高等數(shù)學教學設計探索與實踐
——以羅爾定理為例

李瑞芬

（金肯職業(yè)技術(shù)學院 江蘇 南京 211156）

當前很多高職院校的高等數(shù)學課程教學依然延續(xù)傳統(tǒng)的講授模式，強調(diào)知識的系統(tǒng)性、嚴密性，而知識的實用性、文化性及趣味性卻無法完全體現(xiàn)出來。2022 年5 月，新修訂的《中華人民共和國職業(yè)教育法》正式施行，其中強調(diào)職業(yè)教育“立德樹人、德技并修”的人才培養(yǎng)目標，將思想政治教育、職業(yè)道德教育、科學文化素養(yǎng)與專業(yè)技能培養(yǎng)放在同等重要的位置[1]。基于職業(yè)教育的理念與高職學生數(shù)學學習情況，高職數(shù)學教學更應注重學生綜合素質(zhì)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。正如李大潛[2]所說，數(shù)學是一種先進的文化，數(shù)學教學體現(xiàn)了素質(zhì)教育的精神。在實際教學過程中，要結(jié)合知識點蘊含的數(shù)學史、數(shù)學文化，挖掘?qū)W生感興趣的元素，如此才能使學生愛學、想學，豐富學習內(nèi)容，提高綜合素養(yǎng)。

1 以素質(zhì)教育為目標的羅爾定理教學實施

1.1 學情分析

微分中值定理理論性強，是教學難點。職業(yè)院校學生的基礎(chǔ)知識薄弱，對學習缺乏興趣與毅力，故增加了教學難度。因此，教師在講授中值定理時應先聯(lián)系生活，激發(fā)學生的學習興趣，再充分理解定理的內(nèi)容、證明、條件、應用，并在此過程中體會其中的數(shù)學方法。

1.2 教學目標

知識目標：掌握羅爾定理的條件、結(jié)論、幾何意義及應用。

能力目標：鍛煉學生分析問題的能力以及表達能力。

素質(zhì)目標：培養(yǎng)學生的國家榮譽感、艱苦奮斗、科學精神，提升其綜合素養(yǎng)。

1.3 教學重點與難點

羅爾定理的條件與應用是該教學的重點；羅爾定理的證明則是教學的難點。

1.4 教學方法

“講授法”和“問題教學法”相結(jié)合，“互動式”和“啟發(fā)式”交互進行，采用多媒體動畫輔助教學。

1.5 教學過程

1.5.1 課程引入

引例：生活中的垂直上拋運動。乒乓球賽事中，要求發(fā)球員用手幾乎垂直上拋乒乓球，當球從拋起的最高點下降時，發(fā)球員方可擊球。乒乓球是我國的國球，通過該項運動可聯(lián)想到奧運精神，奧運的精神更高、更快、更強在我國的乒乓球運動中得到完美體現(xiàn)。此時可播放視頻，我國運動健兒發(fā)球和奪冠的精彩瞬間。

設計意圖：通過觀看視頻激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的國家榮譽感與艱苦奮斗的精神。

實例：如圖1，在某個位置垂直上拋一個物體，然后在同一位置把它接住。在這里，物體沿直線運動，設它的位移函數(shù)是x=f（t），物體在開始時刻t=a與結(jié)束時刻t=b處于同一位置，即f（a）=f（b），那么在時刻t=a和t=b之間，必定有這么一個時刻t=c，在該時刻，物體的速度為零，即f'（c）=0。這個結(jié)論成立嗎？

圖1 垂直上拋物體示意圖

設計意圖：此實例和引例對應，均為垂直上拋，垂直上拋運動是生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象，數(shù)學來源于生活、應用于生活。這個結(jié)論的成立可以通過羅爾定理來驗證，從而引出羅爾定理。

1.5.2 羅爾定理的定義

羅爾定理的條件：如果函數(shù)y=f（x）滿足如下三個條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；③在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）。接下來引導學生給出定理結(jié)果，教師可引導學生思考定理的三個條件分別對應什么樣的圖形特征，請學生看圖觀察，思考出定理的結(jié)論。其中條件①閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)表示圖形在區(qū)間上是連續(xù)不斷的，不存在間斷點。②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導表示圖形在區(qū)間內(nèi)是光滑的，沒有尖點。③在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，表示函數(shù)圖形在兩個區(qū)間端點處到x 軸的高度一致，通過此分析，可以得出函數(shù)圖形具有如下圖2 形狀。

圖2 羅爾定理條件示意圖

讓學生觀察圖形并思考，從圖形上能看到何種規(guī)律。學生很容易得出結(jié)論:左邊的圖形和右邊的圖形是中間圖形的局部，均滿足羅爾定理的條件。左邊和右邊的圖形均有一條平行于x 軸的水平切線，中間的圖形有兩條平行于x軸的水平切線，因此得出結(jié)論：函數(shù)圖形至少有一條水平切線，且此切線平行于x 軸。

設計意圖：“互動式”和“啟發(fā)式”相結(jié)合，激勵了學生的學習主動性，同時也增強了學生對羅爾定理的記憶，更便于理解。

羅爾定理的完整表述是：如果函數(shù)滿足如下三個條件：

①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；

③在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），

結(jié)論是則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得f（'）=0。

1.5.3 羅爾定理的證明

啟發(fā)式教學方式依然貫穿定理的證明過程，在授課過程中，教師可引導學生由果索因，定理的結(jié)論是要證明在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在一階導數(shù)為0 的點。此時可以數(shù)形結(jié)合，如圖2，通過圖形觀察：導數(shù)為0 的點可能是最大值點或者最小值點，但是函數(shù)在（a，b）內(nèi)能否取到最大值和最小值呢？條件①告訴我們，函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性質(zhì)又告訴我們，函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值和最小值。接下來還有一個問題，最大值和最小值可能相等嗎？相等是什么情況？不相等又是什么情況？從而可以得到：

若M=m，則f（x）在[a，b]上恒為常數(shù)，因此在（a，b）內(nèi)，恒有f'（x）=0。

第二種可能，Mm的情況：因為端點函數(shù)值由圖2 可以看出，最大值和最小值至少有一個不在端點處取得。那我們不妨設大M不在端點處取得，那么就應該在開區(qū)間內(nèi)的某一個位置取得，也就是在（a，b）內(nèi)必有一點即f（x）在處的值最大。在的鄰域內(nèi)，取一個增量依然在這個領(lǐng)域內(nèi)，f（x）在處函數(shù)值最大，那么是小于等于0 的。所以當大于0時，這個增量之比小于等于0。小于0 時，這個增量之比大于等于0。

條件②告訴我們，f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意點都可導，那在點當然可導，點的左右導數(shù)存在且相等。導數(shù)等于這個增量比也就是這個函數(shù)的極限。根據(jù)極限的局部保號性，左導數(shù)大于等于0，右導數(shù)小于等于0。因此點的導數(shù)等于0。這樣，我們就分兩種情況證明出了羅爾定理。

設計意圖：以學生為主體的啟發(fā)式教學模式，激發(fā)學生的學習興趣，同時引導學生邏輯清晰的自主思考，將復雜的定理證明簡單化，達到了教與學雙向的良好效果。

接下來和引例對應，說明開始例子當中的位移函數(shù)就是定理中的函數(shù)時間間隔對應區(qū)間點對應時刻c。由羅爾定理的結(jié)論可知，在垂直拋球的過程中，必定有一時刻的速度為0。

1.5.4 羅爾定理的條件分析

羅爾定理的三個條件如果有任何一個不滿足，結(jié)論都可能不成立，如

圖3 例1 函數(shù)圖象

分析：引導學生觀察，f（x）是個分段函數(shù)，這個函數(shù)有如下特點：在（0，1）內(nèi)可導，兩端點函數(shù)值相等，但f（x）在X=1處不連續(xù)，故不滿足羅爾定理的條件①。從圖中也容易看出在（0，1）內(nèi)不存在導數(shù)等于0 的點。事實上，可以求出在（0，1）內(nèi)，f（x）的導數(shù)等于1。

圖4 例2 函數(shù)圖象

圖5 例3 函數(shù)圖象

設計意圖：上述三個例子驗證了羅爾定理的三個條件如果有一個不滿足，結(jié)論可能不成立。即可能找不到使f'（）=0 的點。此三個例題放在一起，分別從定理的三個條件出發(fā)，體現(xiàn)了解決問題過程中考慮問題的嚴謹性、全面性，有助于學生考慮問題時良好習慣的養(yǎng)成。

那能不能認為，如果定理的三個條件不全成立時，一定找不到導數(shù)為0 的點呢？我們再來看這樣一個例題：

圖6 例4 函數(shù)圖形

分析：引導學生觀察，f（x）在[-2，2]上有定義，在x=1處不連續(xù)，從而也不可導，兩端點函數(shù)值也就是說，這里羅爾定理的三個條件均不滿足。而我們?nèi)菀卓闯?，x=0處，f'（0）=0。由此可見，羅爾定理的三個條件，不是結(jié)論成立的必要條件，而是充分條件。

設計意圖：全面理解羅爾定理的三個條件，解決問題時不僅要考慮問題的充分條件，還要考慮是否為必要條件?？紤]問題時不僅要探究問題的廣度，深度也同樣重要，至此發(fā)散學生思維，提高其綜合素質(zhì)。

1.5.5 鞏固提高

例5：設f（x）滿足以下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間0,a上連續(xù)；（2）f（x）在0,a內(nèi)可導；（3）f（a）=0；證明：在0,a內(nèi)至少存在一點，滿足

1.2.6 定理的起源

1691 年，法國數(shù)學家羅爾在論文《任意次方程的一個解法的證明》中提出，這個多項式方程的兩個相鄰實根中間，另一個方程至少有一個實根，這個定理是羅爾定理的前身。羅爾當時對微積分的正確性提出了質(zhì)疑，故此定理的證明方法是純代數(shù)的。一百多年后，意大利數(shù)學家貝拉維蒂斯提出了現(xiàn)在的羅爾定理。由于此定理是建立在羅爾提出的定理的基礎(chǔ)之上，故貝拉維蒂斯將此定理命名為羅爾定理。

設計意圖：講解羅爾定理的起源，學習科學家的探索精神和誠實謙遜的優(yōu)良品德。

2 教學反思

學習完“羅爾定理”后，學生做了相關(guān)的練習題和調(diào)查問卷，總體反映學習效果較好，雖然定理的證明稍難，但是通過教師的引導與啟發(fā)式教學還是能理解掌握，故本次教學設計符合高職院校學生的學情，教學理念較為新穎，教學方法合理。教學設計中，特別是上課開始引入的乒乓球運動和奧運奪冠瞬間的視頻能激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的國家榮譽感與艱苦奮斗的精神。課堂中，教師層層遞進，抽絲剝繭，能有效引導學生積極參與，認真思考，在此過程中學生能感受到知識點的整體性和學習相應的數(shù)學方法。此種教學設計不僅可以提高學生的數(shù)學思維，也提高了其綜合素質(zhì)，培養(yǎng)了學生的綜合素養(yǎng)。

3 總結(jié)與展望

高等數(shù)學是一門抽象的學科，這種特點使學生在學習的過程中感覺難度大，因此，在教學過程中合理地使用引導式與啟發(fā)式的教學方法尤為重要。且提高數(shù)學核心素養(yǎng)與解決問題的能力是學生學習教學的主要目的。引導式與啟發(fā)式的教學方式更能激發(fā)學生學習興趣，提升其學習主動性，從而培養(yǎng)出會思考問題，能解決問題的學生，提高學生的綜合素養(yǎng)。