基于多視角數(shù)字全息的微尺度液滴表面結(jié)構(gòu)三維測(cè)量研究

摘要： 數(shù)字全息技術(shù)在發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒、噴霧、排放中產(chǎn)生的微尺度液滴的三維結(jié)構(gòu)測(cè)量中有著廣泛的應(yīng)用，但是過去的數(shù)字全息技術(shù)僅能獲得橢球形假設(shè)下的液滴大致形狀，難以獲得完整的三維表面形狀信息。針對(duì)毫米級(jí)液滴的三維表面形狀開展測(cè)量，開發(fā)了一種新型的多角度共軸全息系統(tǒng)，使用7臺(tái)相機(jī)從不同方向上同步拍攝毫米級(jí)液滴的全息圖，通過將不同方向上獲得的全息圖耦合，獲得較為完整的物體表面點(diǎn)云陣列，從而得到較精確的物體表面形狀。該系統(tǒng)可以較為準(zhǔn)確地測(cè)量毫米級(jí)物體的三維表面形狀，在發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部過程診斷工作中有一定應(yīng)用潛力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)字全息；液滴；三維測(cè)量技術(shù)；誤差修正

DOI： 10.3969/j.issn.1001-2222.2024.04.010

中圖分類號(hào)：TN247文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B文章編號(hào)： 1001-２２２２（２０24）０4-００71-０8

數(shù)字全息技術(shù)利用光學(xué)衍射過程實(shí)現(xiàn)被記錄物體三維結(jié)構(gòu)的全息再現(xiàn)，對(duì)于微米至毫米級(jí)別尺度的液滴、氣泡、顆粒物等對(duì)象的外形結(jié)構(gòu)測(cè)量準(zhǔn)確性 較高，因此被廣泛應(yīng)用在發(fā)動(dòng)機(jī)噴霧、燃燒和排放的三維測(cè)量［1-4］。數(shù)字全息技術(shù)作為一種三維測(cè)量技術(shù)，相比于傳統(tǒng)的非介入性光學(xué)測(cè)量技術(shù)而言，最大的優(yōu)勢(shì)是可以通過單一光路獲得被測(cè)物體的三維信息，包括形狀、位置和速度［5］，同時(shí)精度相比傳統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量方法更高。然而，單一光路的數(shù)字全息技術(shù)，僅能獲得橢球形假設(shè)下的液滴大致形狀，無(wú)法獲得較為準(zhǔn)確的物體三維表面形狀信息，如何確定準(zhǔn)確的三維物體表面形狀，是目前數(shù)字全息技術(shù)的主要研究方向之一［6］。

針對(duì)基于數(shù)字全息技術(shù)的物體三維表面形狀的測(cè)量，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開展了一些研究［7-11］。美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)的洪家榮團(tuán)隊(duì)［12］采用橢球形假設(shè)，進(jìn)行三維擬合，完成了在空化流場(chǎng)尾流脫落氣泡的測(cè)量。美國(guó)哥倫比亞大學(xué)的Nayar團(tuán)隊(duì)開發(fā)了一種圖像計(jì)算處理方法，可以獲得圖像中隱藏的三維信息［13］，并在人臉識(shí)別與三維重構(gòu)領(lǐng)域上取得突破，重構(gòu)精度可以達(dá)到100 μm［14］。上海交通大學(xué)的蔡偉偉團(tuán)隊(duì)［15］使用多組相機(jī)對(duì)被測(cè)火焰進(jìn)行拍攝，假設(shè)三維火焰充滿被測(cè)區(qū)域，然后利用基于數(shù)字全息技術(shù)開發(fā)得到的空間雕刻法對(duì)三維重構(gòu)火焰進(jìn)行修正，獲得了較為理想的火焰燃燒過程。日本京都工業(yè)大學(xué)Fukuda團(tuán)隊(duì)［16］開發(fā)了一種高精度的平行相位移全息技術(shù)，通過使用不同振幅的激光獲得多幅全息圖，再將這些全息圖組合，獲得了精度較高的三維全息重構(gòu)結(jié)果，并應(yīng)用于虛擬全息影像領(lǐng)域。美國(guó)約翰霍普金斯大學(xué)Katz團(tuán)隊(duì)［17］開發(fā)了一種彩虹全息三維重構(gòu)技術(shù)，利用不同波長(zhǎng)的光從不同角度照射同一個(gè)物體，獲得多幅彩色全息圖，利用不同波長(zhǎng)下生成的擁有不同特點(diǎn)的全息圖進(jìn)行三維重構(gòu)，生成三維重構(gòu)圖，該技術(shù)計(jì)算速度較快，但精度有限。此外還有應(yīng)用在特殊場(chǎng)景，利用特殊材料的光敏特性進(jìn)行三維全息重構(gòu)的研究記錄，例如北京分子科學(xué)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室開發(fā)了一種單晶氧化鐵納米片，利用這種材料對(duì)血紅細(xì)胞進(jìn)行三維重構(gòu)，獲得了較為理想的效果［18］?？偠灾?dāng)前雖然已有許多基于數(shù)字全息技術(shù)開發(fā)的微尺度物體三維形態(tài)測(cè)量方法，但是這些方法普遍存在適用性和精度不可兼得的問題，某些方法還存在驗(yàn)證困難的問題。

本研究基于數(shù)字全息技術(shù)原理，結(jié)合三維層析成像理念，采用多臺(tái)相機(jī)從空間不同角度同步拍攝被測(cè)對(duì)象，結(jié)合全息圖再現(xiàn)和三維擬合方法，對(duì)毫米尺度的液滴表面結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維重構(gòu)，并完成了單一液滴表面位置信息的精確描述，實(shí)現(xiàn)了較高的三維測(cè)量精度。

1多角度數(shù)字共軸全息測(cè)量方法

1.1試驗(yàn)裝置

本研究的試驗(yàn)部分于北京理工大學(xué)西山試驗(yàn)區(qū)的發(fā)動(dòng)機(jī)研究所光學(xué)實(shí)驗(yàn)中心完成。如圖1所示，試驗(yàn)在2 m×1.4 m×0.8 m的光學(xué)試驗(yàn)臺(tái)上開展，使用直徑為1.2 m的環(huán)形導(dǎo)軌固定升降臺(tái)，總共使用7組升降臺(tái)，升降臺(tái)控制三維云臺(tái)的高度，三維云臺(tái)控制相機(jī)的空間角。此次試驗(yàn)測(cè)試對(duì)象為10 mL針管中滴下的水滴，水滴落下的速度大約為20 mm/s，針管固定在支架上，水滴為不規(guī)則球形，最大直徑約為3 mm。車用發(fā)動(dòng)機(jī)2024年第4期2024年8月宗子建， 等： 基于多視角數(shù)字全息的微尺度液滴表面結(jié)構(gòu)三維測(cè)量研究

此次試驗(yàn)總共使用7臺(tái)高分辨率工業(yè)相機(jī)（Manta 507B），7臺(tái)相機(jī)均勻布置在環(huán)形導(dǎo)軌180°范圍內(nèi)（見圖1）。其中1臺(tái)相機(jī)作為同步觸發(fā)源，使用自帶的內(nèi)觸發(fā)模式同步觸發(fā)其余6臺(tái)相機(jī)，具體步驟是將作為觸發(fā)源相機(jī)的輸出線與其余6臺(tái)相機(jī)的輸入線相連，將觸發(fā)源相機(jī)改為內(nèi)觸發(fā)模式，并設(shè)定采樣頻率、單幀曝光時(shí)間、采樣次數(shù)等參數(shù)，然后將其余6臺(tái)相機(jī)的觸發(fā)模式改為外觸發(fā)模式，并同步其他參數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)所有相機(jī)的同步拍攝。經(jīng)測(cè)試，所有相機(jī)之間的最大拍攝延遲小于1 μs，由于被測(cè)液滴下落速度較慢，由拍攝延遲過程引起的各相機(jī)液滴位置錯(cuò)動(dòng)可忽略。

本試驗(yàn)采用多角度共軸全息系統(tǒng)對(duì)單一液滴進(jìn)行拍攝。單一視角的共軸全息系統(tǒng)如圖2所示，該系統(tǒng)由激光器、激光擴(kuò)束系統(tǒng)和成像系統(tǒng)組成，其中激光軸線、擴(kuò)束系統(tǒng)軸線與成像系統(tǒng)軸線重合。激光器采用雷佰 527 nm連續(xù)激光器，其功率為80 mW，產(chǎn)生的初始激光光斑直徑約為3 mm。激光擴(kuò)束系統(tǒng)由直徑50 mm/焦距160 mm的平凹鏡1、直徑25 mm/焦距50 mm的平凸鏡1和直徑100 mm/焦距200 mm的平凸鏡2組成。所有透鏡共軸，并通過三維支架、連接桿、立柱和滑塊安裝在直線導(dǎo)軌上，擴(kuò)束系統(tǒng)總長(zhǎng)度為460 mm，可將光源擴(kuò)束為直徑45 mm的圓柱形平行光，放大倍率大約為15。成像系統(tǒng)由減光片、鏡頭和相機(jī)組成。減光片為OD2全波長(zhǎng)吸收濾片，光學(xué)信號(hào)通過率為1%，鏡頭為Nikkon 105 mm微距鏡頭，相機(jī)成像平面的像素分辨率為2 502×2 048，像素尺寸為3.45 μm，采樣幀率設(shè)置為30 fps，單幀曝光時(shí)間為 100 μs。

為實(shí)現(xiàn)后續(xù)步驟中對(duì)液滴形貌的三維重構(gòu)，需要首先完成所有相機(jī)空間位置和角度的標(biāo)定。本研究采用基于Matlab平臺(tái)的多相機(jī)同步標(biāo)定算法［19］完成成像系統(tǒng)標(biāo)定，并將系統(tǒng)聚焦位置設(shè)置為距被測(cè)物體30 mm，靠近成像系統(tǒng)。標(biāo)定后的系統(tǒng)物像比為1∶1.12，拍攝獲得的圖片實(shí)際物理尺寸為8.5 mm×7.0 mm。

1.2計(jì)算公式

全息技術(shù)利用了光的衍射與干涉原理。激光經(jīng)過目標(biāo)物體時(shí)發(fā)生衍射現(xiàn)象產(chǎn)生偏移形成物光，沒有經(jīng)過目標(biāo)物體的光形成參考光，物光與參考光發(fā)生干涉現(xiàn)象生成明暗相間的條紋被記錄在相機(jī)底片上［20］（如圖3所示），衍射光傳播的距離不同，在相機(jī)底片上生成的衍射條紋形狀不同?；谙鄼C(jī)1建立左手系直角坐標(biāo)o-xyz，其中坐標(biāo)原點(diǎn)o定義為相機(jī)1拍攝圖像的中心點(diǎn)，z軸定義為光路方向，被測(cè)目標(biāo)物體位于xoy平面。在共軸全息系統(tǒng)中，物光和參考光共同作用，在相機(jī)成像平面形成干涉條紋并生成全息圖，該全息圖可采用衍射公式進(jìn)行數(shù)學(xué)重建，還原發(fā)生衍射的物體所在的空間位置信息。因此，全息技術(shù)可以概括為“干涉記錄，衍射重建”。

全息試驗(yàn)使用的衍射公式有菲涅爾衍射公式和角譜衍射公式，一般情況下，衍射距離較長(zhǎng)時(shí)使用菲涅爾衍射公式計(jì)算效果較好，衍射距離較短時(shí)使用角譜衍射公式計(jì)算效果較好。本研究采用角譜衍射公式：

upx，y，d=Ikx，yHfx，fy。（1）

式中：upx，y，d為目標(biāo)區(qū)域的三維光學(xué)信號(hào)場(chǎng)；Ikx，y為全息圖中的信號(hào)強(qiáng)度分布；為卷積計(jì)算符號(hào)；Hfx，fy為衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)。

Hfx，fy=expj2πλd1-λfx2-λfy2。（2）

式中：λ為激光波長(zhǎng)；d為計(jì)算位置與系統(tǒng)聚焦平面的z方向距離；fx=x/λd，fy=y/λd。在實(shí)際計(jì)算過程中，為求解式（1），使用衍射公式的傅里葉變換形式完成計(jì)算：

upx，y，d=

FFT-1FFTIkx，yHfx，fy。（3）

式中：FFT和FFT-1分別為正向和逆向快速傅里葉變換運(yùn)算符號(hào)。

2數(shù)據(jù)處理與結(jié)果展示

2.1數(shù)據(jù)處理過程

本試驗(yàn)的圖像數(shù)據(jù)處理過程分為以下幾個(gè)步驟：相機(jī)標(biāo)定、數(shù)值重建、二值化和三維重構(gòu)。

首先，為完成多角度全息同步拍攝，分兩次對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定：第一次標(biāo)定確定所有7臺(tái)相機(jī)在基于相機(jī)1建立的直角坐標(biāo)系o-xyz中的空間角度信息；第二次標(biāo)定確定各相機(jī)的聚焦位置。在第一次標(biāo)定中，7臺(tái)相機(jī)在不同的空間位置對(duì)同一標(biāo)定板進(jìn)行拍攝（如圖4所示），標(biāo)定板圖案由多個(gè)3 mm×3 mm的黑白方格組成。在不同空間角度觀測(cè)下，標(biāo)定板圖案將發(fā)生不同程度的變形。在所有相機(jī)拍攝的標(biāo)定圖像中選取相同的4×4網(wǎng)格區(qū)域，采用多相機(jī)同步標(biāo)定算法［19］，定量獲取網(wǎng)格圖像的變形信息，進(jìn)而確定各臺(tái)相機(jī)空間角度信息，即平轉(zhuǎn)角α（相機(jī)光軸在xoz平面的投影與z軸正方向的夾角）和俯仰角θ（相機(jī)光軸與xoz平面的夾角）。標(biāo)定結(jié)果如表1所示。可見基準(zhǔn)相機(jī)（相機(jī)1）的平轉(zhuǎn)角α為0，各相機(jī)在-90°～90°近似平均分布。所有相機(jī)的仰角均較小。在標(biāo)定過程中，所有相機(jī)均拍攝到標(biāo)定板棋盤格上的圖片中心點(diǎn)，標(biāo)定過程可將所有相機(jī)的光軸匯聚至該點(diǎn)。

由于數(shù)字全息技術(shù)是一種離焦拍攝技術(shù)，因此需要將標(biāo)定板前移進(jìn)行第二次標(biāo)定，標(biāo)定出相機(jī)的放大率。第二次標(biāo)定時(shí)標(biāo)定板位置為實(shí)際拍攝時(shí)相機(jī)的聚焦位置，由于拍攝時(shí)液滴位于聚焦平面后方，因此拍攝的全息圖中的液滴基本處于離焦?fàn)顟B(tài)。7臺(tái)相機(jī)同步拍攝的液滴照片如圖5所示，各相機(jī)均能捕捉液滴下落過程中某時(shí)刻所處位置（位于相機(jī)成像區(qū)域下方），同時(shí)也呈現(xiàn)了液滴滴管出口的位置信息（位于成像區(qū)域上方），各相機(jī)同步性良好，圖片在液滴下落方向上的位置錯(cuò)動(dòng)可忽略不計(jì)。此外，各相機(jī)原始圖像的背景亮度和信號(hào)分布有一定差異，這是由各獨(dú)立數(shù)字共軸全息系統(tǒng)內(nèi)部組件成像差異造成的，對(duì)液滴結(jié)構(gòu)的影響可忽略。

為獲得被測(cè)液滴的三維信息，需要使用衍射公式對(duì)原始拍攝的全息圖進(jìn)行數(shù)值重建。首先對(duì)各相機(jī)圖片進(jìn)行裁剪，設(shè)置計(jì)算的區(qū)域像素尺寸2 000×2 000，再使用前文中提及的式（3）對(duì)全息圖沿z軸方向進(jìn)行數(shù)值重建。由式（3）可知，根據(jù)光的傳播距離不同，計(jì)算得到的全息重構(gòu)圖各不相同，因此，沿z方向設(shè)置步長(zhǎng)1 mm，在不同z軸位置進(jìn)行全息圖重建，從而獲得一組全息重構(gòu)圖。這些全息圖上所有點(diǎn)的聚焦?fàn)顟B(tài)各不相同，如圖6所示，同一段邊界在不同z軸位置下出現(xiàn)了不同的聚焦?fàn)顟B(tài)，如底部邊界由z為10 mm至z為66 mm的過程中經(jīng)歷了未聚焦—聚焦—過聚焦。同時(shí)，液滴各位置邊界并不能在某個(gè)z軸位置實(shí)現(xiàn)同時(shí)聚焦，如圖6b和圖6c所示，底部邊界在z=44 mm聚焦，而側(cè)面邊界在z=46 mm聚焦。在全息圖重構(gòu)過程中，液滴邊界聚焦?fàn)顟B(tài)簡(jiǎn)單判斷的依據(jù)是全息圖的衍射條紋邊界清晰程度。在重構(gòu)過程中，全息圖的衍射條紋發(fā)生變化，在液滴邊界上形成條帶狀亮斑，此時(shí)液滴邊界并未聚焦，如圖6a中所示。當(dāng)液滴邊界的亮斑消失時(shí)，在全息重構(gòu)圖中液滴邊界清晰可見，液滴邊界內(nèi)外的噪點(diǎn)信息很少，此時(shí)的液滴邊界處于聚焦?fàn)顟B(tài)，如圖6b和圖6c中的聚焦?fàn)顟B(tài)所示。當(dāng)液滴邊界出現(xiàn)較強(qiáng)的噪點(diǎn)信息時(shí)，液滴邊界處于過聚焦?fàn)顟B(tài)，如圖6d所示。這種聚焦?fàn)顟B(tài)的判斷方式是基于圖像信息的主觀判定，僅用作初步判斷，后續(xù)使用最小亮度法（見圖7），可通過圖像亮度分布信息實(shí)現(xiàn)聚焦?fàn)顟B(tài)的準(zhǔn)確判斷。由于液滴邊界的聚焦位置是其在三維空間中所處的真實(shí)位置，所以通過掃描z方向各位置全息圖，可確定液滴邊界上各點(diǎn)的空間位置。

為準(zhǔn)確判斷液滴各邊界位置的聚焦情況，本研究采用最小亮度法［21］進(jìn)行處理。如圖7所示，研究沿z軸分布的全息圖片族中相同位置像素（即x和y坐標(biāo)相同）的信號(hào)變化規(guī)律，將該像素的z軸坐標(biāo)作為橫坐標(biāo)，將該像素灰度值視作像素強(qiáng)度并作為縱坐標(biāo)。由圖7可知，如果該像素點(diǎn)位于液滴內(nèi)部，則該點(diǎn)的強(qiáng)度曲線上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)明顯的波谷，而且像素強(qiáng)度最小值遠(yuǎn)小于平均值；如果該點(diǎn)位于無(wú)液滴的背景區(qū)域內(nèi)，則該點(diǎn)像素強(qiáng)度曲線無(wú)明顯波谷。因此，根據(jù)圖7展示的像素強(qiáng)度規(guī)律，可判定每個(gè)像素強(qiáng)度最小值所對(duì)應(yīng)的z軸位置為該像素的聚焦位置。對(duì)所有像素都進(jìn)行以上處理，可獲得組合全息圖，如圖8所示。將組合全息圖與原圖對(duì)比可知，組合全息圖中衍射條紋消失，所有液滴邊界均處于聚焦?fàn)顟B(tài)。由于在計(jì)算組合全息圖時(shí)已獲得液滴邊界上各點(diǎn)的聚焦位置（即z坐標(biāo)），由結(jié)合組合全息圖中提供的x和y坐標(biāo)，即可獲得液滴邊界的三維位置信息。組合全息圖在全息圖的處理過程中十分重要，因?yàn)榻M合全息圖是后續(xù)生成二值化圖像、完成液滴邊界點(diǎn)精準(zhǔn)提取的關(guān)鍵。

根據(jù)最小亮度法，可有效判斷組合全息圖中的像素點(diǎn)所處位置（液滴區(qū)域或背景區(qū)域）。因此，進(jìn)一步對(duì)組合全息圖進(jìn)行二值化處理，獲得二值圖像。在二值圖像的基礎(chǔ)上使用Matlab圖像處理模塊中的Sobel算子提取液滴邊界線圖像，該算子將圖像中每個(gè)像素的相鄰4個(gè)像素灰度值進(jìn)行加權(quán)，加權(quán)值在液滴邊界線處達(dá)到極值，從而實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)的目的，如圖9a所示。在已獲得的組合全息圖（見圖8b）中，原始全息圖中的各點(diǎn)在空間中的三維坐標(biāo)已經(jīng)確定，再結(jié)合液滴邊界圖（見圖9a），可以得到液滴邊界上各點(diǎn)的三維坐標(biāo)分布圖（見圖9b）。圖9b主要體現(xiàn)了液滴邊界點(diǎn)在z軸方向上的坐標(biāo)，因此也被稱為深度圖。如圖9b所示，從深度圖上可以看到液滴邊界在z方向上的位置分布，這與全息圖重構(gòu)過程中得到的結(jié)論吻合。

處理單組全息圖數(shù)據(jù)后，需要按照同樣的方法處理剩余6組全息圖數(shù)據(jù)。由于在處理全息圖數(shù)據(jù)時(shí)默認(rèn)采用的都是基于各相機(jī)成像平面的三維坐標(biāo)系，因此，需要利用各相機(jī)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系o-xyz中的空間方向角對(duì)全息計(jì)算結(jié)果進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化。在之前的相機(jī)標(biāo)定步驟中，已建立了以相機(jī)1為基準(zhǔn)的三維直角坐標(biāo)系，因此相機(jī)1的數(shù)據(jù)不需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。對(duì)于相機(jī)2至相機(jī)7，需要依次進(jìn)行三次坐標(biāo)變換。第一次坐標(biāo)變換的目的是將以該相機(jī)建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)與相機(jī)1坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，由相機(jī)標(biāo)定步驟可知，7臺(tái)相機(jī)已經(jīng)確定共同的坐標(biāo)原點(diǎn)o，該點(diǎn)可以被7臺(tái)相機(jī)同時(shí)捕捉，該點(diǎn)在不同相機(jī)的三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)通過全息圖計(jì)算得到。對(duì)相機(jī)2至相機(jī)7獲得的所有液滴邊界點(diǎn)進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換，第一次坐標(biāo)變換公式為

x1=x-x0

y1=y-y0

z1=z-z0。（4）

式中：x0，y0，z0是以相機(jī)1為基準(zhǔn)建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)o在進(jìn)行該視角下全息計(jì)算獲得的坐標(biāo)o（x0，y0，z0）；x1， y1， z1為相機(jī)2至相機(jī)7成像平面內(nèi)任一點(diǎn)P進(jìn)行第一次變換后的新坐標(biāo)P1（x1， y1， z1）。經(jīng)過第一次坐標(biāo)變換后，7臺(tái)相機(jī)各自建立的三維坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，但x軸、y軸和z軸并不重合。第二次坐標(biāo)變換將相機(jī)2至相機(jī)7的三維坐標(biāo)系按照前序標(biāo)定步驟獲得的俯仰角θ進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，可以將7組坐標(biāo)系的z軸重合，第二次坐標(biāo)變換公式為

x2=x1

y2=z1sinθ+y1cosθ

z2=z1cosα-y1sinθ。（5）

式中：θ為表1中的俯仰角；x2， y2， z2為點(diǎn)P進(jìn)行第二次變換后的新坐標(biāo)P2（x2， y2， z2）。經(jīng)過第二次坐標(biāo)變換，7臺(tái)相機(jī)的三維坐標(biāo)系原點(diǎn)和z軸重合，但x軸和y軸并不重合。將相機(jī)2至相機(jī)7的三維坐標(biāo)系繞z軸按照標(biāo)定步驟中標(biāo)定的平轉(zhuǎn)角α進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可以將7組坐標(biāo)系的x軸和y軸重合，第三次坐標(biāo)變換公式為

x3=x2cosα-y2sinα

y3=x2sinα+y2cosα

z3=z2。（6）

式中：α為表1中的平轉(zhuǎn)角；x3， y3， z3為點(diǎn)P進(jìn)行第三次變換后的新坐標(biāo)P3（x3， y3， z3）。經(jīng)過第三次坐標(biāo)變換后，7臺(tái)相機(jī)的三維坐標(biāo)系完全重合，所有的液滴邊界三維數(shù)據(jù)統(tǒng)一到相機(jī)標(biāo)定步驟建立的三維坐標(biāo)系o-xyz中。由于每臺(tái)相機(jī)均可按照?qǐng)D9的方式處理并獲得液滴邊界輪廓和空間位置，將這些信息疊加，獲得液滴空間輪廓圖，如圖10所示。該空間輪廓圖由7條空間曲線組成，描述了從液滴由不同視角下數(shù)字共軸全息圖獲得的邊緣部分空間信息，與單相機(jī)全息圖相比，圖10獲得了更加全面的液滴表面信息，并可進(jìn)一步處理以獲得完整液滴結(jié)構(gòu)。

獲得液滴在不同視角下的邊界組合圖后，需要對(duì)液滴表面形狀的三維信息進(jìn)行擴(kuò)充。將獲得的三維數(shù)據(jù)按z軸方向進(jìn)行分組，將所有z坐標(biāo)值范圍相近（±0.1 mm）的點(diǎn)分為一組。因此在z軸方向上，所有的液滴表面坐標(biāo)點(diǎn)被分到不同層內(nèi)，共1 242層。對(duì)每一層內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行單獨(dú)運(yùn)算，所有被分到一層內(nèi)的點(diǎn)在三維空間內(nèi)形成的平面與xoy平面平行，在該平面上對(duì)該組點(diǎn)進(jìn)行三維曲線擬合，采用Matlab內(nèi)置fit函數(shù)（使用poly2模型進(jìn)行擬合）可以得到一條與xoy平面平行的空間曲線，將該曲線在空間內(nèi)等間距劃分，可以得到一組新的三維空間點(diǎn)。只需將劃分點(diǎn)的間距減小，即可依靠差值擴(kuò)充點(diǎn)云中數(shù)據(jù)的數(shù)量，進(jìn)而擴(kuò)充液滴表面形狀的三維信息。本研究采用較小的曲線劃分間距，將該空間曲線等距劃分為300個(gè)離散點(diǎn)，使點(diǎn)云數(shù)據(jù)擴(kuò)充11倍。對(duì)所有分組的點(diǎn)進(jìn)行上述步驟重復(fù)操作，可以得到一組空間中的三維點(diǎn)云陣列，如圖11所示。

然而，直接采用現(xiàn)在的點(diǎn)云陣列進(jìn)行表面形狀擬合得到的液滴顆粒形貌依然存在一定誤差，需要對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行修正。

2.2誤差修正

將通過擬合得到的液滴表面形狀點(diǎn)云分布向各相機(jī)方向進(jìn)行模擬投影計(jì)算，可直觀展現(xiàn)三維擬合誤差。該計(jì)算采用平行光成像模型，直觀還原三維物體在空間各方向上投影的位置分布。如圖12所示，各相機(jī)成像平面位置的模擬投影與真實(shí)的液滴邊界相比，部分位置存在誤差。具體而言，三維液滴的點(diǎn)云模擬投影與該液滴在該方向上拍攝得到的全息圖真實(shí)二維邊界并不完全吻合，某些位置投影面積無(wú)法完全填充液滴真實(shí)邊界內(nèi)的全部區(qū)域，某些位置甚至超出了液滴真實(shí)邊界，因此，需要對(duì)點(diǎn)云擬合結(jié)果進(jìn)行修正，完善真實(shí)液滴表面形狀。本研究采用與空間雕刻法［15］類似的處理方法。

對(duì)于相機(jī)1，點(diǎn)云向相機(jī)1成像平面方向模擬投影，模擬投影與液滴真實(shí)邊界存在誤差，模擬投影無(wú)法完全填充液滴真實(shí)邊界，且存在模擬投影超出液滴真實(shí)邊界的情況。為了修正點(diǎn)云模擬投影與液滴真實(shí)邊界之間的誤差，首先按照投影成像關(guān)系，在液滴真實(shí)邊界內(nèi)部未被點(diǎn)云的二維投影區(qū)域填充的像素區(qū)域添加額外像素點(diǎn)。具體方法如下：將液滴真實(shí)邊界包圍的像素區(qū)域與點(diǎn)云模擬投影所占像素區(qū)域進(jìn)行差集運(yùn)算，獲得差集中所有像素點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過成像投影關(guān)系確定這些像素點(diǎn)在三維坐標(biāo)系o-xyz中對(duì)應(yīng)的所有空間點(diǎn)，最后將這些空間點(diǎn)全部加入點(diǎn)云數(shù)據(jù)集合。該操作相當(dāng)于將額外添加的像素點(diǎn)反向投影到三維空間中，生成額外的點(diǎn)云，補(bǔ)充了總體點(diǎn)云信息，這樣就確保點(diǎn)云在相機(jī)1方向上的模擬投影完全充滿液滴真實(shí)邊界。對(duì)相機(jī)2至相機(jī)7進(jìn)行上述相同操作，獲得擴(kuò)充的點(diǎn)云信息，擴(kuò)充后的點(diǎn)云補(bǔ)全了液滴表面缺少的部分，但存在大量超出液滴表面的部分。將擴(kuò)充后的點(diǎn)云重新向所有7個(gè)相機(jī)平面方向進(jìn)行投影計(jì)算，根據(jù)投影成像原理，點(diǎn)云的模擬投影完全填滿了液滴真實(shí)邊界內(nèi)部區(qū)域，還有一部分模擬投影超出液滴邊界。對(duì)點(diǎn)云中每個(gè)點(diǎn)對(duì)7個(gè)相機(jī)平面的投影點(diǎn)進(jìn)行觀察，統(tǒng)計(jì)投影點(diǎn)出現(xiàn)在液滴真實(shí)邊界線內(nèi)部的次數(shù)n（n=1，2，3，4，5，6，7）。根據(jù)真實(shí)投影關(guān)系可知僅當(dāng)n=7時(shí)，可判定點(diǎn)云中的該點(diǎn)為真實(shí)點(diǎn)，而當(dāng)n≤6時(shí)，該點(diǎn)為冗余點(diǎn)，需要去除。根據(jù)n的定義方式，可進(jìn)一步得到點(diǎn)云中某一點(diǎn)的投影點(diǎn)出現(xiàn)在液滴真實(shí)邊界內(nèi)次數(shù)的概率：

Mn=NnQ×100%。（7）

式中：Nn為投影位于n個(gè)方向液滴真實(shí)邊界內(nèi)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量；Q為點(diǎn)云中全部點(diǎn)的數(shù)量。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，在擴(kuò)充點(diǎn)云內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量后，n=7的概率最高，達(dá)到79%，表明擴(kuò)充后點(diǎn)云的主體部分符合液滴的三維形狀，而冗余數(shù)據(jù)點(diǎn)占比為21%。在去除所有n≤6的冗余數(shù)據(jù)點(diǎn)后，可有效提升擬合精度，由于點(diǎn)云陣列的坐標(biāo)單位與圖像坐標(biāo)單位不一致，換算過程可能造成點(diǎn)的投影位置出現(xiàn)極微小的偏差，但對(duì)最終液滴三維表面擬合結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。

得到修正后的空間點(diǎn)云陣列后，即可重構(gòu)待測(cè)液滴的三維表面形狀，在Matlab中使用surface函數(shù)對(duì)液滴表面三維點(diǎn)云陣列進(jìn)行處理，可直觀展示液滴表面形狀三維分布，如圖13所示。該形狀分布可體現(xiàn)液滴在空間各方向上的形狀信息細(xì)節(jié)，同時(shí)消除了對(duì)于橢球假設(shè)的依賴，有效提高了三維測(cè)量的精度。

3結(jié)束語(yǔ)

在單光路的數(shù)字全息技術(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種多光路的數(shù)字全息三維測(cè)量裝置，克服了單光路全息三維物體表面形狀信息準(zhǔn)確度較低的缺點(diǎn)。利用擬合法和修正法相結(jié)合的方式，獲得了精度較高、擬合效果較好的液滴表面形狀三維空間分布。相比于常見的利用空間體積微元進(jìn)行三維重構(gòu)的方法，基于數(shù)字全息技術(shù)的三維重構(gòu)方法在精度上突破了體積微元尺寸的限制，只與相機(jī)成像平面的像素尺寸及系統(tǒng)物像比有關(guān)，提升了三維重構(gòu)的精度。同時(shí)，也必須承認(rèn)該技術(shù)目前存在一定缺陷，主要是試驗(yàn)裝置較為復(fù)雜，需要在開放空間中進(jìn)行，同時(shí)在計(jì)算過程中的多次擬合一定程度上影響了計(jì)算速度。另外這項(xiàng)技術(shù)對(duì)于表面有凹陷的物體尚無(wú)法進(jìn)行有效的誤差修正。盡管如此，該方法在未來依然擁有較大的發(fā)展空間。如果能在全息重構(gòu)計(jì)算時(shí)獲得更多的關(guān)于液滴內(nèi)部的三維信息，則有可能獲得更高效、更準(zhǔn)確的液滴表面信息計(jì)算結(jié)果。

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Three-Dimensional Measurement of Micro-Scale Droplet Surface"Structure Based on Multi-View Digital Holography

ZONG Zijian，WU Yue

（School of Mechanical Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China）

Abstract： Digital holography is widely used in the three-dimensional structure measurement of micro-scale droplet produced by engine combustion， spray and discharge. However， traditional digital holography only obtains the approximate shape of droplet under the ellipsoidal assumption， and it is difficult to obtain the complete three-dimensional surface shape information. A new multi-angle coaxial holographic system was developed to measure the three-dimensional surface shape of millimeter-level droplets and seven cameras were used to record holograms of droplets synchronously in different directions. Through the coupling of holograms obtained in different directions， a more complete point cloud array on the object surface was obtained， and the accurate surface shape of droplet could hence be calculated. The system could accurately measure the 3D surface shape of droplet in millimeter scale， which had certain application potential in engine internal process diagnosis.

Key words： digital holography;droplet;three-dimensional measurement;error correction

［編輯： 姜曉博］