解答絕對值問題的三種途徑

絕對值是數(shù)學(xué)中常見的概念，它表示一個數(shù)與零的距離.含有絕對值符號的數(shù)學(xué)問題是同學(xué)們在學(xué)習(xí)初中代數(shù)時的難點之一，一般要利用絕對值的性質(zhì)和幾何意義來求解.下面舉例說明解答絕對值問題的幾種常用途徑

一、利用絕對值的性質(zhì)解題

由絕對值的概念，我們可以得出絕對值的以下重要性質(zhì)：（1）非負性：任何數(shù)的絕對值都大于或等于0，即|m|≥0；（2）正負性：若mgt;0，則|m|=m；若mlt;0，則|m|=-m，（3）乘除性：若m，n為任意實數(shù)，則|mn|=|m|·|n|，||=（n≠0）.在解答絕對值問題時，同學(xué)們?nèi)裟芮捎媒^對值的性質(zhì)，能起到事半功倍的作用.

例1

分析：所求目標代數(shù)式含有絕對值，根據(jù)絕對值的非負性和已知條件，很容易得到|x-y|=0，|y-z|=1，或|x-y|=1，|y-z|=0，而|x+y-2z|=|x-y+2y-2z|=|x-y+2（y-z）|，分別代入求值即可使問題迎刃而解.

解：

評注：絕對值的概念和性質(zhì)，是解答絕對 值問題的重要依據(jù).本題考查了有理數(shù)的乘 方和絕對值的性質(zhì)，由已知條件，得出|x - y| 29 和|y - z| 29 必須一項為0，一項為1是解題的關(guān)鍵.

二、利用絕對值的幾何意義解題

絕對值的幾何意義即數(shù)軸上表示一個數(shù) 的點與原點的距離，|a| 表示數(shù) a 的點到原點 的距離；|a - b| 表示數(shù) a，數(shù) b 的兩點間的距離.|x-a|+|x-b|表示數(shù)x的點與數(shù)a、b兩點之間的距離之和.利用絕對值的幾何意義，可以將絕對值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點間的距離問題，實現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，將抽象復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為直觀簡捷的問題求解.

例2若m，n為整數(shù)，且m，n滿足（|m-1|+|4-m|）（|n+1|+|n-3|）=12，則m+n的最大值為.

分析：本題涉及絕對值，利用絕對值的幾何意義，容易推出|m-1|+|4-m|≥3，|n+1|+|n-3|≥4，再結(jié)合已知條件，求出m，n的可能取值，即可解題.

解：因為|m-1|是數(shù)軸上表示m的點與表示1的點之間的距離，|4-m|是數(shù)軸上表示m的點與表示4的點之間的距離，|n+1|是數(shù)軸上表示n的點與表示-1的點之間的距離，|n-3|是數(shù)軸上表示n的點與表示3的點之間的距離，所以通過兩點間的距離，可知|m-1|+|4-m|≥3，|n+1|+|n-3|≥4.

又因為（|m-1|+|4-m|）（|n+1|+|n-3|）=12，

所以|m-1|+|4-m|=3，|n+1|+|n-3|=4，

所以整數(shù)m可以取1，2，3，4，整數(shù)n可以取-1，0，1，2，3，

所以當(dāng)m=4，n=3時，m+n有最大值，此時m+n=7.

評注：對于含絕對值的最值問題，求解時常借助絕對值的幾何意義來確定字母的取值范圍，再結(jié)合已知條件分析絕對值符號內(nèi)m，n的可能取值，全面考慮即可正確解題.

三、利用零點分段討論解題

利用零點分段討論是解答絕對值問題的重要“利器”，其解答步驟是：第一步，求出式子的所有零點；第二步，在數(shù)軸上把求出的所有零點標記出來，將數(shù)軸分段；第三步，分別對每一段進行討論，在各個區(qū)域內(nèi)分別去掉絕對值符號；第四步，將各區(qū)域內(nèi)的情形綜合起來，合并同類項，得到問題的最終答案.

例3化簡：||x-1|-2|+|x+1|.

分析：觀察式子，不難看出本題含有雙重絕對值符號，可先令外側(cè)絕對值里面的數(shù)為零，再計算每一段絕對值為零時x的值，易確定零點為3和±1，接著將數(shù)軸劃分為xlt;-1、-1≤xlt;1、1≤xlt;3、x≥3這四段進行分類討論.

解：令|x-1|-2=0，則有|x-1|=2，可得x=3或x=-1；

令x-1=0，可得x=1；

令x+1=0，可得x=-1，

所以||x-1|-2|+|x+1|的零點為3和±1.

如圖，將數(shù)軸進行分段，有如下幾種情況：

①當(dāng)xlt;-1時，||x-1|-2|+|x+1|=-x-1-x-1=-2x-2；

②當(dāng)-1≤xlt;1時，||x-1|-2|+|x+1|=x+1+x+1=2x+2；

③當(dāng)1≤xlt;3時，||x-1|-2|+|x+1|=3-x+x+1=4；

④當(dāng)x≥3時，||x-1|-2|+|x+1|=x-3+x+1=2x-2.

綜上所述，

（-2x-2（xlt;-1），

||x-1|-2|+|x+1|=〈||l1-

評注：利用零點分段法求解絕對值問題時，要注意求出所有式子的零點，不可遺漏；當(dāng)絕對值符號中的式子也含有絕對值時，一般先去掉最外側(cè)的絕對值，再對里面的絕對值找“零點”.

絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，在化簡求值問題、解方程或不等式問題中都會涉及.同學(xué)們要透徹理解絕對值的概念、性質(zhì)以及幾何意義等基礎(chǔ)知識，并注意歸納總結(jié)有關(guān)絕對值問題的解答方法，這樣，才能在解題時得心應(yīng)手.