Euler-Bernoulli方程在混合邊界控制下的能量指數(shù)衰減

摘要：研究一類Euler-Bernoulli方程的能量衰減問題.在混合邊界控制下，利用耗散反饋算子和變量替換，建立了能量衰減不等式，證明了Euler-Bernoulli方程解的能量是指數(shù)衰減的.

關(guān)鍵詞：Euler-Bernoulli方程；混合邊界控制；指數(shù)衰減；反饋算子；變量替換

中圖分類號：O 231.4""" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0104-06

Exponential decay of energy for Euler-Bernoulli

equation with mixed boundary control

BAI Zhong-yu

（Basic Teaching Department，Xinjiang University of Political Science and Law，Tumushuke 843900，Xinjiang，China）

Abstract：The energy decay of a class of Euler-Bernoulli equations is studied.Under mixed boundary control，the dissipative feedback operator and variable substitution are used to establish an energy estimation inequality.It is proved that the energy of the solution of Euler-Bernoulli equation decays exponentially.

Key words：Euler-Bernoulli equation;mixed boundary control;exponential decay;feedback operator;variable substitution

能量衰減問題是偏微分方程邊界控制理論中一個十分重要的研究領(lǐng)域，特別地，Euler-Bernoulli方程的衰減問題近年來引起了越來越多學者的關(guān)注［1-9］，取得的成果豐富和發(fā)展了控制理論中能量衰減的理論.

Lazzari等［10］利用算子半群，證明了具有邊界能量耗散的Euler-Bernoulli方程的能量衰減，給出了指數(shù)衰減的一個充要條件.Han等［11］基于Lyapunov方法，將指數(shù)穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為不等式方程的可解性，研究了具有內(nèi)部時間延遲和邊界阻尼的Euler-Bernoulli梁的指數(shù)衰減.Benaissa等［12］考慮了具有時變內(nèi)部流體的Euler-Bernoulli方程的能量衰減，通過引入Lyapunov泛函，建立了指數(shù)衰減不等式.但在抽象系統(tǒng)框架下，有關(guān)Euler-Bernoulli方程指數(shù)衰減的研究還較少.Rebiai［13］在Dirichlet邊界條件下，通過抽象系統(tǒng)、變量替換和乘子技術(shù)，討論了變系數(shù)Schrdinger方程的指數(shù)衰減.本文將文獻［13］的方法用于Euler-Bernoulli方程，首先用算子理論把系統(tǒng)化為二階抽象形式，然后選取合適的耗散反饋算子，通過變量替換和乘子法得出Euler-Bernoulli方程在最優(yōu)空間上的能量衰減估計不等式.

考慮Euler-Bernoulli方程

wtt+Δ2w=0， （x，t）∈Ω×（0，T），

w=0， （x，t）∈?！粒?，T），

wν=0， （x，t）∈Γ0×（0，T），

wν=Δ（A-1wt）， （x，t）∈Γ1×（0，T），

w（x，0）=w0，wt（x，0）=w1， x∈Ω，（1）

其中，Ω是Rn中具有光滑邊界Γ=Ω的有界開集，ν是Γ上的單位外法向量，Γ0和Γ1是邊界Γ上兩個不相交的開集，Γ0∪Γ1=Γ，算子A：L2（Ω）D（A）L2（Ω）是正定自共軛算子，

Af=Δ2f， D（A）=H4（Ω）∩H20（Ω）.（2）

由文獻［14］可得

D（A1/4）=H10（Ω），

D（A1/2）=H20（Ω）=

f∈H2（Ω）：fΓ=fνΓ=0，

因此，對f∈D（A1/4）=H10（Ω），由Poincare不等式［15］可得等價范數(shù)

fD（A1/4）=A1/4fL2（Ω）=

fH1（Ω）=∫Ωf2dx1/2；

同理，對f∈D（A1/2）=H20（Ω），也有

fD（A1/2）=A1/2fL2（Ω）=∫ΩΔf2dx1/2.（3）

1 預備知識

考慮齊次邊值問題

wtt+Δ2w=0， （x，t）∈Ω×（0，T］，

w=0， （x，t）∈Γ×（0，T］，

wν=0， （x，t）∈?！粒?，T］，

w（x，0）=w0，wt（x，0）=w1， x∈Ω.

映射（w0，w1）（w，wt）定義了L2（Ω）×［D（A1/2）］′上的一個酉群.

設(shè)算子L：L2（Γ）H3/2（Ω）∩H10（Ω）如下：

Lu=y

Δ2y=0， （x，t）∈Ω×（0，T］，

y=0， （x，t）∈?！粒?，T］，

yν=0， （x，t）∈Γ0×（0，T］，

yν=u， （x，t）∈Γ1×（0，T］.

定義L的共軛算子L*為

（Lu，v）L2（Ω）=（u，L*v）L2（Γ1），

u∈L2（Γ1），v∈L2（Ω）.

進而由Green定理［16］可知，對f∈D（A），有

L*Af=0， x∈Γ0，

-Δf， x∈Γ1.

于是，選取反饋算子F=F（wt），使得

wν=u=F（wt）=-L*wt=

-L*AA-1wt=ΔA-1wt，

（x，t）∈Γ1×（0，∞），（4）

則由文獻［17］，系統(tǒng)（1）可化為二階抽象形式

wtt=-Aw-ALL*wt，（5）

ddtwwt=Λwwt，

（w，wt）∈L2（Ω）×H-2（Ω），

其中

Λ=0I

-A-ALL*，（6）

D（Λ）={y：Λy∈L2（Ω）×H-2（Ω）}.

由（6）式可知，對（z1，z2）∈D（Λ），有

Λz=（z2，-Az1-ALL*z2）∈

L2（Ω）×［D（A1/2）］′，

這表明

z1+LL*z2∈D（A1/2）=H20（Ω），

z2∈L2（Ω）.（7）

因此，由算子L的定義和（7）式可得

LL*z2∈H3（Ω）∩H10（Ω），

z1∈H2（Ω）∩H10（Ω）.（8）

結(jié)合（7）和（8）式，若（w0，w1）∈D（Λ），則

w∈C（［0，T］;H2（Ω）∩H10（Ω）），

w1∈C（［0，T］;L2（Ω））.

從而由Lumer-Phillips定理［18］，算子Λ生成了L2（Ω）×［D（A1/2）］′上的一個強連續(xù)壓縮半群，記為w（t）=eΛtw0.

對（w0，w1）∈L2（Ω）×［D（A1/2）］′，定義系統(tǒng)（1）的能量

E（t）=eΛt（w0，w1）2L2（Ω）×［D（A1/2）］′=

w2L2（Ω）+A-1/2wt2L2（Ω）.（9）

由（4）式，系統(tǒng)（1）的解w滿足

dE（t）dt=-2∫Γ1wν2dΓ=

-2L*wt2L2（Γ1）=

-2Δ（A-1wt）2L2（Γ1）≤0，（10）

E（t）-E（0）=-2∫t0∫Γ1wν2dΓdt=

-2∫t0L*wt2L2（Γ1）dt，（11）

∫∞0∫Γ1wν2dΓdt=

∫∞0L*wt2L2（Γ1）dt≤E（0）.（12）

根據(jù)文獻［19］，引入新變量，令A1/2p=A-1/2wt，即

p=A-1wt∈

C（0，T;D（A1/2）），

（w0，w1）∈L2（Ω）×

［D（A1/2）］′;"""" （13）

C（［0，T］;D（A）），

（w0，w1）∈D（Λ）.

則由（5）和（13）式可得

pt=A-1wtt=-w-LL*wt

∈

L2（（0，T）;L2（Ω））， （w0，w1）

∈L2（Ω）×［D（A1/2）］′;

C（［0，T］;D（A1/2）），

（w0，w1）∈D（Λ）.（14）

因此，由（14）式可得

ptt=-wt-LL*wtt=-Ap-LL*wtt.（15）

由標量函數(shù)p（x，t），x∈Ω可得對應的向量值函數(shù)p（t）=p（x，t），x∈Ω，（15）式改寫為

ptt+Δ2p=Ψ， （x，t）∈Ω×（0，∞），

p=pν=0， （x，t）∈?！粒?，∞），

p（x，0）=p0，p1（x，0）=p1， x∈Ω，（16）

其中

p0=A-1w1∈D（A），

p1=A-1wtt（0）=-（w0+LL*w1）∈D（A1/2），

且

Ψ=-LL*wtt=-LL*AA-1wtt=L（Δpt），

（x，t）∈Γ1×（0，T］.（17）

結(jié)合（3），（13）和（14）式可得

wt［D（A1/2）］′=A-1/2wtL2（Ω）=

A1/2pL2（Ω）=∫Ω（Δp）2dx1/2，（18）

pt=-w-LL*wt.（19）

又Ψ在L2（Γ）中有界，則由（12）式，有

wν=-L*wt∈L2（0，∞;L2（Γ1））.

由系統(tǒng)（1）解的能量E（t）的定義及（18）和（19）式，有

E（t）=∫Ω（p2t（t）+（Δp（t））2）dx+

L*wt2L2（Γ1）.（20）

2 主要結(jié)果

先證下面的估計.

引理1 設(shè)有向量場

h（x）=（h1（x），h2（x），…，hn（x））∈（C3））n，（w0，w1）∈D（Λ），使得

（p0，p1）∈D（A）×D（A1/2），

則存在C1gt;0，對任意εgt;0，有

-∫T0∫ΩΨh·pdxdt-12∫T0∫ΩΨpdivhdxdt+

（p1，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0=

-（w，h·p）T0-12（w，pdivh）T0-

∫T0（LL*wt，h·pt）dt-

12∫T0（LL*wt，ptdivh）dt≥

-C1（E（T）+E（0））-

C1ε∫T0L*wt2L2（Γ1）dt-

ε∫T0pt2L2（Ω）dt.（21）

證明 （17）式中的Ψ=-LL*wtt關(guān)于t分部積分可得

-∫T0∫ΩΨh·pdxdt=

∫T0（LL*wtt，h·p）dt=

（LL*wt，h·p）T0-

∫T0（LL*wt，h·pt）dt.（22）

又由（14）式，有

LL*wt=-w-pt，（23）

結(jié)合（22）和（23）式可得

-∫T0∫ΩΨh·pdxdt+（pt，h·p）T0=

-（w，h·p）T0-

∫T0（LL*wt，h·pt）dt;（24）

同理

-∫T0∫ΩΨpdivhdxdt+（pt，pdivh）T0=

-（w，pdivh）T0-

∫T0（LL*wt，ptdivh）dt.（25）

由（24）和（25）式可得（21）式中的等號成立.

利用散度定理［20］，有

∫Ωh·φdx=∫Γφh·νdΓ-

∫Ωφh·dx-∫Ωφdivhdx.

令=-LL*wt，φ=pt，則由（16）式中的p=0，（x，t）∈?！粒?，T］和算子L的定義，可得

（LL*wt，h·pt）+12（LL*wt，ptdivh）=

-12（LL*wt，ptdivh）-

（pt，h·（LL*wt））≤

L*wtL2（Γ1）ptL2（Ω）.（26）

最后，結(jié)合（26），（18）和（9）式可得

-∫T0∫ΩΨh·pdxdt-

12∫T0∫ΩΨpdivhdxdt+

（pt，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0≥

-C1（E（T）+E（0））-

C1ε∫T0L*wt2L2（Γ1）dt-

ε∫T0pt2L2（Ω）dt，

即估計式（21）成立." 】

定理1 系統(tǒng)（1）是指數(shù)衰減的，如果存在M≥1，δgt;0，使得系統(tǒng)（1）的解滿足

（w，wt）L2（Ω）×［D（A1/2）］′=

eΛt（w0，wt）L2（Ω）×［D（A1/2）］′≤

Me-δt（w0，wt）L2（Ω）×［D（A1/2）］′.（27）

證明 由（9）式中E（t）的定義，為證（27）式，只需證存在0lt;Tlt;∞，使得

E（T）≤σE（0）， σlt;1.（28）

由（12）式，要證（28）式，即證存在CTgt;0，滿足

E（T）≤CT∫T0∫Γ1wν2dΓdt.（29）

用h·p乘以（16）式的第一個方程，并分部積分可得

12∫T0∫Γ（Δp）2h·νdΓdt=

2∫T0∫ΩΔp·∑ni=1（hi·pxi）dxdt+

∫T0∫ΩΔp·（Δh1，Δh2，…，Δhn）·pdxdt+

12∫T0∫Ω［p2t-（Δp）2］divhdxdt-

∫T0∫ΩΨh·pdxdt+（pt，h·p）T0.

記

H=H（x）=

h1x1h1x2…h(huán)1xn

hnx1hnx2…h(huán)nxn，

注意到

div（Hp）=∑ni=1（hi·pxi）+

p·（divh），（30）

div（HTp）=∑ni=1（hi·pxi）+

（Δh1，Δh2，…，Δhn）·p，（31）

則由（30）和（31）式可得

div［（H+HT）p］=

2∑ni=1（hi·pxi）+

p·（divh）+

（Δh1，Δh2，…，Δhn）·p，

因此

12∫T0∫Γ（Δp）2h·νdΓdt=

12∫T0∫Ω［p2t-（Δp）2］divhdxdt+

∫T0∫ΩΔp·div［（H+HT）p］dxdt-

∫T0∫ΩΔpp·（divh）dxdt-

∫T0∫ΩΨh·pdxdt+（pt，h·p）T0=

2∫T0∫ΩΔp·∑ni=1（hi·pxi）dxdt+

∫T0∫ΩΔp·（Δh1，Δh2，…Δhn）·pdxdt+

12∫T0∫ΩpΔp·Δ（divh）dxdt+

∫T0∫ΩΔpp·（divh）dxdt-

∫T0∫ΩΨh·pdxdt-

12∫T0∫ΩΨp·divhdxdt+

（pt，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0=

∫T0∫ΩΔp·div［（H+HT）p］dxdt+

12∫T0∫ΩpΔp·Δ（divh）dxdt-

∫T0∫ΩΨh·pdxdt-

12∫T0∫ΩΨp·divhdxdt+

（pt，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0.（32）

取h（x）=x-x0，x0∈Rn， 使得

Γ0={x∈Γ：（x-x0）·ν≤0}，

則H（x）=I，divh=dimΩ=n，（divh）=0，于是，（32）式化為

12∫T0∫Γ（Δp）2h·νdΓdt=

2∫T0∫Ω（Δp）2dxdt-

∫T0∫ΩΨh·pdxdt-

12∫T0∫ΩΨp·divhdxdt+

（pt，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0.（33）

再用pdivh乘以（16）式的第一個方程，并分部積分可得

∫T0∫Ω［p2t-（Δp）2］divhdxdt=

-∫T0∫ΩΨpdivhdxdt+

∫T0∫ΩpΔpΔ（divh）dxdt+

2∫T0∫ΩΔpp·（divh）dxdt+

（pt，pdivh）T0.（34）

注意到當divh=1時（34）式也成立，從而

∫T0∫Ω（Δp）2dxdt=∫T0∫Ωp2tdxdt+

∫T0∫ΩΨpdxdt-（pt，p）T0.（35）

將（35）式代入（33）式可得

12∫T0∫Γ（Δp）2h·νdΓdt=

2∫T0∫Ωp2tdxdt-∫T0∫ΩΨh·pdxdt-

12∫T0∫ΩΨp·divhdxdt+

2∫T0∫ΩΨpdxdt-2（pt，p）T0+

（pt，h·p）T0+12（pt，pdivh）T0.（36）

由（33）和（36）式可得

∫T0∫Γ（Δp）2h·νdΓdt=

2∫T0∫Ω［（Δp）2+p2t］dxdt+

2∫T0∫ΩΨpdxdt-2（pt，p）T0-

2∫T0∫ΩΨh·pdxdt+

12∫T0∫ΩΨp·divhdxdt-

（pt，h·p）T0-12（pt，pdivh）T0.（37）

下面估計（37）式的右端.由（11），（20）式和引理1可得

（37）式的右端≥

（2-ε）∫T0E（t）dt-C2［E（T）+E（0）］-

C1ε∫T0L*wt2L2（Γ1）dt≥

（2-ε）∫T0E（t）dt-2C2E（T）-

C3∫T0∫Γ1wν2dΓdt，（38）

其中Cigt;0， i=2，3.

接著估計（37）式的左端.由（4）和（13）式可得

wν=ΔA-1wt=Δp， （x，t）∈Γ1×（0，T］，

從而

（37）式的左端=

∫T0∫Γ（Δp）2（x-x0）·νdΓdt≤

∫T0∫Γ1（Δp）2（x-x0）·νdΓdt≤

C4∫T0∫Γ1wν2dΓdt，（39）

其中C4gt;0.

結(jié)合（38）和（39）式，并利用（10）式中E（t）的耗散性可得

C5∫T0∫Γ1wν2dΓdt≥

（2-ε）∫T0E（t）dt-2C6E（T）≥

［（2-ε）T-2C6］E（T）.

其中Cigt;0，i=5，6.所以當T充分大時，即得（29）式." 】

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（責任編輯 馬宇鴻）