求不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的三個“妙招”

求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍問題具有較強的綜合性，解答這類問題，需將問題與不等式、函數(shù)、方程、幾何圖形相關(guān)聯(lián)，將問題進行合理的轉(zhuǎn)化，才能順利求得問題的答案.接下來，通過幾個例題，介紹一下求不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的“妙招”.

一、數(shù)形結(jié)合

對于含參不等式恒成立問題，若不等式中的代數(shù)式為簡單基本函數(shù)式、雙曲線的方程、橢圓的方程、圓的方程等，則可根據(jù)其幾何意義畫出幾何圖形，借助圖形來分析問題，找到使不等式恒成立的臨界情形，如相切、相交、最高點、最低點等，據(jù)此建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組），即可通過數(shù)形結(jié)合法獲得問題的答案.

例1.若不等式lt;x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解：

我們將 y1 = x（-4 - x） 視為圓心為（-2，0）的半圓， y2 = 4 3 x + 1 - a 視為一條直線，并畫出圖形，通過觀察直線與半圓的位置關(guān)系，即可找到臨界情形：直線與半圓在第二象限相切，由此可知要使不等式恒成立，需使半圓始終在直線的下方，直線過第一、二、三象限，即可通過數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于參數(shù) a 的不等式.將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題來求解，可使復雜的問題簡單化、直觀化.

二、分離參數(shù)

分離參數(shù)法是解答含參不等式問題的重要方法.在解題時，需將不等式進行適當?shù)淖冃?，使得不等式中的變量與參數(shù)分離，即將變量和參數(shù)分別置于不等式的兩側(cè)，那么f（x）gt;a恒成立?f（x）mingt;a，f（x）lt;a恒成立?f（x）maxlt;a.再利用基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)法求得函數(shù)的最值，即可求得參數(shù)a的取值范圍.

例2.已知在△ABC中，f（B）=4 sin Bsin2++cos 2B，且f|（B）-m|lt;2恒成立，求實數(shù)m的范圍.

解：f（B）=4 sin Bsin2++cos 2B=2 sin B+1，

由于f|（B）-m|lt;2，

則〈lmlt;f（B）min+2，

因為∠B是三角形的內(nèi)角，

所以0lt;Blt;π，即sin B∈（0，1]，

所以f（B）max=3，f（B）min=1，

則〈，3（1），即m∈（1，3].

解答本題，需先將不等式變形，去掉絕對值符號，得到等價的不等式組；再將參數(shù)m從不等式中分離出來；只要求得f（B）的最值，便可求得參數(shù)m的取值范圍.

例3.已知對任意x∈[2，+∞），恒有l(wèi)n（（x+-2gt;0成立，求參數(shù)a的取值范圍.

解：由ln（（x+-2gt;0得x+-2gt;1，

即agt;-x2+3x在[2，+∞）上恒成立，

設f（x）=-x2+3x，則f（x）=-（（x-2+，

該二次函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為x=

所以當x∈（2，+∞）時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以x=2時，f（x）max=2，

所以參數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）.

該函數(shù)式為對數(shù)函數(shù)式，需先根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)將其化為常規(guī)不等式；然后將不等式中的參數(shù)分離，得出agt;-x2+3x，那么要使不等式在[2，+∞）上恒成立，只需確保agt;f（x）max；再根據(jù)二次函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得f（x）max，即可解題.

在分離參數(shù)時，要注意將含有變量和參數(shù)的式子分開放在不等式的兩端.對于不等式中的常數(shù)項，可以視情況而定，可以將其放在含有參數(shù)的一側(cè)，也可以將其放在含有變量的一側(cè).

三、分類討論

若不等式恒成立問題中的參數(shù)和變量較多，就可以通過對參變量進行分類討論來求解.利用分類討論法求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，需先確定分類討論的對象，可以將變量視為分類討論的對象，也可以將參數(shù)作為分類討論的對象；然后將定義域分為幾個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上討論參數(shù)的取值范圍；最后綜合所有情況即可.

例4.當x∈[-2，2]時，不等式x2+ax+3≥a恒成立，求a的取值范圍.

解：不等式x2+ax+3≥a可得x2+ax+3-a≥0，設f（x）=x2+ax+3-a=（（x+2-+3-a，則二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-，

①當-lt;-2，即agt;4時，函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，

那么f（x）min=f（-2）=7-3a≥0，

解得：a≤，這與agt;4相矛盾，故舍去.

②當-2≤-≤2，即-4≤a≤4時，函數(shù)f（x）在[-2，-]上單調(diào)遞減，在（（-，2上單調(diào)遞增，

所以f（x）min=f（（-=-+3-a≥0，

解得：-6≤a≤2，即-4≤a≤2.

③當-gt;2，即alt;-4時，函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，

所以f（x）min=f（2）=7+a≥0，

解得：a≥-7，即-7≤alt;-4，

綜上可得：-7≤a≤2.

該不等式為二次不等式，函數(shù)的最值由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性決定，需對函數(shù)的定義域所在的位置進行討論，分對稱軸在[-2，2]的左側(cè)、右側(cè)、中間三種情況進行討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的最值，使其大于或等于0，即可解題.

數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法、分類討論法的適用情況有所不同，同學們需根據(jù)解題需求和不等式的特征進行合理的選擇.但無論運用哪種方法解題，都需明確方程、函數(shù)、不等式之間的關(guān)系，將三者進行互化，只要抓住解題的關(guān)鍵，就可以以不變應萬變.