一類非直積三角模的構(gòu)造

摘要：考慮乘積格上非直積三角模的構(gòu)造問(wèn)題，給出乘積格上一類非直積三角模，從而解決了在乘積格上是否存在其他形式非直積三角模的一個(gè)公開問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：非直積；三角模；乘積格

中圖分類號(hào)：0159文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5489（2024）05-1085-06

Construction of a Class of Non-direct Product Triangular Norms

CHEN Ziwen，LIUXimin

（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian 116024.Liaoning Province，China）

Abstract：We considered the construction problem of non-direct product triangular norms on product lattices，and gave a class of non-direct product triangular norms on product lattices，thus solving an open problem of whether there were other forms of non-direct product triangular norms on product lattices.

Keywords：non-directproduct;triangularnorm;product lattice

0引言

Menger[1]引入的三角模是一類重要的聚合函數(shù)，旨在統(tǒng)計(jì)度量空間框架下的推廣三角不等式，為得到更恰當(dāng)、更一般的形式，Schweizer等[2]定義了弱統(tǒng)計(jì)度量空間的概念，并討論了Menger推廣的三角不等式，給出了單位區(qū)間上三角模的公理化定義.由于三角模較好地反映了“邏輯與”的性質(zhì)，因此三角模在多值邏輯學(xué)研究中得到廣泛關(guān)注，目前，三角模已廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)度量空間、多值邏輯、決策支持、函數(shù)方程、測(cè)度理論等領(lǐng)域，對(duì)三角模的研究已取得了豐富的成果，并將其推廣到一般序結(jié)構(gòu)上，特別是有界格上三角模的構(gòu)造和刻畫[3-]

單位區(qū)間[0，1]與有界格的區(qū)別是格中的元素具有不可比較性，即底層結(jié)構(gòu)上的序關(guān)系有本質(zhì)不同，故在逐點(diǎn)序的乘積格上賦予三角模的研究備受關(guān)注.De Baets等[8]研究了乘積格上的直積三角模，并提出一個(gè)公開問(wèn)題：在[0，1]上是否存在連續(xù)的非直積三角模.

Jenei等[0]給出了一個(gè)構(gòu)造乘積格L\"上非直積三角模的方法，解決了上述問(wèn)題，并進(jìn)一步提出以下公開問(wèn)題：

（i）在乘積格上是否存在其他形式的非直積三角模；

（ii）刻畫一類乘積格上非直積三角模；

（iii）若T是乘積格L上的三角模，則是否存在x，yEL，使得xAy=0，xVy=1，T（x，x）=x，T（y，y）=y蘊(yùn)含T的直積分解性.

Karacal等]通過(guò)一個(gè)反例說(shuō)明了公開問(wèn)題（i）的答案是否定的，并給出直積三角模的一個(gè)刻畫定理，解決了公開問(wèn)題（ii）.對(duì)于公開問(wèn)題（i），Karacal11給出了乘積格上一個(gè)非直積三角模的實(shí)例.

本文討論更一般乘積格L，上的非直積三角模，構(gòu)造乘積格L上一類非直積三角模，對(duì)Jenei等提出的公開問(wèn)題（i）給出不同的答案.

1預(yù)備知識(shí)

定義1[12]有界格（L，≤，0，1）是有最大元1和最小元0的格.

定義2[8]設(shè)（L，≤，0L，1L）是一個(gè)有界格，若對(duì)任意的x，y，z∈L，滿足下列條件：

1）T（х，у）=T（у，x）;

2）T（x，T（y，z））=T（T（x，y），z）;

3）Vy≤z，T（x，y）≤T（x，z）;

4）T（x，1）=x.

則L上的一個(gè)二元運(yùn)算T：L2→L稱為一個(gè)三角模.

下面給出有界格上的最大三角模和最小三角模：

命題1[8]設(shè)T1是有界格L1上的三角模，T2是有界格L2上的三角模，則T1和T2的直積

是乘積格L1×L2上的三角模.

假設(shè)本文有界格L均滿足“L”≥2，并記1=（11，·，1_1，1），0=（01，.·.，0_1，0），N表示自然數(shù)集，F(xiàn)={1，2，··，n}表示N的前n項(xiàng).

2主要結(jié)果

設(shè)n∈N，n≥2，（L1，≤，0t，11）1∈是一族有界格，P是F的非空子集.對(duì)任意j，k∈P，i∈F，定義L；上的二元運(yùn)算+，滿足如下性質(zhì)：

1）x+，y=y+，x;

2）（Λу），=（xO;z）Λ（у;）;

3）x∧y≤x+;y.

映射δ：L→L，滿足如下性質(zhì)：

對(duì)乘積格∏L1中的任意元x=（x1，··，xn_1，xn），y=（y1，··，yn-1，yn），定義

定理1設(shè)n∈N，n≥2，（L1，≤，0L，1）∈是一族有界格，P是F的非空子集.對(duì)任意j∈P，i∈F，L，上的二元運(yùn)算滿足性質(zhì)1）～3），且映射a：L；→L，滿足性質(zhì)4）～7），則二元運(yùn)算

是L1上的三角模.特別地，下列結(jié)論等價(jià)：

1）T是一個(gè)非直積三角模；

2）對(duì)某個(gè)j∈P，存在a，b∈Lj，滿足a+，b≠1L，.

證明：?jiǎn)挝辉徒粨Q性易證.下面驗(yàn)證保序性和結(jié)合性.

保序性假設(shè)IL.如果1｝則保序性然如果1（則由δ和+，保序易知T保序.

結(jié)合性.需證明對(duì)任意x，y，z∈ⅡL2，T（T（x，y），z）=T（T（y，z），x）成立.對(duì)1∈{x，y，z}，顯然.對(duì)1∈{x，y，z}，j∈F且P={i1，··，i，}具有序i1lt;i2lt;·lt;i，考慮如下兩種情形.

①如果jP，則T（T（x.y）z）和T（x.T（y.z）的第j項(xiàng)坐標(biāo)然均為x，Ay，A

②如果j∈P，假設(shè)j=i1，則T（T（x，y），z）的第j項(xiàng)坐標(biāo)為

對(duì)每個(gè)i2≤t≤i，有

因此

z，A y;A z，A a，（x.y）A（（A o（z）A

類似地，T（T（y，z），x）的第j項(xiàng)坐標(biāo)為

根據(jù)∧和+的交換性，有

因此T是L1上的三角模.

2）→1）.假設(shè)T是一個(gè)直積的三角模，對(duì)任意j∈P，有

因此，對(duì)任意a，b∈L1，0L，+01，=11，a+b=1t1，矛盾.

1）→2）.顯然成立.

注1對(duì)任意i，j∈P，易證L和L，同構(gòu).因此，如果P=F，則由定理1可得L”上的一類非直積三角模.

上述結(jié)果是在更一般的乘積格L；上構(gòu)造了一類非直積三角模，推廣了文獻(xiàn)[9]中乘積格L”上的結(jié)果，對(duì)Jenei等提出的公開問(wèn)題（i）給出了不同回答.基于定理1可繼續(xù)研究DeBaets等]提出的公開問(wèn)題.

定理2設(shè)n∈N，n≥2，（L，≤，0L，1L）是一個(gè)有界格，P是F的非空子集.對(duì)任意的j∈P，i∈F，L上的二元運(yùn)算④，滿足性質(zhì)1）～3），且映射：L→L滿足性質(zhì)4）～7），則二元運(yùn)算

是L”上的三角模.進(jìn)一步，下列結(jié)論等價(jià)：

1）T是一個(gè)非直積三角模；

2）對(duì)某個(gè)j∈P，存在a，b∈L，滿足a+b≠11.

證明類似定理1，故略.

下面利用上述結(jié)果，研究乘積格[0，1]3上的非直積三角模.

例1對(duì)于乘積格[0，1]3，設(shè)F={1，2，3}且P是F的非空子集.

情形1）對(duì)P={1}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A1=（6n），δn：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形2）對(duì)P={2}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A2=（δ2）∈，δ2：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形3）對(duì)P={3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A3=（6B）F，3：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形4）對(duì)P={1，2}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A4=（δ）∈.∈P，：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形5）對(duì)P={1，3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A5=（δ），P，：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形6）對(duì)P={2，3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A6=（δ）P.∈P，6：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形7）對(duì)P=F，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A7=（δ）.∈，δ：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

易證p。T：[0，1]3×[0，1]3→[0，1]是連續(xù)的，p是從[0，1]3到[0，1]的投射.因此T是一個(gè)連續(xù)的非直積三角模，其中i∈{1，2，··，7}，j∈{1，2，3}.

注2例1說(shuō)明隨著參數(shù)a和b的取值不同，[0，1]”上存在足夠多的連續(xù)的非直積三角模.顯然，文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果是a和b都等于1的情形，表明本文的結(jié)果也回答了DeBaets等提出的公開問(wèn)題.

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（責(zé)任編輯：李琦）