矩陣值Sturm-Liouville問題解的漸近式及其應(yīng)用

摘要：研究矩陣值Sturm-Liouville問題解的漸近式及其應(yīng)用.首先，利用常數(shù)變易法，得到了關(guān)于矩陣值Sturm-Liouville問題解的漸近式；然后，讓其系數(shù)滿足一定的條件，利用逐步迭代法得到了解的精確漸近式，并且給出了漸近式的性質(zhì)；最后，應(yīng)用解的漸近式研究了矩陣值Sturm-Liouville微分算式的虧指數(shù)，并利用虧指數(shù)理論定量分析了Sturm-Liouville算子譜的分布.

關(guān)鍵詞：解的漸近式；虧指數(shù)；J-自伴微分算子；譜核；離散譜；本質(zhì)譜

中圖分類號：O 175.3""" 文獻標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0110-10

Asymptotic solution of Sturm-Liouville problem with matrix

values and its application

CHEN Su-jun

（Department of Basic Courses，Guangdong" Polytechnic College，Zhaoqing 526100，Guangdong，China）

Abstract：The asymptotic solution of Sturm-Liouville（S-L） problem with matrix values and its application are studied.Firstly，the asymptotic solution of the S-L problem with matrix values is obtained by using the method of constant variation.Then，let the coefficient meet certain conditions，the exact asymptotic solution is obtained by using the stepwise iterative method，and the asymptotic properties of the solution are also given.Finally，the deficiency index of the matrix value S-L differential expression is discussed by using the asymptotic solution，and the spectrum distribution of S-L operators is analyzed quantitatively by using the deficiency index theory.

Key words：asymptotic solution;deficit index;J-self-adjoint differential operator;spectral kernel;discrete spectrum;essential spectrum

Sturm-Liouville問題簡稱S-L問題，它起源于19世紀(jì)初求解固體熱傳導(dǎo)微分方程模型，它在量子力學(xué)、數(shù)學(xué)物理方程、氣象物理、地球物理、工程技術(shù)等領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用，特別是在量子力學(xué)中，它已經(jīng)成為近代量子力學(xué)的數(shù)學(xué)支柱，是描述微觀粒子狀態(tài)的基本數(shù)學(xué)手段，量子力學(xué)理論中某種微觀粒子的量子化就對應(yīng)著某種類型的S-L微分算子，量子所處的能級和態(tài)就對應(yīng)著S-L微分算子的特征值和特征函數(shù).

S-L問題解的漸近式在研究S-L算子的特征值、特征函數(shù)、豫解算子、Green函數(shù)、虧指數(shù)、點圓型屬性、自伴擴張以及算子的譜分析中都起著非常重要的作用，在純量函數(shù)情形下S-L理論已經(jīng)非常完善.劉景麟［1］利用S-L問題解的漸近式研究了自伴S-L算子的特征值與特征函數(shù)的漸近式以及S-L算子的點圓型屬性，王忠［2］利用S-L問題解的漸近式研究了非自伴S-L算子的特征值與特征函數(shù)的漸近式以及譜分析，Naimar［3］研究了向量

情形下S-L問題解的漸近式及向量S-L算子特征值與特征函數(shù)的漸近式，Kucherenko［4］研究了帶有譜參數(shù)的向量值S-L問題解的漸近式，此外，Migda［5］，Marasi［6-7］，

Bondarenko［8］，Harutyunyan［9］，Mosazadeh［10］等，在S-L問題解的漸近式研究中都做了大量的工作.

目前，矩陣函數(shù)情形下S-L問題的研究成果還比較少，本文旨在研究矩陣情形下S-L問題的微分方程：-Y″+Q（x）Y=λY的解的漸近式及其性質(zhì)，并利用解的漸近公式求解它的微分算子的虧指數(shù)，定量分析矩陣值S-L微分算子的譜分布.

1 預(yù)備知識

定義1［2］ 對于定義在Hilbert空間X上的閉稠定線性算子T，若對任意λ∈C，存在常數(shù)K=K（λ）gt;0，使得對所有x∈D（T），都有（A-λI）x≥Kx，則稱數(shù)λ為算子T的正則型點；T的所有正則型點的全體稱為算子T的正則型域，記為Π（T），即

Π（T）={λ∈C：k（λ）gt;0，s.t.

（A-λI）x≥Kx，x∈D（T）}.

定義2［2］ 集合C＼Π（A）稱為算子A的譜核，記為σk（A）或kσ，即

σk（A）=C＼Π（A）.

引理1［11，12］ 設(shè)A是閉J-對稱向量微分算子，def（A）=dlt;+∞，D（A）DD（JA*J），D是A的J-自伴延拓的定義域的充分條件是：存在{w1，w2，…，wd}D（JA*J），使得

1）{w1，w2，…，wd}模D（A）線性無關(guān)；

2）wi，wjm=0， 1≤i，j≤d;

3）D={u∈D（JA*J）：u，wjm=0，j=1，2，…，d}.

引理2［13］ 對稱算子的虧指數(shù)：d-=dimM，d+=dimMλ與λ的選擇無關(guān).

引理3［14］ 若算子L是一個J-自伴微分算子，則算子L的剩余譜是空集σr（L）=，此時算子L的譜可分為離散譜和本質(zhì)譜，即σ（L）=σd（L）+σe（L）.

引理4［14］ 具有有限虧指數(shù)的J-對稱算子L0的所有J-自伴擴張L具有相同的本質(zhì)譜，且等于J-對稱算子L0的本質(zhì)譜.

引理5［3］ 如果對于數(shù)λ，方程l（y）=λy在L2［a，b］中的線性無關(guān)解的個數(shù)小于算子L0的虧指數(shù)，則λ屬于算子L0的譜核.因此，如果λ不是算子L0的特征值，則它屬于L0的所有自共軛擴張譜的連續(xù)部分.如果端點a或者端點b之一是正則的，那么后者總是成立的.

2 主要結(jié)論

考察矩陣值S-L微分算式：

l（Y）=-Y″+Q（x）Y，（1）

其中Q（x），Y（x）表示復(fù)數(shù)域上的m階矩陣函數(shù)，它們在區(qū)間［a，∞）上都連續(xù)可導(dǎo).考察矩陣方程：l（Y）=λY，即-Y″+Q（x）Y=λY，或者Y″+λY=Q（x）Y的解的漸近性質(zhì)，為表達方便，我們令λ=s2，這樣方程（1）就變?yōu)?/p>

Y″+s2Y=Q（x）Y.（2）

規(guī)定文中m維向量函數(shù)的范數(shù)和m階矩陣函數(shù)的范數(shù)分別為

u（x）=∑mi=1u2i（x）12，

Q（x）=∑mi=1∑mj=1qij（x）212.

定理1 如果復(fù)數(shù)域上的矩陣函數(shù)Q（x）在區(qū)間［a，∞）上連續(xù)可微，則矩陣方程

Y″+s2Y=Q（x）Y（3）

在復(fù)s平面上有兩個線性無關(guān)的關(guān)于s的解析解Y1，Y2，且當(dāng)s充分大，x→∞時，滿足下列漸近公式：

Y1=eisxI+OIs，（4）

Y2=e-isxI+OIs.（5）

其中，i為虛數(shù)單位；I表示m階單位矩陣；O（I/s）表示形為A（x，s）/s的m階矩陣函數(shù)，A（x，s）=e-isxQ（x）Y（x）/s表示矩陣函數(shù)，它的所有元素滿足下述條件：當(dāng)s充分大，x∈［a，∞）時，Aij（x，s）≤M.

證明 因為方程（2）是一個二階線性非齊次微分方程，根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，其對應(yīng)的齊次方程為

Y″+s2Y=O.（6）

當(dāng)s充分大時，有基本解組為：eisxI，e-isxI，于是方程（6）的通解為

Y=C1eisxI+C2e-isxI.（7）

根據(jù)常數(shù)變易法，設(shè)方程（3）的一個型如（7）式的特解為

（Y*）=C1（x）eisxI+C2（x）e-isxI.（8）

對（8）式兩端求一次導(dǎo)數(shù)得

（Y*）′=C′1（x）eisxI+isC1（x）eisxI+

C′2（x）e-isxI-isC2（x）e-isxI.（9）

令

C′1（x）eisxI+C′2（x）e-isxI=O，（10）

于是

（Y*）′=isC1（x）eisxI-isC2（x）e-isxI.（11）

再對（11）式兩端求一次導(dǎo)數(shù)得

（Y*）″=isC′1（x）eisxI-s2C1（x）eisxI-

isC′2（x）e-isxI-s2C2（x）e-isxI.（12）

把（8）和（12）式代入到方程（3）可得

isC′1（x）eisxI-s2C1（x）eisxI-

isC′2（x）e-isxI-s2C2（x）e-isxI+

s2（C1（x）eisxI+C2（x）e-isxI）=

Q（x）Y.（13）

（13）式經(jīng)過整理化簡得

isC′1（x）eisxI-isC′2（x）e-isxI=Q（x）Y.（14）

聯(lián)立（10），（14）式可得

C′1（x）eisxI+C′2（x）e-isxI=O，

isC′1（x）eisxI-isC′2（x）e-isxI=Q（x）Y.（15）

求解方程組（15）可得

C′1（x）=e-isx2isQ（x）Y（x），

C′2（x）=-eisx2isQ（x）Y（x）.

故

C1（x）=∫x0e-ist2isQ（t）Y（t）dt，

C2（x）=-∫x0eist2isQ（t）Y（t）dt.

代入到（8）式可得特解

Y*=eisxI∫x0e-ist2isQ（t）Y（t）dt-

e-isxI∫x0eist2isQ（t）Y（t）dt=

∫x0eis（x-t）-e-is（x-t）2isQ（t）Y（t）dt.（16）

故方程（3）的通解可以寫成

Y=C1eisxI+C2e-isxI+

∫x0eis（x-t）-e-is（x-t）2isQ（t）Y（t）dt.（17）

此時C1，C2是可以依賴于s的任意常數(shù).令

C′1=C1，

C′2=C2-∫10eist2isQ（t）Y（t）dt，

這樣方程（17）重寫成

Y=C′1eisxI+C′2e-isxI+

∫10eist2isQ（t）Y（t）dt·e-isxI+

∫x0eis（x-t）-e-is（x-t）2isQ（t）Y（t）dt=

C′1eisxI+C′2e-isxI+

∫x0eis（x-t）2isQ（t）Y（t）dt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）Y（t）dt.（18）

顯然，方程（18）是方程（3）解的積分形式，下面利用（18）式估計方程（3）解的漸近式.設(shè)方程（3）在復(fù)s平面上有兩個線性無關(guān)的關(guān)于s的解析解Y1，Y2，其中Y1 使得（18）式中C′1=1，C′2=0，Y2使得（18）式中C′1=0，C′2=1，于是

Y1=eisxI+∫x0eis（x-t）2isQ（t）Y（t）dt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）Y（t）dt.（19）

（19）式求導(dǎo)可得

Y′1=iseisxI+1isQ（x）Y（x）.（20）

令Y′1=iseisxZ（x，s），則

iseisxZ（x，s）=iseisxI+1isQ（x）Y（x）.（21）

于是

Z（x，s）=I+e-isxs2Q（x）Y（x）=

I+1s·e-isxQ（x）Y（x）s.（22）

令A(yù)（x，s）=e-isxQ（x）Y（x）/s，根據(jù)定理的條件，當(dāng)s充分大，x→∞時，Aij（x，s）≤M，故存在正常數(shù)R0，M1和C，使得

A（x，s）=∑mi=1∑mj=1Aij（x，s）212lt;

M1slt;M1R0=C.（23）

因此A（x，s）/s=O（I/s）.再根據(jù)（19）式得到

Y1=eisxI+OIs.

同理可得

Y2=e-isxI+OIs." 】

定理2 如果方程（3）中的矩陣函數(shù)Q（x）在區(qū)間［a，∞）上有直到m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么定理1中方程（3）解的漸近性公式可以更加精確地表示為

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+Y1，3（x）s3+

…+Y1，m（x）sm+OIsm+1，（24）

Y2=e-isxI+Y2，1（x）s+Y2，2（x）s2+Y2，3（x）s3+

…+Y2，m（x）sm+OIsm+1，（25）

其中

Y1，1=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt，

Y1，k=∫x0eisx2iQ（t）dt-

∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dtY1，（k-1）=［（Y1，k）ij］;

Y2，1=∫x0e-is（x-2t）2iQ（t）dt-∫1xeisx2iQ（t）dt，

Y2，k=∫x0e-is（x-2t）2iQ（t）dt-

∫1xesix2iQ（t）dtY2，（k-1）=［（Y2，k）ij］，

k=3，4，…，m.

它的所有元素滿足下述條件：當(dāng)s充分大，x∈［a，∞）時，

（Y1，k）ij，

（Y2，k）ijlt;M.

證明 先證明（24）式.由定理1知：Y1=eisx［I+O（I/s）］，把它代入（19）式可得

Y1=eisxI+∫x0eis（x-t）2isQ（t）eistI+OIsdt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）eistI+OIsdt=

eisxI+∫x0eis（x-t）2isQ（t）eistIdt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）eistIdt+

∫x0eis（x-t）2isQ（t）eistOIsdt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）eistOIsdt=

eisxI+∫x0eisx2isQ（t）Idt-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）Idt+

∫x0eisx2isQ（t）Idt·OIs-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）Idt·OIs=

eisxI+∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dtsI+

∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dtsI·OIs.（26）

令

Y11=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt，

A1（x，s）=Y11s，

根據(jù)定理的條件，存在正常數(shù)R1，M1和C1，使得

A1（x，s）=Y1，1s=

1s∑mi=1∑mj=1（Y1，1）ij（t，s）212lt;

M1slt;M1R1=C1.（27）

因此

A1（x，s）s=Y1，1s2=OIs2，

由此（26）式可以寫成

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+OIs2，（28）

其中

Y11=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt.

把（28）式再代入到（19）式得到

Y1=eisxI+∫x0eis（x-t）2isQ（t）eist×

I+Y1，1（t）s+OIs2dt-

∫1xe-is（x-t）2isQ（t）eist

I+Y1，1（t）s+OIs2dt=

eisxI+∫x0eisx2isQ（t）Idt-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）Idt+

∫x0eisx2isQ（t）·Y1，1sdt-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）·Y1，1sdt+

∫x0eisx2isQ（t）OIs2dt-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）OIs2dt=

eisxI+Y1，1sI+

∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dts2Y1，1I+

∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dts2Y1，1I·

OIs2.（29）

令

Y1，2=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt·Y1，1I，

A2（x，s）=Y1，2s2.

根據(jù)定理條件，存在正常數(shù)R2，M2和C2，使得

A2（x，s）=Y1，2s2=

1s2∑mi=1∑mj=1（Y1，2）ij（t，s）212lt;

M2s2lt;M2R2=C2.（30）

因此

A2（x，s）s2=Y1，2s2=OIs3，

由此（29）式可以寫成

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+OIs3.（31）

重復(fù)以上步驟便可以得到（24）式.

因為

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+Y1，3（x）s3+

…+Y1，m（x）sm+OIsm+1，

其中

Y1，1=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt，

Y1，k=∫x0eisx2iQ（t）dt-

∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dtY1，（k-1），

k=3，4，…，m;

它的所有元素滿足條件：當(dāng)s充分大，x∈［a，∞）時，（Y1，k）ijlt;M.

同理可證（25）式成立." 】

定理3 在定理1的條件下，當(dāng)x→∞時，方程Y″+s2Y=Q（x）Y的兩個線性獨立解

Y1=eisx［I+O（I）］， Y2=e-isx［I+O（I）］（32）

關(guān)于s在區(qū)域{s：s≥Rgt;0，Im（s）≥0}上一致成立.

證明 由定理2可知：

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+Y1，3（x）s3+

…+Y1，m（x）sm+OIsm+1，

Y2=e-isxI+Y2，1（x）s+Y2，2（x）s2+Y2，3（x）s3+

…+Y2，m（x）sm+OIsm+1，

Y1，1（x）=∫x0eisx2iQ（t）dt-∫1xe-is（x-2t）2iQ（t）dt，

Y2，1（x）=∫x0e-is（x-2t）2iQ（t）dt-∫1xeisx2iQ（t）dt.

下面證明，當(dāng)x→∞時，Y1，Y2在關(guān)于s的區(qū)域{s：s≥R，0，Im（s）≥0}上一致有

Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+Y1，3（x）s3+…+

Y1，m（x）sm+OIsm+1=O（I），（33）

Y2，1（x）s+Y2，2（x）s2+Y2，3（x）s3+…+

Y2，m（x）sm+OIsm+1=O（I）.（34）

這樣只需證明：存在常數(shù)C1，C2，當(dāng)x→∞時，Y1，Y2在關(guān)于s的區(qū)域{s：s≥Rgt;0，Im（s）≥0}上，

Y1，1（x）/slt;C1，Y2，1（x）/slt;C2即可.

先來證Y1，1（x）/slt;C1.由

Y1=eisxI+Y1，1（x）s+Y1，2（x）s2+Y1，3（x）s3+

…+Y1，m（x）sm+OIsm+1

可得

Y1≈eisxI+Y1，1（x）s=

eisxI+∫x0eisx2isQ（t）dt-

∫1xe-is（x-2t）2isQ（t）dt.（35）

將上式求導(dǎo)可得

Y′1=iseisxI+1isQ（x）Y（x）.（36）

令Y′1=iseisxΨ（x，s），則

iseisxΨ（x，s）=iseisxI+1isQ（x）Y（x），（37）

于是

Ψ（x，s）=I+e-isxs2Q（x）Y（x）.（38）

令A(yù)（x，s）=e-isxQ（x）Y（x）/s2，根據(jù)定理的條件，當(dāng)sgt;Rgt;0，Im（s）gt;0，x→∞時，Aij（x，s）≤M，故存在正常數(shù)R，M″和C1，使得

Ψ（x，s）=I+e-isxs2Q（x）Y（x）=

I+A（x，s）lt;

M″slt;M″R=C1.（39）

所以，Y′1=iseisxΨ（x，s）=iseisx［I+O（I）］，故

Y1=eisxΨ（x，s）=eisx［I+O（I）］.

同理可證

Y2=e-isx［I+O（I）］." 】

定理4 設(shè)矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y，m階對稱矩陣函數(shù)Q（x）=Q1（x）+iQ2（x）在區(qū)間［a，∞）上可積，則由方程-Y″+Q（x）Y=λY在其J-自伴邊界條件下生成的最小算子是J-自伴算子，l（Y）的虧指數(shù)為（1，1）， l（Y）屬于極限點型.

證明 根據(jù)引理1易知，方程-Y″+Q（x）Y=λY在其J-自伴邊界條件下生成的最小算子是J-自伴算子，下面主要證明其虧指數(shù)為1，根據(jù)微分算子的虧指數(shù)理論和引理2，對稱微分算子的虧指數(shù)與λ的選擇無關(guān).求由矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y所生成的J-自伴算子的虧指數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為求微分方程-Y″+Q（x）Y=iY或者微分方程-Y″+Q（x）Y=-iY的屬于L2［a，∞）空間的線性無關(guān)解的個數(shù).我們不妨求解微分方程-Y″+Q（x）Y=iY的屬于L2［a，∞）的線性無關(guān)解的個數(shù)，由定理1，它的兩個線性無關(guān)解析解的漸近式為

Y1=eisxI+OIs，

Y2=e-isxI+OIs，

因為這時s2=i，故

sk=cosπ2+2kπ2+isinπ2+2kπ2， k=0，1，

于是當(dāng)k=0時，

s0=cosπ4+isinπ4;

當(dāng)k=1時，s1=cos5π4+isin5π4.

（Ⅰ）當(dāng)s=s0時，有

Y1=eisxI+OIs=

ecosπ4+isinπ4ixI+OIs=

eicosπ4-sinπ4xI+OIs，（40）

于是

Y1xa=

∫xa∑mi=1∑mj=1（Y1）ij（t，s）2dt12≈

∫xame2icosπ4-sinπ4tdt12=

∫xame2icosπ4t·e-2sinπ4tdt12=

∫xame2icosπ4t·e-2sinπ4tdt12=

∫xame-2sinπ4tdt12=

∫xame-2sinπ4tdt12=

∫xame-2tdt12lt;∞，（41）

因此Y1∈L2［a，∞）；

同理，當(dāng)s=s0時，有

Y2=e-isxI+OIs=

e-cosπ4+isinπ4ixI+OIs=

e-icosπ4+sinπ4xI+OIs，（42）

于是

Y2xa=

∫xa∑mi=1∑mj=1（Y2）ij（t，s）2dt12≈

∫xame2-icosπ4+sinπ4tdt12=

∫xame-2icosπ4t·e2sinπ4tdt12=

∫xame-2icosπ4t·e2sinπ4tdt12=

∫xame2sinπ4tdt12=

∫xame2sinπ4tdt12=

∫xame2tdt12=∞，（43）

因此Y1L2［a，∞）.

（Ⅱ）當(dāng)s=s1時，有

Y1=eisxI+OIs=

ecos5π4+isin5π4ixI+OIs=

eicos5π4-sin5π4xI+OIs，（44）

于是

Y1xa=

∫xa∑mi=1∑mj=1（Y1）ij（t，s）2dt12≈

∫xame2icos5π4-sin5π4tdt12=

∫xame2icos5π4t·e-2sin5π4tdt12=

∫xame2icos5π4t·e-2sin5π4tdt12=

∫xame-2sin5π4tdt12=

∫xame-2sin5π4tdt12=

∫xame2tdt12=∞，（45）

因此Y1L2［a，∞）；

同理，當(dāng)s=s1時，有

Y2=e-isxI+OIs=

e-cos5π4+isin5π4ixI+OIs=

e-icos5π4+sin5π4xI+OIs，（46）

于是

Y2xa=

∫xa∑mi=1∑mj=1（Y2）ij（t，s）2dt12≈

∫xame2-icos5π4+sin5π4tdt12=

∫xame-2icos5π4t·e2sin5π4tdt12=

∫xame-2icos5π4t·e2sin5π4tdt12=

∫xame2sinπ4tdt12=

∫xame2sin5π4tdt12=

∫xame-2tdt12lt;∞，（47）

因此Y2∈L2［a，∞）.

綜合（Ⅰ）和（Ⅱ）知：不論s取s0或者取s1時，微分方程-Y″+Q（x）Y+iY的屬于L2［a，∞）的線性無關(guān)解的個數(shù)總是1，所以由矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y所生成的J-自伴算子的虧指數(shù)為1，l（Y）屬于極限點型." 】

定理5 若矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y的系數(shù)矩陣Q（x）=Q1（x）+iQ2（x）滿足條件：QT（x）=Q（x），且（Qk）ij（x）∈L［a，∞），k=1，2，則由矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y生成的J-對稱算子T0的任何J-自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：σe（T）=R+=［a，∞）；而在區(qū)域C＼R+內(nèi)只有算子T的離散譜.

證明 定理的假設(shè)完全符合定理1的條件，于是根據(jù)定理1，對λ∈C，方程

-Y″（x）+Q（x）Y（x）=λY（x）（48）

有兩個線性無關(guān)的解析解Y1，Y2；當(dāng)x→∞時，它們的漸近公式為：

Y1=eisxI+OIs，

Y2=e-isxI+OIs.

因為λ=s2，故

s=λcosargλ+2kπ2+isinargλ+2kπ2.

所以當(dāng)k=0時，

s0=λcosargλ2+isinargλ2，

當(dāng)k=1時，

s1=λcosargλ+2π2+isinargλ+2π2.

下面根據(jù)s的取值，分兩種情況分別進行討論.

（Ⅰ）當(dāng)s=s0時，由定理1知：

Y1=eisxI+OIs=

e｜λ｜cosargλ2+isinargλ2ixI+OIs=

ei｜λ｜cosargλ2·x-｜λ｜sinargλ2·xI+OIs，（49）

于是

Y1xa=

∫xa∑mi=1∑mj=1（Y1）ij（t，s）2dt12≈

∫xame2i｜λ｜cosargλ2·t-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=

∫xame2i｜λ｜cosargλ2·t·

e-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=

∫xame2i｜λ｜cosargλ2·t·e-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=

∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=

∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12，

從而

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12.（50）

同理可得

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12.（51）

下面根據(jù)λ在整個復(fù)平面上的分布情形，逐個討論來分析算子的譜.

（i）當(dāng)λ位于復(fù)平面上x的正半軸上時，argλ=0，故由（50），（51）式很容易得到：

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞.

故有Y1，Y2L2［a，∞），而且Y1，Y2的任何線性組合都不屬于L2［a，∞），所以對于復(fù)平面上x正半軸上的數(shù)λ，方程-Y″+Q（x）Y=λY在L2［a，∞）中的線性無關(guān)解的個數(shù)為0；根據(jù)定理4，由微分表達式l（Y）=-Y″+Q（x）Y所生成的J-自伴算子的虧指數(shù)為1；所以當(dāng)λ∈［a，∞）時，方程-Y″+Q（x）Y=λY在L2［a，∞）中的線性無關(guān)解的個數(shù)小于微分表達式所生成的J-自伴算子的虧指數(shù)，根據(jù)引理5，λ屬于算子T0的譜核，它也屬于L0的所有J-自共軛擴張譜的連續(xù)部分.再根據(jù)引理3，J-自伴算子剩余譜集為空，因此只有本質(zhì)譜和離散譜，再根據(jù)引理4，λ屬于T0的任何J-自伴擴張T的本質(zhì)譜，即σe（T）［0，∞）.

（ii）當(dāng)λ位于復(fù)平面上第一象限時，0lt;argλ/2lt;π/4，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞;

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

所以有Y1∈L2［a，∞），Y2L2［a，∞），Y1是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第一象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（iii）當(dāng)λ位于復(fù)平面上第二象限時，π/4lt;argλ/2lt;π/2，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞.

所以Y1∈L2［a，∞），Y2L2［a，∞），Y1是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第二象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（iv）當(dāng)λ位于復(fù)平面上第三象限時，-π/2lt;argλ/2lt;-π/4，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞.

所以Y1L2［a，∞），Y2∈L2［a，∞），Y2是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第三象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（v）當(dāng)λ位于復(fù)平面上第四象限時，-π/4lt;argλ/2lt;0，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞.

所以Y1L2［a，∞），Y2∈L2［a，∞），Y2是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第四象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（vi）當(dāng)λ位于復(fù)平面上正半虛軸上時，argλ/2=π/4，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞.

所以Y1∈L2［a，∞），Y2L2［a，∞），YI是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上正半虛軸上的λ只可能是離散譜.

（vii）當(dāng)λ位于復(fù)平面上負(fù)半虛軸上時，argλ/2=-π/4，由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞.

所以Y1L2［a，∞），Y2∈L2［a，∞），Y2是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第四象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（viii）當(dāng)λ位于復(fù)平面上負(fù)半實軸上時，argλ/2=-π/2，故由（50），（51）式很容易得到

Y1xa≈∫xame-2｜λ｜sinargλ2·tdt12=∞，

Y2xa≈∫xame2｜λ｜sinargλ2·tdt12lt;∞.

所以Y1L2［a，∞），Y2∈L2［a，∞），Y2是某一J-自伴擴張算子T的特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)，因此位于復(fù)平面上第四象限內(nèi)的λ只可能是離散譜.

（ix）當(dāng)λ=0時，s=0，根據(jù)系數(shù)可積的條件，存在εgt;0，使得∫∞aeεxQ（x）dxlt;∞， 那么當(dāng)s=0時， 方程Y″+s2Y=Q（x）Y有兩個線性無關(guān)解：

Y1（x）=1+∫∞x（t-x）Q（t）Y1（t）dt，

Y2（x）=x+∫∞x（t-x）Q（t）Y2（t）dt，

當(dāng)x→∞時，對于任意的ε′lt;ε，有

Y1=［1+O（e-ε′x）］I， Y2=［x+O（e-ε′x）］I，

于是

Y1xa≈∫xamdt12=∞，

Y2xa≈∫xamt2dt12=∞.

故Y1，Y2L2［a，∞），而且Y1，Y2的任何線性組合都不屬于L2［a，∞），因此λ=0是T0的任何J-自伴擴張T的本質(zhì)譜.

綜合上述討論得到：由矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y生成的J-對稱算子T0的任何J-自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：σe（T）=R+=［0，∞），而在復(fù)平面上區(qū)域C＼R+內(nèi)只有算子T的離散譜.

（Ⅱ）當(dāng)s=s1時，通過用與（Ⅰ）同樣的討論可得定理結(jié)論成立." 】

值得注意的是定理5的結(jié)論可以向向量函數(shù)或純量函數(shù)情形進行推廣［15］，也可以向自伴或J-自伴情形進行推廣［16］.

推論1 若矩陣微分算式：l（Y）=-Y″+Q（x）Y的系數(shù)矩陣Q（x）=Q1（x）+iQ2（x）滿足條件：

QT（x）=Q（x），Q2（x）=0，（Q1）ij（x）∈L［a，∞），則由矩陣微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y生成的對稱算子T0的任何自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：σe（T）=R+=［a，∞）；而在負(fù)的實半軸上只有算子T的離散譜.

推論2［3］ 若向量微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y的系數(shù)矩陣Q（x）=Q1（x）+iQ2（x）滿足條件：

QT（x）=Q（x），（Qk）ij（x）∈L［a，∞），k=1，2，則由向量微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y生成的J-對稱算子T0的任何J-自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：

σe（T）=R+=［0，∞）；而在負(fù)的實半軸上只有算子T的離散譜.

推論3［3］ 若向量微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y的系數(shù)矩陣Q（x）=Q1（x）+iQ2（x）滿足條件：

QT（x）=Q（x），Q2（x）=0，（Q1）ij（x）∈L［a，∞），

則由向量微分算式l（Y）=-Y″+Q（x）Y生成的對稱算子T0的任何自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：

σe（T）=R+=［0，∞）；而在負(fù)的實半軸上只有算子T的離散譜.

推論4［2］ 若在純量情形下微分算式l（y）=-y″+q（x）y的系數(shù)q（x）=q1（x）+iq2（x）滿足條件：

qj（x）∈L［a，∞），j=1，2，

則由純量微分算式l（y）=-y″+q（x）y生成的J-對稱算子T0的任何J-自伴擴張算子T的本質(zhì)譜充滿正的實半軸，即：

σe（T）=R+=［0，∞）;而在區(qū)域C＼R+內(nèi)只有算子T的離散譜.

證明 證明過程和定理5的證明類似.

參考文獻：

［1］ 劉景麟.常微分算子譜論［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：50.

［2］ 王忠，傅守忠.線性算子譜理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2013：167.

［3］ NAIMARK M A.線性微分算子［M］.北京：科學(xué)出版社，1964：341.

［4］ KUCHERENKO V V.Semi-classical asymptotics of the vector Sturm-Liouville problem with parameters［J］.Russian J Math Phys，2007，14（2）：174.

［5］ MIGDA J，NOCKOWSKA-ROSIAK M.Asymptotic properties of solutions to difference equations of Sturm-Liouville type［J］.Appl Math Comput，2019，340（C）：126.

［6］ MARASI H R，AKBARFAM A J，SAEI F D.Asymptotic form of the solution of Sturm-Liouville problem with m turning points［J］.Int J Pure Appl Math，2008，44（5）：691.

［7］ MARASI H R.Asymptotic form and infinite product representation of solution of a second order initial value problem with a complex parameter and a finite number of turning points［J］.J Contemp Math Anal，2011，46（4）：212.

［8］ BONDARENKO N.Matrix Sturm-Liouville equation with a Bessel-type singularity on a finite interval［J］.Anal Math Phys，2017，7：77.

［9］ HARUTYUNYAN T N.Asymptotics of the eigenvalues of Sturm-Liouville problem［J］.J Contemp Math Anal，2016，51（6）：173.

［10］ MOSAZADEH S，MAJIDI R.The asymptotic formula for the eigenvalues of Sturm-Liouville problems with one turning point of negative order［J］.Iran J Sci Technol Trans Sci，2018，42：2217.

［11］ 王忠，付守忠.向量值 對稱微分算子的 自伴延拓［J］.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1999，30（4）：439.

［12］ 王曉霞，賀祖國.向量值函數(shù)空間中 對稱算子的 自伴延拓［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2000，20（4）：462.

［13］ 曹之江.常微分算子［M］.北京：科學(xué)出版社，2015：101.

［14］ GLAZMAN I M.Direct Methods of Qualitative Spectral Analysis of Singular Differential operators［M］.Jerusalem：Israel Program for Scientific Translations，1965：71.

［15］ 牟宴銘，安靜.圓柱體上二階橢圓特征值問題的有效Galerkin譜逼近［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2022，58（4）：32.

［15］ 錢志祥，林秋紅.單項J-自伴向量微分算子譜的離散性與其系數(shù)的關(guān)系［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2023，59（6）：13.

（責(zé)任編輯 馬宇鴻）