基于二維耦合諧振子的量子熱機(jī)效率研究

摘 要 本文介紹了量子熱機(jī)與量子熱力學(xué)中的基本概念，研究了二維耦合諧振子這一具體的量子系統(tǒng)作為工質(zhì)時(shí)的量子熱機(jī)的相關(guān)性質(zhì)。筆者以經(jīng)典熱力學(xué)中的有關(guān)概念進(jìn)行類比，運(yùn)用量子熱力學(xué)相關(guān)研究，引入波戈留波夫（Bogoliubov）變換這一方法解決了二維耦合諧振子的勢(shì)能項(xiàng)難以對(duì)角化的問(wèn)題。此外，筆者以二維耦合諧振子為工質(zhì)設(shè)計(jì)奧托循環(huán)熱機(jī)，通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算獲得了奧托熱機(jī)的效率，并得出量子熱機(jī)中各物理量與經(jīng)典熱機(jī)中對(duì)應(yīng)量之間存在著統(tǒng)一的聯(lián)系的結(jié)論。

關(guān)鍵詞 量子熱機(jī);諧振子;奧托熱機(jī);波戈留波夫變換;量子熱力學(xué)

從第一次工業(yè)革命到第二次工業(yè)革命，熱機(jī)的效率一直是物理學(xué)家與工程師關(guān)注的問(wèn)題。自20世紀(jì)初以來(lái)，量子力學(xué)的蓬勃發(fā)展又將熱機(jī)研究帶領(lǐng)到了更加微觀的范疇。物理學(xué)家以經(jīng)典熱機(jī)為模型，對(duì)各類量子系統(tǒng)進(jìn)行深入研究，探索量子與經(jīng)典世界的異同，并將相關(guān)物理量進(jìn)行對(duì)比與類比，試圖探究運(yùn)用經(jīng)典熱力學(xué)來(lái)詮釋量子現(xiàn)象的可能性。在此過(guò)程中，物理學(xué)的一個(gè)新分支———量子熱力學(xué)便應(yīng)運(yùn)而生。諧振子作為量子力學(xué)研究中的基礎(chǔ)模型，以其為工質(zhì)的量子熱機(jī)的效率必然是一值得探究的問(wèn)題。本文選取二維耦合諧振子作為主要研究對(duì)象，探究這一工質(zhì)下量子熱機(jī)的有關(guān)性質(zhì)。

1 量子熱機(jī)的最初模型———三能級(jí)模型

1.1 最初提出及來(lái)源

1959年，第一個(gè)量子熱機(jī)模型由Scovil和Schulz-DuBois提出[1]。兩人在研究激微波（Maser，即受激輻射微波放大，是激光的前身）時(shí)發(fā)現(xiàn)，激微波三能級(jí)模型的最大效率可以與卡諾熱機(jī)的效率相聯(lián)系。圖1為三能級(jí)模型的最初形式。

激微波與傳統(tǒng)熱機(jī)的本質(zhì)區(qū)別在于激微波涉及的是粒子能量的離散能級(jí)，而傳統(tǒng)熱機(jī)研究的是連續(xù)的能量譜以及工作物質(zhì)與外界的作用。

當(dāng)時(shí)，兩人引入熱機(jī)這一模型來(lái)解釋三能級(jí)激微波效率僅僅是因?yàn)榘鸭の⒉▎?wèn)題與卡諾熱機(jī)進(jìn)行類比，從而能夠在概念與理解方面獲得良好的簡(jiǎn)化。例如，通過(guò)泵浦源向激微波供能可以看作熱機(jī)從高溫?zé)嵩次∧芰?，而激微波向外釋放能量則可看作熱機(jī)對(duì)外做功，并且兩人證明了二者的最大效率均有（1-T1/T2） 的形式[1]。

1.2 工作原理

三能級(jí)模型通過(guò)利用高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩磥?lái)維持粒子數(shù)反轉(zhuǎn)以此來(lái)實(shí)現(xiàn)受激輻射放大。如圖2所示，設(shè)產(chǎn)生激微波的三個(gè)能級(jí)為E1，E2，E3（E1

激 微波工作時(shí)，每從泵浦源得到能量ωh ，就對(duì)外輻射能量ν，并且釋放一部分不對(duì)外輸出的能量ωc，并且能量守恒ωh =ν+ωc。如同在一個(gè)熱機(jī)循環(huán)中，工質(zhì)從高溫?zé)嵩次鼰?，得到的能量一部分?duì)外做功，一部分再傳遞給低溫?zé)嵩?。這樣一來(lái)，便實(shí)現(xiàn)了三能級(jí)模型與傳統(tǒng)熱機(jī)的初步類比。

需 要說(shuō)明的是，為了實(shí)現(xiàn)上述量子熱機(jī)的持續(xù)工作，高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩炊际潜夭豢缮俚?。高溫?zé)嵩磳⑾到y(tǒng)從E1 能級(jí)持續(xù)泵浦到E3 能級(jí)，低溫?zé)嵩磩t使系統(tǒng)從E2 能級(jí)退回到E1 能級(jí)。高溫?zé)嵩丛趯?shí)驗(yàn)上可以通過(guò)單頻光源實(shí)現(xiàn);低溫?zé)嵩纯梢酝ㄟ^(guò)模式與E2 和E1 能級(jí)差共振的諧振腔實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)其他類型的單頻率玻色子庫(kù)實(shí)現(xiàn)。

1.3 最大效率

如上所述，Scovil和Schulz-DuBois提出量子熱機(jī)模型的初衷是注意到了激微波三能級(jí)模型的最大效率可以與卡諾熱機(jī)的效率相聯(lián)系。類比熱機(jī)效率的定義，此激微波的效率為

而受激輻射放大可以發(fā)生的條件是高低能級(jí)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，高能級(jí)粒子數(shù)必須大于等于低能級(jí)粒子數(shù)，即N3gt;N2，故

hωc/kTc ≥ hωh/kTh （4）

將此不等關(guān)系帶入效率的表達(dá)式（1），得

即此三能級(jí)激微波的最大效率為在同樣高低溫?zé)嵩聪鹿ぷ鞯目ㄖZ熱機(jī)的效率。

2 量子熱力學(xué)

2.1 量子熱力學(xué)中的熱力學(xué)第一定律[2]

經(jīng)典熱力學(xué)中的定律在量子領(lǐng)域會(huì)有不同的表示形式。對(duì)于熱機(jī)問(wèn)題及其效率，能夠計(jì)算熱機(jī)循環(huán)中的熱量、做功與內(nèi)能十分重要，因而在此給出量子熱力學(xué)中的熱力學(xué)第一定律。

量子力學(xué)中，一個(gè)多能級(jí)系統(tǒng)的哈密頓量為

H =Σn（En -E0）| ngt;lt;n| （6）

則內(nèi)能可由哈密頓量的平均值求得，為

U =lt;H gt;=ΣnPnEn （7）

其中Pn 、En 分別為處于態(tài)|ngt;的概率和態(tài)|ngt;的能量。

由 上式兩邊同時(shí)求全微分得

dU =Σn（EndPn +PndEn） （8）

將其與傳統(tǒng)熱力學(xué)中的熱力學(xué)第一定律類比

dU =dQ +dW （9）

并且知道

dQ =TdS （10）

S =-kΣiPilnPi （11）

通過(guò)量綱分析可以得出，dQ 對(duì)應(yīng)式（8）中的第1項(xiàng)，而dW 對(duì)應(yīng)第2項(xiàng)，即

dQ =ΣnEndPn （12）

dW =ΣnPndEn （13）

式（13）表明做功對(duì)應(yīng)能量本征值的改變。這與經(jīng)典力學(xué)所認(rèn)知的事實(shí)相符，即做功是改變廣義坐標(biāo)的過(guò)程，廣義坐標(biāo)的改變進(jìn)而帶來(lái)本征能量的改變。

2.2 一維諧振子系統(tǒng)下的微元功與微元熱量

在討論二維耦合諧振子系統(tǒng)前，先給出一維諧振子的元功與元熱量表達(dá)式。對(duì)于諧振子系統(tǒng)，哈密頓算符可表示為

^H =ω^N （忽略零點(diǎn)能） （14）

其中^N 為粒子數(shù)算符，則系統(tǒng)內(nèi)能為

E =lt;^H gt;=hωn （15）

其中n 為平均粒子數(shù)，再對(duì)E 求全微分得

dE =hndω + hωdn （16）

與2.1節(jié)中一樣，類比經(jīng)典熱力學(xué)，得到[3]

dW =hndω （17）

dQ =hωdn （18）

即為一維諧振子系統(tǒng)下的微元功與微元熱量表達(dá)式。式（17）與式（18）表明系統(tǒng)的能級(jí)改變導(dǎo)致功的產(chǎn)生，而系統(tǒng)與外界交換的熱量等于粒子在各能級(jí)重新分布所改變的內(nèi)能。

2.3 一維諧振子系統(tǒng)下的熱力學(xué)過(guò)程

由上述2.2節(jié)的討論可知，一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)中微元功的表達(dá)式為dW =hndω，與經(jīng)典熱機(jī)中微元功的表達(dá)式dW =PdV類比，可以利用類似于經(jīng)典熱機(jī)p-V 圖的形式畫(huà)出n-ω 圖，并用來(lái)描述量子熱機(jī)中的熱力學(xué)過(guò)程。需要強(qiáng)調(diào)的是，上述類比并不是將粒子占據(jù)數(shù)n看作壓強(qiáng)p，將諧振子的本征頻率ω 看作體積V，而是說(shuō)類似于經(jīng)典熱機(jī)對(duì)外做功與壓強(qiáng)p 和體積V 兩個(gè)參量有關(guān)，對(duì)于以一維諧振子為工質(zhì)的量子熱機(jī)，其對(duì)外做功則與粒子占據(jù)數(shù)n 和諧振子的本征頻率ω 有關(guān)。

另外需要說(shuō)明的是，對(duì)于一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)，當(dāng)諧振子的勢(shì)阱壁緩慢移動(dòng)時(shí)，諧振子的本征頻率ω 隨之發(fā)生改變。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)移動(dòng)諧振子的勢(shì)阱壁改變諧振子的頻率。

圖3～圖5展示了一維諧振子量子熱機(jī)系統(tǒng)中的絕熱、等頻率和等溫過(guò)程對(duì)應(yīng)的n-ω 圖。我們還討論了上述幾種典型過(guò)程的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方法。

一維諧振子量子熱機(jī)中微元熱量的表達(dá)式為dQ=ωdn，而絕熱過(guò)程要求dQ =0，因此n 為常數(shù)，反應(yīng)在n-ω 圖中即為一水平線，如圖3所示。實(shí)驗(yàn)上對(duì)應(yīng)的過(guò)程如下：針對(duì)一維諧振子系統(tǒng)，緩慢改變諧振子的勢(shì)阱形狀（如移動(dòng)諧振子勢(shì)阱壁），將改變諧振子的頻率ω，但系統(tǒng)的粒子占據(jù)數(shù)n 保持不變，于是就實(shí)現(xiàn)了絕熱過(guò)程（絕熱膨脹或絕熱壓縮過(guò)程）。

在以一維諧振子為工質(zhì)的量子熱機(jī)系統(tǒng)中，只要保持諧振子勢(shì)阱的形狀不變，諧振子的頻率ω 就保持不變，此后進(jìn)行的過(guò)程即為等頻率過(guò)程，如圖4所示。例如，若此時(shí)工質(zhì)與高溫或低溫?zé)嵩唇佑|，將發(fā)生熱量傳遞過(guò)程，從而引起諧振子系統(tǒng)中粒子占據(jù)數(shù)n 的變化。

在以一維諧振子為工質(zhì)的量子熱機(jī)中，若諧振子始終與一個(gè)溫度恒定的熱源接觸，在諧振子頻率ω 和粒子占據(jù)數(shù)n 變化的過(guò)程中，諧振子不僅從熱源吸收熱量，也對(duì)外做功，但整個(gè)過(guò)程諧振子系統(tǒng)總能量保持不變，上述過(guò)程稱為等溫過(guò)程，也稱為等能量過(guò)程。其n-ω 關(guān)系在圖5中展示。

2.4 一維諧振子系統(tǒng)下卡諾熱機(jī)的效率

3 波戈留波夫變換變換處理二維耦合諧振子

考慮一個(gè)存在相互作用的諧振子系統(tǒng)，為處理簡(jiǎn)單，我們關(guān)注一個(gè)坐標(biāo)耦合的二維耦合諧振子系統(tǒng)。波戈留波夫?yàn)檠芯恳粋€(gè)具有兩體弱排斥勢(shì)的非理想玻色氣體模型，引入了以他的名字命名的一種變化方法，來(lái)處理哈密頓量中的非對(duì)角化項(xiàng)[5]。由于諧振子可以視為玻色子，而我們研究的二維耦合諧振子正是有相互作用的情況，因此我們采用了這種方法。坐標(biāo)耦合的二維諧振子系統(tǒng)，其哈密頓量可寫(xiě)為：

對(duì)于參數(shù)為其他情況的二維耦合諧振子奧托熱機(jī)，可以按照上述方法進(jìn)行數(shù)值求解，從而獲得熱機(jī)的效率。

5 總結(jié)

在本文中，筆者回顧了量子熱機(jī)的概念誕生，并進(jìn)行了具體的量子熱機(jī)效率計(jì)算。在充分討論了量子熱力學(xué)中的基本理論與一維量子諧振子的基礎(chǔ)上，筆者以二維耦合諧振子作為具體實(shí)例分析在量子領(lǐng)域中熱機(jī)的效率問(wèn)題，并以經(jīng)典熱力學(xué)的分析方法進(jìn)行理論計(jì)算，運(yùn)用波戈留波夫變換處理耦合諧振子中哈密頓量的勢(shì)能項(xiàng)，大大簡(jiǎn)化了后續(xù)計(jì)算的復(fù)雜度，為求解復(fù)雜系統(tǒng)的熱機(jī)效率增加了可行性。回顧前文，讀者不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典熱機(jī)問(wèn)題中蘊(yùn)含著巨大的知識(shí)價(jià)值，以至于當(dāng)經(jīng)典熱機(jī)問(wèn)題中的分析方法被運(yùn)用到量子領(lǐng)域時(shí)，在量子熱力學(xué)中均找到了其對(duì)應(yīng)表述或詮釋。需要強(qiáng)調(diào)的是，本文僅以量子系統(tǒng)本身的哈密頓量進(jìn)行處理，并無(wú)考慮外界環(huán)境與系統(tǒng)作用時(shí)的相關(guān)哈密頓量，此點(diǎn)可值得后續(xù)關(guān)注與研究。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] SCOVIL H E D， SCHULZ-DUBOIS E O. Three-level masers"as heat engines[J]. Physical Review Letters， 1959， 2（6）： 262-263.

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[4] 秦允豪. 普通物理學(xué)教程熱學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社，2018：212-216.

[5] 張先蔚. 量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2008：151-153.

[6] 張新明， 周煥強(qiáng). 耦合諧振子的代數(shù)解法———波戈留波夫變換法[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版）， 1995， 18（3）：35-38.

[7] 楊展如. 量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[M].1版.北京：高等教育出版社，2007：134-137.

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附：審稿意見(jiàn)和修改說(shuō)明摘錄

審稿意見(jiàn)（一）：

論文第一部分討論的三能級(jí)系統(tǒng)與熱機(jī)的類比，為什么必須有高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩?，為什么不直接從高能?jí)躍遷到最低能級(jí)？ 不是通過(guò)諧振腔就可以實(shí)現(xiàn)嗎？ 我沒(méi)有看出來(lái)低溫?zé)嵩吹谋匾?。論文中?yīng)該有所說(shuō)明。

回復(fù)意見(jiàn)（一）：

非常感謝審稿人的問(wèn)題，使我們有機(jī)會(huì)將文章表述得更加清晰。

本文第一部分回顧了Scovil和Schulz-DuBois提出的量子熱機(jī)模型，在量子力學(xué)中，該模型中的高溫?zé)嵩纯梢杂蓡晤l光源完成，而低溫?zé)嵩创_實(shí)可以通過(guò)模式與E2 和E1 能級(jí)差共振的諧振腔實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，諧振腔扮演的作用就是熱機(jī)中的低溫?zé)嵩础?/p>

修改情況（一）：

我們?cè)谡撐牡?頁(yè)“1.2工作原理”的最后增加了如下段落，用來(lái)說(shuō)明低溫?zé)嵩春透邷責(zé)嵩磫?wèn)題。（略———編輯注）

審稿意見(jiàn)（二）：

第二部分作者似乎是把諧振子量子數(shù)n 看作是壓強(qiáng)，頻率看作是體積，所以有類似的等溫過(guò)程、等容過(guò)程等。

為什么？ 為什么絕熱過(guò)程是一個(gè)水平線？ 諧振子的頻率是可以任意改變的么？那這個(gè)和上面的三能級(jí)系統(tǒng)有什么關(guān)系？ 黑體譜的是由電磁諧振子最概然分布得到的。這里跟黑體譜的諧振子是一樣的么？ 那和前面的三能級(jí)系統(tǒng)有什么關(guān)系？

回復(fù)意見(jiàn)（二）：

非常感謝審稿人的問(wèn)題，使我們有機(jī)會(huì)將文章表述得更加清晰。

關(guān)于“作者似乎是把諧振子量子數(shù)n 看作是壓強(qiáng)，頻率看作是體積。所以有類似的等溫過(guò)程、等容過(guò)程等。為什么？”的回答：

由上述2.2節(jié)的討論可知，一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)中微元功的表達(dá)式為dW =ndω，與經(jīng)典熱機(jī)中微元功的表達(dá)式dW =PdV 類比，可以利用類似于經(jīng)典熱機(jī)P-V 圖的形式畫(huà)出n-ω 圖，并用來(lái)描述量子熱機(jī)中的熱力學(xué)過(guò)程。需要強(qiáng)調(diào)的是，上述類比并不是將粒子占據(jù)數(shù)n看作壓強(qiáng)P ，將諧振子的本征頻率ω 看作體積V，而是說(shuō)類似于經(jīng)典熱機(jī)對(duì)外做功與壓強(qiáng)P 和體積V 兩個(gè)參量有關(guān)，對(duì)于以一維諧振子為工質(zhì)的量子熱機(jī)，其對(duì)外做功則與粒子占據(jù)數(shù)n 和諧振子的本征頻率ω 有關(guān)。

此外，我們?cè)谡闹嗅槍?duì)一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)系統(tǒng)，詳細(xì)闡述了該系統(tǒng)中的絕熱過(guò)程、等容過(guò)程（已經(jīng)改稱等頻率過(guò)程，這樣更加準(zhǔn)確）和等溫過(guò)程的意義，以及實(shí)驗(yàn)上的實(shí)現(xiàn)方法。

關(guān)于“為什么絕熱過(guò)程是一個(gè)水平線？”問(wèn)題的回答：

一維諧振子量子熱機(jī)中微元熱量的表達(dá)式為dQ =ωdn，而絕熱過(guò)程要求dQ=0，因此n 為常數(shù)，反應(yīng)在n-ω圖中即為一水平線，如圖3所示。實(shí)驗(yàn)上對(duì)應(yīng)的過(guò)程如下：針對(duì)一維諧振子系統(tǒng)，緩慢改變諧振子的勢(shì)阱形狀（如移動(dòng)諧振子勢(shì)阱壁），將改變諧振子的頻率ω，但系統(tǒng)的粒子占據(jù)數(shù)n 保持不變，于是就實(shí)現(xiàn)了絕熱過(guò)程（絕熱膨脹或絕熱壓縮過(guò)程）。

關(guān)于“諧振子的頻率是可以任意改變的嗎？”問(wèn)題的回答：

另 外需要說(shuō)明的是，對(duì)于一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)，當(dāng)諧振子的勢(shì)阱壁緩慢移動(dòng)時(shí)，諧振子的本征頻率ω 隨之發(fā)生改變。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)移動(dòng)諧振子的勢(shì)阱壁改變諧振子的頻率。

關(guān)于“那這個(gè)和上面的三能級(jí)系統(tǒng)有什么關(guān)系？ 黑體譜的是由電磁諧振子最概然分布得到的。這里跟黑體譜的諧振子是一樣的么？ 那和前面的三能級(jí)系統(tǒng)有什么關(guān)系？”等問(wèn)題的回答：

論文第一部分的三能級(jí)系統(tǒng)量子熱機(jī)是作為量子熱機(jī)研究背景給出，是我們回顧最早提出的量子熱機(jī)的一種原型，與第二部分的一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)相比，二者是兩種不同類型的量子熱機(jī)模型。

此外，我們認(rèn)為文中的一維諧振子與黑體譜的諧振子關(guān)系不大。

修改情況（二）：

為了回答審稿人的上述問(wèn)題，同時(shí)將文章表述更加清晰，我們重寫(xiě)了文章“2.3 一維諧振子系統(tǒng)下的熱力學(xué)過(guò)程”部分，詳細(xì)討論了一維諧振子作為工質(zhì)的量子熱機(jī)中的熱力學(xué)過(guò)程，包括絕熱過(guò)程、等頻率過(guò)程和等溫過(guò)程，并給出了上述過(guò)程的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方法。具體如下：（略———編輯注）。

審稿意見(jiàn)（三）：

如果量子熱機(jī)中的頻率就是黑體譜一樣的，那ω 就是能量，也是可以變化的，對(duì)三維黑體也是成立的，那第三部分耦合的ω1 ω2 是怎么回事？ 本身就是能量，也沒(méi)有方向，怎么區(qū)分1和2？ 是兩種物質(zhì)分子吧？

回復(fù)意見(jiàn)（三）：

第三部分我們考慮的耦合諧振子其實(shí)是為了描述有相互作用的諧振子系統(tǒng)，這也是本文的創(chuàng)新點(diǎn)所在。為處理簡(jiǎn)單，我們考慮的是二維坐標(biāo)耦合情況下的諧振子系統(tǒng)，通過(guò)波戈留波夫變換得到了兩種準(zhǔn)粒子，它們的頻率分別為ω1，ω2（ω21=ω2+λ/m ，ω22=ω2-λ/m ，其中ω 為沒(méi)有耦合時(shí)諧振子的本征頻率），且滿足玻色愛(ài)因斯坦分布。相關(guān)處理也可以拓展到n維坐標(biāo)與坐標(biāo)，坐標(biāo)與動(dòng)量，動(dòng)量與動(dòng)量耦合的情況。在我們的理解中，這與黑體譜的關(guān)系并不大。

審稿意見(jiàn)（四）：

我看公式（21）很簡(jiǎn)單，坐標(biāo)和動(dòng)量同時(shí)做一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)角化就可以了，類似于韋伯福斯擺，為什么要用波戈留波夫變換？

回復(fù)意見(jiàn)（四）：

非常感謝審稿人的上述問(wèn)題和建議。

研究工作開(kāi)展時(shí)，我們沒(méi)有留意到對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量同時(shí)做一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)角化就能實(shí)現(xiàn)，而是留意到采用波戈留波夫曾研究過(guò)一個(gè)具有兩體弱排斥勢(shì)的非理想玻色氣體模型，與本文的二維耦合諧振子系統(tǒng)比較類似。由于諧振子可以視為玻色子，而我們研究的二維耦合諧振子正是有相互作用的情況，因此我們采用了這種方法。這種做法的主要好處是：有耦合的諧振子不再滿足玻色愛(ài)因斯坦分布，而通過(guò)波戈留波夫變換可以引入兩種準(zhǔn)粒子，使其重新滿足玻色愛(ài)因斯坦分布，便于計(jì)算量子熱機(jī)做功和熱量交換。

我們已在論文中加入說(shuō)明，提醒讀者可以不用波戈留波夫變換也能實(shí)現(xiàn)式（23）的對(duì)角化。再次感謝審稿人的建議！

修改情況（四）：

我們?cè)谡撐牡?頁(yè)結(jié)尾處加入了如下段落，強(qiáng)調(diào)波戈留波夫變換并非從式（23）得到式（33）的唯一方法。（略———編輯注）

同時(shí)在論文第5頁(yè)“3 波戈留波夫變換（Bogoliubov）變換處理二維耦合諧振子”部分的開(kāi)始處加入如下段落，說(shuō)明我們采用波戈留波夫變換的初衷。

（略———編輯注）

再次感謝編輯和審稿人的辛苦工作！

基金項(xiàng)目： 西安交通大學(xué)2023年基層教師教學(xué)發(fā)展組織建設(shè)項(xiàng)目（2302JF-01）;2023年基層教學(xué)組織教學(xué)改革研究專項(xiàng)（基礎(chǔ)課程）;渭南師范學(xué)院教育科學(xué)研究項(xiàng)目（2020JYKX021）。