帶時(shí)滯的發(fā)展方程時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛?/h1>

2024-01-01 00:00:00高娟平劉亭亭

吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)訂閱 2024年5期 收藏

摘要：考慮一類帶時(shí)滯的非自治二階發(fā)展方程.首先，利用Faedo-Galerkin逼近法得到其在C上解的存在性和唯一性；其次，借助算子分解驗(yàn)證過程{U（t，t）}：在Cx上的2c-拉回漸近緊性，從而證明帶時(shí)滯的發(fā)展方程時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛浴?/p>

關(guān)鍵詞：發(fā)展方程；算子分解；時(shí)間依賴?yán)匚?；存在?/p>

中圖分類號(hào)：O175.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5489（2024）05-1027-10

Existence of Time-Dependent Pullback Attractorfor Evolution Equations with Delay

GAO Juanping，LIU Tingting

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：We considered a class of non-autonomous second-order evolution equations with delay.Firstly，we obtained the existence and uniqueness of solution by using Faedo-Galerkin approximation method in C，.Secondly，by means of operator decomposition，the 9c，-pullback asymptotic compactness of the process{U（t，t））on Cx was verified，which proved the existence of time-dependent pullback attractor for evolution equations with delay.

Keywords：evolutionequation;operatordecomposition;time-dependent pullback attractor;existence

0引言

考慮帶時(shí)滯的非自治二階發(fā)展方程

其中：ΩCRN（N≥3）是具有光滑邊界的有界區(qū)域；τ是初始時(shí)間，e=e（t）是關(guān)于t的函數(shù)；φ為區(qū)間[r-h，r]上的初始值；hgt;0表示時(shí)滯效應(yīng)的長(zhǎng)度；f是非線性項(xiàng)；g是時(shí)滯項(xiàng)；k∈L（R；L2（））是外力項(xiàng)；函數(shù)u和在[-h，0]上分別定義為u2（）=u（t+），E=（t+），∈[-h，0].

假設(shè)以下條件成立：

（H1）函數(shù)e∈C（R）單調(diào)遞減，并滿足

特別地，存在Lgt;0，使得

（H2）函數(shù)f∈C2（R，R），f（0）=0，并且滿足以下條件：

其中l(wèi)是正常數(shù)，當(dāng)N≥3時(shí)，有

這里0常數(shù)

（H3）外力項(xiàng)k∈L（R；L2（2），并且有

（H4）定義時(shí)滯項(xiàng)g：R×C2→L2（2）滿足下列條件：

1）對(duì)所有的∈C2），函數(shù)∈R→g（t，）∈L2（2）是可測(cè)的；

2）對(duì)所有的t∈R，g（t，0）=0；

3）存在Cgt;0，使得對(duì)任意的t∈R，，∈C2（），有

4）存在mogt;0，Lgt;0，使得對(duì)任意的u，∈C（[-h，1]：L2（）和m∈[0，m]，成立

當(dāng)方程（1）中的系數(shù)e（t）=e且時(shí)滯項(xiàng)g（t，u2）=0時(shí)，文獻(xiàn)[1-3]研究了半線性發(fā)展方程un-△u-△u，-ε△u+f（u）=h（x）解的漸近行為.當(dāng)方程（1）的系數(shù)ε=0時(shí)，方程（1）即為通常的強(qiáng)阻尼波方程，其解的漸近行為在吸引子方面已得到廣泛研究[5].在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，Zhang等[6]考慮了記憶項(xiàng)的發(fā)展方程：

并研究了其魯棒指數(shù)吸引子的存在性.

當(dāng)ε（t）為一正遞減有界函數(shù)，且在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于0時(shí)問題就變得更復(fù)雜.這是因?yàn)榧词雇饬?xiàng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，此時(shí)的問題仍需在非自治的情形下研究，由于系統(tǒng)的能量泛函依賴于時(shí)間t，并且在t→∞，e（t）→0時(shí)系統(tǒng)的耗散性也發(fā)生了變化，一些古典理論（拉回吸引子，時(shí)間依賴吸引子）和方法解決這類問題受到限制，因此研究者們提出了時(shí)間依賴吸引子的概念，并得到廣泛關(guān)注，時(shí)滯項(xiàng)是一類表示某種延遲、記憶或者遺傳特征的算子，研究許多問題時(shí)不僅需考慮系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，還要考慮其過去的行為.關(guān)于時(shí)滯方程解的漸近性研究目前已有很多結(jié)果[：文獻(xiàn)[9]研究了帶時(shí)滯的非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程

的時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛院驼齽t性；文獻(xiàn)[14]考慮了帶時(shí)滯的半線性阻尼波方程拉回吸引子的存在性；文獻(xiàn)[15]討論了帶有遺傳特征的非自治半線性二階發(fā)展方程

拉回吸引子的存在性.

受上述研究工作的啟發(fā)，本文考慮帶時(shí)間依賴衰退系數(shù)e（t）以及時(shí)滯項(xiàng)g（t，u）的時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛?，關(guān)于發(fā)展方程的時(shí)間依賴吸引子文獻(xiàn)[8]已經(jīng)考慮了g=0時(shí)其存在性.對(duì)于方程（1），本文通過借助文獻(xiàn)[12]的方法，即先對(duì)方程（1）進(jìn)行分解，將解過程分解為兩部分，使得一部分滿足緊性，另一部分衰退，從而驗(yàn)證了過程的拉回漸近緊性，證明了帶時(shí)滯的發(fā)展方程時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛?

1預(yù)備知識(shí)

不失一般性，記H=L2（2），其對(duì)應(yīng)的內(nèi)積與范數(shù)分別記為lt;·）和‖·‖.對(duì)于0≤slt;2，定義由A生成的Hilbert空間族H=D（A2），并賦予如下內(nèi)積與范數(shù)：

對(duì)t∈R及0≤5lt;2，引入時(shí)間依賴空間=H1×H}，且對(duì)應(yīng)的范數(shù)定義為

其中‖u‖表示H空間中賦予范數(shù)‖·‖2+‖·‖.

此外，定義Ct2（m）為C∈（[-h，0]；X）上賦予上確界范數(shù)‖·‖c∈（[-n，0]x）的Banach空間，即

類似地，定義

對(duì)Vt∈R，考慮時(shí)間依賴空間C，并賦予以下范數(shù)：

其中=e（t+），∈[-h，0].

定義1[9]若一族雙參數(shù)映射{U（t，s）|t≥s}滿足下列性質(zhì)，則稱其是Banach空間X上的一個(gè)過程：

1）U（t，t）x=x，Vt∈R，x∈X1;

2）U（t，s）U（s，t）=U（t，），Vt≥s≥t.

若（t，s，x）→U（t，s）x（t≥s，x∈X1）是連續(xù)的，則稱{U（t，r）}是一連續(xù)過程.

設(shè)9表示一族非空參數(shù)集族D={D（t）；t∈R}CP（X），其中（X）表示X上所有的非空子集族.

定義2如果對(duì)每個(gè)D=｛D（t｝eR∈9，都有｛D（）：D（t）是D（t）的非空子集，t∈R｝∈9則X非空子集的一些集族構(gòu)成的集合9稱為包含閉.

定義3若對(duì)任意的t∈R及任意的B={B（t）}∈R∈1，存在to=t0（B，t）∈R+，使得

則稱集族2=｛Q（t）｝R∈91關(guān)于過程｛U（t，て）｝是の-拉回吸收的.

定義4設(shè)｛U（t，て）｝是X，上的過程，對(duì)任意的t∈R，=｛B（t）｝R，當(dāng)sn（→+∞）→-∞，xn∈B（t-sn）時(shí)，序列yn∈U（t，t-sn）xn在X2中有一收斂的子列，則稱{U（t，t）}1≥：在X1中是9-拉回漸近緊的.

定義5如果一個(gè)非空子集={A（t）}1∈R∈1滿足下列條件，則其稱為過程{U（t，t）}在X，中的9-拉回吸引子：

1）A={A（t）}∈R∈21是不變的，即

2）1，=｛A（t）｝eR∈9，拉回9-吸引X，中所有的有界集，即對(duì)任意的t∈R，D∈9，有

定理1[13]設(shè){U（t，r）}：是Banach空間X上的過程，2={Q（t）}∈R是-拉回吸收集，對(duì)任意固定的t∈R，若{U（t，r）}：能分解成如下形式：

且U1滿足

并且對(duì)任意固定的sgt;0，存在X2中的Cauchy序列{ym}∈U2（t，t-s）Q（t-s）.則過程{U（t，t）}≥在X2中是9-拉回漸近緊的.

定理2[13]設(shè){U（t，r）}是Banach空間X1上的過程，對(duì)固定的t≥r，r∈R，{U（t，r）}≥：是閉的，且{U（t，r）}在X1中是上半連續(xù)的，如果在X2中{U（t，t）}存在閉的9-拉回吸收集2={Q（t）}∈R，且是9-拉回漸近緊的，則存在唯一的9-拉回吸引子={A（t）}，其中

2解的存在性和唯一性

定理3假設(shè)條件（H1）～（H4）成立，初值ゅ∈C則方程（1）存在弱解（t）=（u（），），且

證明：1）存在性.下面用標(biāo)準(zhǔn)的Fadeo-Galerkin逼近方法證明方程（1）解的存在性.根據(jù)經(jīng)典的譜算子理論，假設(shè)存在L2中的正交基x構(gòu)成了A=-△的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為λ（i=1，2，·），滿足

對(duì)每個(gè)m，根據(jù)經(jīng)典的常微分方程理論，假設(shè)存在近似解um，其形式為

且滿足

其中Pm：L2→.m為正交投影且.m=span{x1，x2，·，xm}.

下面推導(dǎo)Galerkin近似解的先驗(yàn)估計(jì).用vm=um+aum與方程（11）在L2中做內(nèi)積，有

由Cauchy和Young不等式以及式（6），（7），有

把式（13）～（15）代入式（12），并由Poincare不等式1lmI≤IIm2，可得

再由式（2），（3）及ε'（t）lt;0，取μlt;a2，有

其中alt;min}.從而可得

記

則式（18）可以重寫為

用e“乘以式（19），可得

在τ到t對(duì)式（20）積分，有

由式（10），有

將式（22）代入式（21），并應(yīng)用積分形式的Gronwall引理，可得

其中-.-.=2.、（3）兩邊同時(shí)以で有

記a-C1=B，則

結(jié)合式（24）和式（25），可得{um，um}在L～（r-h，T；（2）上有界.因此，存在一個(gè)子列（仍記作um，3um），結(jié)合式（25），當(dāng)m→∞時(shí)可得：um→u弱*收斂于L（t-h，T;H（Ω））；，um→3，u弱*收斂于L（r-h，T;H1（Ω））；對(duì)幾乎每個(gè)（t，x）∈[r-h，T]×Ω，um→u;f（um）→f（u）弱收斂于L2（r-h，T；L2-2（）.對(duì)式（11）兩邊取極限可得方程（1）的解u，它滿足u（t）∈L（r-h，T;H1（A）），u∈L（r-h，T;H1（A）），且

2）唯一性.設(shè)l，2是方程（1）對(duì)應(yīng)初值中ゅ∈Cx的解，常數(shù)Co=Co（C，1，C）gt;0.令（t）=ul（t）-u2（t），則（t）滿足

用の=+（0lt;lt;1）與方程（26）在L2中做內(nèi)，計(jì)算得

由條件（5）、Young和Holder不等式以及H←L2N/（N-2），可得

再利用條件（9）、Young和Holder不等式，得

2（g（t，）-g（t，u2），）≤2Ig（t.）-g（t，2）·l≤

將式（28）（29人式（2）Pme等再取mn）可得

在τ到t上對(duì)式（30）積分，有

用t+0代替t，并由Poincare不等式，得

其中Cma++

記

則有

應(yīng)用Gronwall引理，可得

證畢.

根據(jù)定理3，可定義過程{U（t，t）}1≥為

且U（t，r）p={u1（·；r；p）|u（·）是方程（1）的解，∈Cx}，同時(shí)過程{U（t，r）}：在C，中是連續(xù)的.

3時(shí)間依賴?yán)匚拥拇嬖谛?/p>

記9為所有非空子集D=｛D（t）；t∈R｝CC）組成的集類，且

其中3gt;0.

引理1假設(shè)條件（H1）～（H4）成立，初值∈Cy，則方程（1）的解z=（u（t），?，u）滿足下列估計(jì)式：

其中G.c=3.G=2.=

證明：用='+a與方程（1）在L2中做內(nèi)，得

類似于定理3的證明，有

用t+0代替t（0∈[-h，0]），可得

定理4（拉回-吸收集）假設(shè)條件（H1）～（H4）成立，D1={D1（t）；t∈R}且D1（t）=Bx（0，p（t）表示以零為中心、半徑為p（t）的閉球，其中

則對(duì)應(yīng)方程（1）的過程{U（t，r）}：是拉回2g-吸收的，而且D1∈.

證明：根據(jù)引理1的結(jié)果可知，D1是方程（1）的拉回-吸收集，由式（34）和式（39），當(dāng)t→-∞時(shí)，有ep2（t）→0，則D1∈3.證畢.

定理5假設(shè)條件（H1）～（H4）成立，則過程{U（t，t）}：在Cx2中是c-拉回漸近緊的.

證明：對(duì)任意的T≥t-s且s≥0，有

{U（T，t-s）}φ={ur（·;t-s;φ）|u（·）是方程（1）的解，且φ∈Q（t-s）}，其中C={Q（t）}∈R是C中的C-拉回吸收集.

令u=v+w，將方程（1）做如下分解：

對(duì)于方程（41），根據(jù)式（38），當(dāng)f=g=k=0時(shí)，有

下面估計(jì)滿足式（40）的解，設(shè)u1和u2是方程（1）的解，對(duì)應(yīng)的初值為1和2，令y（T）=v1-v2，其中v1和v2是方程（40）的解，則y（T）滿足下列方程：

用y（T）與方程（43）在L2中做內(nèi)積，可得

將式（44）在[t-s，t+0]上積分（其中0∈[-h，0]），有

由式（4），有

將式（46）代入式（45）可得

設(shè)unrEU（T，t-s）且，EQ（t-s），根據(jù)式（38）可設(shè)：un-u弱*收斂于L\"（t-s-h，t;H'（Ω））;a，u，→u弱*收斂于L\"（t-s-h，t;H（Ω））.因此u，→u弱收斂于L2（t-s-h，t;H'（Ω））.

由于g：RXC0-L2（Ω），對(duì)每個(gè)a.e～（T，x）E[t-s-h，t]×2，有g(shù)（T，u，r）-g（T，uT）（n→0），根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，有

所以

結(jié)合式（47）和式（48）得

再結(jié)合式（44）～（49）和定理1知，過程（U（1，t）1gt;，是9c-拉回漸近緊的.證畢.

定理6（9-拉回吸引子的存在性）假設(shè)引理1的條件成立，則過程（U（t，t））gt;在C，中有唯一的時(shí)間依賴?yán)匚樱╯e，（t）heRE9c，

證明：根據(jù)定理4和定理5可知，方程（1）的過程族（U（t，t）lgt;在Cx中存在一個(gè)9c-拉回吸收集和2c-拉回漸近緊的，為得到2-拉回吸引子的存在性，只需證明（se，（t）1，eRe9c的正不變性，其中

且2c，=（Q（t）leR是過程{U（t，t）l，gt;e在Cx上的9c-拉回吸收集.

設(shè)yEsc，（t），存在序列s，ER+（s，→+0），x，EQ（t-s，）和y，EU（t，t-s.）x，，使得當(dāng)n→0時(shí)，在C，（t）上y，→y.另一方面，對(duì)充分大的n，有

由過程{U（t，t）lgt;：是9-拉回漸近緊的知，存在一個(gè)子序列

仍記作a，，使得y，EU（t，t）a，，且在C，（t）上，有

則顯然有，由定理3解的存在性可知，在L2（一h，0；x（Ω））中，有

其中u是方程（1）的解，結(jié)合式（50），（51），可得yEU（t，t）xCU（t，t）se，（t），證畢.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）

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