怎樣求解空間幾何體的體積

求空間幾何體的體積問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中.這類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的空間想象、直觀想象、抽象思維能力有較高的要求.此類問(wèn)題通常要求求簡(jiǎn)單空間幾何體、簡(jiǎn)單空間幾何體的組合體的體積.那么，如何求空間幾何的體積呢？主要有以下三種方法.

一、公式法

若幾何體是簡(jiǎn)單空間幾何體，如球、三棱柱、圓柱、四棱臺(tái)、圓臺(tái)、三棱錐、圓錐等，則可直接利用公式法進(jìn)行求解. 這就要求我們熟記球的體積公式 V = 4 3πR3 、柱體的體積公式 V = Sh、錐體的體積公式 V = 1 3 Sh、臺(tái)體的體積公式 V = 1 3 （S上＋S下＋ S上·S下 ）h ，根據(jù)題意求得各個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的底面面積、高、半徑，將其代入體積公式，即可解題.

例1.

解：

我們知道，正三棱錐的三條側(cè)棱相等，其頂點(diǎn)的射影在底面的中心，由此可確定 SH 即為該正三棱錐的高，只需添加輔助線，構(gòu)造Rt△SHA，即可根據(jù)正三角形的性質(zhì)和勾股定理求得底面△ABC 的面積和高線 SH 的長(zhǎng)，將其代入錐體的體積公式 V = 1 3 Sh，就能直接運(yùn)用公式法求得三棱錐的體積.

例2

解

解答本題主要運(yùn)用了公式法.該幾何體為組合體，由大圓柱與半球?qū)佣桑A柱的一部分在大圓柱內(nèi)，另一部分在半徑為5的半球內(nèi)，而小圓柱的上下底面平行且大小相等，所以只需確定小圓柱在大圓柱與半球內(nèi)的高，即可根據(jù)柱體的體積公式 V = Sh求小圓柱的體積.最后需對(duì)小圓柱體積的表達(dá)式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)法求得小圓柱體積的最大值.

二、割補(bǔ)法

割補(bǔ)法是指通過(guò)割、補(bǔ)將不規(guī)則的幾何體切割、拼補(bǔ)成規(guī)則的簡(jiǎn)單幾何體，便可根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的體積公式求得各個(gè)幾何體的體積，從而求得原幾何體的體積.在解題時(shí)，要仔細(xì)觀察幾何體，明確它是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體構(gòu)成的，對(duì)其進(jìn)行合理的割、補(bǔ)，以通過(guò)求簡(jiǎn)單幾何體的體積的和、差，求得原幾何體的體積.

例3

解

該幾何體為不規(guī)則幾何體，我們無(wú)法直接運(yùn)用簡(jiǎn)單幾何體的體積公式求得幾何體的體積.于是過(guò) C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C ，將幾何體分割為三棱柱 A1B1C1 - A2B2C 以及四棱錐 C - ABB2A2 .再分別根據(jù)錐體和柱體的體積公式求得三棱柱 A1B1C1 - A2B2C 以及四棱錐 C - ABB2A2 的體積，并相加，就可以得到幾何體的體積.

例4

解

我們由三視圖可知該幾何體為組合體，由半個(gè)圓錐和正三棱柱構(gòu)成，將該幾何體分割為兩部分，分別求得圓錐和正三棱柱的體積，即可求得幾何體的體積. 在由三視圖求幾何體的體積時(shí)，要注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖對(duì)應(yīng)的觀察方向，根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的畫圖原則去求幾何體的長(zhǎng)、寬、高、棱長(zhǎng)等.

三、等積法

等積法是指根據(jù)幾何體體積相等的關(guān)系來(lái)解題.若兩個(gè)幾何體的體積相等，則可通過(guò)求一個(gè)幾何體的體積求得另外一個(gè)幾何體的體積.對(duì)于同一個(gè)幾何體，只需轉(zhuǎn)換其底面和高，便可通過(guò)求幾何體的體積求得另一個(gè)底面的面積或高線長(zhǎng).在求三棱錐的體積時(shí)，運(yùn)用等積法求解，非常便捷.

例5.如圖6，在正三棱柱

ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，

CC1上的點(diǎn)，若AB=4，AA1=6.則三

棱錐A-A1EF的體積是.

解：

根據(jù)題意，求三棱錐的底面A1EF的面積以及A點(diǎn)到底面A1EF的距離較為困難.而△A1EF的面積容易求得，且E到平面AA1C1C的距離即為點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離，于是采用等積法，轉(zhuǎn)換三棱錐的底面，通過(guò)求底面AA1F的面積，以及E到平面AA1C1C的距離，求得E-AA1F的體積，從而求得三棱錐的體積.

一般地，對(duì)于簡(jiǎn)單的空間幾何體的體積，可直接運(yùn)用公式法求解；對(duì)于組合體或不規(guī)則幾何體的體積，需靈活運(yùn)用割補(bǔ)法、等積法求解；對(duì)于較為復(fù)雜的空間幾何體體積問(wèn)題，有時(shí)需同時(shí)運(yùn)用兩種或兩種以上的方法進(jìn)行求解.