小球在粗糙圓軌道上的運(yùn)動(dòng)

摘 要 小球在粗糙圓軌道上既可以做純滾動(dòng)，也可以做又滾又滑的運(yùn)動(dòng)，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理得出：小球在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)情況與動(dòng)摩擦因數(shù)密切相關(guān)。小球在粗糙圓軌道上的運(yùn)動(dòng)與小滑塊在粗糙圓軌道上的運(yùn)動(dòng)存在明顯區(qū)別，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)不能忽略，不能處理成質(zhì)點(diǎn)模型。中學(xué)階段命制物體在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的題目時(shí)，為回避轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，建議將物體選為小滑塊。

關(guān)鍵詞 小球;圓軌道;剛體

小球（均質(zhì)）模型是中學(xué)及大學(xué)物理中重要的模型，小球在各種接觸面上的運(yùn)動(dòng)隨處可見，如果接觸面光滑，小球在接觸面上的運(yùn)動(dòng)與小滑塊的運(yùn)動(dòng)等效。如果接觸面粗糙，小球受到接觸面的摩擦力可能是滑動(dòng)摩擦力，也可能是靜摩擦力，小球的形狀及大小不能忽略，小球不能視為質(zhì)點(diǎn)模型，應(yīng)該把小球處理成剛體模型，即小球在接觸面上的運(yùn)動(dòng)與小滑塊的運(yùn)動(dòng)不能等效。如果小球的運(yùn)動(dòng)為平面平行運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可以解決小球隨質(zhì)心的平動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理可以解決小球繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。文獻(xiàn)[1]中討論小球在斜面最斜方向上的滾滑運(yùn)動(dòng)，在不同的摩擦因數(shù)情況下，小球可以做純滾動(dòng)，也可以做又滾又滑的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[1]還指出，由于小球滾動(dòng)不可忽略，即便小球半徑趨于零，小球的運(yùn)動(dòng)情況與小滑塊也不等同。文獻(xiàn)[2]中討論小球在粗糙斜面上的一般運(yùn)動(dòng)，即小球在斜面上時(shí)其質(zhì)心的一般二維運(yùn)動(dòng)（球體本身做三維轉(zhuǎn)動(dòng)），摩擦因數(shù)對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)（無滑還是有滑滾動(dòng)）有決定作用，無滑滾動(dòng)時(shí)的一般軌跡是拋物線，而有滑滾動(dòng)時(shí)的一般情況則更加復(fù)雜。相比小球在斜面上的運(yùn)動(dòng)，小球在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)更為復(fù)雜，本文通過2018年浙江卷（4月選考）第20題，研究小球在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)，由于小球的轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)不同的摩擦因數(shù)，小球的運(yùn)動(dòng)情況不相同。以此說明小球在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)與小滑塊在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)存在明顯區(qū)別，為教學(xué)和命題工作提供參考。

1 問題的提出

例題[2018年浙江卷（4月選考）第20題節(jié)選]如圖1所示，一軌道由半徑為2m 的1/4豎直圓弧軌道AB 和長度可以調(diào)節(jié)的水平直軌道BC在B 點(diǎn)平滑連接而成。現(xiàn)有一質(zhì)量為0.2kg的小球從A 點(diǎn)無初速度釋放，經(jīng)過圓弧上的B 點(diǎn)時(shí)，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經(jīng)過BC 段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C 點(diǎn)水平飛離軌道，落到水平面上的P 點(diǎn)，P 、C 兩點(diǎn)間的高度差為3.2m。小球運(yùn)動(dòng)過程中可以視為質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)空氣阻力。

（1） 求小球運(yùn)動(dòng)至B 點(diǎn)的速度大小;

（2） 求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功。

分析與解答：B 點(diǎn)往左是圓弧軌道AB，曲率半徑為R，B 點(diǎn)往右是直線軌道，曲率半徑無窮大，所以B 點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)。圓弧軌道末端B點(diǎn)的速度大小和水平軌道B 點(diǎn)的速度大小相等，在圓軌道末端B 點(diǎn)（在圓軌道上），利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或者質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可以求解B 點(diǎn)的速度大小。

（1） 將小球視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮小球的轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)小球在圓軌道上末端B 點(diǎn)利用牛頓第二定律

N -mg =mv2／R

v =4m/s （1）

如果將小球視為剛體，考慮小球的轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)小球的半徑為r，對(duì)小球在圓軌道上末端B 點(diǎn)利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，無法求出小球在最低點(diǎn)質(zhì)心的速度，所以不能得到克服摩擦力做功的大小。小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于小球與圓軌道之間存在摩擦力，小球在圓軌道上作平面平行運(yùn)動(dòng)，所以例題中不能把小球視為質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)將小球的運(yùn)動(dòng)處理成剛體小球的平面平行運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[3]中對(duì)式（5）也做了推導(dǎo)，但是作者將不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)小球的速度代入考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理求克服摩擦力做功，這樣是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｊ剑?）第二個(gè)等號(hào)成立的條件是小球在圓軌道上的B 點(diǎn)做純滾動(dòng)，即v=rw 。但是不知道小球在圓軌道末端B 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是純滾動(dòng)還是又滾又滑的運(yùn)動(dòng)，所以很有必要對(duì)小球在圓軌道上的運(yùn)動(dòng)做更進(jìn)一步的深入研究。本文假設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等。

2 問題分析

2.1 小球在1/4 豎直圓軌道全程純滾動(dòng)動(dòng)摩擦因數(shù)滿足的條件

小球在A 點(diǎn)靜止釋放，小球質(zhì)心到圓軌道圓心連線轉(zhuǎn)過θ 角度時(shí)，質(zhì)心的速度大小為v，小球繞質(zhì)心的角速度大小為w ，小球受力分析示意圖如圖2所示。假設(shè)小球從A 點(diǎn)釋放便開始做純滾動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得