考慮重力作用的垂向雙洞竄流試井模型

徐燕東，陶杉，何輝，萬小勇，鄒寧，袁鴻飛

（1.中國石化西北油田分公司，新疆 烏魯木齊 830011；2.中國石化碳酸鹽巖縫洞型油藏提高采收率重點實驗室，新疆 烏魯木齊 830011；3.西安華線石油科技有限公司，陜西 西安 710065）

順北油氣田位于塔里木盆地順托果勒低隆北部，油氣資源豐富，屬于斷控巖溶背景的縫洞型碳酸鹽巖油氣藏[1-2]。順北斷溶體油藏垂向深度深，儲層結(jié)構(gòu)復雜，且具有很強的非均質(zhì)性[3-5]。試井分析作為油氣藏動、靜態(tài)資料評價的重要方法，在此類油氣藏中具有廣泛應用[6-7]。

對于縫、洞連續(xù)分布且尺度較小的縫洞型油氣藏[8]，普遍使用以達西定律和連續(xù)性假設(shè)為基礎(chǔ)的WARREN-ROOT 雙重孔隙介質(zhì)模型[9]以及在此基礎(chǔ)上改進和擴展的多重孔隙介質(zhì)模型[10-11]。而針對大尺度的縫洞型油氣藏，一些學者認為縫洞中流體具有極高的流動性，壓力可以瞬間傳到溶洞邊界并形成擬穩(wěn)態(tài)流，由此建立了不同縫洞組合關(guān)系的等勢體縫洞試井解釋模型。劉洪等[12]和尹洪軍等[13]建立了井鉆遇溶洞試井解釋數(shù)學模型，其中溶洞為等勢體模型，溶洞外儲層為雙重孔隙介質(zhì)模型。彭小龍等[14]、常寶華等[15]和段寶江等[16]建立了大尺度溶洞裂縫型油藏等勢體試井分析模型，其中裂縫考慮為一維擬穩(wěn)定流模型。熊鈺等[17]根據(jù)地質(zhì)特征，建立了井打在大尺度裂縫上的縫洞型試井模型和串聯(lián)雙洞型試井模型，實例解釋結(jié)果與地質(zhì)模型和鉆井數(shù)據(jù)有著較好的一致性。

少數(shù)學者在大尺度縫洞型油氣藏的試井解析理論研究中考慮了重力因素。徐燕東[18]結(jié)合順北油田斷溶體儲層縱向分布深的特征，建立了考慮重力因素的斷溶體儲層“井－洞－縫”試井模型。馬國銳等[19]將溶洞與裂縫組合系統(tǒng)視作聯(lián)立的圓柱形區(qū)域，建立了一種考慮重力因素影響的單洞型斷溶體儲層試井解釋方法。DU 等[20]綜合考慮了流動和波動對溶洞壓力變化的影響，建立了波動與流動耦合方程，進一步將重力作用修正到附加壓降中并結(jié)合外部地層滲流方程形成了新的縫洞型油藏試井模型。

綜上所述，在縫洞型油氣藏的解析試井模型研究中，普遍忽略了重力因素的影響。少數(shù)學者在斷溶體儲層試井模型中考慮了重力作用，模型種類較少，仍需擴充完善，以便更好地適用于復雜地質(zhì)特征。針對順北油氣藏縫洞儲層垂向深度深的特征，建立了考慮重力作用的雙洞竄流試井模型。利用Laplace 變換方法對模型進行解析求解，并給出部分參數(shù)變化的典型特征圖以及應用實例。

1 試井解釋模型

1.1 模型假設(shè)

大溶洞1 和大溶洞2 均為圓柱體，分別位于圓形封閉儲層1和儲層2中心，直井鉆遇大溶洞1，產(chǎn)量恒定；大溶洞1 和2 在儲層縱向分布，通過竄流通道連接，大溶洞具有無限導流能力（等效壓力點分別取在大溶洞1 和2 的中部位置），流體在竄流通道中的流動為非穩(wěn)態(tài)流；儲層1、2是由小尺度裂縫構(gòu)成的裂縫性儲層，流體流動符合達西滲流；儲層1、2 之間無流體交換，并分別向大溶洞1、2 供給流體，大溶洞2 中流體通過竄流通道流入大溶洞1，總系統(tǒng)中流體都經(jīng)大溶洞1 流入井筒；巖石及流體微可壓縮，且壓縮系數(shù)為常數(shù)；考慮溶洞儲集效應，考慮重力作用（圖1）。

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Physical model diagram

1.2 數(shù)學模型

根據(jù)滲流理論可建立儲層1控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：p1D為儲層1無因次壓力；rD為無因次徑向距離；tD為無因次時間；k1為儲層1 滲透率，單位10-3μm2；h1為儲層1 厚度，單位m；q為流量，單位m3/d；μ為黏度，單位mPa·s；B為體積系數(shù)，單位m3/m3；pi為初始壓力，單位MPa；p1為儲層1 壓力，單位MPa；r為徑向距離，單位m；L為參考長度（通常以井徑作為參考），單位m；t為時間，單位h；φ1為儲層1孔隙度；Ct1為儲層1綜合壓縮系數(shù)，單位MPa-1。

儲層2控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：p2D為儲層2 無因次壓力；σ21為儲層2 與儲層1的導壓系數(shù)比；p2為儲層2 壓力，單位MPa；k2為儲層2 滲透率，單位10-3μm2；φ2為儲層2 孔隙度；Ct2為儲層2綜合壓縮系數(shù)，單位MPa-1。

竄流通道控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：pfD為竄流通道無因次壓力；zD為無因次垂向距離；cD為流體壓縮系數(shù)與無因次壓力轉(zhuǎn)換系數(shù)的比值；gD為考慮重力作用時的無因次附加壓力；σf1為竄流通道與儲層1 的導壓系數(shù)比；pf為竄流通道壓力，單位MPa；kf為竄流通道滲透率，單位10-3μm2；φf為竄流通道孔隙度；Ctf為竄流通道綜合壓縮系數(shù)，單位MPa-1；CL為流體壓縮系數(shù)，單位MPa-1；ρ為流體的密度，單位kg/m3；g為重力加速度，單位m/s2；z為垂向距離，單位m。

根據(jù)物質(zhì)守恒及竄流通道與大溶洞1 連接處壓力相等條件：

式（4）—式（5）中無因次變量的定義如下:

式（4）—式（5）中：pv1D為溶洞1 無因次壓力；rv1D為溶洞1 無因次半徑；rfD為竄流通道無因次半徑；hv1D為溶洞1 無因次中心點高度；h2D為儲層2 無因次厚度；ωv1為溶洞1 儲容比；LfD為竄流通道無因次長度；mf1為竄流通道與儲層1 的流度比；pv1為溶洞1 壓力，單位MPa；rv1為溶洞1半徑，單位m；rf為竄流通道半徑，單位m；hv1為溶洞1 中心點高度，單位m；h2為儲層2厚度，單位m；Lf為竄流通道長度，單位m；Ctv1為溶洞1綜合壓縮系數(shù)，單位MPa-1；φv1為溶洞1孔隙度。

根據(jù)物質(zhì)守恒及竄流通道與大溶洞2 連接處壓力相等條件：

式（6）—（7）中無因次變量的定義如下:

式（6）—（7）中：pv2D為溶洞2 無因次壓力；rv2D為溶洞2 無因次半徑；hv2D為溶洞2 無因次中心點高度；ωv2為溶洞2 儲容比；m21為儲層2 與儲層1 的流度比；pv2為溶洞2 壓力，單位MPa；rv2為溶洞2 半徑，單位m；hv2為溶洞2中心點高度，單位m；Ctv2為溶洞2綜合壓縮系數(shù)，單位MPa-1；φv2為溶洞2孔隙度。

儲層與溶洞連接條件：

儲層外邊界條件：

式（8）—式（10）中無因次變量的定義如下:

式（8）—式（10）中：re1D為儲層1無因次半徑；re2D為儲層2 無因次半徑；re1為儲層1 半徑，單位m；re2為儲層2半徑，單位m；。

系統(tǒng)考慮重力時，儲層、溶洞以及竄流通道中初始時刻的壓力均是垂向距離z的函數(shù)：

式中：下標1，2，v1，v2，f分別表示儲層1、儲層2、溶洞1、溶洞2、竄流通道。

1.3 模型求解

基于tD對式（1）—式（11）作Laplace變換，并結(jié)合初始條件和邊界條件求解可得Laplace 空間井底壓力解為：

式（12）—式（19）中：u為無因次時間tD對應的Laplace變量；I0、K0分別為改進的零階第一類修正貝塞爾函數(shù)和零階第二類修正貝塞爾函數(shù)；I1、K1分別為改進的一階第一類修正貝塞爾函數(shù)和一階第二類修正貝塞爾函數(shù)；CfD、f1、f2、b1、b2、bf1、bf2均為中間變量。

2 典型圖版及參數(shù)敏感性分析

2.1 典型圖版

圖2 為無因次壓力降落典型曲線。根據(jù)其特征可分為9 個響應段：①大溶洞1 擬穩(wěn)態(tài)流段，由于溶洞1的儲集效應，無因次壓力及其導數(shù)曲線前期基本呈斜率為1 的直線；②竄流通道線性流與儲層1 徑向流疊加響應段，無因次壓力及其導數(shù)曲線斜率介于0～0.5；③大溶洞2 過渡流與儲層1 徑向流疊加響應段，溶洞2 流體通過竄流通道進入溶洞1，無因次壓力導數(shù)曲線緩慢下降；④大溶洞2 擬穩(wěn)態(tài)流與儲層1徑向流疊加響應段，由于溶洞2 的儲集效應，無因次壓力導數(shù)曲線緩慢上升；⑤儲層1 徑向流和儲層2 徑向流疊加響應段，無因次壓力導數(shù)曲線后端基本呈水平線；⑥儲層1 擬穩(wěn)態(tài)流段，壓力波傳播至儲層1邊界，儲層1 的供給作用逐漸減弱，無因次壓力導數(shù)曲線開始上翹；⑦儲層2 過渡流段，儲層2 的供給作用逐漸增強，無因次壓力導數(shù)曲線下掉；⑧儲層2 徑向流段，無因次壓力導數(shù)曲線后端基本為水平線；⑨儲層2 擬穩(wěn)態(tài)流段（封閉邊界控制流段），儲層2 的供給作用逐漸減弱，無因次壓力導數(shù)曲線上翹，后期基本呈斜率為1的直線。

圖2 無因次壓力降落典型曲線Fig.2 Typical curve diagram of dimensionless pressure drop

圖3 為不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用的無因次壓力降落典型曲線（令儲層1 的半徑等于溶洞1 的半徑以及儲層2 的半徑等于溶洞2 的半徑即可實現(xiàn)）。典型特征圖可分為4 個響應段：①大溶洞1 擬穩(wěn)態(tài)流段，無因次壓力及其導數(shù)曲線前期基本呈斜率為1 的直線；②竄流通道線性流響應段，無因次壓力及其導數(shù)曲線斜率基本呈斜率為0.5 的平行線；③大溶洞2過渡流響應段，無因次壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)快速下掉；④大溶洞2 擬穩(wěn)態(tài)流響應段，無因次壓力導數(shù)曲線呈斜率為1的直線。

圖3 無因次壓力降落典型曲線（不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用）Fig.3 Typical curve of dimensionless pressure drop（without considering the flowing effect of small-scale fractured reservoir）

2.2 參數(shù)敏感性分析

圖4 為考慮重力作用時的無因次附加壓力變化響應特征。無因次附加壓力主要對無因次壓力降落圖的中期及后期影響較大。當無因次附加壓力越大時，流體受重力影響越大，系統(tǒng)中流體流動需要克服的阻力也越大，相應的無因次壓力及其導數(shù)曲線位置也越高。

圖4 無因次附加壓力變化響應特征Fig.4 Response characteristic diagram of Dimensionless additional pressure change

圖5 為竄流通道無因次長度變化響應特征。竄流通道無因次長度主要對無因次壓力降落圖的中期影響較大。竄流通道無因次長度增大時，竄流通道線性流與儲層1 徑向流疊加響應持續(xù)時間延長。同時，流體通過竄流通道時間增加，消耗能量增多，由溶洞2及儲層2流向溶洞1的阻力增大，因此，相應的無因次壓力及其導數(shù)曲線位置靠上。

圖5 竄流通道無因次長度變化響應特征Fig.5 Response characteristic diagram of dimensionless length change of channeling channel

圖6為溶洞1無因次半徑變化響應特征。溶洞1無因次半徑主要對無因次壓力降落圖的前期影響較大。溶洞1 無因次半徑越大，溶洞體積越大，所具有的彈性能量越大且儲存流體越多，因此，擬穩(wěn)態(tài)流持續(xù)時間也越長。

圖6 溶洞1無因次半徑變化響應特征Fig.6 Response characteristic diagram of dimensionless radius change of cave 1

圖7為溶洞2無因次半徑變化響應特征。溶洞2無因次半徑主要對無因次壓力降落圖的中期影響較大。溶洞2 無因次半徑越大，溶洞體積越大，所具有的彈性能量越大且儲存流體越多，因此，溶洞2 擬穩(wěn)態(tài)流與儲層1徑向流疊加響應持續(xù)時間越長，導數(shù)曲線上翹特征出現(xiàn)越晚。

圖7 溶洞2無因次半徑變化響應特征Fig.7 Response characteristic diagram of dimensionless radius change of cave 2

3 實例分析

X 井為順北油田5 號斷裂帶上的一口開發(fā)井，鉆井過程中漏失1 400 kg/m3的泥漿25.45 m3，酸壓投產(chǎn)后隨即進行關(guān)井壓力恢復測試。關(guān)井測試前7 mm油嘴日均產(chǎn)油量約為326.0 m3，等效穩(wěn)產(chǎn)時間113.2 h，關(guān)井有效測試時間為251.0 h。油體積系數(shù)1.58 m3/m3，油黏度0.33 mPa·s，儲層綜合壓縮系數(shù)3.17×10-3MPa-1，孔隙度0.1，測試井段儲層1 有效厚度10.0 m。實測恢復壓力差及其導數(shù)曲線如圖8所示，前端無明顯的線性流與經(jīng)向流疊加特征，表明竄流通道的導壓系數(shù)可能較大，很快地達到擬穩(wěn)態(tài)流階段。前期下凹段持續(xù)時間相對較長，表明溶洞2 和儲層1 的儲集體規(guī)模不大。后期導數(shù)曲線緩慢下掉主要是因為測試前生產(chǎn)時間相對較短，未探及儲層2 的邊界所致（若探及儲層2的邊界，則導數(shù)曲線會快速下掉）。

圖8 順北油田X井擬合成果Fig.8 Fitting results diagram of X well in Shunbei oilfield

結(jié)合測試前高產(chǎn)、鉆井漏失以及實測數(shù)據(jù)雙對數(shù)曲線圖的特點，應用模型對該實例井進行擬合分析，解釋結(jié)果為：儲層1 滲透率6.58×10-3μm2，大溶洞1半徑4.2 m，大溶洞2 半徑18.21 m，儲層1 外邊界60.00 m，竄流通道長度30.20 m，擬合壓力80.355 MPa。同時，應用商業(yè)軟件Saphir中的徑向兩區(qū)復合模型進行擬合分析，解釋結(jié)果為：井儲系數(shù)0.59 m3/MPa，表皮因子-4.20，內(nèi)區(qū)滲透率293.79×10-3μm2，內(nèi)區(qū)邊界31.72 m，擬合壓力80.394 MPa。對比發(fā)現(xiàn)，從擬合效果（圖8）上來看，垂向雙洞竄流模型與Saphir 的徑向兩區(qū)復合模型擬合效果均較好，但結(jié)合現(xiàn)場地質(zhì)背景情況，徑向兩區(qū)復合模型明顯不符合使用條件，垂向雙洞竄流模型能較好反應儲層特征。因此，選用垂向雙洞竄流模型解釋的結(jié)果與現(xiàn)場生產(chǎn)動態(tài)情況也更為吻合，可靠性相對更高。

4 結(jié)論

建立了考慮重力作用的大尺度縫洞試井模型，應用數(shù)學物理方法對模型進行解析求解并繪制了模型典型特征圖版及參數(shù)敏感性分析圖版，給出了應用實例，主要結(jié)論如下：

1）考慮重力作用時，流體流動需要克服更大的阻力，因此無因次壓力及其導數(shù)曲線中期及后期位置更高，表明考慮重力作用的必要性?？傮w曲線特征和不考慮重力作用相似。

2）考慮小尺度裂縫儲層滲流作用時，竄流通道線性流與儲層徑向流疊加特征表現(xiàn)為無因次壓力及其壓力導數(shù)曲線斜率介于0~0.5。大溶洞過渡流與徑向流疊加特征表現(xiàn)為無因次壓力導數(shù)曲線緩慢下降。大溶洞擬穩(wěn)態(tài)流與徑向流疊加特征表現(xiàn)為無因次壓力導數(shù)曲線緩慢上升且斜率小于1。

3）不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用時，竄流通道線性流特征表現(xiàn)為無因次壓力及其壓力導數(shù)曲線斜率接近0.5。大溶洞過渡流特征表現(xiàn)為無因次壓力導數(shù)曲線快速下掉。大溶洞擬穩(wěn)態(tài)流特征表現(xiàn)為無因次壓力導數(shù)曲線斜率接近1。