碼集中的所有序列按順序逐個(gè)作為輸入使用。

對(duì)于每個(gè)輸入,在輸出端都將得到L個(gè)長(zhǎng)度為2N-1的行向量。其中,第l個(gè)神經(jīng)元的輸出是輸入序列與編碼集中第l個(gè)序列之間的互相關(guān)函數(shù)的模。如果輸入恰好是編碼集中的第l個(gè)序列,那么第l個(gè)神經(jīng)元的輸出就變成了其自相關(guān)函數(shù)的模。

2.3 前向傳播過(guò)程

在前向傳播之前,用N×L個(gè)模為1且相位隨機(jī)的復(fù)數(shù)對(duì)隱藏層權(quán)值進(jìn)行初始化。當(dāng)選取第p個(gè)序列ip作為網(wǎng)絡(luò)輸入時(shí),根據(jù)互相關(guān)定義,輸入ip和第l個(gè)神經(jīng)元權(quán)值wl的互相關(guān)函數(shù)的第n個(gè)值可以表示為

(10)

隱藏層的第l個(gè)神經(jīng)元的輸出可以寫(xiě)成如下的矩陣形式

(11)

然后在輸出層,通過(guò)計(jì)算隱藏層輸出的模,得到網(wǎng)絡(luò)的最終輸出。對(duì)于輸出層的第l個(gè)神經(jīng)元,取模運(yùn)算為

(12)

為了獲得更好的相關(guān)性,目標(biāo)真值通常設(shè)為正交編碼集的理想自相關(guān)和互相關(guān)結(jié)果,即當(dāng)輸入為該編碼集的第p個(gè)序列時(shí),第l個(gè)神經(jīng)元的第n個(gè)元素的目標(biāo)真值為

(13)

式中:l=1,2,…,L;p=1,2,…,L;n=1,2,…,2N-1。

2.4 后向傳播過(guò)程

通過(guò)將目標(biāo)真值與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)輸出相減,即可得到當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)的誤差,并選擇均方誤差(MSE)函數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù),即

(14)

式中:O(p)為第p個(gè)序列作為輸入時(shí)網(wǎng)絡(luò)輸出構(gòu)成的矩陣,p∈[1,L]。系數(shù)1/2用于對(duì)后續(xù)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化。

通過(guò)對(duì)比式(9)和式(14)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)輸入序列ip確定且目標(biāo)真值設(shè)置為理想輸出時(shí),二者等價(jià)。

接著,采用基于隨機(jī)動(dòng)量梯度下降(SGDM)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,當(dāng)?shù)趐個(gè)序列作為輸入時(shí),損失函數(shù)關(guān)于權(quán)值wl(n)的梯度可以表示為

(15)

式中:n=1,2,…,N。

(16)

根據(jù)式(12),輸出層將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù),則在后向傳播時(shí)就需要將向后誤差從實(shí)數(shù)重新變回復(fù)數(shù)。為避免傳統(tǒng)方法將該過(guò)程拆分為實(shí)部和虛部分別計(jì)算的問(wèn)題,將取模運(yùn)算表示為復(fù)數(shù)與其自身復(fù)共軛的乘積的開(kāi)方,即

(17)

則輸出層的梯度即可表示為

(18)

從而避免在計(jì)算輸出層梯度時(shí)分為實(shí)部和虛部分別計(jì)算。

考慮復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)形式

c=R(c)+jI(c)=Acexp(jφc)

(19)

式中:Ac和φc分別是復(fù)數(shù)c的幅度和相位。

結(jié)合式(15)、式(18)和式(19),隱藏層的梯度可以分為如式(20)和式(21)所示的幅度和相位兩部分。

(20)

(21)

考慮恒模約束

Al(n)≡1

(22)

式中:Al(n)為第l個(gè)權(quán)值模板中第n個(gè)元素的幅值;l=1,2,…,L;n=1,2,…,N。

在恒模約束下,式(20)恒等于0。將式(11)帶入式(21)可以得到

(23)

(24)

然后將式(23)和式(24)代入式(21),即可得到后向傳播梯度的最終表達(dá)式

(25)

最后,按照式(26)、式(27)更新權(quán)值wl(n)的相位

(26)

φl(shuí)(t+1)=φl(shuí)(t)-ηΔφl(shuí)(t)

(27)

式中:t表示訓(xùn)練輪次;β表示動(dòng)量參數(shù);η表示學(xué)習(xí)率;φl(shuí)(t)表示第t輪訓(xùn)練中第l個(gè)模板第n個(gè)元素的相位。為避免元素序號(hào)n與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練輪次混淆,在此處將n省略。

綜上所述,使用本文提出的復(fù)值網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的正交相位編碼流程如圖2所示。

圖2 本文所提方法流程圖

2.5 訓(xùn)練參數(shù)

網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練參數(shù)如表1所示。

表1 CMCV-CorrNN的參數(shù)

從式(25)可以發(fā)現(xiàn),后向傳播時(shí)梯度的幅值與編碼集中序列的數(shù)量L呈反比例,因此此處將學(xué)習(xí)率η乘以L,以確保對(duì)于具有不同序列數(shù)量的編碼集,網(wǎng)絡(luò)能夠以近似恒定的速度收斂。

3 仿真結(jié)果與分析

為充分驗(yàn)證本文所提方法設(shè)計(jì)的正交相編碼集性能,本節(jié)設(shè)計(jì)了一系列不同N和L取值的編碼集,并使用自相關(guān)副瓣峰值(ASP)和互相關(guān)峰值(CP)作為編碼集相關(guān)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

(28)

(29)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;k表示離散時(shí)間。

作為對(duì)比,選取了三種代表性算法SA[12]、CAN[20]和Legendre序列(L-seq)[9]與本文方法進(jìn)行比較。所有編碼集設(shè)計(jì)結(jié)果都使用搭載主頻為3.6 GHz的Intel?CoreTMi7-4790中央處理器和GeForce RTX 3060顯卡的計(jì)算機(jī)處理得到。

表2顯示了(N,L)=(32, 4)條件下,使用本文方法設(shè)計(jì)的正交相位編碼集中各序列相位值,編碼集的ASP和CP如圖3所示。從圖3可以得到,該編碼集的平均ASP值約為-16.10 dB,平均CP值約為-15.65 dB。

表2 (N,L)=(32,4)條件下本文方法設(shè)計(jì)的編碼集相位值

圖3 (N, L)=(32, 4)時(shí)以dB表示的設(shè)計(jì)編碼集的ASP和CP

為了直觀展現(xiàn)本文方法所設(shè)計(jì)的正交相位編碼集所具有的良好相關(guān)性,在(N,L)=(128, 3)條件下設(shè)計(jì)的編碼集的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)如圖4所示。對(duì)于該編碼集,ASP最大值為-21.92 dB,平均值為-22.29 dB,CP最大值為-22.19 dB,平均值為-22.34 dB。

圖4 (N, L)=(128, 3)條件下設(shè)計(jì)編碼集的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)

圖5顯示了在(N,L)=(128, 3)例子中損失函數(shù)值隨訓(xùn)練次數(shù)變化的過(guò)程。

圖5 損失函數(shù)隨訓(xùn)練次數(shù)的變化

從圖中可以看出,隨著網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的進(jìn)行,損失函數(shù)迅速減小,網(wǎng)絡(luò)快速收斂,正交相位編碼集的相關(guān)性持續(xù)改善。

表3給出了在不同N和L情況下,本文方法與3種先進(jìn)算法設(shè)計(jì)的正交相位編碼集的平均ASP和CP值。從表中可以看出,不論在何種情況下,本文所提方法設(shè)計(jì)的編碼集的平均ASP值和CP值均優(yōu)于其他方法的設(shè)計(jì)結(jié)果。此外,在編碼集中序列數(shù)量L不變時(shí),隨著序列長(zhǎng)度N的增加,ASP值和CP值均逐步降低,當(dāng)N從64增加到1024時(shí),ASP值由-19.41dB降低到-30.93 dB,CP值由-19.17 dB降低到-30.91 dB。同時(shí),在序列長(zhǎng)度N不變的情況下,隨著編碼集中序列數(shù)L的增加,ASP值和CP值緩慢上升。

表3 不同情況下4種算法設(shè)計(jì)結(jié)果的平均ASP值和CP值對(duì)比

圖6顯示了當(dāng)編碼集內(nèi)序列數(shù)量固定為3,序列長(zhǎng)度從16變化至4 096時(shí),使用本文方法和使用L-seq方法得到的編碼集的平均ASP值和CP值。從圖中不難看出,隨著序列長(zhǎng)度的增加,兩種方法設(shè)計(jì)得到的編碼集的ASP值和CP值均單調(diào)下降,但在相同條件下,本文方法所得編碼集的ASP值和CP值均始終優(yōu)于L-seq方法的設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖6 在L=3情況下,編碼集的平均ASP和CP值

為檢驗(yàn)本文所提方法的穩(wěn)定性,在(N,L)=(64, 3)情況下,使用本文方法進(jìn)行了100次正交相位編碼集設(shè)計(jì)仿真。每一次仿真時(shí),網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值均重新隨機(jī)生成,100次仿真結(jié)果得到的正交相位編碼集的ASP和CP值如圖7所示。

圖7 (N,L)=(64,3)時(shí)100次仿真設(shè)計(jì)結(jié)果的ASP和CP值

從圖中可以看出,盡管每次仿真中網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值是隨機(jī)的,但經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后,最終得到的ASP值和CP值幾乎沒(méi)有變化,穩(wěn)定在-19 dB左右。由于網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練次數(shù)始終固定為300,因此圖7表明,本文所提出的CMCV-CorrNN方法能夠在給定周期內(nèi)穩(wěn)定地設(shè)計(jì)出相關(guān)性良好的正交相位編碼集。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文創(chuàng)新地提出了一種使用復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行正交相位編碼集設(shè)計(jì)的方法。該方法把正交相位編碼集的設(shè)計(jì)看作是對(duì)非線性系統(tǒng)的擬合過(guò)程,將編碼序列作為網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值進(jìn)行訓(xùn)練,同時(shí)通過(guò)分離幅度和相位的方法確保僅對(duì)相位進(jìn)行優(yōu)化,從而保證了在整個(gè)訓(xùn)練過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的幅值始終恒定。

在實(shí)驗(yàn)仿真部分,通過(guò)與現(xiàn)有的先進(jìn)算法進(jìn)行比較,驗(yàn)證了本文所提方法能夠得到相關(guān)特性更好的正交相位編碼集,證明了所提方法的有效性。