上“講道理”的數(shù)學課：培養(yǎng)代數(shù)推理能力的策略與路徑

*本文系江蘇省十四五規(guī)劃課題“初中數(shù)學課程中的代數(shù)推理及教學策略研究”（SJMJ/2022/02）、“走向整體設(shè)計：初中數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學的實踐研究”（E/2022/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：胡松，南京市鼓樓區(qū)教育局副局長，正高級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，南京市學科教學帶頭人。

摘要：傳統(tǒng)教學中，教師常把推理能力的培養(yǎng)交給“圖形與幾何”，忽視了“數(shù)與代數(shù)”對于培養(yǎng)學生推理能力的價值與作用。其實，代數(shù)推理是數(shù)學中的重要推理類型，也是啟發(fā)思維的重要載體。代數(shù)教學中，要促使學生真正學習，開發(fā)學生潛能，教師不僅要講授知識，更要點明其算理，即在課堂上“講道理”。教師可以從講清知識的來龍去脈、破解代數(shù)中的“規(guī)定”之疑、厘清例習題道理三個方面入手，分析教材結(jié)構(gòu)、改造教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生的代數(shù)推理能力。

關(guān)鍵詞：初中代數(shù)；代數(shù)推理能力；數(shù)學思維

中圖分類號：G633.62 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）22-0089-04

數(shù)學道理是指數(shù)學中的概念、法則、定理等知識背后蘊含的算理，包括產(chǎn)生之理、本源之理、呈現(xiàn)之理及隱性之理。數(shù)學教學中，要促使學生真正學習，開發(fā)學生潛能，教師不僅要講授知識，更要點明其算理，即在課堂上“講道理”。學生通過教師“講道理”的過程，經(jīng)歷、感知、體驗知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，由淺入深、由易到難地學習知識、理解知識，主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的萌芽點、連接點和生長點，建立新舊知識的聯(lián)系，提高數(shù)學創(chuàng)造力，培養(yǎng)和強化數(shù)學思維，形成系統(tǒng)性的推理能力。推理能力的培養(yǎng)一直是認知心理學和教育學的熱門話題?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）將“會用數(shù)學的思維思考世界”作為數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)之一，并指出數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力。學生經(jīng)歷獨立的思維過程，具備推理意識或推理能力，有助于形成實事求是的科學態(tài)度和理性精神[1]6。

一、培養(yǎng)推理能力的教學現(xiàn)狀

推理是人們在學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。培養(yǎng)推理能力是數(shù)學學習的核心價值所在，學生推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學學習過程中。初中階段，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”都是培養(yǎng)學生推理能力的數(shù)學知識體系。在傳統(tǒng)教學中，教師常把推理能力的培養(yǎng)交給“圖形與幾何”，忽視了“數(shù)與代數(shù)”對于培養(yǎng)學生推理能力的價值與作用。其實，代數(shù)推理是數(shù)學中的重要推理類型，而代數(shù)運算是代數(shù)推理的重要形式，是得到結(jié)論的重要途徑，也是啟發(fā)思維的重要載體?！皵?shù)與代數(shù)”的學習有助于學生認識數(shù)量關(guān)系、探究數(shù)學規(guī)律、建立數(shù)學模型，有利于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運算能力。依托“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容，教師可以通過情境、活動、問題串的設(shè)計，在歸納的過程中引導學生依次計算或嘗試，尋找探索事物變化規(guī)律的方法，從而養(yǎng)成有條理地思考的習慣，讓學生在代數(shù)邏輯論證的過程中，逐漸提升自身的推理能力。

在2022版課標的指引下，關(guān)于幾何邏輯推理能力的研究與成果百花齊放，但針對“數(shù)與代數(shù)”推理能力的研究仍很薄弱。在教學實踐中，目前的教學設(shè)計也弱化了代數(shù)推理的作用。3年來筆者跟蹤了區(qū)域內(nèi)近百節(jié)代數(shù)領(lǐng)域的課，發(fā)現(xiàn)：35％的代數(shù)課上，教師直接拋出概念或法則，然后根據(jù)概念、法則進行鞏固訓練，對概念、法則的生成缺乏必要的闡述與探究；55％的代數(shù)課上，教師由特殊情形或大量的實例類比得到概念或法則，然后根據(jù)概念、法則進行直接應(yīng)用，對概念、法則的生成同樣缺乏從算理角度進行論證的過程；只有10％的代數(shù)課，教師在概念、法則的教學過程中，融入豐富的類比、歸納、猜想、驗證的環(huán)節(jié)。因此，加強代數(shù)推理的理論研究和實踐探索是擺在廣大教師面前的重要課題。

推理的本質(zhì)是有條理地思考和表達，即建立思維的條理性和邏輯性[2]。在“數(shù)與代數(shù)”教學中，培養(yǎng)學生的代數(shù)推理能力，關(guān)鍵是在課堂上“講道理”，即揭示概念、法則的生成邏輯。

二、培養(yǎng)代數(shù)推理能力的教學策略

數(shù)學課堂是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的主戰(zhàn)場，相較于知識、結(jié)論的呈現(xiàn)與記憶，每個概念、法則的感知、抽象、概括、驗證等過程更為重要。代數(shù)課程的價值在于讓學生理解算理，熟練計算，善用推理。一堂好的代數(shù)課應(yīng)讓學生在掌握知識技能的過程中，學會理性思考，提升代數(shù)推理能力。教師要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。教師明理，課堂方能講理；課堂講理，學生方能悟理。

（一）講清知識的來龍去脈

數(shù)學教材中呈現(xiàn)的概念、法則等是前人對數(shù)學知識產(chǎn)生和形成過程進行的概括，抽象性較高?！爸v道理”的數(shù)學課要還原知識的形成過程，讓學生了解知識的形成軌跡，避免死記硬背性學習，從理解的角度去學習知識，提升數(shù)學學習的效率。在教學設(shè)計中，教師要將數(shù)學的基本思想、基本經(jīng)驗落實到基礎(chǔ)知識、基本技能的教學過程中去，要設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學知識整體性、邏輯連貫性、思想一致性、方法普適性、思維系統(tǒng)性的系列化數(shù)學活動，引導學生對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學問題，構(gòu)建研究數(shù)學對象的基本路徑，獲得有價值的數(shù)學結(jié)論，建立數(shù)學模型，解決現(xiàn)實問題，以實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。

（二）破解代數(shù)中的“規(guī)定”之疑

代數(shù)課堂有許多“規(guī)定”。遇到一些難以理解的知識點，教師則告訴學生，這是“規(guī)定”。久而久之，學生不再問“為什么”，數(shù)學課堂也逐漸變得不講道理。而我們倡導“講道理”，就要破除課堂“規(guī)定”之風，解決學生心中的疑惑。具體怎么做呢？要學生猜想如何“規(guī)定”，從知識的連續(xù)性理解“規(guī)定”的合理性，從體系的完整性體驗“規(guī)定”的必要性，從驗證的角度推導“規(guī)定”的科學性。如“0的絕對值、相反數(shù)是0，一個數(shù)與0相加仍得這個數(shù)，任何數(shù)與0相乘都得0”等代數(shù)知識的教學均應(yīng)遵循上述四個步驟。

（三）講解例習題時厘清道理

代數(shù)的研究對象不僅是數(shù)字，而且是各種抽象的結(jié)構(gòu)。代數(shù)推理是使用代數(shù)的定義、性質(zhì)，從已知的數(shù)學式子推導出新的數(shù)學式子的過程。例習題講解是代數(shù)教學的重要環(huán)節(jié)，從“講道理”的角度看，我們對例習題的講解不能停留在熟能生巧的層面，也無須過多地強調(diào)技巧?！爸v道理”的教學要把每一道例習題看成一種代數(shù)模型，嘗試從分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的角度去講解例習題，在講解過程中要多追問，厘清每一個步驟的依據(jù)。講解過程中也要滲透數(shù)學的常見思想方法，如歸納類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合等，培養(yǎng)學生數(shù)學思考的品質(zhì)。

三、培養(yǎng)代數(shù)推理能力的教學探索

在代數(shù)學習的起始階段，教師就應(yīng)重視如何在代數(shù)課中講好道理。越“簡單”的課，越應(yīng)該挖掘其內(nèi)在的原理，將“理”貫穿在學習的始終。蘇科版數(shù)學七年級上冊“去括號”這節(jié)課在很多教師眼中就是這樣一節(jié)“簡單”的課。他們認為，在學生的認知里，很容易得到去括號法則，學生運算出現(xiàn)錯誤，也不是不明白法則導致的。但學生是否明白法則的合理性和邏輯性，大部分教師是忽略的。所以，本文就以這一課為例，從分析教材結(jié)構(gòu)、改造教學內(nèi)容兩方面，在教學實踐中探索如何上好“講道理”的數(shù)學課。

（一）分析教材結(jié)構(gòu)

教材從情境引入、活動建構(gòu)、例習題講解三個方面呈現(xiàn)了“去括號”一課的教學內(nèi)容。首先，教材在“議一議”環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了小亮在假期勤工儉學活動中賣報紙的學習情境，引出如何合并多項式同類項的問題：

在假期的勤工儉學活動中，小亮從報社以每份0.4元的價格購進a份報紙，以每份0.5元的價格賣出b份（b≤a）報紙，剩余的報紙以每份0.2元的價格退回報社，小亮贏利多少元？

小亮購進a份報紙支出0.4a元，售出b份報紙收入0.5b元，退回剩余報紙收入0.2（a-b）元。這樣，小亮贏利[-0.4a+0.5b+0.2（a-b）]元。

如何合并多項式-0.4a+0.5b+0.2（a-b）中的同類項？

在此基礎(chǔ)上，教材在“試一試”環(huán)節(jié)展開“填表”與“討論”的建構(gòu)活動，通過反復代入不同的數(shù)值，引導學生構(gòu)建對概念、法則的初步認知，由此引出去括號法則：

括號前面是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉，括號里各項的符號都不改變。括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號里各項的符號都要改變。

接著，教材通過典型例習題講解，進一步鞏固并拓展去括號法則的運用。

教材內(nèi)容從現(xiàn)實情境引入，體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值，設(shè)計的目的是為了引導學生聯(lián)系生活實際感受去括號的必要性及價值。“試一試”環(huán)節(jié)的操作與討論活動，設(shè)計的目的是引導學生通過數(shù)值計算，尋找到相等的式子，然后通過不完全歸納得到法則。但從實際教學效果來看，“議一議”環(huán)節(jié)，多數(shù)學生能直接得到實際結(jié)果，弱化了此環(huán)節(jié)的設(shè)計目的；“試一試”環(huán)節(jié)，大多數(shù)學生根據(jù)已有的經(jīng)驗，也能直觀得到a+（-b+c）＝a-b+c或a-（-b+c）＝a+b-c。從代數(shù)推理的角度看，這兩個環(huán)節(jié)未能充分展示去括號的必要性和去括號法則的數(shù)學道理。

（二）改造教學內(nèi)容

從內(nèi)容維度上看，學習本課時前，學生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)與代數(shù)的兩次蛻變，一是“從正數(shù)到負數(shù)”的數(shù)的擴充過程，二是“從數(shù)到字母”的演變過程，學生已初步掌握了有理數(shù)、代數(shù)式的相關(guān)概念和計算，理解了它們的價值。從經(jīng)驗維度上看，學生在三個方面已具備括號的應(yīng)用經(jīng)驗：通過用式子表示“加法的交換律、結(jié)合律，乘法的分配律、結(jié)合律、交換律”，體會了括號表達的便捷性；通過用式子表示有理數(shù)的運算法則（如，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)），體會了括號表達的簡約性；通過“程序運算”，體會到括號應(yīng)用的一般性。

首先，我們將情境問題改造為兩個問題：

（1）某汽車4S店倉庫中原有車輛32輛，第二天又入庫12輛，并賣出8輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉庫中原有車輛32輛，第二天賣出12輛，第三天賣出8輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

設(shè)計這兩個問題，更加直接地指向去括號法則，以問題（1）為例，既可以列式：32+12-8，也可以列式：32+（12-8），讓學生在“數(shù)”的運算中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而遷移到“式”的運算。

然后，在建構(gòu)環(huán)節(jié)中，我們設(shè)計了兩個活動。第一個活動是上述情境問題的延伸：

（1）某汽車4S店倉庫中原有車輛a輛，第二天又入庫b輛，并賣出c輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉庫中原有車輛a輛，第二天賣出b輛，第三天賣出c輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

2022版課標提出：“教材在初中階段也需要設(shè)計相應(yīng)內(nèi)容，讓學生經(jīng)歷從數(shù)的具體計算過渡到式的抽象運算的過程……”[1]93有了前面的討論，學生已經(jīng)有了感性的認識，也就能夠過渡到抽象的形式化規(guī)則。

第二個活動是“講道理”的環(huán)節(jié)，是探究“去括號法則”的主要活動，意在引導學生將經(jīng)驗上升為規(guī)律，抽象為符號。符號作為一種特殊的語言，有其自身的獨特之處。數(shù)學符號是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。2022版課標提出：“在小學階段，學生只需要感悟數(shù)學的說理；到了初中階段，學生要會用數(shù)學的符號表達數(shù)學道理?！盵1]93學生不僅要能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還要從學會數(shù)學本身的邏輯出發(fā)，“講出道理”，解釋規(guī)律的合理性，才真正實現(xiàn)了思維的升華。在“講道理”的環(huán)節(jié)，教師要追問學生如何解釋自己的發(fā)現(xiàn)是正確的。在解釋規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師還要引導學生用文字描述法則，加深對法則的理解，在文字語言、符號語言、圖形語言方面完善數(shù)學概念。

最后，在“小結(jié)與思考”環(huán)節(jié)，我們設(shè)計了兩道練習題：

（1）說明：兩個連續(xù)正整數(shù)的和不能被2整除。

（2）說明：若一個兩位數(shù)，十位數(shù)和個位數(shù)的和能夠被3整除，那么這個兩位數(shù)也能被3整除。

2022版課標指出，數(shù)學課程的核心素養(yǎng)主要包括會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界[1]5-6。本節(jié)課的“小結(jié)與思考”沒有使用常規(guī)的回憶課堂學習過程的方式，而是再次提出挑戰(zhàn)性的問題，讓學生在數(shù)學情境中自覺養(yǎng)成用數(shù)學的語言進行推理和運算的習慣。這里不僅用到了本節(jié)課學習的“去括號法則”，還需要學生創(chuàng)造性地衍生出“添括號法則”，從而達到真正內(nèi)化本節(jié)課內(nèi)容，并更上一層樓的目標，發(fā)展學生的代數(shù)推理能力。

數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數(shù)學思維與客觀事物發(fā)生和發(fā)展的規(guī)律具有同構(gòu)性，是現(xiàn)實生活中數(shù)學內(nèi)容的邏輯性在人的大腦中的反映。因此，數(shù)學教學應(yīng)該以數(shù)學的內(nèi)容邏輯為基本線索，將“心理邏輯”和“內(nèi)容邏輯”有機地融合為一體?！爸v道理”的數(shù)學課將合情推理和演繹推理融合在代數(shù)的教學中，從而提升學生的代數(shù)推理能力。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]喻平.數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素析取的實證研究[J].數(shù)學教育學報，2016（6）：3.

責任編輯：殷偉