考慮磁芯飽和的扼流變壓器非線性模型

崔 勇， 楊曉凡， 謝路雨

（北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100044）

隨著鐵路列車速度的提高，牽引電流增大，軌道電路所處的電磁環(huán)境也越來越復(fù)雜.同時，在鐵路信號系統(tǒng)各基礎(chǔ)設(shè)備中，鋼軌是列車牽引電流回流的通路，所以軌道電路會不可避免地受到列車牽引電流干擾，尤其是不平衡牽引電流，易使軌道電路出現(xiàn)分路不良或“紅光帶”故障［1］.而扼流變壓器作為25 Hz 相敏軌道電路中強(qiáng)電與弱電的連接樞紐，更易受到電磁干擾.

目前對于扼流變壓器模型的研究主要是建立等效電路模型，而對扼流變壓器的磁芯飽和特性研究較少.文獻(xiàn)［2-4］建立了扼流變壓器傳統(tǒng)等效電路模型，分析了扼流變壓器在地磁感應(yīng)電流、牽引電流和直流等因素干擾下的工作特性.但這些模型的適用范圍小、計算量大，且沒有考慮扼流變壓器的非線性特性.文獻(xiàn)［5］采用數(shù)值分析方法建立了扼流變壓器的非線性模型，但是該模型推導(dǎo)復(fù)雜，計算十分繁瑣.

上述研究主要針對扼流變壓器的四端網(wǎng)模型，即設(shè)定扼流變壓器工作在線性區(qū)，通過傳統(tǒng)的等效電路模型建立扼流變壓器的四端網(wǎng)模型，然后在軌道電路模型中進(jìn)行串聯(lián).然而扼流變壓器鐵芯由硅鋼片導(dǎo)磁材料構(gòu)成，在實(shí)際應(yīng)用中具有磁滯性和飽和性，且扼流變壓器往往工作在拐點(diǎn)，不平衡牽引電流、直流干擾會對扼流變壓器的工作點(diǎn)產(chǎn)生影響，此時扼流變壓器可能會產(chǎn)生磁芯飽和，引起扼流變壓器傳輸阻抗的下降，從而與工作在線性區(qū)的傳輸阻抗特性存在較大差異.

為了解決上述問題，本文采用JA 理論模擬磁滯回線［6-8］，結(jié)合文獻(xiàn)［9］提出的傳統(tǒng)等效電路模型，提出了一種考慮磁飽和特性的扼流變壓器非線性電路模型.模型建立過程中，采用PSO 算法［10］提取JA 磁滯模型參數(shù)，以及能量計算法［11］計算扼流變壓器等效電路中的漏電感和漏電容，建立扼流變壓器非線性電路模型；并運(yùn)用勵磁涌流理論［12］對建立的非線性電路模型進(jìn)行瞬態(tài)分析.與傳統(tǒng)的線性四端網(wǎng)模型相比，本文模型可以反映扼流變壓器非線性區(qū)的輸入輸出特性和磁芯飽和情況；與Pspice模型相比，本文模型可實(shí)時求解磁芯磁滯回線，并應(yīng)用于實(shí)際現(xiàn)場中的扼流變壓器工作狀態(tài)監(jiān)測與故障分析.

1 模型建立

以25 Hz 相敏軌道電路的BE1-400/25 型扼流變壓器為研究對象，其接線圖如圖1 所示，牽引線圈分為上下兩部分，由2 個8 匝的線圈N1組成，牽引電流iA、iB分別由牽引線圈的兩端流入，由中點(diǎn)流出.信號線圈N2由48 匝的線圈組成，變比為1∶3.當(dāng)牽引電流平衡時，兩線圈中的電流大小相等，方向相反，兩個線圈所產(chǎn)生的磁通相互抵消；牽引線圈上的信號電流i1由端子1 流入、由端子2 流出，i2為信號線圈上的信號電流，牽引線圈與信號線圈形成變壓器.根據(jù)扼流變壓器的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的電路模型為如圖2所示的T 型等效電路模型.其中，ZL為原邊漏阻抗，Rm為鐵耗等效電阻，Lm為勵磁電感，L3為二次側(cè)線圈電感，T為理想變壓器.

圖1 扼流變壓器電氣接線圖Fig.1 Electrical wiring diagram of choke transformer

圖2 扼流變壓器傳統(tǒng)電路模型Fig.2 Traditional circuit model of choke transformer

扼流變壓器工作過程中的電磁環(huán)境比較復(fù)雜，往往同時存在多種干擾電流，如不平衡牽引電流以及升降弓脈沖等.分布參數(shù)和磁芯會產(chǎn)生電磁干擾通道和影響阻抗.因此本文在傳統(tǒng)扼流變壓器電路模型的基礎(chǔ)上建立考慮分布參數(shù)和磁芯的非線性扼流變壓器模型，如圖3 所示.其中，R1、L1、C1分別為原邊繞組的損耗電阻、漏電感和分布電容，R2、L2、C2分別為副邊繞組的損耗電阻、漏電感和分布電容，C12為原邊繞組和副邊繞組之間的分布電容，Lm（i）為考慮磁芯磁滯效應(yīng)時的勵磁電感，U1為一次側(cè)電壓，U2為二次側(cè)電壓.

圖3 非線性扼流變壓器模型Fig.3 Nonlinear choke transformer model

1.1 分布參數(shù)提取

扼流變壓器在實(shí)際的工作過程中，有一小部分磁通是以空氣作為磁路耦合到變壓器副邊繞組，由此便產(chǎn)生了扼流變壓器的漏感［13］.

扼流變壓器繞組內(nèi)漏磁場以縱向漏磁場為主，且縱向漏磁密度一般按照梯形規(guī)律分布［14］，如圖4所示，其中，B表示繞組間漏磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度，Bm為繞組間漏磁最大值.

圖4 繞組間漏磁的梯形分布Fig.4 Trapezoidal distribution of magnetic flux leakage between windings

假設(shè)繞組長度為h，原邊繞組和副邊繞組的厚度分別為d1、d2，絕緣間隙為d12，可得原邊繞組層中的磁場強(qiáng)度H1、絕緣間隙中的磁場強(qiáng)度H12和副邊繞組層中的磁場強(qiáng)度H2分別為

式中：N1、i1分別為原邊繞組的匝數(shù)、電流，N2、i2分別為副邊繞組的匝數(shù)、電流；l為繞組層的厚度.假設(shè)繞組的平均半徑為r，總的漏磁能W為

即

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率.

根據(jù)能量關(guān)系，可得原邊繞組漏感L1和副邊繞組漏感L2分別為

同理，分布電容也采用同樣的方法求解.繞組間的結(jié)構(gòu)及電壓分布如圖5 所示，其中層間距離為d.繞組間的電壓與繞組的長度位置呈線性關(guān)系，可得繞組間電壓U的表達(dá)式為

圖5 繞組結(jié)構(gòu)及電壓分布Fig.5 Winding structure and voltage distribution

式中：U0、Uh分別是繞組始端x=0 處和終端x=h處的電位差，當(dāng)繞組為折疊式時，U0=Uh；當(dāng)繞組為U型時，U0=0.

同理可得兩繞組間的電場能Wc為

即

式中：ε0、εr分別是真空電容率和相對介電系數(shù).

則繞組層間的分布電容C為

1.2 JA 磁滯模型

BE1-400/25 型扼流變壓器鐵芯開氣隙為0.2 mm［15］.根據(jù)磁路中磁動勢F與磁阻R的關(guān)系，可得扼流變壓器的勵磁電感Lm為

式中：S為鐵芯有效截面積；Rc為鐵芯磁阻；Rg為氣隙磁阻；lc為磁芯平均磁路長度；lg為氣隙長度；μr為鐵芯相對磁導(dǎo)率.

由式（12）可得，當(dāng)扼流變壓器工作在線性區(qū)時，鐵芯磁阻遠(yuǎn)小于氣隙磁阻，電感由氣隙磁阻決定，因而勵磁電感可以近似等效為定值.當(dāng)扼流變壓器磁芯飽和時，相對磁導(dǎo)率μr變得很小，則會導(dǎo)致勵磁電感值很小，此時近似等效已不再適用.因此，有必要對扼流變壓器的磁滯回線進(jìn)行研究，以表征其非線性工作特性.

1.2.1 靜態(tài)JA 磁滯模型

根據(jù)磁疇理論［14］可得實(shí)際磁化強(qiáng)度M、無磁滯磁化強(qiáng)度Man、不可逆磁化強(qiáng)度Mirr和可逆磁化強(qiáng)度Mrev的關(guān)系分別為

式中：c為可逆磁化系數(shù)，表示實(shí)際磁化強(qiáng)度M中可逆磁化強(qiáng)度Mrev的占比，取值范圍為0~1.

無磁滯磁化強(qiáng)度Man的計算式為

式中：Ms為飽和磁化強(qiáng)度；a為無磁滯磁化曲線的形狀參數(shù)；α為磁疇間耦合場平均大??；H為磁場強(qiáng)度；He為有效磁場強(qiáng)度且滿足

根據(jù)能量守恒原理可得到靜態(tài)磁化過程能量守恒的方程式為

式中：k為不可逆磁化損耗系數(shù)；δ為表示磁場變化的方向系數(shù)；δM為表示磁化強(qiáng)度的方向系數(shù)，作用為避免局部磁滯回線非物理解的出現(xiàn)，表達(dá)式為

對式（13）、式（14）和式（16）、式（17）化簡，并代入式（18），可得JA 模型磁化強(qiáng)度的微分表達(dá)式為

通過對JA 靜態(tài)磁滯模型的Ms、k、c、a、α五個參數(shù)求解，即可得到JA 靜態(tài)磁滯模型磁芯對應(yīng)的磁滯回線.

1.2.2 動態(tài)JA 磁滯模型

靜態(tài)JA 磁滯模型只能反映與頻率無關(guān)的磁滯損耗，因此還需建立可以表征磁芯交流磁化特性的動態(tài)JA 磁滯模型.

根據(jù)Bertotti 鐵芯損耗分離理論，鐵芯損耗可分解成3 部分［16］，表達(dá)式為

式中：Wh為鐵芯損耗；We為渦流損耗；Wa為異常損耗，表達(dá)式分別為

式中：kc為渦流損耗系數(shù)；ka為異常損耗系數(shù).

與靜態(tài)JA 磁滯模型同理，可得到動態(tài)磁化過程中的能量守恒方程式為

對式（23）兩端的He進(jìn)行微分，然后引入以磁感應(yīng)強(qiáng)度為輸入的微分方程，化簡得JA 動態(tài)模型磁化強(qiáng)度的微分表達(dá)式為

動態(tài)JA 模型在靜態(tài)模型的基礎(chǔ)上增加了kc和ka兩個參數(shù)，通過7 個參數(shù)來描述磁芯對應(yīng)的磁滯回線.

2 算法介紹

2.1 JA 模型的參數(shù)辨識

本文應(yīng)用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO），利用Matlab 編程實(shí)現(xiàn)對JA 磁滯模型的參數(shù)辨識，實(shí)際上就是求解PSO 目標(biāo)函數(shù)的最小值問題.因此，求解JA 磁滯模型參數(shù)時的目標(biāo)函數(shù)可表示為

式中：m為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的個數(shù)；Bexp（i）為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的實(shí)測值；Bcal（i）為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的計算值.

在算法尋優(yōu)的過程中，以最小化磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)測值和計算值之間的誤差為目標(biāo)，進(jìn)行全局搜索獲得JA 磁滯模型參數(shù)的最優(yōu)解.

2.2 勵磁涌流分析

在鐵芯磁通達(dá)到飽和時，若磁通發(fā)生微小變化，則勵磁電流上會有巨大的變化，變壓器一次側(cè)會出現(xiàn)數(shù)值很大的暫態(tài)電流，即為勵磁涌流.因此只有研究勵磁涌流的產(chǎn)生機(jī)理，才能更深入地了解扼流變壓器在磁芯飽和時的輸入輸出特性，為軌道電路的安全、正常工作提供理論基礎(chǔ)和保障.根據(jù)勵磁涌流理論［14］，勵磁電流i與磁通Φ的關(guān)系曲線如圖6所示.

圖6 磁通與勵磁電流關(guān)系圖Fig.6 Relationship between magnetic flux and excitation current

由圖6 可知，隨著磁通的增大，當(dāng)磁通量超過飽和磁通時，變壓器鐵芯將會飽和，而勵磁電流將會發(fā)生畸變產(chǎn)生勵磁涌流.

根據(jù)麥克斯韋方程中的安培環(huán)路定律及磁通表達(dá)式，即

式中：N表示線圈匝數(shù)；H、l分別表示磁場強(qiáng)度和平均磁路長度.化簡可得勵磁涌流與磁通的關(guān)系為

式中：μ表示鐵芯磁導(dǎo)率.因此，利用JA 模型求解磁化曲線、即BH 曲線，可對扼流變壓器勵磁涌流分析，并通過勵磁電流的波形來判斷扼流變壓器磁芯是否飽和.

3 仿真分析

3.1 JA 模型參數(shù)辨識結(jié)果

利用動態(tài)JA 磁滯模型，編程計算扼流變壓器鐵芯的JA 磁滯模型參數(shù)，并將辨識得到的磁化曲線與實(shí)測磁化曲線進(jìn)行對比，進(jìn)而驗(yàn)證PSO 計算JA 磁滯模型參數(shù)的可行性.扼流變壓器的硅鋼片型號為30Q120，JA 磁滯模型辨識時設(shè)置的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：PSO 參數(shù)中，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值并結(jié)合辨識效果，最終設(shè)定粒子群的種群規(guī)模n為60，最大迭代次數(shù)tk為200，學(xué)習(xí)因子c1=1.3，c2=1.7，慣性因子w采用時變權(quán)重，范圍設(shè)為0.1~0.9.根據(jù)JA 磁滯模型參數(shù)的物理意義，結(jié)合實(shí)測初始磁化曲線確定PSO 中JA磁滯模型7 個參數(shù)的搜索范圍如表1 所示，其中Htip和Mtip分別為磁場強(qiáng)度頂點(diǎn)值和磁化強(qiáng)度頂點(diǎn)值.以動態(tài)JA 磁滯模型的參數(shù)辨識為例，辨識結(jié)果如表1 所示，辨識過程中，對應(yīng)的誤差迭代曲線如圖7所示.

表1 JA 模型各參數(shù)搜索范圍與辨識結(jié)果Tab.1 Search range and identification results of each parameter for the JA model

圖7 目標(biāo)函數(shù)誤差迭代變化曲線Fig.7 Iterative variation curve of objective function error

根據(jù)表1 的參數(shù)辨識結(jié)果可以看出，參數(shù)辨識結(jié)果符合理論設(shè)定范圍，且從圖7 可知，迭代計算到100 次左右時，最優(yōu)個體適應(yīng)值已達(dá)到0.000 25，這表明此時得到的JA 磁滯回線參數(shù)與實(shí)驗(yàn)曲線的參數(shù)基本吻合，本文模型及算法計算的辨識參數(shù)具有有效性.將利用JA 磁滯模型辨識參數(shù)仿真計算的磁化曲線與文獻(xiàn)［17］中實(shí)測的磁化曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖8 所示.

圖8 初始磁化曲線實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖Fig.8 Comparison graph of experimental results for initial magnetization curve

由圖8 可知，在初始磁化曲線的計算中，仿真計算結(jié)果和實(shí)測結(jié)果在整個磁場強(qiáng)度范圍都能非常好的吻合，驗(yàn)證了PSO 在JA 磁滯模型參數(shù)辨識時具有較好精確性.最后，對比根據(jù)辨識參數(shù)得到的扼流變壓器動態(tài)磁滯回線和靜態(tài)磁滯回線，如圖9所示.

由圖9 可知，在靜態(tài)磁滯回線和動態(tài)磁滯回線的計算中，整個磁場強(qiáng)度范圍內(nèi)的2 個計算結(jié)果整體趨勢都能較好的吻合；磁芯在交流磁化中的動態(tài)磁滯回線相較于在靜態(tài)磁滯回線中的磁滯損耗有所增大，這是由于采用靜態(tài)模型進(jìn)行求解時，模型中只考慮了與頻率無關(guān)的磁滯損耗，沒有考慮交流磁化影響下的渦流損耗和異常損耗，所以靜態(tài)磁滯回線略小于動態(tài)磁滯回線，與理論分析相符.

3.2 扼流變壓器非線性模型的分析驗(yàn)證

依據(jù)三電容模型仿真計算扼流變壓器的分布參數(shù)，并根據(jù)扼流變壓器的實(shí)際結(jié)構(gòu)運(yùn)用Maxwell 有限元軟件進(jìn)行建模與仿真，對模型的計算值進(jìn)行驗(yàn)證.扼流變壓器原邊繞組采用截面積為46.2 mm2的雙玻璃絲包扁銅線繞制而成，繞制方式為立繞式，絕緣厚度為0.4 mm；副邊繞組采用直徑為2 mm2的雙玻璃絲包圓銅線繞制而成，絕緣厚度為0.25 mm；繞組層間的絕緣間隙為0.5 mm，繞組的平均半徑為49 mm.鐵芯由2 個32 mm×64 mm×160 mm 的CD型鐵芯組成.在Maxwell 建立扼流變壓器的仿真模型，如圖10 所示.

圖10 扼流變壓器的3 維模型圖Fig.10 3D model diagram of choke transformer

設(shè)置相應(yīng)的邊界條件和激勵，利用場求解器得到分布電容和漏感表征的總能量，進(jìn)而求解出扼流變壓器分布電容和漏感的仿真值.仿真結(jié)果與理論計算值如表2 所示.

表2 扼流變壓器分布參數(shù)計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of calculation results for distribution parameters in choke transformer

由表2 可知，仿真值與理論計算值比較吻合，驗(yàn)證了模型的有效性.同時由于在Maxwell 中仿真時將扼流變壓器繞組等效成了理想的圓形，且能量場的能量值數(shù)量級較小，讀數(shù)存在一定的誤差，因此，理論值與仿真值間存在一定的誤差.

根據(jù)模型參數(shù)仿真計算調(diào)整狀態(tài)下接收端扼流變壓器正常工作時兩端的電壓和電流.仿真參數(shù)如下：信號頻率為25 Hz，牽引線圈的電壓和電流分別為Uj=0.435 6∠72.7°和Ij=0.823 1∠41.32°；信號線圈的電壓和電流分別為Ubej=1.300 95∠73.23°和Ibej=0.213∠65.07°.利用扼流變壓器非線性模型求解BH 曲線及其兩端的電壓電流曲線.在Pspice 中搭建接收端扼流變壓器非線性仿真模型，仿真參數(shù)與上述電壓電流仿真參數(shù)一致.將計算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對比，如圖11 所示.

圖11 正常工作時計算結(jié)果與Pspice 仿真結(jié)果對比Fig.11 Comparison of calculation and Pspice simulation results during normal operation

由圖11 可知，Pspice 的仿真結(jié)果和本文模型的結(jié)果吻合精度較高，仿真的扼流變壓器的一次側(cè)、二次側(cè)電流幅值分別為0.831 A、0.253 6 A，仿真計算的二次側(cè)電壓幅值為1.219 V，與四端網(wǎng)模型的計算結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了模型和仿真結(jié)果的正確性.從圖11（a）可知，扼流變壓器在軌道電路中正常工作時磁芯的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)小于在磁芯飽和時的磁感應(yīng)強(qiáng)度.此時，扼流變壓器工作在線性區(qū)，磁滯回線為交流磁滯回環(huán).同時對應(yīng)的勵磁電流波形為正負(fù)對稱的正弦波.改變扼流變壓器一次側(cè)的激勵電壓幅值和頻率，仿真牽引回流令其磁芯達(dá)到飽和狀態(tài)，仿真參數(shù)為50 V，頻率為50 Hz，其余參數(shù)與正常工作狀態(tài)時相同.對比結(jié)果如圖12 所示.

圖12 磁芯飽和時計算結(jié)果與Pspice 仿真結(jié)果對比Fig.12 Comparison of calculation and Pspice simulation results when magnetic core is saturated

由圖12（a）可知，對比Pspice 仿真結(jié)果和本文模型計算結(jié)果，此時扼流變壓器磁芯飽和，對應(yīng)的磁滯回線為飽和磁滯回線，且仿真和計算的磁滯回線基本吻合；對應(yīng)的圖12（b）和圖12（c）中的飽和一次側(cè)電流和二次側(cè)電壓的仿真結(jié)果變化趨勢也基本吻合，但峰值存在略微的差別.這是由于當(dāng)扼流變壓器磁芯處于深度飽和時，磁滯回線上的微小差別反映在勵磁電流上也會存在較大的差距.由于Pspice 仿真結(jié)果和JA 磁滯模型對應(yīng)的磁芯磁滯回線存在微小的差距，所以此時求解得到的勵磁電流在幅值上有細(xì)微的誤差.

由圖12（b）可知，勵磁電流在0.004 1 s 時突增，發(fā)生畸變.根據(jù)磁通Φ與勵磁涌流的理論分析可知，此時變壓器磁芯飽和.對應(yīng)的二次側(cè)電壓在0.004 2 s 時突減；根據(jù)式（12）可知，磁芯飽和時相對磁導(dǎo)率突減，進(jìn)而勵磁電感Lm突減，即扼流變壓器的傳輸阻抗大大減小，導(dǎo)致扼流變壓器二次側(cè)的電壓值也大幅減小，與圖12（c）中的仿真結(jié)果一致.25 Hz 信號電流對應(yīng)的二次側(cè)電壓如圖13 所示.由圖13 可知，磁芯飽和時信號線圈的輸出電壓幅值降為0 V，會引起紅光帶故障.

圖13 磁芯飽和時信號電壓結(jié)果對比圖Fig.13 Comparison of simulation results of signal voltage when magnetic core is saturated

綜上可知，磁芯飽和時對于扼流變壓器的輸出電壓及電流有明顯影響.對比扼流變壓器正常工作及飽和狀態(tài)的仿真結(jié)果表明，當(dāng)扼流變壓器工作在線性區(qū)時，BH 曲線沒有進(jìn)入飽和區(qū)，勵磁電流為正負(fù)對稱的正弦波；當(dāng)扼流變壓器磁芯飽和工作在非線性區(qū)時，BH 曲線進(jìn)入飽和區(qū)，磁滯回線為飽和磁滯回線，勵磁電流發(fā)生畸變.因此，可以通過扼流變壓器原邊電流的波形或者磁芯的磁滯回線形狀來判斷扼流變壓器發(fā)生故障時磁芯是否飽和，并且指導(dǎo)實(shí)際現(xiàn)場中的扼流變壓器故障診斷.

4 結(jié)論

1）提出一種結(jié)合JA 磁滯模型及三電容變壓器模型的扼流變壓器非線性模型的建模方法，該方法在傳統(tǒng)的扼流變壓器T 型等效電路模型建模方法上做了進(jìn)一步的優(yōu)化，相較于傳統(tǒng)的方法，本文模型可應(yīng)用于扼流變壓器磁芯飽和等非線性的問題分析，在飽和機(jī)理、磁芯模型的建立以及飽和分析上都有較強(qiáng)的應(yīng)用性.

2）采用PSO 算法來提取扼流變壓器中磁芯的磁滯回線參數(shù)，同時運(yùn)用能量計算法來提取扼流變壓器的漏電感和分布電容，這種模型及算法的物理意義明確，便于理解和計算.

3）將仿真的分布電容參數(shù)的計算結(jié)果與Maxwell 的仿真結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，得出本文模型的方法在提取扼流變壓器漏感和分布電容的參數(shù)時具有較好的精確性；將非線性扼流變壓器模型的求解結(jié)果與Pspice 的仿真結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，說明本文的模型及算法可以較準(zhǔn)確地分析扼流變壓器中磁芯飽和問題.可以通過分析此模型磁芯的實(shí)時磁滯回線形狀或者扼流變壓器原邊電流的畸變情況來判斷扼流變壓器磁芯是否飽和.