相對論宏觀系統(tǒng)中的熱力學(xué)平衡態(tài)

摘 要 本文在廣義相對論彎曲時空背景下，討論了相對論流體力學(xué)、動理學(xué)和隨機熱力學(xué)對于熱力學(xué)平衡態(tài)的定義以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。特別地，一階相對論流體力學(xué)給出的平衡態(tài)定義有可能存在不穩(wěn)定性，而動理學(xué)給出的定義總是穩(wěn)定的。

關(guān)鍵詞 廣義相對論;彎曲時空;熱力學(xué)平衡態(tài)

在熱力學(xué)和統(tǒng)計物理中，平衡態(tài)有著特殊的地位。如果我們要研究各種非平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，首先需要對平衡態(tài)有準(zhǔn)確的理解。在非相對論的熱力學(xué)中，平衡態(tài)有著多種不同而互不等價的定義。文[1]對不同定義進行了分類梳理，并提出了適用于整個熱力學(xué)演化過程的平衡態(tài)定義。然而，對于處于具有長程特征的引力場和電磁場作用下的相對論熱力學(xué)系統(tǒng)，直接使用在非相對論系統(tǒng)中引入的平衡態(tài)定義會遇到許多問題，通常的熱力學(xué)和統(tǒng)計物理教科書大都對此采取回避的態(tài)度。

具 體來說：在文[1]中被劃分為第一、二類定義的平衡態(tài)的要點是將熱力學(xué)平衡態(tài)定義為不隨時間演化的狀態(tài)，但對于相對論系統(tǒng)，不同的觀測者有不同的計時標(biāo)準(zhǔn)，時間不再具有絕對性，因而也不存在絕對的“不隨時間演化”的提法，至多只能談?wù)撓鄬τ谀硞€特定觀測者而言不發(fā)生時間演化的狀態(tài);文[1]中的第三類定義將熱力學(xué)平衡態(tài)定義為由一系列平衡條件決定的狀態(tài)，這些平衡條件要求描述平衡條件的熱力學(xué)參量（即所謂的態(tài)平衡參量）的空間梯度為零。然而，在彎曲時空中，由于Tolman-Ehrenfest效應(yīng)和Klein效應(yīng)的存在，即便是在相對于某個特定觀測者而言不發(fā)生時間演化的狀態(tài)下，熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的溫度場和化學(xué)勢場也不再是均勻的。一些觀點甚至認(rèn)為在長程力場下不允許存在熱平衡態(tài)。文[1]中的第四類定義通過統(tǒng)計平均值或熵來定義平衡態(tài)，而通過統(tǒng)計平均值的定義要求宏觀物理量有均勻性，同樣無法應(yīng)用于彎曲時空背景。利用最大熵原理定義的平衡態(tài)原則上可能適用于彎曲時空，但是這種定義僅適用于孤立系，并且正如本文第4節(jié)的討論，一階相對論流體力學(xué)理論中通常討論的平衡態(tài)不一定滿足最大熵原理。

幸運的是，基于相對論動理學(xué)的工作表明，彎曲時空中的非平衡輸運效應(yīng)并非由態(tài)平衡參量的空間梯度激發(fā)，而是由推廣的熱力學(xué)力激發(fā)。這使得我們有機會自然地延拓非相對論系統(tǒng)中關(guān)于平衡態(tài)的定義。在本文中，我們建議將彎曲時空中的平衡態(tài)定義為經(jīng)過弛豫過程后達到的熵產(chǎn)生率為零的狀態(tài)。本文第1節(jié)我們將從流體力學(xué)的層面證明，盡管耗散項和熱力學(xué)力都依賴于觀測者的選擇，但依然存在對任意觀測者而言所有的耗散項或所有的熱力學(xué)力都為零的狀態(tài)，因此平衡態(tài)也可以通過全部耗散項或全部熱力學(xué)力為零來定義。目前相對論統(tǒng)計力學(xué)有兩個主要分支，相對論動理學(xué)與相對論隨機熱力學(xué)。以熵產(chǎn)生率為零作為出發(fā)點，本文第2節(jié)中將檢驗在動理學(xué)框架下彎曲時空中平衡態(tài)的定義。另一方面，以熱傳導(dǎo)率為零作為出發(fā)點，本文第3節(jié)將檢驗在隨機熱力學(xué)的框架下平衡態(tài)的定義。在這些討論中，可以看到我們建議的熱力學(xué)平衡態(tài)的定義可以囊括相對論流體力學(xué)、相對論動理學(xué)和相對論隨機熱力學(xué)的定義慣例（盡管不同理論定義平衡態(tài)的方式不盡相同），同時我們也會指出存在弛豫過程是定義熱力學(xué)平衡態(tài)的必要條件。

本文的符號約定如下：度規(guī)gμν 的號差采用（-，+，…，+），時空維數(shù)為d+1，其中d 表示空間維數(shù)，c 表示光速，張量指標(biāo)：μ，ν，…，=0，1，…，d表示時空指標(biāo)，i，j，…，=1，2，…，d 表示空間指標(biāo)。

1 流體力學(xué)中的平衡態(tài)

1.1 熱力學(xué)平衡態(tài)

粒子流Nμ 和能量動量張量Tμν 是相對論流體力學(xué)里的兩個重要的張量。值得提前聲明的是，在相對論語境下，觀測者的選擇會影響到觀測到的現(xiàn)象。粒子流和能量動量張量本身是與觀測者的選擇無關(guān)的，但是通過粒子流和能量動量張量向著觀測者的固有速度方向或正交于觀測者的固有速度方向投影而得到的流體力學(xué)狀態(tài)量是依賴于觀測者的選擇的。在本小節(jié)和下一小節(jié)中，我們將遵循相對論流體力學(xué)的習(xí)慣，僅引入與流體共動的觀測者 -，而對于一般的觀測者 的討論將在1.2小節(jié)和1.3小節(jié)進行。

利用共動觀測者 - 的固有速度Uμ 對粒子流和能量動量張量進行分解，所得結(jié)果為

其中，Δμν=gμν+1／c2UμUν 是與Uμ 正交的類空面上的誘導(dǎo)度規(guī)，jμ 、qμ 以及Πμν 滿足正交關(guān)系jμUμ =qμUμ =0，ΠμνUμ =0，局部強度變量{n（0），ε（0），P }分別代表粒子數(shù)密度、能量密度的零階背景值和熱力學(xué)壓強（零階與高階修正的區(qū)別將在后文解釋）;耗散項{ ， ，Π，jμ ，qμ ，Πμν}分別代表相對于零階背景而言粒子數(shù)密度、能量密度和壓強的修正項以及粒子流的空間分量、能流的空間分量和剪切應(yīng)力張量。壓強的修正項又稱為動力學(xué)壓強。上述流體力學(xué)變量都是由與流體共動的觀測者 -所測得的。

必須強調(diào)指出：熱力學(xué)平衡態(tài)僅對于存在耗散的流體（也即存在黏性或熱輸運的流體）才能夠定義。在相對論流體力學(xué)中，熱力學(xué)平衡態(tài)（thermodynamicequilibrium）或整體平衡態(tài)（globalequilibrium）通常被定義為全部耗散項歸零的狀態(tài)（ =0， =0，Π=0，jμ =0，qμ =0，Πμν =0），此時粒子流和能量動量張量的形式與完美流體一致，粒子流和能量動量張量的本征方向（即粒子輸運方向和能量輸運方向）均與Uμ 重合，因此Uμ可以被合理地解釋為平衡態(tài)流體的流速場。

除了上面的定義之外，還存在著另外兩種等價的定義[2，3]：熵產(chǎn)生率為零的狀態(tài)以及全部熱力學(xué)力為零的狀態(tài)。這兩種定義的含義和等價性將在1.2節(jié)解釋。

1.2 局部平衡和熵產(chǎn)生

對于近平衡流體，當(dāng)宏觀演化的特征時間尺度遠大于微觀過程的時間尺度而又遠小于系統(tǒng)達到平衡的弛豫時間時，可以采用局部平衡（localequilibrium）假設(shè)描述系統(tǒng)，即近平衡系統(tǒng)的局部達到平衡，在系統(tǒng)位形空間的各個點處可以定義熱力學(xué)變量，如溫度T 、化學(xué)勢μ 等，但系統(tǒng)中依然存在非零的耗散，因此整體上并未處于平衡態(tài)。

為了簡便起見，本節(jié)僅討論中性粒子構(gòu)成的流體系統(tǒng)。局部平衡是系統(tǒng)完整描述的零階近似。當(dāng)考慮中性流體的一階描述時，流體的熵流定義為[4]

Sμ =kB （βPUμ -βTμνUν +αNμ） （2）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金面上項目資助，項目批準(zhǔn)號：12275138。