拋物方程的Landweber迭代正則化方法的后驗誤差估計

摘要：考慮二維拋物方程Cauchy問題的反問題，該問題是嚴(yán)重不適定的.首先，用Landweber迭代正則化方法得到該問題的一個正則近似解，用Fourier變換求出該問題的精確解；其次，在后驗正則化參數(shù)的選取規(guī)則下，給出精確解和正則解之間的Holder型誤差估計，并使用更強的先驗條件給出端點x=1處的誤差估計；最后，給出數(shù)值實例說明該方法的有效性.結(jié)果表明，該方法比已有方法收斂速度更快。

關(guān)鍵詞：Cauchy問題；不適定問題；Landweber迭代正則化；誤差估計；后驗估計中圖分類號：O241文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1113-09

Posterior Error Estimation of Landweber Iterative Regularization Method for Parabolic Equations

SHEN Yu，XIONGXiangtuan

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：We considered the inverse problem of Cauchy problem of two dimensional parabolic equations，which was seriously ill-posed.Firstly，a regular approximate solution of the problem was obtained by using Landweber iterative regularization method，and Fourier transform was used to obtain the exact solution of the problem.Secondly，the H?lder type error estimation between the exact solution and the regular solution was given under the selection rules of the posterior regularization parameters，and stronger prior conditions were used to give the error estimation at the end point x=1.Finally，numerical examples were given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.The results show that the proposed method has a faster convergence rate than existing methods.

Keywords：Cauchyproblem;ill-posedproblem;Landweber iterative regularization;errorestimation;posterior estimation

0引言

假設(shè)（y，t）∈L2（RXR）為給定函數(shù)，且當(dāng)lt;0時，（y，）=0.定義g（y，）的范數(shù)為收稿日期：2023-10-25.網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期：2024-07-05.

考慮二維拋物型方程的Cauchy問題：

其中函數(shù)u（x，，和a（）都屬于L2（RXR），精確數(shù)據(jù)函數(shù)（）及其噪聲數(shù)據(jù)函數(shù)48（，）滿足：

這里δgt;0表示輸入數(shù)據(jù)的噪聲水平.記f（y，t）：=u（1，y，t）且有一個先驗界

其中Egt;0是一個常數(shù).需從給定Cauchy數(shù)據(jù)[u，u]在x=0處的值反演u（，，）（0≤x≤1）.

二維拋物方程Cauchy問題的逆問題，即在二維拋物方程中用x=0處的值去反演x∈（0，1]處的函數(shù)值，應(yīng)用廣泛.在實際應(yīng)用中，給定源參數(shù)在固定位置（x，y）的測量數(shù)據(jù)的傳熱過程可用問題（1）描述，物理學(xué)中的許多分支，如流體動力學(xué)、等離子體動力學(xué)、光學(xué)、場論、凝聚態(tài)物理等領(lǐng)域也常涉及這類方程.而這類問題是嚴(yán)重不適定問題，其數(shù)據(jù)的一個小擾動可能在解中引起極大誤差，因此需要一種合適的正則化方法解決此問題.目前，關(guān)于拋物方程Cauchy問題正則化的理論研究已有很多結(jié)果.對于一維情形，Knabner等[2]利用Fourier變換對一維方程的精確解給出了最優(yōu)穩(wěn)定性估計；文獻(xiàn)[3]用Meyer小波正則化方法討論了該問題，并給出了先驗的正則化參數(shù)選取規(guī)則及誤差估計；文獻(xiàn)[4]將Meyer小波正則化方法推廣到N維情形，并給出了先驗的正則化參數(shù)選取規(guī)則及誤差估計.對于二維情形，文獻(xiàn)[5-6]提出了兩種正則化策略：基于方程的修正核方法和基于高頻分量的截斷方法；文獻(xiàn)[7]提出了一種改進(jìn)的擬邊值正則化方法處理不適定問題，通過選擇適當(dāng)?shù)恼齽t化參數(shù)和引入一些技術(shù)不等式，得到了近似解與其精確解之間精確的誤差估計；文獻(xiàn)[8]從不同角度提出了兩種正則化方法，Tikhonov方法和Fourier截斷方法，給出并證明了精確解與其正則化近似之間的收斂估計.Landweber迭代正則化方法也可用于分析和解決逆問題的不適定性[912]，本文考慮用Landweber迭代處理二維拋物方程Cauchy問題，給出后驗的正則化參數(shù)選取規(guī)則及誤差估計，并通過使用更強的先驗條件得到端點x=1處的誤差估計.

1預(yù)備知識及不適定性分析

本文考慮問題（1）的不適定性并求解該問題.對輸入數(shù)據(jù)（y，t），定義它的Fourier變換為

通過對問題（1）的變量y和t進(jìn)行二維Fourier變換，在頻率空間中得到如下二階常微分方程的Cauchy問題：

從而可得問題（5）的解：

其中0=0（n，E）是i+2的主平方根.易證0的實部和虛部由下式給出：

且可得｜（）｜≥、（）≥0.

由Fourier逆變換，可得問題（5）的精確解：

特別地，由式（6）可得

下面假設(shè)問題（5）的解滿足如下先驗界：

將定義為精確解的核由于ok）在gt;0是無界的因此數(shù)據(jù)中的小錯誤可能會爆炸并完全破壞解決方案.此外，高頻分量中的誤差被該因子exp2++放大，因此，不能用經(jīng)典的數(shù)值方法計算這個問題.本文采用Landweber迭代正則化方法，即通過修改核降低問題（1）的難度.

引理1[5]若a≥3≥0，x≥0，o=sign（），∈R，則有

2 Landweber代正則化方法

問題（5）是不適定的.如果想要恢復(fù)其解的穩(wěn)定性，需要使用正則化方法.本文采用Landweber迭代正則化方法得到式（5）的正則化解.

根據(jù)式（6），可得

定義算子K：u→，因為是乘法算子，所以式（6）可改寫為如下算子方程：

則有KK*=“K”2，采用Landweber正則化方法求解Ku=的正則化解.將算子方程Ku（x，n，E）=（）替換為算子方程

得到迭代格式如下：

其中a是松因子且足TK

設(shè)算子Rm：L2（Ω）→L2（Ω）為

則用可測數(shù)據(jù)（，）進(jìn)行Landweber迭代求得解為

從而可得

再利用Fourier逆變換，可得問題（1）的Landweber迭代正則化解為

3后驗參數(shù)選取下的誤差估計

下面將在后驗正則化參數(shù)的選取規(guī)則下，給出問題（1）的誤差估計，設(shè)gt;1為固定常數(shù)，并在m=m（δ）∈N。第一次出現(xiàn)時停止算法：

其中‖‖≥rò.

引理2令B（m）≤Ri（x，ミ）-（，），則下列結(jié)論成立：

1）lim B（m）=llp（n，ll

2）limβ（m）=0;

3）B（m）是一個連續(xù)函數(shù)；

4）對任意m∈（0，+∞），B（m）是嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù).

證明：由

可知β（m）滿足以上4個條件.

引理3對任意x∈（0，1），正則化參數(shù)m滿足：

證明：根據(jù)式（16），有

從而有

因為“1-a”K“2”lt;1，所以由式（22）可得‖KRm1-I‖≤1.根據(jù)式（19），可得

則

因此

此外，有

從而可得

由式（23），（24）可得

因此

定理1設(shè)（x，yt）是問題（1）的精確解，un（y）是問題（1）帶有噪聲數(shù)據(jù)的正則解.若噪聲假設(shè)式（2）和先驗界式（9）成立，正則化參數(shù)由式（21）選擇，則對任意的0lt;xlt;1，如下誤差估計式成立：

證明：由三角不等式和Parseval等式得

記I1=‖i（x，ミ）ーi（x，ミ）‖，I2=in（x，ミ）i（x，）

首先估計I1.由式（21）及引理3可知

根據(jù)Bernoulli不等式可知

則‖um（x，n，）-um（x，n，）‖≤√amδ，從而可得

其次估計I2.根據(jù)Holder不等式可得

故

根據(jù)式（27），（28）可得

注1定理1只考慮了區(qū)間內(nèi)的誤差估計，而未考慮端點x=1處的誤差估計，因此只能說明它是有界的，不能說明它是收斂的，如果想獲得精確解和正則化解在x=1處的誤差估計，必須引入更強的先驗假設(shè).為給出x=1處的誤差估計，先給出如下先驗界：

其中（，）是P范數(shù)，且P=0是L2范數(shù).

引理4假設(shè)式（2）和先驗條件（9）成立，對Pgt;0先驗界（30）成立，則在x=1處的正則化參數(shù)m滿足：

證明令=oE則

從而

另一方面，有

其中/0=-（ー））

故

由式（32），（33）可得

從而可得

定理2設(shè)um3（x，y，t）為問題（1）在x=1處的正則化解，若噪聲假設(shè)（2）和先驗條件（30）對Pgt;0成立，將式（31）的解作為x=1處的正則化參數(shù)，則誤差估計為

證明：根據(jù)三角不等式和Parseval等式，由引理4可得l（1y.）-（1，y.t）=in（1）-i（1.，）≤

根據(jù)Holder不等式可得

因此

從而

其中C+-）\"+2證

注2對比文獻(xiàn)[8]中在端點/處的誤差估計結(jié)果

本文結(jié)果為

顯然本文結(jié)果的收斂速度比文獻(xiàn)[8]更快.

4數(shù)值實驗

下面給出具體實例說明本文方法的可行性和有效性.本文方法的數(shù)值過程基于離散快速Fourier變換和逆離散快速Fourier變換計算正則化解，并應(yīng)用引理3、引理4選擇正則化參數(shù).數(shù)據(jù)函數(shù)。不具有一般性，必須在有限域上采樣，假設(shè)為[-4，4]×[-4，4]，數(shù)據(jù)函數(shù)按101×101點等距采樣.隨機噪聲加到準(zhǔn)確的輸入數(shù)據(jù)φ上，即隨機數(shù)=+erand（size（φ）），其中函數(shù)rand（·）是由MATLAB在[0，1]上產(chǎn)生的隨機數(shù)組，將并得到噪聲數(shù)據(jù)，其中和滿足式（2）.

例1[8]令φ（y，t）=π2e-（y2+2/4），a=0.1，e=0.01，求方程（1）在x=0.5處的解.

根據(jù) Fourier變換由式 （8）可得當(dāng) φ（y，t）= π2e-（y 2+t 2/4）時在a=0.1，ε=0.01條件下的二維拋物方程 Cauchy問題（1）的精確解u（0.5，·，·）， 結(jié)果如圖1所示.用噪聲數(shù)據(jù)函數(shù)φδ（·，·）且未使用正則化方法所求的解uδ （0.5，·，·）如圖2所示.為恢復(fù)解的穩(wěn)定性，用Landweber迭代正則化方法得到問題 （1）在例 1 條件下的正則化解um，δ（0.5，·，·）如圖3所示.由圖1和圖2可見，問題（1）是非常不適定的，小的誤差即會引起解的巨大振蕩.由圖3可見，問題（1）經(jīng)過Landweber正則化后得到的正則解與精確解非常接近，說明了該方法的有效性.此外，對比文獻(xiàn)[8]的實例結(jié)果表明，在選取參數(shù)一致的情況下本文實驗結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[8]的結(jié)果.

綜上所述，本文解決了不適定二維拋物方程Cauchy問題.先通過Fourier變換求出了問題的精確解，再采用Landweber迭代正則化方法得到正則解，然后在后驗正則化參數(shù)的選取規(guī)則下，得到了精確解與正則解之間的Holder型誤差估計，并且使用比已有結(jié)果更強的先驗條件給出了端點x=1處的誤差估計，所得誤差估計的收斂速度比已有結(jié)果更快.數(shù)值實驗結(jié)果表明了本文方法的有效性.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）