Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模

摘要：首先，借助內(nèi)射模的零調(diào)復(fù)形和Hom函子的理論，引入Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模的概念.其次，利用馬蹄引理和構(gòu)造拉回圖的方法，研究Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì)，證明Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模類(lèi)99是內(nèi)射可解類(lèi)，關(guān)于直積及直和項(xiàng)封閉，并且如果任意R-模的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)有限，則（9.9の構(gòu)成完全遺傳的余對(duì).

關(guān)鍵詞：強(qiáng)FP-內(nèi)射模；Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模；余撓對(duì)

中圖分類(lèi)號(hào)：O154.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5489（2024）05-1079-06

Gorenstein Strongly FP-Injective Modules

FANG Huijiang，YANG Gang

（School of Mathematics and Physics，LanzhouJiaotongUniversity，Lanzhou 730070，China）

Abstract：Firstly，we introduce the notion of Gorenstein strongly FP-injective modules by means of acyclic complexes of injective modules and the theory of Hom functors.Secondly，we study homological properties of Gorenstein strongly FP-injective modules by using the Horseshoe Lemma and the method of constructing pull-back diagrams，and prove that the class of Gorenstein strongly FP-injective modules is injectivelyresolving，with respect to closed under arbitrary direct products and direct summands，and if the Gorenstein strongly FP-injective dimension is finite for every R-module，then（995，99）forms a complete hereditary cotorsion pair.

Keywords：strongly FP-injective module;Gorenstein strongly FP-injective module;cotorsion pair

1引言及預(yù)備知識(shí)

Auslander等研究Noether環(huán)上的有限生成模時(shí)，引入了G-維數(shù)為0的模，并由此給出了Gorenstein局部環(huán)的等價(jià)刻畫(huà).Enochs等[2]推廣了文獻(xiàn)[1]的理論，在任意環(huán)上引入了Gorenstein投射、Gorenstein內(nèi)射和Gorenstein平坦模的概念，并研究了上述3種Gorenstein同調(diào)模的一些性質(zhì).Holm[3]改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果，在一般結(jié)合環(huán)上研究了模的3種Gorenstein同調(diào)維數(shù).基于對(duì)Gorenstein內(nèi)射模的研究，Mao等④定義了Gorenstein FP-內(nèi)射模，并研究了凝聚環(huán)上的Gorenstein FP-內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì).Selvaraj等[5]定義了Gorenstein n-平坦模和Gorenstein n-FP-內(nèi)射模，并研究了它們的關(guān)系.Li等[6]基于FP-內(nèi)射模的研究，引入并刻畫(huà)了強(qiáng)FP-內(nèi)射模.Xing等[7]研究了Gorenstein FP-內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì).受上述研究成果的啟發(fā)，本文對(duì)Gorenstein FP-內(nèi)射模進(jìn)行推廣，研究Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模及其相關(guān)性質(zhì)，本文所有的環(huán)R均指有單位元的非零結(jié)合環(huán)，所有的R-模均指左R-模.

令是由R-模構(gòu)成的類(lèi).記

A={B|對(duì)任意A∈有Ext（A，B）=0};

1={B|對(duì)任意A∈有Ext（B，A）=0}.

如果、=且ー=1，則稱R-模的類(lèi)構(gòu)成的對(duì)（/.）是余對(duì).如果對(duì)任意正合序列0→X'→X→X“→0（其中X'，X∈），有X”∈，則稱余撓對(duì)（，）是遺傳的.如果A∈且C∈+，則稱R-模的正合列0→X→A→C→0是X的特殊的-預(yù)包絡(luò).如果任意R-模都有特殊的-預(yù)包絡(luò)，則稱余撓對(duì)（A，B）是完全的.

定義1[6]設(shè)M是R-模，如果對(duì)任意的有限表示R-模P及任意的i≥1，都有Ext（P，M）=0，則稱R-模M是強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

下面用9表示強(qiáng)FP-內(nèi)射模構(gòu)成的類(lèi).

定義28]設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，用SFP-idg（M）表示M的強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)，如果存在正合列

其中每個(gè)G是強(qiáng)FP-內(nèi)射模，則稱R-模M的強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)小于等于n，記作SFP-idg（M）≤n.如果上述有限序列不存在，則稱SFP-idR（M）=∞.特別地，若n是滿足上述條件的最小整數(shù)，則記SFP-idR（M）=n.

2 Gorenstein強(qiáng)FP-模

定義3設(shè)M是R-模，如果存在內(nèi)射R-模的正合列

使得M≌Im（Eo→E_1），并且對(duì)任意的強(qiáng)FP-內(nèi)射模E，函子Homg（E，-）作用上述序列后仍正合，則稱R-模M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

下面用9表示Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模構(gòu)成的類(lèi).

注1由Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模的定義易見(jiàn)：

1）內(nèi)射模→Gorenstein FP-內(nèi)射?！鶪orenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射?！鶪orenstein內(nèi)射模；

2）若正合序列（2）中，滿足對(duì)任意的強(qiáng)FP-內(nèi)射模H，用函子Homg（H，-）作用E后仍正合，則對(duì)任意的i∈Z，有Ker d=Im d+1都是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

定義4設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，用G-SFP-idg（M）表示M的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù).如果存在正合列（1），其中G是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，i=0，1，2，.·，n，則稱R-模M的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)小于等于n，記作G-SFP-idg（M）≤n.如果上述有限序列不存在，則稱G-SFP-idg（M）=∞.特別地，若n是滿足上述條件的最小整數(shù)，則記G-SFP-idg（M）=n.

引理1設(shè)M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射R-模，N是R-模.若SFP-idg（N）lt;∞，則對(duì)任意的i≥1，有Ext（N，M）=0.

證明：設(shè)SFP-idg（N）=n.若n=0，則N是強(qiáng)FP-內(nèi)射模，顯然有Extk（N，M）=0，Vi≥1.若ngt;0，則由定義2知，存在正合列0→N→N0→N1→··→N\"→0，其中N'是強(qiáng)FP-內(nèi)射模.取Cm=Ker（N\"→Nm+1），m=0，1，2，··，n-1.由維數(shù)轉(zhuǎn)移得

由于N“是強(qiáng)FP-內(nèi)射模，所以對(duì)于Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模M以及任意的≥1，有Ext”（N\"，M）=0.于是Ext（N，M）=0，Vi≥1.

引理2對(duì)任意的R-模M，下列敘述等價(jià)：

1）M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模；

2）存在短正合列

使得E是內(nèi)射模，C是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模；

3）存在正合序列

對(duì)任意的i≥0，E是內(nèi)射模，使得對(duì)任意的N∈9，函子HomR（N，-）作用上述序列后仍正合，且Ext（N，M）=0.

證明：1）→2）顯然.

2）→3）.考慮短正合列（3）.由定義3知，對(duì)任意的N∈9及任意的i≥1，均有Ext（N，C）=0.于是函子Homg（N，-）作用短正合列（3）后仍正合，且有正合序列

故Ext（N，M）=0.而C是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，由定義3可知，存在正合列

使得Homg（N，E1）正合，其中每個(gè)E是內(nèi)射模.于是函子HomR（N，-）作用序列（4）后仍正合，結(jié)論得證.

3）→1）.考慮M的內(nèi)射分解

對(duì)任意的N∈9及任意的i≥1，有Extk（N，M）=0，所以HomR（N，E2）正合.

因此函子HomR（N，-）作用序列（2）后仍正合，且M≌Im（E→E1），從而M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

定理1設(shè)0→A→B→C→0是R-模的短正合列.

1）若A，C是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，則B也是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模；

2）若A，B是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，則C也是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

證明：1）因?yàn)锳，C是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，所以由引理2知存在下列兩個(gè)短正合列：

其中Eo，U。是內(nèi)射模，A1，C1是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.令Fo=E+U。，則F。∈，其中是內(nèi)射模類(lèi).由定義3知Extk（Uo，A）=0，即有正合列

從而存在態(tài)射h：U→B，使得gh=y.定義態(tài)射

其中x∈E。，y∈U。，則有fa=，且g3=y（0，1）.進(jìn)而可得如下行和列均正合的交換圖：

其中B1=Ker（8）.在正合列0→A1→B1→C1→0中，A1和C1是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，于是重復(fù)以上步驟，可得如下行和列均正合的交換圖：

對(duì)任意的m≥0，都有Fm=Em+U，其中Fm，Em，Um∈.因此，B有左內(nèi)射分解

對(duì)任意的強(qiáng)FP-內(nèi)射模N，易證Homg（N，F(xiàn)）正合.另一方面，易得Extk（N，B）=0，Vi≥1.由引理2可得B是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

2）假設(shè)A，B是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.由引理2知，存在正合列0→B→E-B→B→0，其中E是內(nèi)射的，B'是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射的.考慮β：E→B和f：A→B的拉回圖：

由1）知，K是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射的.進(jìn)而由引理2知，K有左內(nèi)射分解

使得對(duì)任意的強(qiáng)FP-內(nèi)射模N，函子HomR（N，-）作用上述序列后仍正合.因此R-模C也有左內(nèi)射分解：

其中K≌Im（U?！鶨）.由定義3知，對(duì)任意的強(qiáng)FP-內(nèi)射模N，都有Extk（N，K）=0.因此函子Homg（N，-）作用到短正合列0→K→E→C→0后仍正合，從而Homg（N，U）正合.又因?yàn)楹親omg（N，-）作用到短正合列0→A→B→C→0可得正合序列

且由定義3易得對(duì)任意i≥1，Ext（N，C）=0.從而根據(jù)引理2知，R-模C是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射的.

命題1Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模的類(lèi)99關(guān)于直積和直和項(xiàng)封閉.

證明：利用定義3、定理1及文獻(xiàn)[3]中命題1.4類(lèi)似可證.

引理3令G-SFP-idR（M）=n，則存在短正合列

其中I∈9S53，idR（F）≤n-1，I'∈99T9，idR（F'）≤n.

證明：若n=0，則M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，結(jié)論顯然.若n≥1，對(duì)n進(jìn)行歸納，當(dāng)n=1時(shí)，存在正合列

其中Io，I1∈9959.從而存在正合列0→Ho→Eo→I1→0，其中Eo∈3，H∈99T3.考慮下列拉回圖：

由中間列正合及定理1可知，G。∈9953.于是有正合列0→H1→E1→G0→0，其中E1∈3，H1∈995.考慮下列拉回圖：

因此可得正合列0→H1→F1→M→0，且由中間行正合知idR（F1）≤1.結(jié)論得證.

假設(shè)ngt;1，并且結(jié)論對(duì)n-1成立，下證結(jié)論對(duì)n成立.考慮正合序列

其中對(duì)任意的i≥0，有1∈y9.令K-1=Imdo，可得G-SFP-id（Kn-1）=n-1.由歸法知，存在正合列

其中idR（Fn-1）≤n-1，且Hn-1∈9993.考慮下列拉回圖：

因此，有正合列0→M→Gn-1→Fn-1→0和0→Gm→J→G-1→0，其中Gn-1∈99F9，idR（Fn-1）≤n-1，J∈5，且Gn∈99.考慮下列拉回圖：

因?yàn)镴∈且idR（Fn-1）≤n-1，故由中間行正合知idR（Fm）≤n.即有短正合列0→M→Gn-1→Fn-1→0和0→Gn→Fn→M→0，其中Gn_1∈9953，idR（Fn_1）≤n-1，Gn∈999，idR（Fn）≤n.結(jié)論得證.

推論1令0→M→I→I1→0是R-模的短正合列，其中I。和I1是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模，且Extk（I，M）=0，VI∈，則M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

證明：顯然G-SFP-idR（M）≤1，由引理3知，存在短正合列

其中G∈995，I∈.而Extk（I，M）=0，所以短正合列（5）可裂.因此由命題1知M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射模.

推論2任意Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)有限的R-模都有一個(gè)特殊的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射預(yù)包絡(luò).

證明：令M是Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)有限的R-模，則由引理3知，存在正合列

其中I∈9953，且idR（F）≤G-SFP-idR（M）-1.從而SFP-idg（F）lt;∞.如果G’∈9993，則由引理1知Ext（F，G）=0.于是M→I是特殊的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射預(yù)包絡(luò).

定理2若任意R-模的Gorenstein強(qiáng)FP-內(nèi)射維數(shù)有限，則（-99，99）是完全遺傳的余撓對(duì).

證明：先證明（999，99の是余對(duì).然99（99）.下證（-999）C999.設(shè)M∈（+9955）+，由推論2知，存在正合列（6），使得I∈9953，F(xiàn)∈+9953，所以Extk（F，M）=0，即上述序列可裂，從而M是I的直和項(xiàng)，由命題1知，M∈9993.于是（+9993）=9953，故（9959，995）是余撓對(duì).進(jìn)而由推論2及定理1可知，（+95，995）是完全遺傳的余撓對(duì).

參考文獻(xiàn)

[1]AUSLANDER M，BRIDGER M.Stable Module Theory[M].Providence，RI：American Mathematical Society，1969：1-146.

[2]ENOCHS EE，JENDA O M G.Gorenstein Injective and Projective Modules[J].Mathematische Zeitschrift，1995，220（4）：611-633.

[3]HOLM H.Gorenstein Homological Dimensions[J].Journal of Pure and Applied Algebra，2004，189（1/2/3）：167-193.

[4]MAO L X，DING N Q.Gorenstein FP-Injective and Gorenstein Flat Modules]Journal of Algebra and Its Applications，2008，7（4）：491-506.

[5]SELVARAJ C，UDHAYAKUMAR R，UMAMAHESWARAN A.Gorenstein-Flat Modules and Their Covers[J].Asian-European Journal of Mathematics，2014，7（3）：1450051-1-1450051-13.

[6]LI W Q，GUAN J C，OUYANG B Y.Strongly FP-Injective Modules[J].Communications in Algebra，2017，45（9）：3816-3824.

[7]XING S Q，LUO X Q，HU K.GorensteinFPoo-Injective Modules and w-Noetherian Rings[J].Algebra Colloquium，2022，29（4）：687-712.

[8]CHEN M Z，KIM H.WANG F G，etal.Some Characterizations of Coherent Rings in Terms of Strongly FP-Injective Modules[J].Communications in Algebra，2020，48（7）：2857-2871.

（責(zé)任編輯：趙立芹）