一類Conformable分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程溫和解的存在性

摘要：用算子半群理論和上下解單調(diào)迭代方法討論Banach空間中具有Volterra型積分算子的一類Conformable分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題

溫和解的存在性，其中：T。表示階數(shù)為0lt;alt;1的Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子；A為稠定閉線性算子，-A：D（A）CE→E生成一致有界的C。-半群T（t）（t≥0）；f∈C（I×E×E，E），且0：G（=JK（）（s是voer型分算子，其分核K∈C（R+）△=｛（，）0≤s≤≤b）｝，記Ko=maxK（t，）.在非線性項(xiàng)滿足當(dāng)?shù)牟坏仁綏l件下，得到了該方程溫和解的存在性.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程；溫和解；上下解；單調(diào)迭代方法

中圖分類號(hào)：O175.15文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5489（2024）05-1072-07

Existence of Mild Soulutions for a Class ofConformable Fractional Evolution Equations

AN Wenyan，YANG He

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：By using operator semigroup theory and upper and lower solution monotone iterative methods，we discuss the existence of mild solutions to initial value problems

for a class of Conformable fractional evolution equations with Volterra-type integral operators in Banach spaces，where T represents the Conformable fractional derivative operator with order 0lt;alt;1，A is a coherently closed linear operator，-A：D（A）CE→E generate uniformly bounded Co-semigroup T（）（t20），fE C（IX EX E，E），and I=[o，b]，Gu（=K（t，s）u（s）ds is integral operator of Voletrra-type，integral kernel K∈C（△，R+），△=｛（t，s）10≤s≤≤b｝，recorded asKo=max K（t，s）.Under the condition that the nonlinear term satisfies the appropriate inequality，（s）EAthe existence of the mild solution to the equation is obtained.

Keywords：fractional evolution equation;mildsolution;upper and lower solution;monotone iterative method

0引言

在電磁學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、信息處理等實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微分方程比整數(shù)階微分方程應(yīng)用更廣泛。目前，對(duì)分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程溫和解的存在性和唯一性研究備受關(guān)注.El-Borai通過引入概率密度函數(shù)研究分?jǐn)?shù)階微分發(fā)展方程，得到了其古典解的存在性；文獻(xiàn)[2-4]分別研究了0lt;alt;1和1lt;alt;2分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程溫和解的存在性；Chen等用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了Banach空間E中分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題

溫和解的存在性，其中D。表示階數(shù)為0lt;alt;1的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，-A：D（A）CE→E生成一致有界的C。-半群T（t）（t≥0）的無窮小生成元.近年來，一種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新定義——Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被廣泛關(guān)注[24.Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可滿足經(jīng)典分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不能滿足的一些性質(zhì)，如乘積法則、商法則、鏈?zhǔn)椒▌t、Rolle定理和中值定理等，其在生物物理學(xué)、電容理論、控制理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，受上述研究工作的啟發(fā)，本文主要用算子半群理論和上下解單調(diào)迭代方法討論具有Voletrra型積分算子的Conformable分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

溫和解的存在性，其中：T。表示階數(shù)為0lt;alt;1的Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子；A為稠定閉線性算子，-A：D（A）CE→E生成一致有界的C。-半群T（t）（t≥0），即存在常數(shù)M≥1，使得‖T（t）‖≤M；f∈C（I×E×E，E），且I=[0，b];Gu（t）=|K（t，s）u（s）ds是Voletrra型積分算子，其積分核K∈C（△，R+），△=｛（t，s）0≤s≤≤b｝，記K=maxK（t，s）

1預(yù)備知識(shí)

定義1[68]設(shè)a∈（n，n+1），f：[0，∞）→R，則f的Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可定義為

其中[n]表示大于等于n的最小整數(shù).特別地，當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，有

關(guān)于Conformable分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，有如下結(jié)果.

引理1[6-8]設(shè)a∈（0，1），函數(shù)f和g在tgt;0上可微，則：

定義2[7]設(shè)a∈（n，n+1），則函數(shù)f的a階積分定義為

定義3設(shè)E為Banach空間，S是E中的有界集.令

則a（S）稱為集合S的Kuratowski非緊性測(cè)度，其中d（S；）表示集合S，的直徑.

引理2非緊性測(cè)度a（·）有如下性質(zhì)：

1）a（S）=0=S為相對(duì)緊集；

2）SCT→a（S）≤a（T）;

3）α（SUT）lt;max{α（S），α（T）};

4）a（aS）=|a|a（S），aS={x|x=ay，y∈S}，a∈R;

5）a（S+T）≤a（S）+a（T），其中S+T={x|x=y+z，y∈S，z∈T};

6）α（cοS）=α（S）.

其中S，T表示E中的有界集.

引理3設(shè)E為Banach空間，若W={un}1CC（I，E）是有界可數(shù)集，則a（W（t）在[a，b]上Lebesgue有界可測(cè)，且

考慮非線性發(fā)展方程初值問題

其中Cgt;0為常數(shù)，-（A+CI）為C-半群S（t）=e-0T（t）（t≥0）的無窮小生成元.顯然，問題（2）與問題（1）同解

定義41稱u∈C（I，E）是問題（2）的溫和解，當(dāng)且僅當(dāng)u滿足積分方程

定義5如果u滿足

則u稱為問題（2）的下溫和解；如果

則u稱為問題（2）的上溫和解.

引理4設(shè)K為非負(fù)常數(shù)，f（t）和g（t）為區(qū)間[a，b]上的非連紋函數(shù)，且滿足不等式

則

2主要結(jié)果

假設(shè)條件：

（H2）存在常數(shù)Cgt;0，使得對(duì)t∈1，o（t）≤x1≤2o（t），Go（）≤y1y2≤Guo（t），有

（H2）存在常數(shù)Lgt;0，使得對(duì)Vt∈I及單調(diào)序列{xn（t）}C[vo（t），wo（t）]和{yn（t）}C

定理1設(shè)E為有序的Banach空間，其正元錐P為正規(guī)錐.假設(shè)-A生成C。-半群T（t）（t≥0）是正的緊半群，v0，w0分別是問題（2）的下溫和解與上溫和解，且v≤wo，f∈C（I×E×E，E）滿足條件（H1）.則分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題（1）在v和w之間存在極小溫和解和極大溫和解.

證明：由于T（t）（t≥0）是正的緊半群，所以S（1）是正的緊半群，并且有‖S（t）≤M.定義算子Q：[vo，wo]——C（I，E）

顯然，Q：[v0，wo]→C（I，E）為連續(xù)算子，且問題（1）的溫和解等價(jià)于算子Q的不動(dòng)點(diǎn).下面分四步完成證明.

1）證明Q：oo]→C（1.E）等度連.設(shè)u∈[oao]0≤1≤2≤b.則

只需證明當(dāng)t2-t1→0時(shí)，I1→0（i=1，2，3）.

對(duì)于I1，由于S是強(qiáng)連續(xù)的，所以

從而當(dāng)t2-t1→0時(shí)，有I1→0.由條件（H1）及錐P的正規(guī)性知，存在Mgt;0，使得

因此，當(dāng)t2-t1→0時(shí)，

若t1=0且t2gt;0，則易見I3=0.對(duì)于t1=0且Egt;0足夠小，有

所以由半群S（t）（t≥0）的緊性可知，當(dāng)t2-t1→0時(shí)，I3→0.從而‖Qu（t2）-Qu（t1）‖→0（t2-t1→0，e→0）.故Q：[vo，w0]→C（I，E）等度連續(xù).

2）證明Q：[v0，w0]→[v0，w0]是連續(xù)增算子.

首先，由定義5，對(duì)t∈I，有

所以v0≤Qv0，同理可得Qwo≤wo.

其次，對(duì)u1，u2∈[vo，wo]且u1≤u2，t≥0，有

根據(jù)條件（H1）可得

因此，由半群S（t）（t≥0）的正性，有

再結(jié)合式（6）可得Qu1≤Qu2.從而Q：[v0，wo]→[v0，o]是單調(diào)增算子，并且連續(xù).

定義兩個(gè)迭代序列{vn}和{wn}分別為

根據(jù)算子Q的序增性，有

從而可知序列{vn}和{wn}是[v0，wo]中的單調(diào)有界序列.

3）證明｛n（t）｝和｛n（t）｝在E中相對(duì)緊.

記A={vn}，Ao=AU{v0}.顯然，對(duì)Vt∈I，A（t）=QA0（t）.當(dāng)0≤t≤b時(shí)，對(duì)Ve∈（0，t），定義集合

其中

由的性可知，合W在E中相對(duì)對(duì)y.有

因此對(duì)Vt∈I，{vn（t）}在E中相對(duì)緊.同理可得{wn（t）}在E中相對(duì)緊.由Arzela-Ascoli定理可知，{vn}和{wn}在[vo，wo]中相對(duì)緊.因此{(lán)vn}和{wn}有收斂子列，結(jié)合式（9）和錐P的正規(guī)性可知，{vn}和{wn}本身收斂，即存在u，u∈[vo，wo]，使得u=limvn，u=limwn.在式（8）中取極限，有Qu=u，Qu=u.所以u(píng)，u∈[v0，w0]是Q的不動(dòng)點(diǎn)，即u，是問題（1）的溫和解.

4）證明u，u是問題（1）的極小溫和解和極大溫和解.

設(shè)u∈[o，o]是Q的不動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)t∈1，o（t）≤u（t）≤o（t），根據(jù)Q的單調(diào)性，有

即v1≤u≤w1，重復(fù)上述過程n次可得

令n→co，則有w≤n≤n.所以a和w分別為Q在[v，]中的極小不動(dòng)點(diǎn)和極大不動(dòng)點(diǎn)，因此它們分別是問題（1）的極小溫和解和極大溫和解.證畢.

在定理1中去掉緊半群的限制，增加錐P是正則錐的條件可得以下結(jié)論.

定理2設(shè)E為有序的Banach空間，P為E中的正則錐.假設(shè)-A生成正的C。-半群T（t）（t≥0），vo，wo分別是問題（2）的下溫和解與上溫和解，且v0≤w0，如果f∈C（I×E×E，E）滿足條件（H1），則問題（1）在v和w0之間存在極小溫和解和極大溫和解.

證明：由定理1可知，算子Q為增算子，且滿足v≤Qvo，Qw≤wo.按照式（8）做迭代序列｛n（t）｝和｛n（｝，則｛n（）｝和｛n（t）｝是E中的單調(diào)有界序列.由P的正則性可知，u=limnu=limwn.在式（8）中取極限，由Q的連續(xù)性可知，Qu=u，Qu=u.故問題（1）在和wo之間存在極小溫和解u和極大溫和解.證畢.

如果半群T（t）（t≥0）是非緊的，并且正元錐P也沒有正則錐的假設(shè)，則通過給空間增加條件可得如下結(jié)論.

定理3設(shè)E為弱序列完備的Banach空間，正元錐P為正錐規(guī).假設(shè)-A生成正的C。-半群T（t）（t≥0），vo，w0分別是問題（2）的下溫和解與上溫和解，且v0≤w0，如果f∈C（I×E×E，E）滿足條件（H1）.則問題（1）在o和o之間存在極小溫和解和極大溫和解

證明：因?yàn)樵谌跣蛄型陚涞腂anach空間中，正規(guī)錐即是正則錐，故由定理2可得結(jié)論.證畢.

定理4設(shè)E為有序的Banach空間，其正元錐P為正錐規(guī).假設(shè)-A生成正的等度連續(xù)半群T（t）（t≥0），vo，u0分別是問題（2）的下溫和解與上溫和解，且v≤wo，如果f∈C（I×E×E，E）滿足條件（H1）和（H2），則分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題（1）在v和w之間存在極小溫和解和極大溫和解.

證明：按照式（6）定義算子Q，由定理1的證明可知，Q：[v0，wo]→[v0，w0]是連續(xù)增算子，且vo≤Qvo，Qwo≤w0.因此對(duì)于迭代序列式（9），根據(jù)定理1的證明可知，{v}和{wn}在[v0，wo]上一致有界且等度連續(xù).下證{vn}和{wn}在I一致收斂.

記A={vn|n∈N}，Ao={vn-1|n∈N}，因?yàn)锳o=AU{vo}，所以對(duì)Vt∈I，a（Ao（t））=a（A（t）.令

下面證明φ（t）=0，t∈I.由引理3，有

其中K0=maxK（t，s）.因此

對(duì)Vt∈I，由引理3和式（10），有

應(yīng)用引理4，有（t）=0.特別地，a（A（t）=a（A（t））=g（t）=0.即A（t）和A（t）在E中相對(duì)緊.因此{(lán)vn（t）}在E中相對(duì)緊.由Arzela-Ascoli定理可知，{vn}在[vo，wo]中相對(duì)緊.類似地，可得{wn}在[v0，wo]中相對(duì)緊.根據(jù)定理1證明可知，分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題（1）在[vo，w]上存在極小溫和解與極大溫和解.證畢.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）