聚焦基礎(chǔ)知識(shí) 實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考

名師簡介

廖國達(dá)

廣東梅縣東山中學(xué)教師，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。熱愛教育事業(yè)，喜歡思考創(chuàng)新，教學(xué)上因材施教，喜歡用一題多解、一題多變的教學(xué)方式幫助學(xué)生尋找較簡的方法解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)教學(xué)理念是“教數(shù)學(xué)育思維”，即教數(shù)學(xué)不是簡單的教會(huì)學(xué)生解題，而是通過解題學(xué)會(huì)解決問題的思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中善于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題方法和數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2023年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷試題落實(shí)了高考內(nèi)容改革的總體要求，突出了關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向。全卷容易題、中檔題比重適當(dāng)，注重通性通法的考察，所有題目題干簡潔、自然、規(guī)范、優(yōu)雅、綜合性強(qiáng)，考點(diǎn)覆蓋非常全面，這是高考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)方向。

考查重心回歸基礎(chǔ)，題型設(shè)計(jì)巧妙

2023年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)命題，突出主干知識(shí)，考查基本概念的理解，常規(guī)的基礎(chǔ)題型設(shè)計(jì)巧妙，發(fā)揮高考試題對(duì)中學(xué)教學(xué)改革的引導(dǎo)和促進(jìn)作用。

特點(diǎn)一：各小題知識(shí)點(diǎn)分布簡要說明如右圖，考查內(nèi)容簡潔（見右圖）

特點(diǎn)二：重點(diǎn)考查主干知識(shí)

這份試卷考查內(nèi)容如下：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（第4、10、11、19題共27分）、立幾（第12、14、18題共22分）、解幾（第5、6、16、22題共27分）、三角（第8、15、17題共20分）、概率統(tǒng)計(jì)（第9、21題共17分）、數(shù)列（第7、20題共17分）。主干知識(shí)考查總分值為130分，占全卷的87%，剩下的20分分別是集合、復(fù)數(shù)、向量與組合各占5分，而不等式作為一條暗線，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，融入了對(duì)應(yīng)的考題之中。

特點(diǎn)三：考查基本概念的理解和常規(guī)的基礎(chǔ)題型

今年數(shù)學(xué)題對(duì)全體學(xué)生很友好！全卷整體難度與去年比較有所緩和。選擇、填空部分都沒有為難考生，且多選題后三題都是3個(gè)正確選項(xiàng)，明顯讓考生多得分，但得高分更難；重視回歸教材：如試卷第1-5題、第9-10題、第13-14題、第17-19題，都注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，由教材的習(xí)題或例題改編。如第21題傳球問題，概率和數(shù)列結(jié)合，出自選擇性必修3課本第91頁的第10題。重視考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法入手：如第2題考查共軛復(fù)數(shù)的定義；如第7題以等差數(shù)列為材料，考查充要條件的推理證明；如第9題考查考生對(duì)樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本中位數(shù)、樣本極差概念的理解和掌握；第14題考查棱臺(tái)的體積公式；第18題考查二面角的概念。試卷近一半的題目都屬于常規(guī)題型：如第10題利用對(duì)數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓水平，通過對(duì)聲壓級(jí)的研究，全面考查了對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)；第11題抽象函數(shù)，是考查函數(shù)性質(zhì)最深刻和有力的工具；第15題三角，求w范圍，方法是卡根；第16題是考查雙曲線焦半徑和離心率，這題方法多樣，入口很寬，但不同的選擇在計(jì)算和耗時(shí)方面會(huì)有很大差距，有很好的區(qū)分度。從中我們發(fā)現(xiàn)，本試題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的理解，是常規(guī)題型。如果學(xué)生平時(shí)只是一味刷題，不注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的理解和思維能力的培養(yǎng)，在很多基礎(chǔ)題目上也會(huì)“翻車”。

本試卷的考查內(nèi)容范圍和比例、要求層次和課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，注重考查內(nèi)容的全面性，引導(dǎo)教學(xué)依標(biāo)施教。全卷大題和平時(shí)訓(xùn)練順序有較大不同。前三個(gè)大題難度平緩，從第4題開始難度逐漸加大，但是各大題都有基礎(chǔ)的問，不同水平的學(xué)生都能有所得。

把握新高考命題新趨勢，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考

新高考主要考查考生的思維方式和探究技能，考查考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、空間想象能力、快速準(zhǔn)確運(yùn)算能力。

策略一：重視回歸教材，反套路很明顯，淡化了特殊方法、技巧解題

針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的備考，要做到以下兩點(diǎn)。第一，從教材到高考：平時(shí)訓(xùn)練的試題要大多數(shù)來源于教材，以便更好地檢測學(xué)生在復(fù)習(xí)中對(duì)基本概念、原理、思想方法的掌握情況。第二，從基礎(chǔ)到能力：堅(jiān)持以能力為重，注重掌握基礎(chǔ)知識(shí)體系的完整性，關(guān)注不同知識(shí)內(nèi)容之間的聯(lián)系，注重通性通法，淡化特殊方法、技巧解題。

高三復(fù)習(xí)我們要加強(qiáng)以下知識(shí)點(diǎn)的往年高考真題訓(xùn)練：集合、復(fù)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)（單選與多選）、函數(shù)（抽象函數(shù)、函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)、指對(duì)數(shù)運(yùn)算及比較大小）、立體幾何（空間想象的多選）、向量的平行與垂直（圖形特殊化坐標(biāo)法）、直線與圓、二項(xiàng)式定理（多選或填空）、排列組合與概率、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)切線線程。

策略二：重視鍛煉關(guān)鍵能力——考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力

以下，我們分為七大方面詳細(xì)解讀：

1.解三角形：正余弦定理和三角恒等變換的靈活運(yùn)用，對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合能力

前年解三角形第19題：不是常規(guī)地利用正余弦定理與面積公式求解三角形，而是要利用正余弦定理建立方程組進(jìn)行推理運(yùn)算。去年第18題：考查了函數(shù)與方程思想，求最值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，用基本不等式求最值或構(gòu)造函數(shù)求解最值。兩年的題都不是單純地考查運(yùn)算能力，還要求具有很強(qiáng)的分析問題的能力。今年第17題，第（1）問強(qiáng)調(diào)三角變換的技巧，第（2）問以正弦定理解三角形，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。高考復(fù)習(xí)要注意內(nèi)外角平分線定理的證明，加強(qiáng)正余弦定理三角恒等變換的靈活運(yùn)用、加強(qiáng)圖形分解、組合能力培養(yǎng)。

2.立體幾何：考查推理能力，空間想象能力

前幾年的立體幾何解答題，建系過程都不是那么顯然，需要考生分析空間位置，找到合適的垂直關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。今年的立體幾何用傳統(tǒng)法證平行，難倒了不少考生，用向量加減法證平行或用向量的坐標(biāo)法容易得多。我們高考復(fù)習(xí)應(yīng)該把握到近年來立體幾何命題的一些重要變化，要對(duì)以下兩個(gè)方面做詳細(xì)的梳理：一方面，提升幾何論證能力，傳統(tǒng)法先行，向量法要有建系過程的論證，需要嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)；巧用長方體、對(duì)稱建系。另一方面，過好運(yùn)算關(guān)，要巧算，能熟練借用平行、垂直、對(duì)稱、特殊圖形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量，注意巧用平行向量進(jìn)行去分母、有理化、化單位向量等方法簡化相關(guān)向量后求法向量。對(duì)中檔生而言，多去研究往年立體幾何真題中最佳解題策略。

3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)：考查獨(dú)立思考、探索、創(chuàng)造性地解決問題能力

前年導(dǎo)數(shù)第22題：極值點(diǎn)偏移或?qū)?shù)平均或雙變量合一都可解題，考查考生綜合應(yīng)用能力。去年第22題：第（1）問求參數(shù)a的值需分類討論，第（2）問用同構(gòu)法證明等差數(shù)列。今年第19題：入口很寬，可以直接求導(dǎo)、求最小值后再放縮，也可以移項(xiàng)后直接同構(gòu)，這題導(dǎo)數(shù)屬于中檔題。今后導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)需重點(diǎn)關(guān)注：求參數(shù)的取值范圍、分類討論、零點(diǎn)問題、單變量函數(shù)不等式的證明等，平時(shí)要多加訓(xùn)練分離參數(shù)的方法、分類討論和假設(shè)反證的方法。

4.數(shù)列：從特殊到一般的研究方法（去年導(dǎo)數(shù)壓軸題是證明等差數(shù)列明示今年數(shù)列后移）

前年第17題是遞推數(shù)列與等差數(shù)列的結(jié)合及分奇偶討論，似乎也難倒了不少考生。去年第17題，第（1）問是等差數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系求通項(xiàng)，第（2）問裂項(xiàng)求和不等式放縮。今年第20題，頗具有計(jì)算量，且具有競賽味，題型較新，有一定的難度。今后數(shù)列大題的復(fù)習(xí)中，不求難，但求全。我們重點(diǎn)掌握數(shù)列求通項(xiàng)、求和的技巧與方法的同時(shí)，也要重視數(shù)列中從特殊到一般的研究方法，突出發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

5.概率統(tǒng)計(jì)題：考查閱讀能力與數(shù)據(jù)處理能力

一個(gè)典型——大數(shù)據(jù)技術(shù)和AI技術(shù)的迅猛發(fā)展，導(dǎo)致莖葉圖這種不合時(shí)宜的知識(shí)點(diǎn)退出課本，與此同時(shí)，條件概率和貝葉斯公式這種概率統(tǒng)計(jì)的重要基礎(chǔ)變得非常重要。前年概率統(tǒng)計(jì)在18題的位置，考查概率分布列，決策情境。去年第20題明顯有往年文科試題特色，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用地解決本題問題，但本題新穎，文字閱讀量大，并且偏離常規(guī)內(nèi)容，條件概率和貝葉斯公式以前考查很少，也難倒不少考生。今年第21題，由于概率統(tǒng)計(jì)后移，難度加大，綜合性也增強(qiáng)，但是因?yàn)橛腥齻€(gè)問，所以梯度很好?？偟膩碚f，數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合也是概率題加大難度的不二選擇！求出遞推式后再進(jìn)一步處理，思路其實(shí)還是簡潔的！重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。高考概率統(tǒng)計(jì)題，突出了使用互斥事件、獨(dú)立事件求概率，結(jié)合教材中的決策情境，學(xué)生一般會(huì)選擇期望進(jìn)行決策，同時(shí)也要注意用概率進(jìn)行決策的試題，要重視往年考查方向是經(jīng)驗(yàn)回歸方程相關(guān)的真題，能在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、建立模型、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型。

6.解析幾何：考查分析問題，確定參數(shù)，建立模型證明不等式

前兩年，以雙曲線為考查背景的試題，全國卷的命題風(fēng)格均是一些熟悉的模型，例如斜率和、斜率積、阿基米德三角形；今年22題把圓錐曲線作為最后一題，既打破了傳統(tǒng)圓錐曲線的地位，同時(shí)又不像往年那樣老考結(jié)論性問題，算是一種創(chuàng)新。為了公平、避免撞題，特意使拋物線頂點(diǎn)沒有放在原點(diǎn)，考生可以設(shè)線，也可以設(shè)點(diǎn)，可以用旋轉(zhuǎn)（加參數(shù)法），可以找到定點(diǎn)（基于熟悉結(jié)論）再處理，還可以完全用平面幾何方法，在處理最值時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求導(dǎo)，也可以直接二次放縮，還可以從折線函數(shù)最值角度處理，實(shí)在精妙。圓錐曲線在高三備考中：第一，強(qiáng)調(diào)通法通性在解題中的應(yīng)用；第二，加強(qiáng)對(duì)幾何問題代數(shù)化的方法歸納、總結(jié)和訓(xùn)練；第三，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，注重運(yùn)算教學(xué)示范和成效；第四，加強(qiáng)對(duì)解析幾何命題規(guī)律和命題特點(diǎn)的研究，特別是對(duì)往年高考試題的研究。

7.選填壓軸：考查化歸與轉(zhuǎn)化能力，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等能力

很多教師都認(rèn)為壓軸小題基本都是函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)，考解析幾何、立體幾何的知識(shí)，然而在此提醒各位考生和老師，高考試題在各板塊的必備基礎(chǔ)知識(shí)中都有可能作為壓軸題來考。

從考查基礎(chǔ)知識(shí)的方向出發(fā)，以新穎背景為載體，體現(xiàn)從特殊到一般的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化能力，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，體現(xiàn)出素養(yǎng)導(dǎo)向的命題理念。

掌握一些選擇題、壓軸題或多選題的解題方法：排除法、特殊值檢驗(yàn)法、極端性原則、順推破解法、逆推驗(yàn)證法、正難則反法、數(shù)形結(jié)合法、遞推歸納法、特征分析法、估算法，以上方法要注意靈活運(yùn)用，很多情況下都是需要穿插綜合運(yùn)用，不可拘泥于一法。另外，大部分方法在做填空題時(shí)，也是同樣適用的，比如正難則反、數(shù)形結(jié)合、特征分析、遞推歸納等，考生們還是要靈活運(yùn)用。

名師溫馨提示

說到高三備考，不能因?yàn)榻衲旰唵?，?？季妥鲱愃频暮唵晤}，也不能因?yàn)槿ツ觌y，試卷就只能更難，這些都會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生。我們也不能單一地看當(dāng)下高考考了什么就去預(yù)測，2022年整套試卷有7題與導(dǎo)數(shù)相關(guān)，有10題與不等式相關(guān)，數(shù)列相關(guān)偏少。今年倒好，導(dǎo)數(shù)干脆放19題，選填幾乎不考導(dǎo)數(shù)，一下子又把導(dǎo)數(shù)從高不可攀變成了觸手可及。故平時(shí)高考備考中多回歸課本，以課程標(biāo)準(zhǔn)為準(zhǔn)；多研究往年高考真題，以高考評(píng)價(jià)體系為綱，才能主動(dòng)、高效地學(xué)習(xí)，自信從容地應(yīng)試。