平凡之中賦新意

劉護靈

2023新高考全國數(shù)學Ⅰ卷立體幾何第18題以考生熟悉的正四棱柱為載體，構建空間幾何體，使考生感覺到所給的空間圖形“ 似曾相識”不相認，平凡之中賦新意.試題著重考查與立體幾何中的公理、空間中直線與直線的位置關系有關的基礎知識和基本方法．

一、試題呈現(xiàn)

【2023新高考全國數(shù)學Ⅰ卷立體幾何第18題】如圖1，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4.點A 2，B 2，C 2，D 2分別在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3．

（1）證明：B 2C 2∥A 2D 2；

（2）點P在棱BB 1上，當二面角P-A 2C 2-D 2為150 ° 時，求B 2P．

二、分析和解決

1.理解第（1）問的條件和目標

條件（1）：正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，思考， 正四棱柱有什么隱含條件？即意味著底面是正方形，側棱垂直底面；

條件（2）：AB=2，AA 1=4，說明這個正四棱柱的底面形狀確定，高確定；

條件（3）：點A 2，B 2，C 2，D 2分別在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，說明這四個點的

位置確定，既然這些點的位置已經確定，則目標（1）B 2C 2和A 2D 2的位置關系也是確定的，只是用什么方法來“說明空間線段的平行”？

2. 第（1）問的分析和多解

思路1：由題目的條件可以直接建立空間直角坐標系，直接寫出B 2C 2和A 2D 2的坐標，這樣即可判定它們是否平行，這個思路在此題比較簡單和自然，如下：

以C為坐標原點，CD，CB，CC 1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖2，

則C（0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1），

∴B 2C 2=（0，-2，1），A 2D 2=（0，-2，1），

∴B 2C 2∥A 2D 2，

又B 2C 2，A 2D 2不在同一條直線上，

∴B 2C 2∥A 2D 2．

思路2：若不建系，直接利用空間向量的方法計算，也可以證明平行，如下：

因為正四棱柱中，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，則D 2A 2=D 2D+DA+AA 2=DA-AA 2， C 2B 2= C 2C+CB+ BB 2= CB-12BB 2=DA-AA 2，所以D 2A 2=C 2B 2，所以B 2C 2∥A 2D 2.

思路3：還可以利用平面幾何的知識證明線段平行.

如圖3，連接AC，A 2B 2，設A 2C 2， AC的中點分別為O， O 1，連接BD， B 2D 2，OO 1，由題設得，OO 1是梯形AA 2C 2C的中位線，所以OO 1=2由題設可得OO 1∥BB 2∥DD 2且OO 1=BB 2=DD 2，又O 1是BD中點，因此O是B 2D 2的中點，故A 2B 2C 2D 2是平行四邊形，所以B 2C 2∥A 2D 2.

3.理解第（2）問的條件和目標

第（2）問的前提條件和第（1）問是一樣的，但是多了兩個新條件.

新條件1：點P在棱BB 1上，意味著點P是動點；

新條件2：二面角P-A 2C 2-D 2為150°，意味著點P的位置可能被固定（有可能有兩個或多個符合條件的位置）；

新目標：求B 2P的長.

4.第（2）問的分析和多解

思路1：如圖2，建立空間直角坐標系，設P（0，2，λ）（0≤λ≤4），利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解．

設P（0，2，λ）（0≤λ≤4），則A 2C 2=（-2，-2，2），PC 2=（0，-2，3-λ），D 2C 2=（-2，0，1），

設平面PA 2C 2的法向量=（x，y，z），

則·A 2C 2=-2x-2y+2z=0，

·PC 2=-2y+（3-λ）z=0，

令 z=2，得y=3-λ，x=λ-1，∴=（λ-1，3-λ，2），

設平面A 2C 2D 2的法向量=（a，b，c），則·A 2C 2=-2a-2b+2c=0，

·D 2C 2=-2a+c=0，，

令 a=1，得b=1，c=2，∴=（1，1，2），

∴ cos 〈，〉=·=664+（λ-1）2+（3-λ）2=｜ cos 150° ｜=32，

化簡可得，λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，∴P（0，2，1）或P（0，2，3），

∴B 2P=1．

思路2：如圖4，建立空間直角坐標系，利用空間向量計算二面角.

即：以點C為原點，CD，CA，CC 1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，則A 2（2，2，1）， C 2（0， 0，3），D 2（2，0，2）．

令P（0，2，t），在A 2C 2上取點M，使得PM⊥A 2C 2，

令A 2M=xA 2C 2=（-2x，-2x，2x），

則MP= A 2P-A 2M= （2x-2，2x，t-2x- 1），

由MP·A 2C 2=-2（2x-2）-4x2+2x（t-2x-1）=0，

解得： t=6x-1，則MP= （2x-2，2x，4x-2），

取A 2C 2的中點E，則ED 2=（1，-1，0），則ED 2·MP=-2．

由條件易得D 2C 2= D 2A 2，所以D 2E⊥A 2C 2，

則ED 2與MP的夾角等于二面角P-A 2C 2-D 2的大?。?/p>

所以 cos =ED 2·MPED 2·MP=-224（4x2-6x+2）=-32.

整理得： 9x2-9x+2=0，解得： x=23或x=13．

則t=6x-1=3或1，由圖可知，t=3，即B 2P=1．

思路3：不建系，尋找到二面角的平面角進行計算.

如圖5，在平面ABB 1A 1上取一點E，使C 2E=A 2E，連接OE， EB 2，直線A 2E交棱BB 1于點P，設點E到AA 1的距離為x，點E到AB的距離為y，

則（x-2）2+（y-3）2+4=x2+（y-1）2，

即x+y=4．

由題設可知， ∠EOB 2為二面角二面角P-A 2C 2-D 2的平面角的補角．

在△EOB 2中，EB2 2= OE2 +OB2 2 - 2OE·OB 2 cos ∠EOB 2，

所以：

（x-2）2+（y-2）2=（x-1）2+（y-2）2+1+2-2×2×32×（x-1）2+（y-2）2+1，

即（2x-3）（x-3）=0.

解得x=3，y=1或x=32，y=52.

綜上，當二面角P-A 2C 2-D 2為150°時，B 2P=1.

三、變式探究

利用數(shù)學動態(tài)軟件GeoGebra開展數(shù)學實驗，先利用點的運算，繪制出精準的圖形，如圖6，移動點P的位置，利用角度工具，測量并觀察二面角P-A 2C 2-D 2的大?。?/p>

通過觀察，如果點P限制在線段BB 1上運動時，二面角P-A 2C 2-D 2在點P位于點B或B 1時取得最小，最小值近似為130.89°（最大值為180°），所以，此題的150°剛好是特殊角中的一個，如果想把150°變式修改為其它特殊角如120°，只能把點P的位置修改為：點P在直線BB 1上運動，但這樣的變式問題的意義不是很大．

所以，此題不妨修改原題中特殊的固定點A 2、B 2、C 2、D 2的位置，然后給出二面角的度數(shù)，或者線面角的度數(shù)，要求學生計算點P的位置，這是可行的方案之一．

或者，題目的設問修改為給出點P到某個平面的距離，如圖7，點P到平面A 2C 2D 2的距離為1（圖中的線段PQ），求BP的長，這樣的問題就有一定的價值，解決的方法利用向量法比較方便．

以二面角、點到直線的距離為核心考點的高考題很多，例如2023年高考天津卷第17題，原題如下：

三棱臺ABC-A 1B 1C 1中，若A 1A⊥面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA 1=2，A 1C 1=1，M，N分別是BC，BA中點.

（1）求證：A 1N//平面C 1MA；（2）求平面C 1MA與平面ACC 1A 1所成夾角的余弦值；（3）求點C到平面C 1MA的距離．

此題作為高考復習而言有相當?shù)膬r值，方法豐富，例如第（3）問既可以使用幾何法，也可以使用等體積法進行巧妙解決，有興趣的讀者可以嘗試．

還有2021年高考甲卷第19題，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，側面AA 1B 1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC 1的中點，D為棱A 1B 1上的點.BF⊥A 1B 1

（1）證明：BF⊥DE；

（2）當B 1D為何值時，面BB 1C 1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

這題難度比2023年新高考全國數(shù)學Ⅰ卷的第17題大，第（2）小問可利用幾何法、向量法（最優(yōu)解）、投影面積法等多種方法解決，精彩紛呈！具體多種解法和變式探究，在2023年常州數(shù)學會舉辦的“同題異構融創(chuàng)活動”有所展現(xiàn)．

四、試題亮點和備考策略

本題所構建的四邊形A 2B 2C 2D 2和二面角P-A 2C 2-D 2是從考生常見的空間幾何體中提煉出來的，所涉及的空間概念和線面關系，貼近廣大考生的學習實際試題蘊含了豐富的信息，給不同基礎的考生提供了想象的空間和多角度的思維平臺，同時為考生分析問題和解決問題提供了多種思路和方法，給不同思維方式（向量法與綜合幾何法）的考生都提供了發(fā)揮的空間，試題在全面考查考生立體幾何基礎知識的同時，著重考查了考生的化歸與轉化思想.通過問題的分層設計，使

不同層次考生的水平都得以發(fā)揮. 試題準確把握相關幾何要素，把向量運算、建立空間直角坐標系、二面角的平面角作

圖等較好地融人試題的第（1）問和第（2）問中，使空間想象能力、邏輯思維能力和運算求解能力得到了有效考查，體現(xiàn)了課程標準對立體幾何教學的知識要求和能力要求，試題的難度適中，具有較好的區(qū)分度和選拔功能.

立體幾何專題的復習建議：

1.依據(jù)考綱，深挖教材，落實基礎，控制難點，突出重點

在備考過程中，首先要針對新高考的要求，結合學生的實際，準確理解和把握空間幾何體的結構特征，明確定理的內容、作用等，對于重點內容如直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的判定與性質定理等要熟練掌握．

2.加強對推理論證的復習

雖然新課標提倡我們利用空間向量解決立體幾何問題，但我們還是要重視培養(yǎng)學生的空間想象能力，因此，對推理論證也要著重復習.可以從高考題中選擇具有代表性的題目，編制相應的學案，進行解答．

3.復習時要突出“向量法”

在復習“向量法”時，我們要著重復習直線的方向向量和平面的法向量，只有理解好這兩個向量，準確地求出這兩個向量，空間角（距離）的問題就會很好地解決.這里要著重指出，在求直線和平面所成的角時，須記?。褐本€的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值是線面角的正弦值，此外，計算出兩個平面的法向量夾角的后，這個角與二面角相等還是互補，要根據(jù)題目條件進行有效判斷．

【本文系廣州市教育研究院2021年度科研課題“信息技術（Geogebra）與數(shù)學教學深度融合研究”（課題編號：21 BCZSX2 107）階段性研究成果】

責任編輯 ?徐國堅