雙分散介質(zhì)流體在無界區(qū)域上的空間性質(zhì)

摘要：首先，利用微分不等式技術(shù)給出雙向流動介質(zhì)在牛頓冷卻邊界條件下關(guān)于溫度的L范數(shù)和解的先驗(yàn)估計；其次，利用解的先驗(yàn)估計并設(shè)置適當(dāng)?shù)哪芰亢瘮?shù)，證明半無限管道中解隨空間變量代數(shù)式衰減.

關(guān)鍵詞：雙向流動介質(zhì)；空間性質(zhì)；能量分析

中圖分類號：O175.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1052-11

Spatial Properties of Bidisperse Media Flow in Unbounded Domain

CHEN Xuejiao，LIYuanfei

（School of Data Science，GuangzhouHuashangCollege，Guangzhou 511300，China）

Abstract：Firstly，by using differential inequality techniques，we gave a prior estimate of the L'norm and solution of temperature for bidirectional flow media under the Newtonian cooling boundary conditions.Secondly，by using a prior estimate of the solution and setting an appropriate energy function，we proved that the solutions decayed algebraically with spatial variable in a semi-infinite pipe.

Keywords：bidispersiveflow;spatialproperty;energy analysis

0引言

雙分散介質(zhì)是一種多孔體，具有通常的大孔，但在固體骨架中也存在裂縫或裂紋，從而產(chǎn)生微孔[1]，利用Nield等[24]的一般理論，F(xiàn)alsaperla等[5]導(dǎo)出了單溫度雙擴(kuò)散多孔介質(zhì)中的熱對流方程.在不失一般性的情況下，F(xiàn)ranchi等將雙分散（或雙重孔隙）介質(zhì)擴(kuò)散模型簡化為以下形式：

其中：u=（u1，u2，u3）和v=（v1，v2，v3）表示流體的速度；T表示溫度；p，q表示壓強(qiáng)；a表示相容系數(shù)；g=（g1g2g3）表示重力函數(shù)，不失一般性，假設(shè)gl≤1；c表示流體的熱膨張系數(shù)；b1b2表示飽和流體的動態(tài)黏度.在雙向流動中包含溫度非常重要，因?yàn)闊嵝?yīng)可能會在固體骨架中引發(fā)裂紋，進(jìn)而導(dǎo)致微孔.因此，本文在模型中考慮了溫度的影響.多孔介質(zhì)中的雙向流動模型（1）-（3）在流體力學(xué)中應(yīng)用廣泛.例如，油藏開采[6]、化學(xué)工程[7]、土地排水和確保雨水徑流不污染方面[01]、滑坡及其對人類生命的災(zāi)性影響等.Castro等13證明了模型（1）-（3）強(qiáng)解的存在性.

由于在模型建立和簡化的過程中，不可避免地出現(xiàn)一些誤差，因此考察這些誤差是否會對模型的解產(chǎn)生巨大影響非常必要.Franchi等]研究了三維有界域Ω上解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，其中解在區(qū)域的邊界上滿足

或者牛頓冷卻邊界條件

這里n和分別表示上的單位外法向量和單位外法向?qū)?shù)和下是已知函數(shù)k表示牛頓冷卻系數(shù).本文研究雙分散介質(zhì)擴(kuò)散模型（1）-（3）通過一個半無窮柱體時的空間性質(zhì)，目前，關(guān)于各種類型流體模型和彈性模型解的空間性質(zhì)研究已得到廣泛關(guān)注+20，但對雙分散介質(zhì)擴(kuò)散模型解的空間性質(zhì)研究尚未見文獻(xiàn)報道.基于此，本文研究雙分散介質(zhì)流體在無界區(qū)域上的空間性質(zhì).令R表示一個底面位于x10x2坐標(biāo)平面上的半無窮柱體，即

其中D是坐標(biāo)平面x1ox2上的一個光滑有界凸區(qū)域.假設(shè)模型（1）～（3）的解滿足以下邊界條件：

其中：f=（f1，f2，f3），h=（h1，h2，h3）和H是大于零的已知函數(shù)，3D表示D的邊界.

與文獻(xiàn)[1]相比，本文不僅要考慮時間變量而且還要考慮空間變量。因此，本文采用空間加權(quán)的方法.由于在柱體側(cè)面上考慮了牛頓冷卻邊界條件和空間變量的影響，因此本文不采用文獻(xiàn)[21-22]中的方法獲得溫度T的上確界.本文的第一個創(chuàng)新點(diǎn)是通過設(shè)置適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，推導(dǎo)出溫度T的上界.為控制T在R上的L4范數(shù)，傳統(tǒng)方法通常利用以下Sobolev不等式：

其中φ是一個Dirichlet可積函數(shù)，|aD=0，→∞（x3→∞）[19.23]，顯然，該不等式在本文中不再成立.本文的第二個創(chuàng)新點(diǎn)是推導(dǎo)一個關(guān)于T在R上的L范數(shù)的先驗(yàn)估計.

符號約定：Dz表示R 在x3=z處的橫截面，即Dz={x x3=z≥0，（x1，x2）∈D};令Rz 表示R 的子集，即Rz={x x3≥z≥0，（x1，x2）∈D};用逗號表示求導(dǎo);重復(fù)英文字母表示從1至3求和，重復(fù)希臘字母表示從1至2求和，例如ui，jui，j =∑ 3 i，j=1 ?ui ?x ? è ? ? ? ÷ j 2 ，uα，βuα，β = ∑ 2 α，β=1 ?uα ?x ? è ? ? ? ÷ β 2 .

1微分不等式

為推導(dǎo)模型（1）-（7）解的先驗(yàn)界，給出以下引理.

引理1若ゅ是D上的Di根函數(shù).且，dA=0.則存在函數(shù)=（）.滿足并存在僅依賴于D的大于零的常數(shù)k1，滿足

引理2[24]如果φ|aD=0，則

其中入是問題v.+λv=0在D上及v=0在aD上的第一特征值.

如果|aD=0不成立，則可利用以下引理.

引理3[25]如果4是二維區(qū)域D上的有界光滑函數(shù)，則存在依賴于aD的常數(shù)k2gt;0，滿足

引理4如果4是一個Dirichlet可積函數(shù)，且當(dāng)xs→0時，→0，則

證明：利用H?lder不等式，可得

令P是D；內(nèi)的任一點(diǎn)，P，，P2和Q1，Q2是3D；分別與通過點(diǎn)P的直線x2=C，（常數(shù)）和x=C2（常數(shù)）的交點(diǎn).由于

所以

同理，有

結(jié)合式（9），（10），有

令po=min（x.n.），do=max（xx.），則有

從而由式（11）可得

結(jié)合式（8），（12），有

注意到

把式（14）代入式（13）并利用H?lder不等式，可得

在式（15）中取k=2max（（1+d）即可完成證明，

2先驗(yàn)界

設(shè)H（x1，2x3，）是問題△H（x1x2，x3，1）=0

的解，其中p≥1是一個參數(shù).再令（x，t）=H2-1（x1，x2，t）e-1x3，Y1gt;0.顯然，an和H[A]在D上有相同的邊界條件所以由恒等式（H）H=0可得

于是

其中

同理可得

其中

利用引理3及式（20），（22），有

利用式（24），（25），可得以下引理.

引理5則

其中n1（t）和n2（t）是大于0且依賴于t的函數(shù).

證明：由

可得

利用Holder不等式、Young不等式、引理3和式（24），（25）（取p=1），可得

其中Hm=max“H”.把式（27）～（32）代入式（26），并注意到ζ3，ζ≤0再利用式（24），（25）（取p=1），可得

其中

利用式（1），（2），有

注意到

和f，dA=0，則usdA=0.由引理1知，存在中=（中，?。?，滿足

利用引理1和引理2，可得

從而有

同理，有

利用H?lder不等式和Young不等式，有

把式（35）～（38）代入式（34），可得

在式（39）中取x=0并利用式（4），有

其中

結(jié)合式（33），（40），可得

其中

對式（41）從0到t積分，可得

把式（42）代入式（33），可得

取

可得結(jié)論.

引理6設(shè)H∈L∞（R×{tgt;0}），F(xiàn)∈L∞（[0，∞）×aD×{tgt;0}），f，h∈L2（R×{tgt;0}），dA=hadA-0.

證明：在方程（3）兩邊同時乘以T2-1-H，并在R×[0，t]上積分，可得

利用Holder不等式和Young不等式、式（24），（25）及引理5，可得

把不等式（45）～（50）代入式（44）并注意到3，≤0，可得

在式（51）中令p→∞并注意到m1（p，t）和m2（p，1）的定義（見式（21），（23）），即可完成證明.

3空間衰減結(jié)果

首先，定義一個能量函數(shù)

其中g(shù)t;z，6gt;0.對式（52）求導(dǎo)，可得

在式（53）中取z=0并利用引理5和式（4），可得

注意到

其中ygt;0.由式（39）可得

其中

利用方程（3），（5），可得

利用Holder不等式和Young不等式以及引理6，可得

把不等式（57）～（59）代入式（56），可得

其中山+）（5與式（0相加結(jié)合（3）可

其次，定義一個新的輔助函數(shù)

對式（61）從到∞積分并代入式（62），可得

即

其中y，此利用得

于是式（63）可寫為

其中d7=d5√n4（t）+ds.對式（66）從0到z積分并利用式（65），可得

令Mm｝（2）可得

另一方面，對式（52）從到∞積分，可得

結(jié)合式（68），（69）可得以下定理.

定理1設(shè)H∈L∞（R×{tgt;0}），f，F(xiàn)∈L∞（3D×[0，∞）×{tgt;0}），h∈L2（R×{tgt;0}），f dA-nadA-o.

注1定理1表明，當(dāng)z∞時方程（1）-（7）的解代數(shù)式衰減，其衰減速度至少和-1一樣快.這種衰減性結(jié)果可視為工程力學(xué)領(lǐng)域中的Saint-Venant原理型研究結(jié)果.該原理目前已被推廣到流體力學(xué)領(lǐng)域.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）