6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與分析

蘇勃赫 周萬勇 石婉瑩 張文瑞 張琦

摘? 要：提出一種可以作為多自由度隔振平臺良好構(gòu)型的6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過矢量求導(dǎo)法得到速度雅可比矩陣，利用動能定理求解并聯(lián)機(jī)器人質(zhì)量矩陣，對由N個剛體組成的系統(tǒng)與剛性桿分別進(jìn)行虛功分析，并采用此方法對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模與分析。代入結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，得到6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維仿真圖和驅(qū)動力矩。研究結(jié)果為后續(xù)實現(xiàn)對多自由度隔振平臺的動力學(xué)實時控制提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu)；雅可比矩陣；虛功原理；動力學(xué)建模

中圖分類號：TP391.9；TH113.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）06-0143-06

Dynamic Modeling and Analysis of 6-RUS Parallel Mechanism

SU Bohe， ZHOU Wanyong， SHI Wanying， ZHANG Wenrui， ZHANG Qi

（School of Electornic and Control Engineering， North China Institute of Aerospace Engineering， Langfang? 065000， China）

Abstract： A 6-RUS parallel mechanism that can be used as a good configuration for a multi-degree-of-freedom vibration isolation platform is proposed. The velocity jacobi matrix is obtained by the vector derivative method， the parallel robot mass matrix is solved by using the kinetic energy theorem， the system consisting of N rigid bodies with rigid rods is analyzed for virtual work separately. And this paper uses this method to product dynamic modeling and analysis of the mechanism. The structural parameters are substituted for numerical simulation to obtain 3D simulation diagram and driving moments of the 6-RUS parallel mechanism. The research results provide a theoretical basis for the subsequent realization of the dynamics real-time control of the multi-degree-of-freedom vibration isolation platform.

Keywords： parallel mechanism; jacobi matrix; principle of virtual work; dynamic modeling

0? 引? 言

相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用多支鏈驅(qū)動方式，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定緊湊，有著較好的動力學(xué)特性，能夠?qū)崿F(xiàn)多個輸入與輸出，其具有的多種優(yōu)點成為實現(xiàn)多自由度隔振的良好構(gòu)型。但并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一個多自由度的非線性系統(tǒng)，其動力學(xué)分析模型由于自身閉環(huán)特性而變得比較復(fù)雜，具有多變量、多參數(shù)耦合等特征。

動力學(xué)建模在并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)研究中扮演著重要的角色，動力學(xué)分析是機(jī)構(gòu)控制、結(jié)構(gòu)設(shè)計等的基礎(chǔ)，并且相對于運動學(xué)分析而言，動力學(xué)分析可以在一定程度上提高機(jī)構(gòu)的運動精度。Dasgupta和Mruthyunjaya對六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用Newton-Euler建模法，推導(dǎo)出其動力學(xué)方程；Geng利用拉格朗日法建立了Stewart平臺的動力學(xué)模型；王英波等采用凱恩法構(gòu)造出Stewart平臺的單剛體動力學(xué)模型。

本文以6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為隔振平臺構(gòu)型，在6-RUS機(jī)構(gòu)運動學(xué)正、逆解算法已經(jīng)完備的基礎(chǔ)上，采用虛功方法建立該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，其動力學(xué)模型的建立對后續(xù)分析6-RUS機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性、擬定控制方案等有著重要的意義。

1? 機(jī)構(gòu)說明及坐標(biāo)系建立

6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維裝配圖如圖1所示，其中R代表轉(zhuǎn)動副，U代表虎克鉸，S代表球副，其機(jī)構(gòu)比較直觀的靜、動平臺圖如圖2所示。該機(jī)構(gòu)由基座（定平臺）、運動平臺（負(fù)載平臺）和六條無約束RUS支鏈組成。通過控制該機(jī)構(gòu)并聯(lián)的六條支鏈驅(qū)動大小，可以使得動平臺相對靜平臺產(chǎn)生六個自由度的運動，即能夠沿著X，Y，Z作平移運動，繞著X，Y，Z作旋轉(zhuǎn)運動?；?-RUS機(jī)構(gòu)特點建立基座與運動平臺的坐標(biāo)系。以基座中心為原點，建立定平臺坐標(biāo)系OB-XBYBZB，，（i=1，2，…，6）為定平臺6個鉸點相對于定平臺坐標(biāo)系的矢量，定平臺半徑OBAi=rB，αBi是OBAi相對于YB的夾角，γi是第i個電機(jī)的軸向相對于YB軸的夾角，θi是電機(jī)轉(zhuǎn)角；以運動平臺中心為原點，建立動平臺坐標(biāo)系OM-XMYMZM，，（i=1，2，…，6）為動平臺6個鉸點相對于動平臺坐標(biāo)系的矢量，動平臺半徑OMPi=rM，αMi是OMPi相對于YM的夾角。主動支鏈長度AiBi=l1，被動支鏈長度BiPi=l2，將運動平臺的偏轉(zhuǎn)角定義為繞Z軸旋轉(zhuǎn)α，繞Y軸旋轉(zhuǎn)β，繞X軸旋轉(zhuǎn)γ。

2? 動力學(xué)建模

2.1? 運動學(xué)分析

6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動平臺相對于基座的位置姿態(tài){x， y， z， α， β， γ}用齊次坐標(biāo)變換矩陣可以表示為：

（1）

其中，運動平臺的姿態(tài)用歐拉角可以寫成：

（2）

式中：，，以此類推。

設(shè)動平臺轉(zhuǎn)動角速度為Ω，則可得：

（3）

式中：，

其中S為向量Ω的叉乘反對稱矩陣。

定平臺鉸鏈坐標(biāo)：

（4）

考慮到第i條支鏈，動平臺鉸點pi，該點在定平臺坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為pi，則：

pi=X+Rpi （i=1，2，…，6）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中pi可以表示為：

（6）

解得：

（7）

支鏈關(guān)節(jié)點坐標(biāo)：

（8）

支鏈關(guān)節(jié)點速度：

（9）

支鏈關(guān)節(jié)點加速度：

（10）

（11）

（12）

siTsi=L2B=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

（14）

將式（5）對時間求導(dǎo)得：

（15）

（16）

由si=PiBi=Bi-Pi可知：

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

將上式整理，容易得到：

（22）

式中：

（23）

（24）

將式（22）等式左右兩邊乘以Jc的逆矩陣，得到：

（25）

將Ja和Jc分別代入式（25），得到：

（26）

由式（26）得到6-RUS機(jī)構(gòu)運動平臺的雅可比矩陣Jn，表示為：

（27）

即已知驅(qū)動速度 ，則可以求解得到動平臺速度 。因此，式（16）可以表示為：

（28）

動平臺鉸鏈點雅可比矩陣很容易得到：

（29）

由式（16）分析可知，從動臂上端鉸鏈點速度為：

（30）

由式（9）可知，從動臂下端鉸鏈點速度為：

（31）

（32）

則在6-RUS機(jī)構(gòu)6條支鏈中，每條支鏈從動臂下端鉸鏈點速度為：

（33）

（34）

（35）

（36）

（37）

（38）

因此，可以得到從動臂雅可比矩陣：

（39）

（40）

（41）

（42）

（43）

（44）

由? 可知：

（45）

由? 可知：

（46）

由si=PiBi=Bi-Pi可知：

（47）

將式（47）代入式（45），得到：

（48）

將式（48）整理，得到：

（49）

將式（49）展開：

（50）

由式（50）很容易得到6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動平臺的加速度，包括動平臺移動加速度? 和動平臺角加速度 。

進(jìn)而可以求解得到動平臺鉸鏈點加速度，即式（46）得到求解。

2.2? 6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)質(zhì)量矩陣

在動力學(xué)分析中，該方程對所有機(jī)器人都適用：

（51）

式中，τ為關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩（N，m），q為輸入角度（rad）， 為輸入端角速度（rad/s）， 為輸入端角加速度（rad/s2），M（q）為機(jī)器人的廣義質(zhì)量矩陣， 為速度項力矩，包含離心力和科氏力，G（q）為廣義重力項力矩。

利用動能定理求解并聯(lián)機(jī)器人質(zhì)量矩陣M。通過對一個剛體使用動能定理，推導(dǎo)得出：

（52）

式中，vi為剛體i的質(zhì)心速度（m/s），ωi為剛體i的質(zhì)心角速度（rad/s），mi為剛體i的質(zhì)量（kg），Ii為剛體i的轉(zhuǎn)動慣性張量（kg·m2）。

并聯(lián)機(jī)器人的動能由所有組成部分的動能累加得到：

（53）

通過雅可比矩陣，剛體i的速度可以由關(guān)節(jié)驅(qū)動輸入速度? 來表示：

（54）

將式（52）和式（54）代入式（53），得到動能定理表達(dá)式：

（55）

由此，能夠得到并聯(lián)機(jī)器人質(zhì)量矩陣：

（56）

對于剛性桿，桿長為L，沿剛性桿的速度v（x）可以表示為：

（57）

系統(tǒng)內(nèi)各個組成部分的動能公式如下所示：

（58）

式中，S為剛性桿的橫截面積（m2），ρ為剛性桿的密度（kg/m3），dx為沿桿件方向的單位位移（m）。

則剛性桿動能可以表示成：

（59）

化簡可得：

（60）

剛性桿兩端的速度雅可比矩陣用J1和J2來表示，代入式（60），經(jīng)過變形即可得到剛性桿質(zhì)量矩陣貢獻(xiàn)：

（61）

6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)質(zhì)量矩陣由動平臺、主動臂、從動臂三部分質(zhì)量貢獻(xiàn)總和組成，表示為：

M=Mn+Ma+Mf? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （62）

式中，Mn為動平臺質(zhì)量矩陣，Ma為主動臂質(zhì)量矩陣，Mf為從動臂質(zhì)量矩陣。

運用式（56），可求出動平臺質(zhì)量矩陣：

（63）

式中，E3為三階單位矩陣，In為動平臺和負(fù)載的慣性張量，mn為動平臺和負(fù)載質(zhì)量之和（kg）。

主動臂對質(zhì)量矩陣的貢獻(xiàn)可表示為一個矩陣：

（64）

式中Ib1=Ib2=Ib3=Ibi，。

Im為驅(qū)動電機(jī)的慣量（kg·m2），mb為主動臂的質(zhì)量（kg），mc為球鉸的質(zhì)量（kg）。

由式（39）～（44）可知從動臂雅可比矩陣，根據(jù)式（61）計算每條從動臂質(zhì)量矩陣，表示為：

（65）

式中，mab為從動臂的質(zhì)量（kg）。

因此，6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩陣可以表示為：

（66）

2.3? 基于虛功原理的動力學(xué)方程

（1）對于由N個剛體組成的系統(tǒng)來說，虛功原理可以表示為：

（67）

整理，得到：

（68）

式中，mi為剛體i的質(zhì)量（kg），Ii為剛體i的慣量（kg·m2），F(xiàn)i為剛體i受到的外力（N），Ti為剛體i受到的外力矩（N·m）， 為剛體i質(zhì)量中心的加速度，ωi為剛體i的角速度（rad/s）， 為剛體i的角加速度（rad/s2），δxi為虛位移，δφi為虛位移。

將虛位移用雅可比矩陣Ji與關(guān)節(jié)空間變量位移相乘的結(jié)果來表示，代入式（68），再將等式兩邊同時除以δq，那么式（68）可以寫成：

（69）

（2）對于剛性桿來說，虛功原理可以表示成：

（70）

式中，δx為虛位移，，δ1，δ2表示桿兩端的虛位移；a（x）為桿的加速度（m/s2），a（x）=（1-x / L）a1+x / La2，a1，a2表示桿兩端的加速度。

故式（70）可寫作：

（71）

將虛位移轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間變量的虛位移并化簡后得：

（72）

桿件兩端的速度與動平臺和主動臂的速度密切相關(guān)，則已知桿件兩端速度，該方程可解。

2.4? 6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型

6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)滿足如下關(guān)系：

（73）

式中，τn為動平臺的力矩貢獻(xiàn)（N·m），τb，i為主動臂i的力矩貢獻(xiàn)（N·m），τab，i為從動臂i的力矩貢獻(xiàn)（N·m）。

動平臺的力矩貢獻(xiàn)為：

（74）

式中，，其中，g為重力加速度（m/s2）。

由于主動臂只有旋轉(zhuǎn)運動，所以主動臂的力矩貢獻(xiàn)為：

（75）

式中，τ為每個電機(jī)施加的驅(qū)動力矩（N·m），Gb為主動臂重力的力矩貢獻(xiàn)（N·m）。

其中，

式中，mbr=mb+mc；。

每條從動臂的力矩貢獻(xiàn)由式（72）可知：

（76）

最終，6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型如式（77）所示：

（77）

3? 動力學(xué)數(shù)值仿真

設(shè)6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)值：主動支鏈長度AiBi=l1=150 mm，被動支鏈長度BiPi=l2=500 mm，定平臺半徑rB=250 mm，動平臺半徑rM=100 mm，αBi={190°， 290°， 310°， 50°， 70°， 170°}，αMi={220°， 260°，340°， 20°， 100°， 140°}，γi={180°， 300°， 300°， 60°， 60°， 180°}，動平臺和負(fù)載質(zhì)量mn=6.5 kg，動平臺和負(fù)載的慣性張量In=diag（0.2， 0.2， 0.1） kg·m2，主動臂質(zhì)量mb=8.5 kg，從動臂質(zhì)量mab=3.5 kg，球鉸質(zhì)量mc=2.5 kg。

代入相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，求解6條RUS支鏈的支鏈關(guān)節(jié)點與動平臺鉸點在定平臺（基座）下的位置坐標(biāo)，通過數(shù)值仿真，繪制出6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示。利用虛功原理方法建立6-RUS機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，圖4所示為安裝在基座上的6個電機(jī)所施加的驅(qū)動力矩，其中T1=-15.123 5，T2=-37.866 2，T3=5.694 2，T4=-3.470 9，T5==-31.835 2，T6=-3.339 3。通過運動學(xué)正解算法求解得到運動平臺的位置和姿態(tài)，代入到建立的動力學(xué)模型中，計算得到力矩，為6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力特性分析奠定理論基礎(chǔ)。

4? 結(jié)? 論

提出了一種6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，有著較好的動力學(xué)特性，因此可作為多自由度隔振平臺的良好構(gòu)型?；谔摴υ韺?-RUS機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模與分析。該方法與Newton-Euler建模法、Lagrange法相比較，計算過程相對簡單，是一種高效的動力學(xué)建模方法，而且在不同結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)研究中適用性更為廣泛。6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模的研究對后續(xù)分析機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性、進(jìn)行機(jī)構(gòu)優(yōu)化，并采用控制策略使得被控對象達(dá)到期望的實時控制效果等有著重要的意義。

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作者簡介：蘇勃赫（1996—），男，漢族，河北張家口人，碩士研究生在讀，主要研究方向：工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計；通訊作者：周萬勇（1971—），男，漢族，北京人，副教授，博士，主要研究方向：工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計。

收稿日期：2022-09-10