漸近二次線性Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)解的多重性

摘要：研究R3上的一類Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)解的多重性.當非線性項在無窮遠處滿足漸近二次線性增長條件時，利用變分方法建立系統(tǒng)非平凡解的多重性結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng);變分法;漸近二次線性;多重性

中圖分類號：O 177.91""" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0097-07

Multiplicity of solutions for an asymptotically

2-linear Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system

SUN Xin， DUAN Yu， AN Yu-cheng

（College of Science，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，Guizhou，China）

Abstract：The multiplicity of solutions is discussed for Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system in R3.When the nonlinearity satisfies asymptotically 2-linear at infinity，the multiplicity of nontrivial solutions to this problem is obtained via variational methods.

Key words：Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system;variational method;asymptotically 2-linear;multiplicity

近年來，Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)

-a+b∫R3u2dxΔu+V（x）u+

μu=g（x，u）， x∈R3，

-Δ=μu2， x∈R3

的研究引起了眾多學者的關(guān)注［1-8］.文獻［9-13］研究了分數(shù)階Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性和多重性，受此啟發(fā)，本文考慮Kirchhoff-Schrdinger-Poisson系統(tǒng)

1+λ∫R3（u2+u2）dx

（-Δu+u）+

u=f（u）+K（x）us-2u， x∈R3，

-Δ=u2， x∈R3，（1）

其中1lt;slt;2，λgt;0是一個參數(shù).文獻［14］在非線性項次線性增長條件下，利用Kajikiya建立的對稱山路定理研究了系統(tǒng)（1）無窮多極小能量解的存在性;文獻［15］在非線性項超三次增長條件下，利用截斷方法研究了帶有擾動項的系統(tǒng)（1）的兩個徑向解的存在性;文獻［16］在非線性項滿足特殊凹凸性條件下，利用Nehari流形方法研究系統(tǒng)（1）的兩個非平凡解的存在性.據(jù)我們所知，具有漸近二次非線性項的系統(tǒng)（1）解的多重性研究暫時還沒有結(jié)果.本文在非線性項f漸近二次線性增長條件下，利用變分法給出了系統(tǒng)（1）非平凡解的多重性結(jié)果，所得結(jié)論完善了已有文獻的相關(guān)結(jié)果.

假設(shè)非線性項滿足下列條件：

（C1）0≤K（x）∈L2/（2-s）（R3）， 1lt;slt;2;

（C2）存在非空開集ΩR3，使得對任意的x∈Ω，K（x）gt;0;

（C3）f∈C（R，R），lim｜t｜→0f（t）t=0;

（C4）存在常數(shù)l∈2258πS32π35/3，+∞滿足

lim｜t｜→+∞f（t）t2=l，其中

S=infu∈D1，2（R3）＼{0}∫R3u2dx∫R3u6dx1/3;

（C5）f（-t）=-f（t）， t∈R.

注1 與已有文獻非線性項的假設(shè)不同之處是，本文非線性項在無窮遠處滿足漸近二次線性增長條件，三個非平凡解及無窮多解的存在性結(jié)果可視為已有文獻相關(guān)結(jié)果的補充.

1 預(yù)備知識

設(shè)H1（R3）：={u∈L2（R3）：u∈L2（R3）}，其內(nèi)積和范數(shù)定義分別定義為

u，v=∫R3（u·v+uv）dx，

u：=u，u1/2.

顯然對任意的2≤p≤6，嵌入H1（R3）Lp（R3）是連續(xù)的.故對任意的2≤p≤6，存在Spgt;0，使得

up≤Spu， u∈H1（R3）.（2）

令

H：=H1r（R3）={u∈H1（R3）：u（x）=u（x）}，

則由文獻［17］推論1.26知，對任意的2lt;slt;2*=6，嵌入HLs（R3）是緊的.

對任意的u∈H1（R3），由Lax-Milgram定理知，存在唯一的u∈D1，2（R3），滿足-Δ=u2.又u具有如下性質(zhì)：

引理1［18］ （i） u≥0， u∈H1（R3）;

（ii）存在C0gt;0使得

∫R3uu2dx≤C0u4， u∈H1（R3）;

（iii）tu=t2u， tgt;0， u∈H1（R3）;

（iv）若在H1（R3）中，unu，則在D1，2（R3）中，unn;

（v）若un是徑向函數(shù)，則un也是徑向函數(shù).

問題（1）對應(yīng)的能量泛函為

Iλ，K（u）=12u2+14λu4+14∫R3uu2dx-

∫R3F（u）dx-1s∫R3K（x）usdx，

其中F（t）=∫t0f（s）ds.由假設(shè)易知，Iλ，K∈C1（H，R），且對任意的u，v∈H，有

I′λ，K（u），v=（1+λu2）×

∫R3（u·v+uv）dx+

∫R3uuvdx-∫R3f（u）vdx-

∫R3K（x）us-2uvdx.

引理2［19］ 設(shè)X是一個Banach空間，I∈C1（X，R）是偶泛函、下方有界且滿足（PS）條件，I（0）=0.若對任意的k∈N，存在有限維子空間Xk及ρkgt;0使得supXk∩SρkIlt;0，其中Sρ={u∈X：u=ρ}，則I有一列臨界值cklt;0且滿足ck→0，k→∞.

本文常數(shù)Ci在不同段落表示不同的常數(shù).當K=0時，記Iλ，K（u）=Iλ，0（u）;

當λ=0時，記Iλ，K（u）=I0，K（u）;

當λ=0，K=0時，

記Iλ，K（u）=I0，0（u）.

BR={x∈R3：xlt;R}.

令{ei}∞i=1為空間H的一組正交基，記

Xi=Rei，Yk=ki=1Xi，

Zk=∞i=k+1Xi，k∈N.

2 主要結(jié)果

引理3 設(shè)條件（C1），（C3）和（C4）成立，則Iλ，K（u）在H中是下方有界的.

證明 由條件（C3），（C4）可知，對任意的ε∈（0，1/2），存在Cεgt;0，使得對任意的t∈R，有

f（t）≤εt+Cεt2，（3）

從而

F（t）≤ε2t2+Cε3t3， t∈R.（4）

結(jié)合（2）式、（4）式、條件（C1）及引理1可知

Iλ，K（u）=12u2+14λu4+14∫R3uu2dx-

∫R3F（u）dx-1s∫R3K（x）usdx≥

14u2+14λu4-S33Cε3u3-

1sK2/（2-s）Ss2us.（5）

這說明在空間H中，泛函Iλ，K（u）是強制的.故在空間H中，Iλ，K是下方有界的." 】

引理4 設(shè)條件條件（C1），（C3）和（C4）成立，則Iλ，K（u）滿足（PS）條件.

證明 設(shè){un}H是泛函Iλ，K的任一（PS）序列，即

Iλ，K（un）有界，I′λ，K（un）→0，n→∞.（6）

由引理3知，序列{un}是有界的.因為{un}是有界的，且Sobolev嵌入HLp（R3）（p∈（2，6））是緊嵌入，所以存在{un}的一個子列（不失一般性仍記之為{un}）和u∈H使得

unu弱收斂于H；

un→u強收斂于Lp（R3），p∈（2，6）;

un→u a.e.于R3.（7）

下面證明un→u強收斂于H.

由（3）式、{un}的有界性，以及Hlder不等式和Sobolev不等式可得

∫R3f（un）（un-u）dx≤∫R3f（un）un-udx≤

εun2un-u2+Cεun23un-u3≤

εC1+CεC2un-u3.

根據(jù)（7）式得

∫R3f（un）（un-u）dx→0， n→∞.（8）

由（7）式、{un}的有界性及Hlder不等式知

∫R3unun（un-u）dx≤

∫R3unun（un-u）dx≤

un6un12/5un-u12/5=o（1）.（9）

由（7）式可知

uns-2un（un-u）→0， a.e. x∈R3.

由于

∫R3（uns-2un（un-u））2/sdx≤

un2（s-1）/s2un-u2/s2≤

C3un（s-1）2/sun-u2/slt;+∞，

故uns-2un（un-u）在L2/s（R3）空間中是有界的.從而存在{uns-2un（un-u）}的一個子列（不失一般性仍記此子列為{uns-2un（un-u）}），使得在L2/s（R3）空間中，

uns-2un（un-u）0.

結(jié)合條件（C1）可知

∫R3K（x）uns-2un（un-u）dx→0， n→∞.（10）

結(jié)合（6）式及（8）～（10）式可得

（1+λun2）un，un-u=

I′λ，K（un），un-u-

∫R3unun（un-u）dx+

∫R3K（x）uns-2un（un-u）dx+

∫R3f（un）（un-u）dx→0， n→∞，

即un，un-u→0，n→∞.易知u，un-u→0，n→∞.

故un-u，un-u→0，n→∞.即un→u強收斂于H." 】

引理5 設(shè)條件（C3），（C4）成立，則泛函Iλ，0（u）滿足山路結(jié)構(gòu)：

（i）存在αgt;0，ρgt;0使得Iλ，0（u）‖u‖=ρ≥α;

（ii）存在λ*gt;0及e∈H滿足egt;ρ，使得對任意的λ∈（0，λ*），有Iλ，0（e）lt;0.

證明 （i） 由（5）式知，對充分小的ε∈（0，1/2），有

Iλ，0（u）≥14u2-S33Cε3u3.

令

g（t）=14-S33Cε3t， t≥0，

則存在ρgt;0使得g（ρ）gt;0.令α：=g（ρ）ρ2，則αgt;0且Iλ，0（u）‖u‖=ρ≥αgt;0.

（ii）令R=8πSν0332π35/3gt;0，其中

ν0：=3πS32π35/3lt;

258πS32π35/3

是某一給定的常數(shù).定義

ωR（x）=1R， x≤R;

1R2-xR， x∈（R，2R］;

0， xgt;2R.

則ωR∈H1r（R3），且容易驗證

∫R3ωR（x）2dx=

∫Rlt;｜x｜≤2R1R2-xR2dx=

28π3R，（11）

∫R3ωR（x）3dx=∫｜x｜≤R1R3dx+

∫Rlt;｜x｜≤2R1R2-xR3dx≥

∫｜x｜≤R1R3dx=4π3，（12）

ωR（x）412/5=∫｜x｜≤R1R12/5dx+

∫Rlt;｜x｜≤2R1R2-xR12/5dx5/3≤

∫｜x｜≤2R1R12/5dx5/3=32π35/3R.（13）

令z（x）=t2ωR（tx），則由Fatou引理，條件（C4）及（11）～（13）式可知

limt→+∞I0，0（t）z3=

limt→+∞1t3

12z2-

∫R3F（z）dx+

14∫R3zz2dx=

12∫R3ωR2dx+14∫R3ωRω2Rdx-

limt→+∞∫R3F（t2ωR）t2ωR3ωR3dx≤

14π3R+14SωR（x）412/5-

∫R3limt→+∞F（t2ωR）t2ωR3ωR3dx≤

14π3R+14S32π35/3R-l3∫R3ωR3dxlt;

14π3R+14S32π35/3R-

132258πS32π35/3∫R3ωR3dx≤

14π3R+14S32π35/3R-4π3ν0≤

14π3R-2π3ν0=-2π3Rlt;0.

因為

z（x）2=t2ωR（tx）2=

t3∫R3ωR2dx+t∫R3ω2Rdx，

所以存在t0gt;0，使得t20ωR（t0x）2gt;ρ，且I0，0（t20ωR（t0x））lt;0.令e（x）：=t20ωR（t0x），則egt;ρ且I0，0（e）lt;0.由于當λ→0+時，Iλ，0（e）→I0，0（e），故存在λ*gt;0，使得當λ∈（0，λ*）時，有Iλ，0（e）lt;0." 】

引理6 設(shè)條件（C1），（C3）和（C4）成立，則泛函Iλ，K（u）滿足山路結(jié)構(gòu)：

（i）存在α1gt;0，ρgt;ρ1gt;0及k1gt;0使得當K2/（2-s）lt;k1時，Iλ，K（u）‖u‖=ρ1≥α1gt;0，其中ρ已由引理5給出;

（ii）存在λ*gt;0及e∈H滿足egt;ρ1，使得對任意的λ∈（0，λ*），有Iλ，K（e）lt;0.

證明 （i） 由（5）式知，對充分小的ε∈（0，1/2），有

Iλ，K（u）≥14u2-S33Cε3u3-

1sK2/（2-s）Ss2us.

令

γ（t）=14t2-s-S33Cε3t3-s， t≥0，

則取充分小的ρ1gt;0滿足ρ1lt;ρ，使得γ（ρ1）gt;0.

令k1：=s2Ss2γ（ρ1），α1：=12γ（ρ1）ρs1，則k1gt;0，α1gt;0

且當K2/（2-s）lt;k1時，

Iλ，K（u）‖u‖=ρ1≥α1gt;0.

（ii）由條件（C1）知，Iλ，K（u）≤Iλ，0.類似于引理5（ii）的證明易證結(jié)論成立." 】

引理7 設(shè)條件（C1），（C3）和（C4）成立，則泛函Iλ，K（u）滿足：

（i）存在常數(shù)αgt;0，ρgt;0，使得

Iλ，KBρ∩Zk≥α;

（ii）對任意的有限維子空間H存在R=R（）gt;0，使得Iλ，K＼BR≤0.

證明 （i） 在（4）式中取ε=ε0為區(qū)間（0，1/2）的某一給定常數(shù)，則存在Cε0gt;0滿足

F（u）≤ε02u2+Cε03u3.（14）

令βk：=supu∈Zk，‖u‖=1up，2lt;plt;6，則βk→0，k→∞.因為1lt;slt;2，所以存在R0gt;1使得當u≥R0時，有

1sK2/（2-s）Ss2us≤18u2.（15）

由（14）～（15）式可知，任取u∈Zk，則當u≥R0時，有

Iλ，K（u）=12u2+14λu4+14∫R3uu2dx-

∫R3F（u）dx-1s∫R3K（x）usdx≥

14u2-Cε03u33-1sK2/（2-s）S22us≥

18u2-Cε03β3ku33.

令ρ=14β3kCε0，α=124ρ2，則ρgt;0，αgt;0，且當k→∞時ρ→∞.從而存在k0gt;1使得當kgt;k0時，ρ≥R0.故當kgt;k0，u∈Zk，u=ρ時，Iλ，K（u）≥α=124ρ2.即Iλ，KBρ∩Zk≥α.

（ii）對任意給定的u∈H＼{0}，令

h（t）=t-2u（t-1x）2-1=

1t3∫R3u2dx+

1t∫R3u2dx-1， tgt;0.

顯然，h（t）是單調(diào)遞減的且limt→+∞h（t）=-1，limt→0+h（t）=+∞.

從而對任意的u∈H＼{0}，存在唯一的T：=（u）gt;0滿足h（T）=0.這意味著由h（t）=0可在空間H＼{0}定義一個泛函T=（u）.定義（0）=0，則易知泛函T=（u）是連續(xù)的且（u）→+∞（u→+∞）.由h（t）的定義知，對任意的u∈H＼{0}，存在v（x）=T-2u（T-1x）∈H滿足v=1，即

u（x）=T2v（Tx）∈H1（R3），v=1.（16）

因為有限維空間上任意兩個范數(shù)是等價的，所以對任意的u∈H，存在常數(shù)Csgt;0使得us≥Csu，s∈［2，6］.故對任意的u∈H，由（16）式、條件（C1）及引理1可得

Iλ，K（u）=12u2+14λu4+

14∫R3uu2dx-

∫R3F（u）dx-1s∫R3K（x）usdx≤

12C22u22+14C42λu42+

C04C42u42-∫R3F（u）dx=

T2C22∫R3v2dx+T2（λ+C0）4C42×

∫R3v2dx2-1T3∫R3F（T2v）dx≤

T2C22+T2（λ+C0）4C42-1T3∫R3F（T2v）dx=

T312C22T2+λ+C04C42T-1T6∫R3F（T2v）dx.（17）

記

Φ（T）：=12C22T2+λ+C04C42T-1T6∫R3F（T2v）dx.

注意到v≠0，結(jié)合條件（C4）知，當T→+∞時，F(xiàn)（T2v）T6v3→l3關(guān)于x∈R3幾乎處處成立，從而當T→+∞時，有

limT→+∞Φ（T）≤-1T6∫R3limT→+∞F（T2v）T2v3dx=

-l3∫R3v3dxlt;0.（18）

由于當u→+∞時，T=（u）→+∞，因此結(jié)合（17）和（18）式可知

lim‖u‖→+∞Iλ，K（u）≤limT→+∞T3Φ（T）=-∞.

故存在R=R（）gt;0使得對任意的u∈，u≥R時，有Iλ，K（u）lt;0，即Iλ，K＼BR≤0." 】

定理1 若條件（C1）成立，則存在Λ*gt;0及k*gt;0，使得對任意的λ∈（0，Λ*），當K2/（2-s）lt;k*時，問題（1）至少存在3個非平凡解.

證明 分四步完成證明.

（i）證明問題（1）存在一個具有正能量的山路解.由引理6知，Iλ，K具有山路結(jié)構(gòu);再由引理4知，Iλ，K滿足（PS）條件，故由山路定理（見文獻［20］定理2.2）知，問題（1）存在一個非平凡解u1∈H且Iλ，K（u1）gt;0.

（ii）證明問題（1）存在一個具有負能量的全局極小解.由引理3知，在空間H中，Iλ，K是下方有界的，故可定義其下確界：d：=infHIλ，K.由引理6知，dlt;0.再由引理4知，Iλ，K滿足（PS）條件.故由文獻［20］中的定理2.7知，d是泛函Iλ，K的一個臨界值，即存在u2∈H滿足Iλ，K（u2）=dlt;0，使得u2是泛函Iλ，K的一個非零臨界點.因此，問題（1）存在一個負能量的全局極小解.

（iii）證明問題（1）存在一個具有負能量的局部極小解.根據(jù)引理6，給定ρ1gt;0，令

ρ1={u∈H：u≤ρ1}，

Bρ1={u∈H：u=ρ1}，

則當K2/（2-s）lt;k1時，有

Iλ，KBρ1gt;0.（19）

顯然在ρ1中，Iλ，K是弱下半連續(xù)的且下方有界.定義c1：=inf{Iλ，K（u）：u∈ρ1}，則c1gt;-∞.由條件（C2），取v∈C∞0（Ω），使得

1s∫R3K（x）vsdxgt;0.

從而結(jié)合（4）式及1lt;slt;2知，當tgt;0充分小時，有

Iλ，K（tv）=12tv2+14λtv4+

14∫R3tv（tv）2dx-∫R3F（tv）dx-

1s∫R3K（x）tvsdx≤

t22v2+λt44v4+t44∫R3vv2dx+

εS22t22v2+CεS33t33v3-

tss∫R3K（x）vsdxlt;0，

故c1lt;0.由（19）式、引理4及Ekeland變分原理知，存在u3∈ρ1使得Iλ，K（u3）=c1lt;0且I′λ，K（u3）=0.即u3是Iλ，K的一個具有負能量的局部極小解.

（iv）證明u1，u2，u3互不相同，即問題（1）有3個不同的解.

因為Iλ，K（u1）gt;0gt;Iλ，K（u2），Iλ，K（u1）gt;0gt;Iλ，K（u3），

所以u1≠u2，u1≠u3.受文獻［21］定理4.1證明的啟發(fā)，下面通過證明dlt;c1來說明u2u3.由引理3的證明過程易知，Iλ，0（u）在空間H中是下方有界的，故可定義其下確界：cλ：=infHIλ，0;由引理5知，cλ=infHIλ，0lt;0;再由引理4的證明過程易知，

Iλ，0滿足（PS）條件.故由文獻［20］定理2.7知，cλ是泛函Iλ，0的一個臨界值，即存在v∈H滿足Iλ，0（v）=cλ使得v是泛函Iλ，0的一個非零臨界點.由引理5的證明過程知，存在ρgt;ρ1使得對任意的u∈Bρ＼{0}，Iλ，0（u）gt;0且

infu∈BρIλ，0（u）=0.由c1：=inf{Iλ，K（u）：u∈ρ1}知，當K2/（2-s）→0時c1→0.因此存在k2gt;0使得當K2/（2-s）lt;k2時，cλlt;c1.又

Iλ，K（v）=Iλ，0（v）-1s∫R3K（x）vsdx≤

Iλ，0（v）=cλ，

故d=Iλ，K（u2）=infHIλ，K≤Iλ，K（v）≤cλ.

令k*：=min{k1，k2}，Λ*=min{λ*，λ*}，

則當K2/（2-s）lt;k*，λlt;Λ*時，

有d≤cλlt;c1，即u2u3." 】

定理2 若條件（C1）～（C5）成立，則對任意的λgt;0，問題（1）有一列負能量解

證明 由條件（C5）知，Iλ，K是偶泛函；由引理3知，Iλ，K在空間H中是下方有界的；再由引理4知，Iλ，K滿足（PS）條件.由引理2，只需證明：存在有限維子空間Xk及ρkgt;0，使得

supXk∩SρkIλ，Klt;0.

事實上，對任意k∈N，取k個線性無關(guān)的函數(shù)e1，e2，…，ek∈C∞0（Ω），定義Xk：=span{e1，e2，…，ek}.

因為對任意的x∈Ω，K（x）gt;0，所以在子空間Xk上可定義一個等價范數(shù)

us，K：=∫R3K（x）usdx1/s.

由于有限維空間Xk上的各種范數(shù)是等價的，故對任意的u∈Xk，有

Iλ，K（u）=12u2+14λu4+14∫R3uu2dx-

∫R3F（u）dx-1s∫R3K（x）usdx≤

12u2+λ4u4+C04u4+

εS222u2+CεS333u3-1suss，K.（20）

因為1lt;slt;2，所以由（20）式知，存在充分小的ρk∈（0，1）滿足Iλ，K（u）‖u‖=ρklt;0，從而supXk∩SρkIλ，Klt;0. "】

定理3 若條件（C1），（C3）～（C5）成立，則對任意的λgt;0，問題（1）有一列高能量解.

證明 由條件（C5）知，泛函Iλ，K是偶的;結(jié)合引理4及引理7知，能量泛函Iλ，K滿足對稱山路定理（見文獻［20］定理9.12）的條件.因此Iλ，K有一列趨于+∞的臨界值，即問題（1）具有一列高能量解." 】

參考文獻：

［1］ LIU F X，WANG S L.Positive solutions of Schrdinger-Kirchhoff-Poisson system without compact condition［J］.Bound Value Probl，2017，156：1.

［2］ WANG Y，ZHANG Z.Ground state solutions for Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system with sign-changing potentials［J］.Bullet Malays Math Sci Soc，2021，44（4）：2319.

［3］ WANG D B，LI T J，HAO X N.Least-energy""nbsp;" sign-changing solutions for Kirchhoff-Schrdin-ger-Poisson systems in" ［J］.Bound Value Probl，2019，75：1.

［4］ ZHANG J L，WANG D B.Existence of least energy nodal solution for Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system with potential vanishing［J］.Bound Value Probl，2020，111：1.

［5］ CHE G F，CHEN H B.Existence and multiplicity of solutions for Kirchhoff-Schrdinger-Poisson" system with concave and convex nonlinearities［J］.J Korean Math Soc，2020，57（6）：1551.

［6］" QIAN A，ZHANG M M.Ground state sign-changing solutions for a class of" Schrdinger-Poisson-Kirchhoff type problems with a critical nonlinearity in" ［J］.J Korean Math Soc，2021，58（5）：1181.

［7］ LIU C G，ZHANG H B. Ground state and nodal solutions for critical Kirchhoff-Schrdinger-Poisson systems with an asymptotically 3-linear growth nonlinearity［J］.Bound Value Probl，2020，133：1.

［8］ CHE G F，CHEN H B.Existence and multiplicity of positive solutions for Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system with critical growth［J］.Racsam Rev R Acad A，2020，114（2）：1.

［9］ XIANG M Q，WANG F L.Fractional Schrdinger-Poisson-Kirchhoff type systems involving critical nonlinearities［J］.Nonlinear Anal，2017，164：1.

［10］ De ALBUQUERQUE J C，CLEMENTE R，F(xiàn)ERRAZ D.Existence of infinitely many small solutions for sublinear fractional Kirchhoff-Sch-dinger-Poisson systems［J］.Electron J Differ Eq，2019，2019（13）：1.

［11］ LI W，RADULESCU V D，ZHANG B L.Infinitely many solutions for fractional Kirchhoff-Schrdinger-Poisson systems［J］.J Math Phys，2019，60（1）：011506.

［12］ LIU C G，ZHANG H B.Ground state and nodal solutions for fractional Schrdinger-Maxwell-Kirchhoff systems with pure critical growth non linearity［J］.Commun Pur Appl Anal，2021，20（2）：817.

［13］ AMBROSIO V.An existence result for a fractional Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system［J］.Z Angew Math Phys，2018，69（30）：483.

［14］ ZHAO G L，ZHU X L，LI Y H.Existence of infinitely many solutions to a class of Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system［J］.Appl Math Compu，2015，256：572.

［15］ SHI H X.Positive solutions for a class of nonhomogeneous Kirchhoff-Schrdinger-Poisson systems［J］.Bound Value Probl，2019，139：1.

［16］ BAI Y C.Multiplicity results for a class of Kirchhoff-Schrdinger-Poisson system involving sign-changing weight functions［J］.J Funct Space，2019，2019（2）：6059459.

［17］ WILLEM M.Minimax Theorems［M］.Boston：Springer，1996.

［18］ AZZOLLINI A，D’AVENIA P，POMPONIO A.On the Schrdinger-Maxwell equations under the effect of a general nonlinear term［J］.Ann Inst Henri Poincare Anal Non Lineaire，2010，27（2）：779.

［19］ WANG Z Q.Nonlinear boundary value problems with concave nonlinearitiesnear the origin［J］.Nonlinear Differ Eq Appl，2001，8：15.

［20］ RABINOWITZ P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations［M］.CBMS Reg Conf，Ser Math，New York：American Mathematical Soc，1986.

［21］ SUN J T，CHEN Y H，WU T F.On the indefinite Kirchhoff type equations with local sublinearity and linearity［J］.Appl Anal，2017，96（5）：827.

（責任編輯 馬宇鴻）