半次覆蓋遠(yuǎn)離子群和有限群的可解性

李士恒,柳海萍,劉冬華

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院,河南鄭州 450015)

(2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院經(jīng)貿(mào)學(xué)院,河南鄭州 450015)

(3.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,河南鄭州 450052)

半次覆蓋遠(yuǎn)離子群和有限群的可解性

李士恒1,柳海萍2,劉冬華3

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院,河南鄭州 450015)

(2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院經(jīng)貿(mào)學(xué)院,河南鄭州 450015)

(3.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,河南鄭州 450052)

本文定義了有限群的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群概念,研究了半次覆蓋遠(yuǎn)離子群和有限群的可解性問題.利用某些半次覆蓋遠(yuǎn)離子群刻劃了有限群的可解性,得到了若所有的sylow子群(或極大子群)半次覆蓋遠(yuǎn)離則群可解,推廣了文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果.

有限群;半次覆蓋遠(yuǎn)離子群;極大子群;可解

1 引言

利用子群研究有限群的結(jié)構(gòu),在有限群的研究中有很重要的地位.很多學(xué)者都在這些方面進(jìn)行了研究,得到了很多重要的結(jié)果.如著名的Huppert定理,即有限群為超可解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有極大子群的指數(shù)為素?cái)?shù);有限群為冪零群當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)極大子群都正規(guī);有限群可解當(dāng)且僅當(dāng)它的極大子群均c-正規(guī)(見文獻(xiàn)[1])等.很多學(xué)者對子群的正規(guī)性進(jìn)行了推廣,并由此得到了許多關(guān)于可解性、超可解性和冪零性的一些充分條件.例如文獻(xiàn)[2]證明了如果群G的每一個(gè)Sylow子群有在G中正規(guī)的極大子群那么G超可解;文獻(xiàn)[3,4]中刻畫了滿足換位子條件的群的結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[10]用某些子群的半正規(guī)性刻畫了有限群的可解性等.郭秀云在文獻(xiàn)[5]中用覆蓋-離開子群刻畫了群的結(jié)構(gòu);樊惲、郭秀云[6]等介紹了概念半覆蓋遠(yuǎn)離,這個(gè)概念是覆蓋遠(yuǎn)離、幾乎正規(guī)(見文獻(xiàn)[6]定義2.1(2))的推廣,而幾乎正規(guī)是c-正規(guī)的推廣.他們用Sylow子群或極大子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性刻畫了有限群的可解性,也用其他一些子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性刻畫了有限群的超可解性.本文定義了有限群的半次覆蓋遠(yuǎn)離性子群,用有限群的半次覆蓋遠(yuǎn)離性子群刻劃群G的可解性.

文中,π是一個(gè)素?cái)?shù)集合,G是一個(gè)群,所有的群都是有限群.π(G)表示群G的階的所有素因子作成的集合;如果數(shù)n的每一個(gè)素因子都在π中,稱n是一個(gè)π-數(shù);H＜G表示H為G的真子群,H??G表示H為G的次正規(guī)子群,H為G的極大子群記作H＜·G;稱L為G的2-極大子群,如果存在G的極大子群M使L＜·M.

定義1.1設(shè)商群M/N為G的次正規(guī)因子,H是G的子群.若H滿足HM=HN(這里HM和HN不一定是群G的子群),則稱H覆蓋M/N;若H∩M=H∩N(?H∩M/H∩N=1),則稱H遠(yuǎn)離M/N.如果H覆蓋或者遠(yuǎn)離G的某個(gè)合成列的每個(gè)合成因子,那么稱H是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.顯然這是半覆蓋遠(yuǎn)離子群和次正規(guī)子群的一個(gè)推廣.

下面的例1.1說明半次覆蓋遠(yuǎn)離子群既不是次正規(guī)子群也不是半覆蓋遠(yuǎn)離子群,例1.2說明半次覆蓋遠(yuǎn)離子群不一定覆蓋遠(yuǎn)離每一個(gè)合成列,相關(guān)概念見文獻(xiàn)[7,A,第18節(jié)].

例1.1設(shè)G=3是N和S3的圈積(wreath product),其中S3為3次對稱群,N為一個(gè)非交換單群.再設(shè)H=D〈(12)〉,其中D為基群(base group)B的對角子群(diagonal subgroup),(12)為S3的一個(gè)置換.下面驗(yàn)證H覆蓋遠(yuǎn)離次正規(guī)列1＜N1＜N1×N2＜B＜B〈(123)〉＜G,其中N1={(a,1,1)|a∈N},N2={(1,a,1)|a∈N}.顯然有N1∩H=1=N1∩1、N1∩H=1=(N1×N2)∩H、(N1×N2)H=B〈(12)〉=BH、B∩H=D=B〈(123)〉∩H、(B〈(123))〉H=G(由|B〈(123)〉H|=得)成立,因此H覆蓋遠(yuǎn)離上述次正規(guī)列.

另一方面,由B∩H=D≠1和BH=B〈(12)〉≠H得H不覆蓋或遠(yuǎn)離G的主因子B/1,又B是G唯一的極小正規(guī)子群,所以H不覆蓋或遠(yuǎn)離G的任何主列,即是H不是G的半覆蓋遠(yuǎn)離子群.顯然H也不是G的次正規(guī)子群(否則H∩B=D是G的次正規(guī)子群從而也是B的次正規(guī)子群,但由文獻(xiàn)[8,第一章,9.12]可看出這是不可能的).

例1.2設(shè)G=A5×〈(67)〉,其中A5為5次交錯(cuò)群,(67)為S7的一個(gè)置換,H=〈(12)(34)(67)〉.則H覆蓋遠(yuǎn)離合成列1＜A5＜G(也是主列),但不覆蓋遠(yuǎn)離G的合成列1＜ 〈(67)〉＜G(也是主列).

2 引理

引理2.1設(shè)H是群G的子群,1＜···＜N＜M＜···＜G是G的一個(gè)次正規(guī)列.如果H覆蓋（遠(yuǎn)離）M/N,那么H覆蓋(遠(yuǎn)離)這個(gè)次正規(guī)列細(xì)化后的在M和N之間的任一個(gè)合成因子.

證設(shè)A/B是滿足N≤B＜A≤M的群G的合成因子.當(dāng)H覆蓋M/N時(shí),由HM?HA?HB?HN得H覆蓋A/B.如果H遠(yuǎn)離M/N,那么H∩M=H∩N.因?yàn)镠∩M≥H∩A≥H∩B≥H∩N,所以H∩A=H∩B.引理得證.

引理2.2設(shè)H≤G,NG且(|H|,|N|)=1.如果MG,那么M∩HN=(M∩H)(M∩N).

證設(shè)W=M∩HN.由M??G得存在次正規(guī)子群Gi(i=0,1,···,r)滿足M=Gr?Gr?1?···?G0=G.對r用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)r=1時(shí)MG.從而WHN,WH=HW且NW=WN.又由(|H|,|N|)=1得(|HN:N|,|HN:H|)=1.因此由文獻(xiàn)[7,A,1.6(c)]得W=(W∩H)(W∩N)=(M∩H)(M∩N).

假定Gr?1∩HN=(Gr?1∩H)(Gr?1∩N).設(shè)Hr?1=(Gr?1∩H),Nr?1=(Gr?1∩N).由M≤Gr?1和歸納假定得W=M∩(Gr?1∩HN)=M∩Hr?1Nr?1=W∩Hr?1Nr?1.

由MGr?1得M⊥Hr?1和M⊥Nr?1,顯然也有(|Hr?1Nr?1:Hr?1|,|Hr?1Nr?1:Nr?1|)=1.再次由文獻(xiàn)[7,A,1.6(c)]得

引理2.3設(shè)H是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

(a)如果H≤M≤G,那么H是M的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

(b)如果N≤H或(|H|,|N|)=1,那么HN/N是G/N的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

證 (a)設(shè)H是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.那么G有合成列1=Gn?Gn?1?···?G0=G使對i=1,···,n有HGi=HGi?1或H∩Gi?1=H∩Gi.設(shè)Mi=Gi∩M,i=0,···,n.那么有HMi=HMi?1或H∩Mi=H∩Mi?1.于是H覆蓋遠(yuǎn)離M的次正規(guī)列1=MnMn?1···M0=M,從而由引理2.1得H是M的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

(b)設(shè)H是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群,H覆蓋遠(yuǎn)離主列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.即有HGi=HGi?1或H∩Gi=H∩Gi?1.HGi=HGi?1顯然結(jié)論成立,只需要證明H∩Gi=H∩Gi?1時(shí)的情形.

如果N≤H,那么H/N∩Gi?1N/N=N(H∩Gi?1)/N(由文獻(xiàn)[7,A,1.3]可得)且H/N∩GiN/N=N(H∩Gi)/N.結(jié)合H∩Gi=H∩Gi?1得(H/N∩GiN/N)=(H/N∩Gi?1N/N).于是,由引理2.1得H/N是G/N的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

如果(|H|,|N|)=1,那么HN/N∩Gi?1N/N=N(HN∩Gi?1)/N.又由引理2.2得HN∩Gi?1=(H∩Gi?1)(N∩Gi?1),所以HN/N∩Gi?1N/N=N(H∩Gi?1)(N∩Gi?1)/N=N(H∩Gi?1)/N≌H∩Gi?1.同理有H/N∩GiN/N≌H∩Gi.因此HN/N∩Gi?1N/N=HN/N∩GiN/N,從而H/N是G/N的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

引理2.4設(shè)G為有限群且L是G的2-極大子群.如果L=1,那么G可解.

證如果L=1,那么G有一個(gè)素?cái)?shù)階的極大子群,從而由文獻(xiàn)[8,第四章,7.4]得G可解.

引理2.5設(shè)G為有限群,A/B為G的次正規(guī)因子,H≤G,則有

(1)(A∩H)B=A?HB=HA;

(2)(A∩H)B=B?B∩H=A∩H.

證(1)若(A∩H)B=A則HB=(H(A∩H))B=H((A∩H)B)H=HA;反之,若HB=HA則由文獻(xiàn)[7,A,1.3]得A=A∩HA=A∩HB=(A∩H)B.

(2)若(A∩H)B=B則由文獻(xiàn)[7,A,1.3]得B∩H=((A∩H)B)∩H=(A∩H)(B∩H)=A∩H;反之,若B∩H=A∩H則B(A∩H)=B(B∩H)=B.

3 主要結(jié)果

定理3.1設(shè)G是有限群.如果G的每一個(gè)極大子群都是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群,那么G是可解的.

證假設(shè)結(jié)論不成立,設(shè)G是極小階反例.

因?yàn)镚的商群的極大子群的逆像是G的極大子群,由引理2.3,G的商群滿足定理的假設(shè).因此,對任意的NG,由G是極小階反例得G/N是可解的.如果G有兩個(gè)極小正規(guī)子群,那么由可解群類是飽和群系得G是可解的.因此,假定G有唯一的極小正規(guī)子群,設(shè)為N.若N是可解的則G是可解的,所以假定N非可解.于是N=N1×N2×···×Nr,其中N1≌N2≌···≌Nr為非可解單群.由文獻(xiàn)[7,A,15.2]得CG(N)=1.

設(shè)P=P1×P2×···×Pr＞1,其中Pi∈Sylp(Ni),i=1,2,···,r,則P∈Sylp(N).由Frattini推斷得G=NNG(P).因?yàn)镹是G的極小正規(guī)子群且P＜N,所以存在M＜·G使NG(P)≤M,從而G=MN.由題設(shè),可設(shè)M覆蓋遠(yuǎn)離合成列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.由文獻(xiàn)[7,A,14.3]得N≤NG(G1),若N∩G1=1,則有1=CG(N)≥G1,這是不可能的.因此N∩G1≠1,又N∩G1??G,結(jié)合G1為極小次正規(guī)子群得N≥G1.由文獻(xiàn)[8,第一章,9.12定理]可假設(shè)N1=G1.因?yàn)镸∩G1≥P1＞1,所以M覆蓋G1/1,即有MG1=M,從而N1=G1≤M.由N1N得所以由N是唯一的極小正規(guī)子群得所以G=MN=M,與M＜·G矛盾.定理得證.

定理3.2若群G的每一個(gè)2-極大子群都是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群,那么G是可解的.

證對每一個(gè)M＜·G,由定理的假設(shè)條件和引理2.3得M的每一個(gè)極大子群均在M中半覆蓋遠(yuǎn)離.因此由定理3.1得M可解.

另一方面,對每一個(gè)N?G,由引理2.3,有G/N滿足定理的假設(shè)條件.如果N≠1,那么對|G|用歸納法得G/N可解.因此,如果N＜G那么N必含于某一個(gè)極大子群,從而N可解,G可解.因此,可假定G是非交換單群.于是,對G的任一個(gè)2-極大子群L,由假設(shè)條件得L=G或L=1.由L是一個(gè)2-極大子群知L=G不可能,于是必有L=1,從而由引理2.4得G是可解群.

定理3.3群G是可解群當(dāng)且僅當(dāng)G的任意子群都是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

證必要性:群G是可解群,設(shè)1=Gn?Gn?1?···?G0=G是G的合成列,則由G是可解群得Gi?1/Gi為p階群,i=1,···,n?1.設(shè)H≤G,則Gi?1∩HGi或Gi?1∩H?Gi.若前者成立,則(Gi?1∩H)Gi=Gi?1;若后者成立,則(Gi?1∩H)Gi=Gi.由引理2.5分別得

充分性由定理3.1或定理3.2顯然可得.

注3.1由定理3.3知道半次覆蓋遠(yuǎn)離子群只能刻畫群的可解性,且定理3.1和定理3.2的條件都是群可解的充要條件.

定理3.4群G是p-可解群當(dāng)且僅當(dāng)G有Sylowp-子群P是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

證必要性:假設(shè)群G是p-可解群,1=Gn?Gn?1?···?G0=G是G的合成列,則由G是p-可解群得Gi?1/Gi為p階群或p′-群,i=1,···,n?1.設(shè)P是G的任一Sylowp-子群.則Gi?1/Gi為p階群時(shí),Gi?1∩PGi;Gi?1/Gi為p′-群時(shí),Gi?1∩P?Gi.從而Gi(Gi?1∩P)=Gi?1和Gi(Gi?1∩P)=Gi.由引理2.5分別得PGi=PGi?1和Gi∩P=Gi?1∩P.

充分性:假設(shè)G有Sylowp-子群P是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群,則可設(shè)P覆蓋遠(yuǎn)離G的一個(gè)合成列1=Gn?Gn?1?···?G0=G.

若PGi=PGi?1,則由引理2.5得(Gi?1∩P)Gi=Gi?1.由Gi?1??G得Gi?1∩P∈Sylp(Gi?1).從而Gi?1/Gi為p-群,結(jié)合Gi?1/Gi為單群得Gi?1/Gi為p階群.

若Gi∩P=Gi?1∩P,則由引理2.5得Gi(Gi?1∩P)=Gi.由Gi?1??G得Gi?1∩P∈Sylp(Gi?1).因此Gi?1/Gi為p′-群.

由定理3.4可得推論3.1.

推論3.1群G是可解群當(dāng)且僅當(dāng)G的任意Sylow子群都是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

由推論3.1、定理3.1和定理3.3得推論3.2.

推論3.2(見文獻(xiàn)[6,定理2.2])設(shè)G是一個(gè)群.則如下的3個(gè)命題等價(jià):

(l)G是一個(gè)可解群;

(2)G的每一Sylow子群在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性;

(3)G的每一極大子群在G中都具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

平行于文獻(xiàn)[6,定理3.1],結(jié)合定理3.3,只可能得到如下結(jié)論.

定理3.5群G是可解群當(dāng)且僅當(dāng)G每一個(gè)非循環(huán)Sylow子群的任一個(gè)極大子群都是G的半次覆蓋遠(yuǎn)離子群.

證必要性由定理3.3顯然可得,下面證明充分性.

(1)設(shè)P是G的一個(gè)Sylowp-子群,1=Gn?Gn?1?···?G0=G是G的任一合成列,其中p∈π(G).則

于是(Gi?1∩P)Gi/Gi是Gi?1/Gi的Sylowp-子群.且由

得(Gi?1∩P)Gi/Gi同構(gòu)于P的一個(gè)截?cái)?

(2)設(shè)P是G的一個(gè)Sylowp-子群,若P循環(huán)則由(1)得Gi?1/Gi的Sylowp-子群為循環(huán)群.

(3)設(shè)P是G的一個(gè)Sylowp-子群,P1＜·P.若P非循環(huán),則P1覆蓋遠(yuǎn)離G的某一合成列1=Gn?Gn?1?···?G0=G.

(i)若P1覆蓋Gi?1/Gi,則由引理2.5得Gi?1=(P1∩Gi?1)Gi.于是

是一個(gè)p-群,結(jié)合Gi?1/Gi是單群得Gi?1/Gi為p階群.

(ii)若P1遠(yuǎn)離Gi?1/Gi,則由引理2.5得Gi=(P1∩Gi?1)Gi.

若(P∩Gi?1)?P1,則(P∩Gi?1)=(P1∩Gi?1).因此得Gi=(P∩Gi?1)Gi,從而由P∩Gi?1為Gi?1的Sylowp-子群得Gi?1/Gi為p′-群.

若(P∩Gi?1)P1則(P∩Gi?1)P1=P.又由P1＜·P得P1?P且|P:P1|=p.于是由|(P∩Gi?1)||P1|/|(P1∩Gi?1)|=|P|得|(P∩Gi?1):(P1∩Gi?1)|=p.所以

為p階群或1.

總之,由(2),(3)得Gi?1/Gi的Sylow子群為循環(huán)群.因此Gi?1/Gi可解(見文獻(xiàn)[9,V,6.2定理]),從而為素?cái)?shù)階群.所以群G是可解群.

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SEMI-SUBNORMAL-COVER-AVOIDANCE SUBGROUPS AND THE SOLVABLITY OF FINITE GROUPS

LI Shi-heng1,LIU Hai-ping2,LIU Dong-hua3
(1.School of Science,Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015,China)
(2.School of Economics and Trade,Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015,China)
(3.Department of Public Education,Zhengzhou Railway Vocational and Technical College,Zhengzhou 450052,China)

In this paper,we de fine semi-subnormal-cover-avoidance subgroups of finite groups and study the solvability between groups and their semi-subnormal-cover-avoidance subgroups.With semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,we characterize the solvability of finite groups and obtain the results that the group is soluble if all of its sylow groups(or maximal subgroups)are semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,which generalize the results in[6].

finite group;Semi-subnormal-cover-avoidance subgroups;maximal subgroups;solvable

20D10;20D35

O152.1

A

0255-7797(2017)06-1303-06

2016-01-28接收日期:2016-06-08

國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目資助 (11501176);河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目資助(16A110039).

李士恒(1977–),男,河南鄧州,講師,主要研究方向:群論.