基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真研究

摘" 要：該文通過(guò)有限元方法建立簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型并對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，通過(guò)使用Lankarani赫茲接觸模型，運(yùn)用顯式中心差分法對(duì)弓網(wǎng)耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，基于上述理論創(chuàng)建弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)，采用模塊化的思想進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)的仿真分析。在此基礎(chǔ)上，采用EN50318標(biāo)準(zhǔn)對(duì)弓網(wǎng)仿真平臺(tái)的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。最后，通過(guò)對(duì)考慮遲滯阻尼效應(yīng)的Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，分析Lankarani赫茲接觸模型中重要參數(shù)對(duì)仿真結(jié)果的影響。

關(guān)鍵詞：中心差分法；弓網(wǎng)仿真平臺(tái)；Lankarani赫茲接觸模型；接觸剛度指數(shù)；彈性恢復(fù)系數(shù)；弓網(wǎng)初始碰撞速度

中圖分類(lèi)號(hào)：U225" " " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號(hào)：2095-2945（2023）16-0053-05

Abstract： In this paper， the catenary model of simple chain suspension is established by finite element method and its modal analysis is carried out. By using Lankarani Hertz contact model and explicit central difference method， the pantograph-catenary coupling dynamics equation is solved. Based on the above theory， the pantograph-catenary dynamics simulation platform is established， and the modular idea is used to simulate and analyze the pantograph-catenary dynamics. On this basis， the correctness of the pantograph simulation platform is verified by EN50318 standard. Finally， through the dynamic simulation of the Lankarani Hertz contact model considering the hysteresis damping effect， the influence of the important parameters of the Lankarani Hertz contact model on the simulation results is analyzed.

Keywords： central difference method; pantograph-catenary simulation platform; Lankarani Hertz contact model; contact stiffness index; elastic coefficient of restitution; initial collision speed of pantograph and catenary

隨著我國(guó)高速鐵路的快速發(fā)展，弓網(wǎng)關(guān)系對(duì)列車(chē)運(yùn)行的安全性與可靠性尤為重要。由于弓網(wǎng)關(guān)系較為復(fù)雜，計(jì)算機(jī)仿真憑借其可重復(fù)性、代價(jià)低廉的特點(diǎn)已經(jīng)成為弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的主要研究方法。為了生產(chǎn)研發(fā)的需要，目前德國(guó)、意大利、日本等國(guó)都已開(kāi)發(fā)了各自的弓網(wǎng)仿真軟件和平臺(tái)[1-2]。我國(guó)在弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的研究起步較晚，但隨著我國(guó)鐵路事業(yè)的快速發(fā)展，國(guó)內(nèi)關(guān)于弓網(wǎng)方面的研究發(fā)展迅速，逐步形成了具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的弓網(wǎng)仿真平臺(tái)和配套仿真軟件[3-4]。然而，隨著我國(guó)高鐵發(fā)展的進(jìn)程加快，在高速條件下暴露出了一系列新的弓網(wǎng)關(guān)系問(wèn)題，亟待采用新的模型進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算。本文基于Lankarani赫茲接觸模型，采用有限元法建立了簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型，并采用模態(tài)分析提取了接觸網(wǎng)模態(tài)信息，受電弓采用質(zhì)量塊模型，建立了基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)，通過(guò)EN50318對(duì)本平臺(tái)正確性進(jìn)行了驗(yàn)證，并在此基礎(chǔ)上分析Lankarani赫茲接觸模型中重要參量對(duì)仿真結(jié)果的影響。

1" 弓網(wǎng)仿真平臺(tái)的建立

1.1" 接觸網(wǎng)模型的建立

本平臺(tái)采用有限元法建立接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型。針對(duì)如圖1所示的一錨段內(nèi)接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖，在進(jìn)行有限元建模時(shí)，將接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成歐拉梁模型，其中接觸線和承力索采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，吊弦、線夾及附加零件采用彈簧質(zhì)量單元進(jìn)行模擬，將限位器和支撐桿簡(jiǎn)化為單質(zhì)量塊彈簧系統(tǒng)，并選用質(zhì)量和彈簧單元來(lái)模擬簡(jiǎn)化系統(tǒng)。

接觸網(wǎng)的模態(tài)分析實(shí)質(zhì)上是求解系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程

， " （1）

式中：Mc和Kc分別為接觸網(wǎng)有限元模型的質(zhì)量和剛度矩陣；x（t）為自由振動(dòng)位移響應(yīng)，當(dāng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，即滿(mǎn)足x=？準(zhǔn)sinωt，方程為

。 " " （2）

即可得到接觸網(wǎng)的固有圓頻率ωi和各階振型？準(zhǔn)i，對(duì)？準(zhǔn)i進(jìn)行正則化處理，即可得到接觸網(wǎng)正則模態(tài)矩陣？椎。根據(jù)正則化模態(tài)矩陣的特點(diǎn)可得

式中：E為單位矩陣；？贅為對(duì)角矩陣。則接觸網(wǎng)運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為

， （4）

式中：Mc、Cc、Kc分別為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；x（t）為系統(tǒng)響應(yīng)；Qc（t）為載荷向量。利用模態(tài)向量的正交性，可得

， （5）

若上式中阻尼為模態(tài)阻尼，且第i階振型阻尼比為ξi，則有

， （6）

從而實(shí)現(xiàn)了接觸網(wǎng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解耦，求解模態(tài)空間下廣義坐標(biāo)u（t）后，通過(guò)坐標(biāo)反變換即可得到系統(tǒng)響應(yīng)a（t）。為后續(xù)弓網(wǎng)耦合求解奠定了基礎(chǔ)。

1.2" 受電弓模型的建立

受電弓模型應(yīng)用最廣泛的是歸算質(zhì)量模型，歸算質(zhì)量模型本質(zhì)是對(duì)受電弓在某工作高度下進(jìn)行等效參數(shù)測(cè)試，從而將受電弓等效成為質(zhì)量塊、彈簧及阻尼相連的模型。本文主要采用二質(zhì)量塊模型進(jìn)行計(jì)算

式中：m1、c1、k1分別為弓頭的等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度；m２、c２、k２分別為受電弓框架的等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度；y1、y2分別為弓頭和框架的垂向位移；Fc和Fu分別為弓網(wǎng)間接觸壓力和受電弓靜態(tài)抬升力。

1.3" Lankarani赫茲接觸模型

傳統(tǒng)弓網(wǎng)接觸模型采用罰函數(shù)法，計(jì)算簡(jiǎn)單效率高。然而從碰撞的角度分析，接觸力不僅與弓網(wǎng)相對(duì)位移有關(guān)，也與弓網(wǎng)相對(duì)速度相關(guān)?；诤掌澖佑|理論，通過(guò)考慮遲滯阻尼效應(yīng)，Lankarani提出一種連續(xù)接觸力模型，并推導(dǎo)了相關(guān)公式[5-6]，Rauter首先將該接觸模型引入弓網(wǎng)仿真分析[7]，其接觸力表達(dá)式為

式中：Kc為廣義接觸剛度；e為彈性恢復(fù)系數(shù)；？啄為弓網(wǎng)相對(duì)穿透量；n為接觸剛度指數(shù)；■為弓網(wǎng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；■（-）為接觸前相對(duì)碰撞速度。

令" " " " " " " " " "，代入式（8）可得

，" " " " " " " "（9）

式中：FK為彈性力；FD為阻尼力；其中Dc為阻尼系數(shù)。

1.4" 弓網(wǎng)耦合求解

聯(lián)立接觸網(wǎng)與受電弓運(yùn)動(dòng)微分方程可得

將弓網(wǎng)耦合之后的運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)成如下形式

， （11）

式中：M、K、C分別為耦合之后的弓網(wǎng)系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；un和Qn分別為耦合系統(tǒng)的廣義位移向量和載荷向量，采用中心差分方法進(jìn)行求解得

將式（12）代入到式（11）中，可得

通過(guò)求解式（13）計(jì)算■n，進(jìn)而得到■n和un，即可得到弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1.5" 弓網(wǎng)仿真平臺(tái)的建立

根據(jù)1.1至1.4中的內(nèi)容，將仿真過(guò)程進(jìn)行模塊化處理并編程，仿真平臺(tái)主要流程如圖2所示，其中Ansys建模及求解部分為Ansys前處理部分，其余部分為自編程部分。

1.6" 仿真平臺(tái)驗(yàn)證

為了對(duì)1.5中所建立的弓網(wǎng)仿真平臺(tái)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，采用EN50318標(biāo)準(zhǔn)中的受電弓與接觸網(wǎng)模型進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真分析，詳細(xì)參數(shù)見(jiàn)表1。

根據(jù)上述建模步驟，采用Ansys建立如表2、表3所示的接觸網(wǎng)有限元模型并進(jìn)行模態(tài)分析，得到所計(jì)算接觸網(wǎng)的模態(tài)信息，其前二十階模態(tài)頻率見(jiàn)表4。

由于模態(tài)疊加法計(jì)算結(jié)果受截?cái)嗄B(tài)影響較大，為了在保證結(jié)果精確性的同時(shí)節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本文選取400階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，截?cái)嗄B(tài)為24.12 Hz。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)EN50318，采用本文所搭建的弓網(wǎng)仿真平臺(tái)，分別在時(shí)速250 km/h及300 km/h工況下進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真，并計(jì)算3～6跨弓網(wǎng)接觸壓力，所選取受電弓和接觸網(wǎng)參數(shù)分別見(jiàn)表2、表3和表4所示，所得接觸壓力里程曲線圖及統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別如圖3和表5所示。

由表5可知，采用所搭建的弓網(wǎng)仿真平臺(tái)進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真，仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)值能很好地符合EN50318標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的范圍，從而對(duì)仿真平臺(tái)的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。

2" Lankarani赫茲接觸模型關(guān)鍵參數(shù)影響分析

本文1.3中對(duì)考慮遲滯阻尼效應(yīng)的Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行了初步的介紹。實(shí)質(zhì)上，傳統(tǒng)弓網(wǎng)接觸模型采用分段彈簧模擬對(duì)弓網(wǎng)接觸，僅考慮了弓網(wǎng)之間彈性作用力的影響，而實(shí)際弓網(wǎng)接觸過(guò)程中存在阻尼的作用，Lankarani赫茲接觸模型相當(dāng)于是對(duì)傳統(tǒng)接觸模型的完善。基于1.3中接觸網(wǎng)與受電弓模型，采用Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真，并分別對(duì)公式中接觸剛度指數(shù)n、彈性恢復(fù)系數(shù)e及弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）對(duì)接觸壓力的影響進(jìn)行分析。

2.1" 接觸剛度指數(shù)n的影響分析

為確定在弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真過(guò)程中接觸剛度指數(shù)n對(duì)接觸壓力結(jié)果的影響，本節(jié)中彈性恢復(fù)系數(shù)e取0.8，弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）取0.1 m/s，速度工況取為200 km/h，分析n取不同數(shù)值時(shí)接觸壓力的變化情況。表6所示，為接觸剛度指數(shù)n在1～1.5共6個(gè)工況下的接觸壓力統(tǒng)計(jì)值。

由表6可知，隨著接觸剛度指數(shù)的增加，接觸壓力均值和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)略微減小，接觸壓力波動(dòng)會(huì)更為平緩，接觸壓力中彈性力會(huì)有小幅減小，其中阻尼力均值為負(fù)值，其絕對(duì)值會(huì)有所降低，平均阻尼系數(shù)也有所減小。

2.2" 彈性恢復(fù)系數(shù)e的影響分析

為確定在弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真過(guò)程中彈性恢復(fù)系數(shù)e對(duì)接觸壓力結(jié)果的影響，本節(jié)中接觸剛度指數(shù)n取為1.5，弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）取為0.1m/s，速度工況取為200km/h，分析e值取不同數(shù)值時(shí)接觸壓力的變化情況。表7所示為彈性恢復(fù)系數(shù)e在0.5～1共6個(gè)工況下的接觸壓力隨里程變化統(tǒng)計(jì)值。隨著彈性恢復(fù)系數(shù)e值的增加，接觸壓力均值基本保持不變，而標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)有所增大，接觸壓力波動(dòng)更為劇烈，但接觸壓力中彈性力和阻尼力均值均有所降低，平均阻尼系數(shù)會(huì)大幅降低。當(dāng)彈性恢復(fù)系數(shù)e=1時(shí)，阻尼力均值及平均阻尼系數(shù)將減小至0，即不存在阻尼影響。

2.3" 弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）的影響分析

弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）為受電弓與接觸網(wǎng)分離到接觸時(shí)的碰撞速度，當(dāng)弓與網(wǎng)未發(fā)生離線時(shí)，視為碰撞過(guò)程持續(xù)未結(jié)束，■（-）不變；當(dāng)弓與網(wǎng)發(fā)生離線時(shí)，視為碰撞過(guò)程已結(jié)束，須對(duì)■（-）進(jìn)行更新。為探究弓網(wǎng)碰撞速度初始值對(duì)接觸壓力的影響，本節(jié)中接觸剛度系數(shù)n取為1.5，彈性恢復(fù)系數(shù)e為0.8，速度工況取為200 km/h，分析弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）取不同數(shù)值時(shí)接觸壓力的變化情況，見(jiàn)表8，為弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）在不同取值情況下的接觸壓力相關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值。

由表8可知，隨著弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）的增加，接觸壓力均值基本保持不變，但標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)有所增加，且隨著■（-）的增大，標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)增加得越來(lái)越緩慢。而接觸壓力中彈性力和阻尼力均隨■（-）的增加有所減小，且彈性力均值逐漸逼近接觸壓力均值，而阻尼力及平均阻尼系數(shù)逐漸逼近至0。

3" 結(jié)論

本文通過(guò)采用Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真，對(duì)模型中相關(guān)參數(shù)的影響進(jìn)行了分析，結(jié)果如下。

1）Lankarani赫茲接觸模型中，隨著接觸剛度指數(shù)的增大，接觸壓力均值和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)略微減小，接觸壓力波動(dòng)會(huì)更為平緩，但這種影響并不大。

2）隨著彈性恢復(fù)系數(shù)的增大，接觸壓力均值基本保持不變，而標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)有所增大，接觸壓力波動(dòng)更為劇烈。

3）隨著弓網(wǎng)初始碰撞速度■（-）的增加，接觸壓力均值基本保持不變，但標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)逐漸增大，弓網(wǎng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)加劇，但隨著■（-）的進(jìn)一步增大會(huì)趨于穩(wěn)定。

通過(guò)本文所建立的基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)，可以將弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真模塊化，實(shí)現(xiàn)不同的受電弓和接觸網(wǎng)模型的仿真分析。同時(shí)，在本弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)的基礎(chǔ)上，可以實(shí)現(xiàn)一系列弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的探索和研究。

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