變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插定理及其應(yīng)用

摘要：建立了變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插定理，并通過此定理得到了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子、幾何極大算子及極小算子在該空間上的映射性質(zhì)．

關(guān)鍵詞：外插定理；變指數(shù)Herz-Morrey空間；參數(shù)型Marcinkiewicz積分；幾何極大算子；極小算子

中圖分類號：O 174.2""" 文獻標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0089-08

Extrapolation and applications for Herz-Morrey spaces

with variable exponents

ZHANG Zheng，CHEN Xi-juan，LU Guang-hui

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：The extrapolation theorem for Herz-Morrey space with variable exponents is established，and then the mapping properties are given for the parametric Marcinkiewicz integral，the geometric maximal operator and the minimal operator on Herz-Morrey spaces with variable exponents.

Key words：extrapolation theorem;Herz-Morrey space with variable exponents;parametric Marcinkiewicz integral;geometric maximal operator;minimal operator

為了研究橢圓偏微分方程解的正則性，1938年，Morrey［1］首次提出了Morrey空間．此后，不同形式的Morrey空間被廣泛地關(guān)注和研究［2-5］．另一方面，為了研究傅里葉級數(shù)和傅里葉變換，Herz［6］引入了Herz空間．作為經(jīng)典Lebesgue空間的延伸，Herz空間也受到了很多的關(guān)注．例如，Izuki［7］引入了變指數(shù)Herz空間，并得到了次線性算子在變指數(shù)Herz空間上的有界性［8］;2022年，王盛榮等［9］得到了次線性算子在變指數(shù)雙權(quán)Herz空間上的有界性．近來，王立偉［10］證明了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子在變指數(shù)Herz空間上是有界的．更多研究可見文獻［11-14］．

經(jīng)典的外插定理是由Rubio de Francia［15，16］引入的．近年來，不同函數(shù)空間上的外插定理得到了廣泛的研究，例如，文獻［4，13，17-19］相應(yīng)建立了Morrey空間、變指數(shù)Lebesgue空間、Banach空間及Herz-Morrey空間上的外插定理，并通過此定理得到了線性和非線性算子在其函數(shù)空間上的有界性和一些調(diào)和分析中重要的不等式．

受上述結(jié)果啟發(fā)，本文首先引入二進變指數(shù)Herz塊空間，并說明二進變指數(shù)Herz塊空間是變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶空間，同時還得到了Hardy-Littlewood極大算子在二進變指數(shù)Herz塊空間上的有界性．其次，利用這些結(jié)果，建立變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插定理．最后，證明了參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子、幾何極大算子及極小算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性．

全文中，AB指的是對某個常數(shù)Cgt;0，A≤CB成立，A～B意味著AB和BA同時成立．對于任意的x∈Rn和rgt;0，定義B（x，r）={y∈Rn：｜y-x｜lt;r}和B={B（x，r）：x∈Rn，rgt;0}．設(shè)M和L1loc分別表示Rn上的Lebesgue可測函數(shù)空間和局部可積函數(shù)空間，P（Ω）表示所有滿足p-gt;1且p+lt;∞的函數(shù)p（x）所構(gòu)成的集合，其中Ω表示Rn上的開集．對于任意的k∈Z，定義Bk=B（0，2k），Rk=Bk＼Bk-1，χk=χRk．設(shè)0lt;plt;∞和正函數(shù)ω∈L1loc，定義加權(quán)Lebesgue空間Lpω（Rn）是所有f∈M（Rn）且滿足

fLpω=∫Rnf（x）pω（x）dx1plt;∞

的函數(shù)構(gòu)成的空間.記p′（x）為p（x）的共軛函數(shù)，即

1p（x）+1p′（x）=1．

1 預(yù)備知識

定義1［11］ 設(shè)p（·）：Rn（0，∞］為Lebesgue可測函數(shù)，變指數(shù)Lebesgue空間Lp（·）（Rn）由所有

f∈M且滿足

fLp（·）（Rn）=inf{λgt;0：ρp（·）（f/λ）≤1}lt;∞

的函數(shù)組成，其中

Rn∞={x∈Rn：p（x）=∞}，

ρp（·）（f）=∫Rn＼Rn∞f（x）p（x）dx+ess supRn∞f（x）.

稱p（x）為Lp（·）（Rn）的指數(shù)函數(shù)．

當(dāng)1≤p（x）≤∞時，變指數(shù)Lebesgue空間是Banach函數(shù)空間，見文獻［11］定理3.2.13．關(guān)于Banach函數(shù)空間的定義，可參考文獻［11］定義2.7.7．此外，Lp（·）（Rn）的相伴空間在文獻［11］定理3.2.13中給出．

定理1［11］ 設(shè)1lt;p（x）lt;∞，則Lp（·）（Rn）的相伴空間為Lp′（·）（Rn），其中p′（x）滿足

1p（x）+1p′（x）=1．

當(dāng)supx∈Rnp（x）lt;∞時，Lp（·）（Rn）的對偶空間與Lp（·）（Rn）的相伴空間相等，見文獻［11］定理3.4.6．

定義2［11］ Rn上的連續(xù)函數(shù)g是局部log-Hlder連續(xù)的，若存在cloggt;0使得

g（x）-g（y）≤

cloglog（e+1/x-y），x，y∈Rn.

用Clogloc（Rn）表示局部log-Hlder連續(xù)函數(shù)類．

一個連續(xù)函數(shù)g是全局log-Hlder連續(xù)的，若g∈Clogloc（Rn）且存在g∞∈R和c∞gt;0使得

g（x）-g∞≤c∞log（e+x），x∈Rn.

全局log-Hlder連續(xù)函數(shù)類記為Clog（Rn）．

對任意Lebesgue可測函數(shù)p（x）：Rn（-∞，∞］，定義p-=infx∈Rnp（x）和p+=supx∈Rn p（x）．

定理2［11］ 若p（·）∈Clog（Rn）且1lt;p-≤p+lt;∞，則Hardy-Littlewood極大算子

（Mf）（x）=suprgt;01B（x，r）∫B（x，r）f（y）dy

在Lp（·）（Rn）上有界．

定義3［7］ 設(shè)p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞．齊次變指數(shù)Herz空間

α，qp（·）（Rn）定義為

α，qp（·）（Rn）=f∈Lp（·）loc

（Rn＼{0}）：

fα，qp（·）（Rn）lt;∞，

其中

fα，qp（·）（Rn）=

∑∞k=-∞2kαqfχkqLp（·）1/q．

引理1［8］ 設(shè)p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞．若

-np+lt;αlt;n1-1p-，（1）

則M在α，qp（·）（Rn）上有界．

由文獻［18］可知，當(dāng)α+n/p+gt;0時χB∈α，qp（·）（Rn）.因此，M在α，qp（·）（Rn）上有界保證了χB∈α，qp（·）（Rn）．

引理2［8］ 設(shè)p（·）∈P（Rn），α∈R，1lt;qlt;∞.則

α，qp（·）（Rn）的對偶空間為-α，q′p′（·）（Rn）且范數(shù)fα，qp（·）（Rn）具有如下形式：

sup∫Rnf（x）g（x）dx：g-α，q′p′（·）（Rn）≤1．

根據(jù)引理2，不難得到如下變指數(shù)Herz空間上的Hlder不等式．

引理3 設(shè)p（·）∈P（Rn），α∈R，1lt;qlt;∞，則

∫Rnf（x）g（x）dx≤fα，qp（·）g-α，q′p′（·）．

引理4 設(shè)p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R滿足（1）式，1lt;qlt;∞，則

χBα，qp（·）χB-α，q′p′（·）≤CB．

證明 設(shè)p（·）和α滿足（1）式，則χB∈α，qp（·）（Rn）．由于

（p′（·））+=（p-）′， （p′（·））-=（p+）′，

-np+lt;αlt;n1-1p-

等價于

-n（p′（·））+lt;-αlt;n1-1（p′（·））-，

因此χB∈-α，q′p′（·）（Rn）．

對于任意的g∈L1loc和B∈B，定義

PB g（y）=1B∫Bg（x）dxχB（y）， y∈Rn．

存在獨立于B∈B的常數(shù)Cgt;0，使得對任意的g∈L1loc和B∈B，有

PBg≤CM（g）．（2）

由于χB∈-α，q′p′（·）（Rn），根據(jù)引理3，α，qp（·）L1loc．因此，（2）式對任意的g∈α，qp（·）（Rn）成立．

根據(jù)引理1可知M在α，qp（·）（Rn）上有界，即

supB∈BPBα，qp（·）→α，qp（·）≤CMα，qp（·）→α，qp（·）．

由引理2可以得到

χBα，qp（·）χB-α，q′p′（·）=

sup∫Bg（x）dxχBα，qp（·）：

g∈α，qp（·），‖g‖α，qp（·）≤1≤

BPBα，qp（·）→α，qp（·）≤CB

對于一些Cgt;0成立．" 】

定義4［20］ 設(shè)p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;qlt;∞，0≤λlt;∞．齊次變指數(shù)Herz-Morrey空間Mα，λq，p（·）（Rn）定義為

Mα，λq，p（·）（Rn）=

f∈Lp（·）loc（Rn＼{0}）：fMα，λq，p（·）（Rn）lt;∞，

其中

fMα，λq，p（·）（Rn）=

supL∈Z2-Lλ∑Lk=-∞2kαqfχkqLp（·）1/q．

引理5 設(shè)p（·）∈P（Rn），0lt;qlt;∞，α∈R，α+n/p+gt;λ≥0，則對于任意的l∈Z有χBl∈Mα，λq，p（·）（Rn）．

證明 由于α+n/p+gt;λ≥0，從而α+n/p-gt;λ≥0．

情形1 對于任意的L∈Z滿足L≤l，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q=

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q．

當(dāng)Llt;llt;0時，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q

2-Lλ∑Lk=-∞2kα+np+～

2Lα+np+-λ2lα+np+-λ，

其中用到以下事實（見文獻［11， 推論4.5.9］）：

χB（0，r）Lp（·）≈

B（0，r）1p（0）， B（0，r）≤2n;

B（0，r）1p∞，B（0，r）gt;1．

當(dāng)Llt;0lt;l時，討論與Llt;llt;0相同．當(dāng)0lt;Llt;l時，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q+

2-Lλ∑Lk=02kαqB（0，2k）qp∞1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kα+np++

2-Lλ∑Lk=02kα+np-

1+2Lα+np--λ2lα+np--λ.

情形2 對于任意的L∈Z滿足Lgt;l，有

2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q=

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q．

當(dāng)llt;Llt;0時，有

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑lk=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q

2-Lλ∑lk=-∞2kα+np+～

2-Lλ2lα+np+2-α+np+

2lα+np+-λ.

當(dāng)llt;0lt;L時，討論與llt;Llt;0相同．當(dāng)0lt;llt;L時，有

2-Lλ∑lk=-∞2kαqχkqLp（·）1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kαqB（0，2k）qp（0）1/q+

2-Lλ∑lk=02kαqB（0，2k）qp∞1/q

2-Lλ∑-1k=-∞2kα+np++

2-Lλ∑lk=02kα+np-～

2-Lλ2-α+np+1-2-α+np++2-Lλ1-2（l+1）α+np-1-2α+np-

2lα+np--λ.

綜上，有

supL∈Z2-Lλ∑Lk=-∞2kαqχBlχkqLp（·）1/q

2lα+np--λlt;∞.

因此，χBl∈Mα，λq，p（·）（Rn）．" 】

為了研究函數(shù)空間上的外插理論，需要用到以下經(jīng)典Ap（Rn）權(quán)的定義．

定義5［21］ 設(shè)1lt;plt;∞，稱一個正的局部可積函數(shù)ω是Ap（Rn）權(quán)，若

［ω］Ap=supB∈B1B∫Bω（x）dx×

1B∫Bω（x）-p′pdxpp′lt;∞.

一個正的局部可積函數(shù)ω是A1（Rn）權(quán)，若

1B∫Bω（x）dx≤Cω（x）， a.e.x∈B

對于某些常數(shù)Cgt;0成立．所有這樣的C的下確界用［ω］A1表示．用A∞（Rn）表示所有Ap（Rn）（1≤plt;∞）權(quán)的并集．

關(guān)于Ap（Rn）權(quán)的更多性質(zhì)可見文獻［21］．

2 變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶

定義6 設(shè)0lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R， 0lt;λlt;∞．函數(shù)b∈M（Rn）稱為二進（λ，α，qp（·））塊，若b支集在球Bl（l∈Z）中且

bα，qp（·）（Rn）≤12lλ．

定義Bλ，α，qp（·）（Rn）為

Bλ，α，qp（·）（Rn）=

∑∞k=1λkbk：∑∞k=1λklt;∞，

任意bk 均為二進λ，α，qp（·）塊．

空間Bλ，α，qp（·）（Rn）具有范數(shù)

fBλ，α，qp（·）（Rn）=

inf∑∞k=1λk：f=∑∞k=1λkbk，

任意bk 均為二進λ，α，qp（·）塊．

稱Bλ，α，qp（·）（Rn）為與α，qp（·）（Rn）相關(guān)的塊空間，或稱為二進變指數(shù)Herz塊空間．用bλ，α，qp（·）（Rn）表示所有二進（λ，α，qp（·））塊．

下面的定理3表明，變指數(shù)Herz-Morrey空間的前對偶空間可以看作上面定義的二進變指數(shù)Herz塊空間．

定理3 設(shè)1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R， 0lt;λlt;∞，則

B*λ，α，qp（·）（Rn）=M-α，λq′，p′（·）（Rn），

其中B*λ，α，qp（·）（Rn）為Bλ，α，qp（·）（Rn）的對偶空間．

定理3推廣了文獻［19］中Herz-Morrey空間的對偶結(jié)果，證明過程與文獻［19］定理3.1相似，主要依賴于α，qp（·）（Rn）和-α，q′p′（·）（Rn）之間的對偶性（引理2）和Hlder不等式（引理3），可參考文獻［19］對定理3進行證明．

命題1 設(shè)1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R，0lt;λlt;∞，f∈Bλ，α，qp（·）（Rn）．若｜g｜≤｜f｜，則g∈Bλ，α，qp（·）（Rn）且gBλ，α，qp（·）≤fBλ，α，qp（·）．

命題1意味著Bλ，α，qp（·）（Rn）是Banach格．命題1的證明方法與文獻［5］命題2基本一致，可參考文獻［5］對命題進行證明．

定理4 設(shè)1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn），α∈R，-α+n/（p-）′ gt;λgt;0，則Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn）且Bλ，α，qp（·）（Rn）為Banach空間．

定理4說明Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn）且Bλ，α，qp（·）（Rn）為Banach空間，證明過程與文獻［19］相同．定理4為證明M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界提供了前提條件．

定理5 設(shè)1lt;qlt;∞，p（·）∈P（Rn）且p（·）∈Clog（Rn），α∈R且滿足（1）式，-α+n/（p-）′gt;λgt;0，則Hardy-Littlewood極大算子M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界．

證明 由定理4可知Bλ，α，qp（·）（Rn）L1loc（Rn），因此M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有定義．

對于任意的f∈Bλ，α，qp（·）（Rn）有

f=∑∞k=1λkbk， 要證明M在Bλ，α，qp（·）（Rn）上有界，即證明

MfBλ，α，qp（·）≤CfBλ，α，qp（·）．

若對于任意的b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），MbBλ，α，qp（·）≤C，則

MfBλ，α，qp（·）≤∑∞k=1｜λk｜MbkBλ，α，qp（·）≤

CfBλ，α，qp（·）.

因此，只要證明對于任意的b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），均有MbBλ，α，qp（·）≤C即可．

對于任意的l∈Z，b∈Bλ，α，qp（·）（Rn），b的支集為Bl．對于任意的k∈N，定義mk=χBk+l+1＼Bk+lMb，k∈N＼{0}，m0=χBl+1Mb，從而有suppmkBk+l+1＼Bk+l，Mb=∑∞k=0mk．

由引理1可知M在α，qp（·）（Rn）上有界，

m0α，qp（·）Mbα，qp（·）bα，qp（·）12lλ12（l+1）λ，

這說明m0是二進λ，α，qp（·）塊的常數(shù)倍．

根據(jù)引理3可知，

mk=χBk+l+1＼Bk+lMb

χBk+l+1＼Bk+l2（k+l）n∫Blb（x）dx

χBk+l+1＼Bk+l2（k+l）nbα，qp（·）χBl-α，q′p′（·）.

在上述不等式中取α，qp（·）（Rn）范數(shù)，再由引理4和二進（λ，α，qp（·））塊的定義可知

mkα，qp（·）

χBk+l+1＼Bk+lα，qp（·）2（k+l）nbα，qp（·）χBl-α，q′p′（·）

χBk+l+1α，qp（·）2（k+l）n12lλχBl-α，q′p′（·）

χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）12lλ

χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ12（k+l+1）λ.

令mk=σkbk，其中

σk=χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ.

根據(jù)定義6可知，每個bk是二進（λ，α，qp（·））塊的常數(shù)倍．

考慮到-α+n/（p+）′gt;-α+n/（p-）′gt;λgt;0，且

∑∞k=0χBl-α，q′p′（·）χBk+l+1-α，q′p′（·）2kλ～

∑∞k=0

2l-α+n（p+）′2（k+l+1）-α+n（p+）′2kλ～

∑∞k=0

2kλ+α-n（p+）′1

在l∈Z中一致成立．因此，有∑∞k=0σklt;∞， 進一步得到∑∞k=0σkbk∈Bλ，α，qp（·）（Rn）．

通過M的次線性，發(fā)現(xiàn)

Mb≤∑∞k=0σkbk．

因此，∑∞k=0σkbk∈Bλ，α，qp（·）（Rn）和命題1保證了Mb∈Bλ，α，qp（·）（Rn）和MbBλ，α，qp（·）≤C成立．" 】

3 變指數(shù)Herz-Morrey空間上的外插理論及其應(yīng)用

設(shè)0lt;p0lt;qlt;∞，0lt;p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-）．由定理5可知Hardy-Littlewood極大算子M在B

p0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′（Rn）上有界．定義

D=MBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

→Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′.

對于任意的非負函數(shù)h∈L1loc，定義Rubio de Francia迭代算子Rh，為

Rh=∑∞k=0Mkh2kDk．

由于M：

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

→Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

有界，

所以MBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′有定義，

其中Mk=MM…M是M的k次迭代，M0是恒等算子．

算子R滿足

h（x）≤Rh（x），（3）

RhBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤

2hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′，（4）

［Rh］A1≤2D.（5）

不等式（3）和（4）是算子Rh的定義和M在

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

（Rn）上有界的直接結(jié)果．由于

M（Rh）≤∑∞k=0Mk+1h2kDk≤

2D∑∞k=1Mkh2kDk≤2DRh，

根據(jù)A1權(quán)的定義可得（5）式．

用F表示一族非負Lebesgue可測函數(shù)對（f，g），其中f，g均不為0．給定這樣一個族T，pgt;0和權(quán)ω∈Aq（1≤q≤∞）．若說

∫Rnf（x）pω（x）dx≤C∫Rng（x）pω（x）dx，

（f，g）∈F，

即意味著這個不等式對所有的（f，g）∈T成立，使得左邊是有限的，且常數(shù)C僅取決于q和［ω］Aq．

定理6 設(shè)0lt;p0lt;∞．T是一族非負Lebesgue可測函數(shù)對．若對于任意

ω∈Rh：h∈

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

：

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤1，

有

∫Rnf（x）p0ω（x）dx

∫Rng（x）p0ω（x）dxlt;∞，

（f，g）∈T.（6）

若p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的（f，g）∈T，其中g(shù)∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

fMα，λq，p（·）（Rn）gMα，λq，p（·）（Rn）．（7）

同時，對于任意1lt;rlt;∞和（fi，gi）∈T，i∈N滿足（6）式，有

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）（8）

成立，若該不等式右邊是有限的．

證明 使用Rubio de Francia迭代算法來證明（見文獻［17］）．我們僅需對不等式（7）進行證明，不等式（8）的證明方法類似（見文獻［18］）．

在（6）式中令ω=Rh，再使用（3），（4）式和定理3，有

∫Rnf（x）p0h（x）dx

∫Rnf（x）p0Rh（x）dx

∫Rng（x）p0Rh（x）dx

gp0Mp0α，p0λ（q/p0），（p（·）/p0）

RhBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

gp0Mα，λq，（p·）

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′.

在上述不等式兩邊對

h∈Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′，

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

≤1取上確界，根據(jù)定理3，有

fp0Mα，λq，（p·）=

fp0Mp0α，p0λ

qp0，p（·）p0

sup∫Rnf（x）p0h（x）dx

gp0Mα，λq，（p·）.

由此，得到（7）式．" 】

定理7 設(shè)0lt;p0lt;∞，p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），若對于任意的

ω∈Rh：h∈

Bp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′

：

hBp0λ，-p0α，（q/p0）′（p（·）/p0）′≤1，

算子T：Lp0ω（Rn）Lp0ω（Rn）滿足

∫RnTf（x）p0ω（x）dx

∫Rnf（x）p0ω（x）dx，（9）

則對任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

TfMα，λq，p（·）（Rn）fMα，λq，p（·）（Rn）．（10）

同時，對于任意1lt;rlt;∞

及所有的{fi }i∈N，若

∑i∈Nfir1rMα，λq，p（·）（Rn）lt;∞，

則

∑i∈NTfir1rMα，λq，p（·）

∑i∈Ngir1rMα，λq，p（·）.

定理7與文獻［19］定理4.2的證明類似，在此不再詳細證明．

下面建立參數(shù)Marcinkiewicz積分、幾何極大算子及極小算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的映射性質(zhì)．先回顧參數(shù)Marcinkiewicz積分的定義．

設(shè)Sn-1是Rn（n≥2）上的單位球面，其上有正規(guī)化Lebesgue測度dσ．設(shè)Ω是Rn上零次齊次函數(shù)滿足Ω∈L1（Sn-1）和

∫Sn-1Ω（x′）dσ（x′）=0，

其中，x′=x/｜x｜且x≠0．

對于0lt;ρlt;n，Hmander［22］定義高維參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子μρΩ為

μρΩf（x）=∫∞0FρΩ，t（x）2dtt2ρ+112，

其中

FρΩ，t（x）=∫｜x-y｜lt;tΩ（x-y）｜x-y｜n-ρf（y）dy．

當(dāng)ρ=1時，算子μ1Ω首先由Stein［23］引入．

1998年，Sato［24］建立了μρΩ對所有0lt;ρlt;n的加權(quán)Lp（Rn）有界性．

定理8［24］ 設(shè)0lt;ρlt;n，Ω∈L∞（Sn-1）．若ω∈Ap（Rn），1lt;plt;∞，則μρΩfLpωfLpω.

利用定理7，可以建立參數(shù)型Marcinkiewicz積分在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性．

定理9 設(shè)0lt;ρlt;n，Ω∈L∞（Sn-1）．若存在1lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p- ≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

μρΩfMα，λq，p（·）fMα，λq，p（·）.

接下來，回顧幾何極大算子和極小算子的定義．對于任意的f∈M（Rn），幾何極大算子M*0f定義為

（M*0f）（x）=limr→0（M（｜f｜r））1/r（x）.

f的極小函數(shù)由下式給出：

（mf）（x）= infI∫I｜f（y）｜dy，

其中上確界取所有包含x的方體I．

幾何極大算子和極小算子不是線性、次線性或擬線性的．然而，定理7并不依賴于算子的線性性質(zhì)．因此，定理7同樣適用于幾何極大算子和極小算子．從文獻［25］定理1.7和3.1可得到M*0和m的加權(quán)范數(shù)不等式．

定理10［25］ 設(shè)ω：Rn（0，∞）是Lebesgue可測函數(shù)，則ω∈A∞（Rn）當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的0lt;plt;∞和f∈LPω（Rn），有

∫Rn（M*0f（x））pω（x）dx∫Rn｜f（x）｜pω（x）dx.

定理11［25］ 設(shè)pgt;0，ω∈A∞（Rn），則對于任意的f∈M（Rn），1/f∈Lpω（Rn），有

∫Rn1（mf（x））pω（x）dx∫Rn1｜f（x）｜pω（x）dx.

定理12 若存在0lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

M*0fMα，λq，p（·）fMα，λq，p（·）.

定理13 若存在0lt;p0lt;∞，使得p0lt;qlt;∞，p0lt;p-≤p+lt;∞，（p（·）/p0）′∈Clog（Rn），λgt;0，λ-n/p+lt;αlt;n（1/p0-1/p-），則對于任意的f∈M（Rn），1/f∈Mα，λq，p（·）（Rn），有

1mfMα，λq，p（·）

1fMα，λq，p（·）.

定理10和定理11分別保證M*0和m滿足（9）式，應(yīng)用定理7可得到M*0和m在Mα，λq，p（·）（Rn）上的有界性．

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（責(zé)任編輯 馬宇鴻）