一類污水處理數(shù)學(xué)模型的定性分析

李 鴻, 藺小林*, 李建全, 裴立影

(1.陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710021; 2.陜西科技大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院, 陜西 西安 710021)

0 引言

全球性水污染問題已是人類面臨的主要問題之一,它對人類生存和社會經(jīng)濟發(fā)展構(gòu)成越來越嚴重的威脅.防治水環(huán)境污染,保護水資源,走可持續(xù)發(fā)展的道路已經(jīng)成為人類共同追求的目標.我國對環(huán)境治理也越來越重視,并把環(huán)境保護具體計劃提上日程.由于我國地表水體污染主要是由工業(yè)廢水和城市生活污水的排放所造成的,污水處理廠的建設(shè)成為改善我國水環(huán)境的重要措施之一.活性污泥法通過近百年的發(fā)展已成為城市污水處理廠最為廣泛使用的方法之一[1].

然而,如何合理實現(xiàn)污水處理廠工藝設(shè)計,優(yōu)化運行管理,在保證出水水質(zhì)的條件下減少運行費用,降低資源的浪費,提高能源利用率是順應(yīng)我國當前保護城市環(huán)境、節(jié)能降耗發(fā)展要求的一項重要課題.以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的模擬與控制是實現(xiàn)這目標的有效手段,準確、貼近實際的機理模型又是基礎(chǔ)保證.數(shù)學(xué)模型能夠較全面地描述復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)的多種生物反應(yīng)過程,不僅可以預(yù)測污水處理廠的出水情況,同時也能分析污水處理廠的運行狀況,輔助工藝選擇、方案確定、管理與指導(dǎo)污水廠的操作與運行,實現(xiàn)污水處理廠的最優(yōu)化設(shè)計與節(jié)能運行管理.污水處理方法在早期主要是以物理方法去除污水中的雜質(zhì)和污水中主要含有的碳.隨著人們對污水回收利用要求的不斷提高,污水處理逐漸發(fā)展成為以生物處理為主的二級處理.在生物處理中,最為普遍采用的方法是活性污泥法.我國已建和在建的城市污水處理廠中,處理污水所采用的各種類型的活性污泥法占90%以上.

活性污泥法經(jīng)過近百年的實踐和發(fā)展,已經(jīng)成為國內(nèi)外應(yīng)用最普遍的污水處理技術(shù)之一.活性污泥數(shù)學(xué)模型的發(fā)展經(jīng)歷了從傳統(tǒng)靜態(tài)模型到動態(tài)模型的發(fā)展過程,如早期Eckenfelder模型、Mc Kinney模型和Lawrence -McCarty模型等靜態(tài)模型,以及Andrews模型、WRc模型和ASM系列模型等動態(tài)模型.然而,污水處理系統(tǒng)是一個多變量、非穩(wěn)定、時變的復(fù)雜系統(tǒng),如水質(zhì)水量動態(tài)變化、反應(yīng)機理復(fù)雜、存在許多干擾因素和不確定性因素等,因此,以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)、結(jié)合污水處理工藝原理的系統(tǒng)仿真方法,成為對復(fù)雜的污水處理系統(tǒng)進行動態(tài)分析的適用方法.

活性污泥系統(tǒng)的模型化對水處理設(shè)計和研究具有重要的意義.活性污泥系統(tǒng)生物去除有機碳、氮、磷及其調(diào)控機理模型研究是當今國際水協(xié)(IWA) 污水生物處理設(shè)計與運行數(shù)學(xué)模型課題組的前沿性基礎(chǔ)課題,該研究成果可以應(yīng)用于污水處理廠運行的優(yōu)化和節(jié)能降耗.

國內(nèi)許多學(xué)者對污水處理機理進行了深入研究.針對昆山錦溪污水處理二期工程的改造,周軍[2]通過控制污泥齡、污泥回流比、好氧工藝中的溶氧區(qū)溶解氧、厭氧區(qū)溶解氧等關(guān)鍵參數(shù),為實現(xiàn)水質(zhì)達標提供了良好的操作方案;王巍巍等[3]利用GPS-X軟件,基于ASM2d模型,分析了分段進水A2/O工藝與常規(guī)A2/O工藝的出水效果,通過數(shù)學(xué)模型的模擬,確定了最佳配水比對原有工藝進行改造;馬昭等[4]的研究報道西安市某污水處理廠奧貝爾氧化溝污水處理工藝,利用ASM2d模型建模校正后對處理工藝進行了優(yōu)化分析,優(yōu)化了氧化溝污泥回流比與BOD5污泥負荷率;郭彥雪等[5]對國際水協(xié)推出的活性污泥2D號模型ASM2d進行優(yōu)化,以菌膠團的厭氧核為著手點,改良ASM2d模型后模擬COD、N和P在氧化溝中的降解過程,從而改良氧化溝工藝;陳文亮等[6]用ASM2d數(shù)學(xué)模型研究六箱一體化工藝在脫氮除磷中的應(yīng)用,校正后的模型對出水水質(zhì)的核心影響因素是來自于碳源不足;關(guān)夢龍等[7]結(jié)合COD、OUR數(shù)據(jù)修正ASM3模型,該模型能準確模擬異養(yǎng)微生物生長與外源底物之間的關(guān)系,對于污水的過程處理分析提供了有效的借鑒方案;隋軍等[8]基于活性污泥模型ASM2d對SBR工藝的兩步硝化建模,通過模型準確獲取了模擬硝化過程從啟動到短程硝化的過程參數(shù),為模型模擬硝化作用提供了良好借鑒;張學(xué)穩(wěn)等[9]基于BSM平臺,研究了污水處理過程的溫室氣體排放情況,并用軟件模擬不同環(huán)境下的溫室氣體構(gòu)成,提出了一些建議.以上文獻中,均沒有考慮用數(shù)學(xué)的方法分析不同條件下曝氣池的穩(wěn)定性情況.

對于部分學(xué)者提出的污水處理數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)方法的研究,可以更深入理解活性污泥污水處理的基本原理和處理機制,結(jié)合實際實驗數(shù)據(jù)對參數(shù)進行分析,可以預(yù)測未來一段時間的曝氣池中各個組分濃度的變化趨勢,從而根據(jù)結(jié)果來調(diào)整反應(yīng)過程的參數(shù),更快的達到平衡態(tài)或調(diào)整平衡點的具體位置.本文基于經(jīng)典微生物和底物的物料守恒數(shù)學(xué)模型,分析了系統(tǒng)平衡點的性態(tài),用數(shù)值模擬來驗證分析所得結(jié)果的正確性,對系統(tǒng)中參數(shù)的相互關(guān)系進行了討論,對污水處理過程的優(yōu)化有一定指導(dǎo)意義.

1 物料守恒數(shù)學(xué)模型

圖1表示的是無回流完全混合污水處理過程的框圖.

圖1 污水處理基本流程

對應(yīng)系統(tǒng)的微分方程如下:

(1)

污泥齡(SRT)表示活性污泥在生化反應(yīng)池的平均停留時間,表達式為生化反應(yīng)池中的活性污泥總量除以每日排出的活性污泥量.水力停留時間(HRT)表示生化反應(yīng)池中的污水完全更換一輪所需要的時間,表達式為生化反應(yīng)池的容積除以向該池通水的流量.具體表達式如下:

(2)

考慮到進水微生物濃度很低,可以忽略不計(即令X0=0),假設(shè)進水有機質(zhì)濃度恒定.將公式(2)代入到系統(tǒng)(1)后,則上述方程組可以化簡為如下系統(tǒng):

(3)

系統(tǒng)(3)中:X表示生化反應(yīng)池中的微生物濃度,S表示生化反應(yīng)池中的底物濃度.

2 平衡點的存在性及其穩(wěn)定性

2.1 平衡點的存在性

(4)

和

(5)

其中,平衡點(4)表示的平衡點為曝氣池中微生物濃度最終歸零時的污水處理的情況.

下面研究平衡點(5).考慮到模型表述的是無回流的完全混合情況,有如下結(jié)論[10]:

SRT=HRT

(6)

將公式(6)代入平衡點(5)進一步化簡得到:

(7)

由平衡點(7)得到模型存在正平衡點的條件為

(8)

該條件的實際含義是:比底物利用率和微生物產(chǎn)率的乘積減去微生物的內(nèi)源呼吸速率要比污泥齡的倒數(shù)大,且初始底物濃度要比平衡狀態(tài)的底物濃度高,此時系統(tǒng)會存在正平衡點;反之,系統(tǒng)不存在正平衡點.

綜合以上討論,容易得到如下結(jié)論:

定理1系統(tǒng)(3)的平衡點 (4)一直存在,當參數(shù)滿足條件(8)時,系統(tǒng)(3)的平衡點(5)存在.

2.2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(3)考慮的是無回流的完全混合情況,在此情況下,平衡點(7)是平衡點(5)的簡化形式.下面將對平衡點(4)、(5)進行詳細分析.

對于系統(tǒng)(3),求得其雅可比矩陣如下

J=

(9)

2.2.1 平衡點(4)的穩(wěn)定性分析

下面先討論平衡點(4)的穩(wěn)定性.對于平衡點(4),將該點坐標代入雅可比矩陣(9)后得到:

(10)

設(shè)λ1、λ2是雅可比矩陣(10)對應(yīng)特征方程f(λ)=|λE-J|=0的根,則有:

(11)

當正平衡點(5)存在時,將條件(8)與公式(11)聯(lián)立后得到λ1λ2<0,可知特征方程的兩個特征值符號情況是一正一負,根據(jù)平衡點穩(wěn)定性定理,此時平衡點(4)是鞍點.當初值從X=0開始運行時,系統(tǒng)會最終趨于平衡點(4);而當初值從X>0開始運行時,系統(tǒng)最終會遠離平衡點(4).

當正平衡點(5)不存在時,根據(jù)條件(8)有:

(12)

將公式(12)代入到公式(11)可以得到:

(13)

可知特征方程的兩個特征值符號情況是同為負,根據(jù)平衡點穩(wěn)定性定理,此時平衡點(4)穩(wěn)定,系統(tǒng)最終會趨于該平衡點.

2.2.2 平衡點(5)的穩(wěn)定性分析

要對正平衡點(5)進行分析,首先要保證正平衡點的存在,下面的分析將在滿足條件(8)下進行.

設(shè)λ3、λ4是平衡點(5)代入雅可比矩陣(9)后對應(yīng)特征方程f(λ)=|λE-J|=0的根,則有:

(14)

下面對λ3、λ4的正負性進行討論.

(15)

當平衡點是(5)時,又有:

(16)

將公式(15)、(16)代入公式(14)中,化簡后有:

(17)

(18)

由公式(17)、(18)得到,此時系統(tǒng)(3)在正平衡點(5)處的雅可比矩陣的特征值滿足λ3λ4>0,且λ3+λ4<0,因此,兩個特征值都具有負實部,根據(jù)平衡點穩(wěn)定性理論可知,此時正平衡點(5)是穩(wěn)定的,從而在第一象限內(nèi),系統(tǒng)的解最終會趨于平衡點(5).

結(jié)合對平衡點(4)、(5)的分析,有如下結(jié)論:

下面來模擬兩種情形對應(yīng)的系統(tǒng)相圖.

可見相圖表示的規(guī)律與理論分析的結(jié)果是一致的,即不存在正平衡點,系統(tǒng)從第一象限出發(fā)最終趨于平衡點(4);存在正平衡點,系統(tǒng)從第一象限出發(fā)最終趨于平衡點(5).

圖 2 不同情況下系統(tǒng)(3)的相圖

3 數(shù)值模擬

圖3 不同情況下系統(tǒng)(3)的時序圖

從兩種不同情況下的時序圖可以得到,若參數(shù)不滿足正平衡點存在的條件,即不存在正平衡點,系統(tǒng)(3)最終會趨于平衡點(4);若參數(shù)滿足正平衡點存在的條件,系統(tǒng)(3)的解最終會趨于正平衡點(5),即正平衡點(5)是穩(wěn)定的.實驗數(shù)據(jù)驗證了理論分析所得到的結(jié)論是正確的.

對實驗數(shù)據(jù)擬合[11],文獻中可以得到如下數(shù)據(jù)SRT=HRT=29 h,k=0.85 d-1,kd=0.3 d-1,S0=150 mg/L,X0=1 500 mg/L,經(jīng)計算,KS=1.8 gBOD/m3,YT=0.535 gBOD/gBOD,代入到系統(tǒng)(3)得到如下模擬圖,如圖4所示.

圖4 代入實際數(shù)據(jù)的系統(tǒng)(3)時序圖

從圖4所示的模擬圖像可知,到達平衡態(tài)的出水底物濃度在實驗數(shù)據(jù)的3.9～7.7 mg/L范圍內(nèi),平衡時的出水微生物濃度在實驗數(shù)據(jù)的2.5～8.9 mg/L范圍內(nèi),由此可知系統(tǒng)(3)的描述是可行的.

4 部分參數(shù)對正平衡點的影響

由于實際工廠中更關(guān)心正平衡點的穩(wěn)定性和移動趨勢,所以接下來討論各個參數(shù)對正平衡點的移動影響.

4.1 污泥齡和水力停留時間

首先考慮污泥齡和水力停留時間對平衡點的影響.固定S0=10,KS=5,k=4,YT=0.5,kd=0.1改變污泥齡和水力停留時間,觀察到系統(tǒng)(3)平衡點的變化過程[12,13],如圖5所示.

圖5 改變污泥齡系統(tǒng)(3)的平衡點移動規(guī)律

圖5表示系統(tǒng)(3)存在正平衡點情況下,改變污泥齡(SRT)對應(yīng)的平衡點移動規(guī)律.對于微生物,隨著污泥齡的增大,平衡狀態(tài)的微生物濃度會先變大后逐漸變小;對于底物,隨著污泥齡的增大,平衡狀態(tài)的底物濃度在逐漸減小靠近零.

4.2 生物反應(yīng)池的溫度

再考慮溫度對平衡點的影響.污水的溫度會影響微生物的相關(guān)動力學(xué)參數(shù),具體公式可以根據(jù)Arrehenius方程[14],如下:

k(T)=k(20℃)exp[α(T-20℃)]

(19)

式(19)中:k(T)是T溫度下的參數(shù)值;α是參數(shù)的修正系數(shù).可以觀察到,溫度對微生物的動力學(xué)參數(shù)影響,相當于給微生物的動力學(xué)參數(shù)乘以一個系數(shù),固定SRT=HRT=4,S0=10,KS=5,k=4,YT=0.5,kd=0.1改變微生物的半飽和常數(shù)、比增長速率、產(chǎn)率和內(nèi)源呼吸速率的系數(shù),觀察平衡點的移動情況,如圖6所示.

圖6 改變溫度的系統(tǒng)(3)平衡點移動規(guī)律

從圖6可以得到,溫度的適當提高與降低,對平衡狀態(tài)的微生物濃度影響要比對平衡狀態(tài)的底物濃度影響要大,總體趨勢是在一定范圍內(nèi),溫度提高可以提升平衡狀態(tài)的底物和微生物濃度,可以根據(jù)實際情況選擇調(diào)節(jié)污水處理的溫度.

4.3 污水的溶解氧

好氧過程的污水中溶解氧的影響可以用Monod方程表示[1]

(20)

公式(20)中:μobs表示好氧微生物的比增長速率,SO2是反應(yīng)器的溶解氧濃度,KS,O2是氧的飽和常數(shù).

公式(20)表明,溶解氧濃度會通過對微生物的比增長速率產(chǎn)生影響,進而使平衡點移動.下面固定SRT=HRT=10,S0=10,KS=5,YT=0.5,kd=0.1,KS,O2=1,用公式(20)替換掉系統(tǒng)(3)中的比增長速率,改變氧氣濃度,觀察其對平衡點的影響.

經(jīng)計算,要使得正平衡點存在,需要滿足條件(8),此時溶解氧濃度需要滿足SO2>1.5,讓溶解氧濃度在該條件下逐漸增大,有如下模擬圖,如圖7所示.

圖7 改變?nèi)芙庋醯南到y(tǒng)(3)平衡點移動規(guī)律

從圖7可以觀察到,溶解氧濃度在較低水平時,提高溶解氧濃度可以較大幅度地減少平衡狀態(tài)的底物濃度,同時較大幅度提升平衡狀態(tài)的微生物濃度;當溶解氧濃度較高時,提升溶解氧濃度獲得的收益會逐漸低于投入的成本,需要根據(jù)實際情況考慮是否加強曝氣.

5 結(jié)論

在保證正平衡點存在的條件下,要想減少平衡狀態(tài)的底物濃度,可以適當提高污泥齡,但需要注意不要使得污泥齡過高,否則會導(dǎo)致污泥中的絲狀菌大量繁殖,導(dǎo)致污泥的沉降性降低,對后續(xù)泥水分離產(chǎn)生影響[15];要想提高平衡狀態(tài)的微生物濃度,可以適當提高污泥齡;同時,根據(jù)平衡點(7)的表達式也可以得到,初始底物濃度的提高也會使得平衡狀態(tài)的微生物濃度提高.

對于反應(yīng)池的污水處理溫度,適當提高溫度,有利于保持活性污泥的濃度和提高反應(yīng)效率;當然,溫度對達到平衡狀態(tài)的底物濃度影響較小,考慮到成本等問題,也可以視情況不對生化池的溫度就行調(diào)整.

對于污水中的溶解氧,由于其可以影響微生物的比增長速率,使得平衡狀態(tài)的底物濃度和微生物濃度均會被影響.在低溶解氧情況下,活性污泥反應(yīng)速率受到影響,可以適當提高污水的溶解氧,以較大幅度降低平衡時的底物濃度,并較大幅度提高微生物濃度水平;通過這種方式對污水處理過程的優(yōu)化,會在溶解氧濃度較高時收益大幅減少,實際操作中也是需要結(jié)合成本問題進行取舍.