具零階耗散的雙成分Camassa-Holm方程的整體解和爆破現(xiàn)象

朱師師,臧林恩

(云南師范大學數(shù)學學院,云南昆明650500)

具零階耗散的雙成分Camassa-Holm方程的整體解和爆破現(xiàn)象

朱師師,臧林恩

(云南師范大學數(shù)學學院,云南昆明650500)

本文研究了具零階耗散的雙成分Camassa-Holm方程的Cauchy問題.由Kato定理得到局部適定性的結果,然后研究了解的整體存在性和爆破現(xiàn)象.

雙成分Camassa-Holm方程;零階耗散;局部適定性;爆破;整體存在性

1 引言

近年來,Camassa-Holm方程(CH方程)

(其中ω是任意常數(shù))得到廣泛關注.它是一類描述淺水區(qū)域中單向傳播波的運動模型.CH方程是一類完全可積系統(tǒng),它有一對相應的Lax對[1],具有雙Hamilton結構[2].該方程由于其一些顯著特征而被廣泛關注.當ω=0時,該方程具有形如u(x,t)=ce-|x-ct|的孤立波解(其中c為任意常數(shù)).當c0時,這種孤立波解在有限速度內(nèi)行進,且在波峰處不光滑(它的一階導含有一個跳躍間斷點),即出現(xiàn)了尖點,又稱孤立尖解[3].Constantin等研究了該方程尖孤立子的穩(wěn)定性和相互碰撞問題,證實了這種孤立子和KdV方程的孤立子一樣,具有碰撞后不改變其形狀和速度等性質(zhì).CH方程另一顯著特征,既能描述孤立子又能描述波的破裂現(xiàn)象[1,4].CH方程的短波極限形式就是Hunter-Saxton(HS)方程

該方程描述的是線狀液態(tài)晶體波的傳播.

CH方程和HS方程有許多可積的多成分推廣[5-9],其中最著名的是

其中m=u-uxx,σ=±1,CH方程可由ρ≡0得到.它是一個完全可積系統(tǒng).在文[8]中, Constantin和Ivanov從淺水波理論的角度導出該系統(tǒng),并研究了它的整體解和某些爆破解.最近,該系統(tǒng)的數(shù)學性質(zhì)被許多文章進一步研究,例如文[5,6,8]等.

在實際情況下,能量耗散是自然界不可避免的現(xiàn)象,這在波的傳播過程中也經(jīng)常發(fā)生,因此研究耗散項對水波方程的影響是很有必要的.早在1970年,Ott和Sudan就研究了能量耗散對KdV方程的解的影響.在1988年,Ghidaglia把弱耗散的KdV方程作為有限維動力系統(tǒng)的一個模型,來研究該方程解的長時間性態(tài).

帶耗散項的雙成分CH方程具有如下形式

其中m=u-uxx,σ=±1,L(u)是耗散項.根據(jù)不同的物理背景,L可以是一個微分算子或是一個擬微分算子.本文研究下面具零階耗散的雙成分CH方程的Cauchy問題

其中m=u-uxx,σ=±1,λ是一個大于0的固定常數(shù).

在第二節(jié),將應用Kato理論證明方程(1.1)的局部適定性.在第三節(jié)研究方程(1.1)的解的爆破現(xiàn)象.最后,在第四節(jié)研究了方程(1.1)的整體解.

下面給出本文常用的一些記號.用‖·‖Hs,‖·‖L∞,‖·‖Lp分別表示Hs(R),L∞(R), Lp(R)空間的范數(shù);(·,·)s表示Hs(R)空間的內(nèi)積;‖·‖X表示Banach空間X上的范數(shù).

2 局部適定性

本節(jié)用Kato定理證明出方程(1.1)的解的局部適定性定理.先敘述Kato定理,考慮抽象的擬線性發(fā)展方程

設X,Y是兩個Hilbert空間,Y連續(xù)嵌入到X,且嵌入是稠密的,從Y到X有一個微分同胚Q:Y→X,‖·‖X和‖·‖Y表示Banach空間X,Y的范數(shù),L(Y,X)表示從Y到X的全體有界線性算子空間(當X=Y時,記為L(X)).假設

(i)?y∈Y,A(y)∈L(Y,X),且

且?β∈R,A(y)∈G(X,1,β)在Y上一致有界.

(ii)QA(y)Q-1=A(y)+B(y),其中B(y)∈L(X)在Y上一致有界,且

(iii)f:Y→Y在Y上一致有界,且

這里μ1,μ2,μ3,μ4是僅依賴于max{‖y‖Y,‖z‖Y}的常數(shù).

定理2.1[10]在條件(i)–(iii)下,對于v0∈Y,存在一個僅依賴于‖v0‖Y的最大時間T＞0,使得方程(1.1)在[0,T)存在唯一解v,并滿足v=v(·,v0)∈C([0,T);Y)∩C1([0,T);X),且映射v0→v(·,v0)從Y到C([0,T);Y)∩C1([0,T);X)是連續(xù)的.

下面將方程(1.1)變形,以便應用Kato定理證明其解的局部適定性.注意在流體動力學的推導過程中,當|x|→∞時,u(t,x)→0,ρ(t,x)→1,?t∈R.令=ρ-1,則當|x|→∞時,取σ=1,方程(1.1)化為

或

定理2.2設z0=≥2,則存在一個最大時間T=T(‖z0‖Hs×Hs-1)＞ 0,使得方程(2.3)在區(qū)間[0,T)存在唯一解z=,并滿足

且解連續(xù)依賴于初值z0,即映射

是連續(xù)的.

又設Y=Hs×Hs-1,X=Hs-1×Hs-2,Λ=和Q=顯然,Q是 Hs×Hs-1到Hs-1×Hs-2上的一個同胚映射.為證明定理2.2,僅需要證明A(z)和f(z)滿足Kato定理中的條件(i)–(iii).

下面將定理2.2的證明分成幾個引理完成.

引理2.1[11]設X1和X2是Banach空間,且Ai∈G(Xi,1,β),i=1,2,則算子

其中D(A)=D(A1)×D(A2).

引理2.2[5,12]設u∈Hs,s≥2,則算子A(u)=u?x∈G(Hs-1,1,β).

由引理2.1–2.2得到

引理2.3設z∈Hs×Hs-1,s≥2,則算子A(z)=∈G(Hs-1× Hs-2,1,β).

引理2.4[7,8]設A(z)=,z∈Hs×Hs-1,s≥2,則A(z)∈L(Hs× Hs-1,Hs-1×Hs-2),且滿足

引理2.5[7,8]設B(z)=QA(z)Q-1-A(y),z∈Hs×Hs-1,s≥2,則

?y,z∈Hs×Hs-1,w∈Hs-1×Hs-2.

引理2.6[10]設r,t為滿足-r＜t≤r的實數(shù),則

其中c只為依賴于r,t的正常數(shù).

現(xiàn)證明在定理2.2中f滿足條件(iii).

引理2.7設z∈Hs×Hs-1,s≥2,

則f在Hs×Hs-1上有界,且滿足

(a)‖f(y)-f(z)‖Hs×Hs-1≤μ3‖y-z‖Hs×Hs-1,y,z∈Hs×Hs-1,

(b)‖f(y)-f(z)‖Hs-1×Hs-2≤μ4‖y-z‖Hs-1×Hs-2,y,z∈Hs×Hs-1.

證設y,z∈Hs×Hs-1,s≥2.注意Hs-1是Banach代數(shù),則

這就完成了對(a)式的證明.其中,在上述不等式中令y=0,就能夠得到f在Hs×Hs-1上是有界的.

接下來證明(b)式,

上述估計過程中需用到引理2.6(r=s-1,t=s-2的情形).于是(b)式得證.

綜合引理2.1–2.5和引理2.7,應用定理2.1,定理2.2得證.

3 爆破

這節(jié)中將證明方程(2.2)解爆破的充要條件,并給出導致解發(fā)生爆破的兩個充分條件.

引理3.1[13]若r＞0,則Hr∩L∞是Banach代數(shù),且

其中c只為依賴于r的常數(shù).

引理3.2[13]若r＞0,則

其中c只為依賴于r的常數(shù).

引理3.3設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T＞0是方程(2.2)相應解的最大存在時間,則?t∈[0,T),有

且

證運用定理2.2及稠密性定理,只需證明上述定理對某個s≥2成立即可.這里假設s=3來證明上述定理,在方程(2.3)中,對第一個方程關于x求偏導,再運用恒等式得到

其中f=u2+根據(jù)方程(2.3)及(3.3)式,再分部積分得到

所以(3.1)式得證.

根據(jù)上述不等式,得到

這就完成了對引理3.3的證明.

由引理3.1–3.3可得到下述重要結論.

定理3.1設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,若存在M＞0,使得

證根據(jù)定理2.2,設z=是方程(2.3)關于初始值z0∈Hs×Hs-1,s≥2,的解,且T是相應解z的最大存在時間.證明過程中,c＞0是僅依賴于s的正常數(shù).對方程(2.4)中第一個方程運用算子Λs,且兩邊同時乘以Λsu,再關于R積分,得到

其次,估計(3.4)式右邊的第二個式子

上述估計過程需用到引理3.1(r=s-1的情形)和(3.2)式.最后,估計(3.4)式右邊的第三個式子

結合上述三個不等式及(3.4)式,得到

現(xiàn)首先估計(3.6)式右邊的第一個式子和第二個式子(參見文[14]定理3.1)得到

再估計(3.6)式右邊的第三個式子,得到

結合上述三個不等式及(3.6)式,得到

根據(jù)(3.5)–(3.7)式,得到

運用Gronwall不等式和定理已給出的假設條件,得到

為研究方程(2.2)的解的精確的爆破機制,引入如下初值問題

其中u表示方程(2.3)的解的第一個元素,且是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù).應用常微分方程的一些結論,能夠得到關于q的兩個結論,這兩結論在研究爆破現(xiàn)象中非常重要.

引理3.4[15,16]設u∈C([0,T);Hs)∩C1([0,T);Hs-1),s≥2,則方程有唯一解q∈C1([0,T)×R;R),且q(t,·)是R上的一個遞增微分同胚映,滿足

引理3.5設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T＞0是方程(2.3)相應解的最大存在時間,則

此外,若存在M＞0,使得?(t,x)∈[0,T)×R,有ux(t,x)≥-M,則

證(參見文[6]引理2.5)得到=0.根據(jù)引理3.4和(3.9)式及引理給出的假設條件,得到

這就完成了引理3.5的證明.

根據(jù)定理3.1和引理3.5,可以得到以下推論.

推論3.1設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,若存在M＞0,使得

則解z(t,·)關于范數(shù)‖·‖Hs×Hs-1在[0,T)內(nèi)不會爆破.

接下來將要證明方程(2.3)解的精確的爆破機制.

定理3.2設z0=且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,則方程的解在有限時間內(nèi)爆破當且僅當

證根據(jù)定理2.2,設z=是方程(2.3)關于初始值z0∈Hs×Hs-1(s≥2)的解,且T是相應解z的最大存在時間.用m=u-uxx同時乘以方程(2.2)的第一個方程的兩邊,然后再分部積分,得到

對方程(2.2)的第一個方程關于x求偏導,然后方程兩邊同時乘以mx=ux-uxxx,最后再積分,得到

這里用到了關系式m=u-uxx和=0.結合(3.10)–(3.11)式,得到

結合(3.12)–(3.15)式,得到

假設存在M1＞0,M2＞0,使得ux(t,x)≥-M1,?(t,x)∈[0,T)×R,和M2,?t∈[0,T).由引理3.5知有界,根據(jù)(3.16)式得到

運用Gronwall不等式,得到?t∈[0,T)有

由上述不等式,Sobolev嵌入定理和推論3.1知解z在有限時間內(nèi)不會爆破.

另一方面,由Sobolev嵌入定理知,若

則解z就會在有限的時間內(nèi)爆破.這就完成了對定理3.2的證明.

關于初始值z0∈H2×H1,有下述精確的爆破機制.

定理3.3設z0=∈H2×H1,且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,則方程(2.3)的H2×H1-解在有限時間內(nèi)爆破當且僅當

證根據(jù)定理2.2,設z=是方程(2.3)關于初始值z0∈H2×H1的解,且T是相應解z的最大存在時間,結合(3.10),(3.13)和(3.14)式,得到

假設存在M1＞0,使得?(t,x)∈[0,T)×R,ux(t,x)≥-M1.根據(jù)(3.18)式得到

運用Gronwall不等式,得到?t∈[0,T)有

由上述不等式知,解z在有限時間內(nèi)不會爆破.

注3.1由定理3.2得到

由定理3.3得到

接下來,將討論導致方程(2.2)解爆破的兩個充分條件.

定理3.4設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,若存在x0∈R,使得=-1,且

則方程(2.3)的解在有限時間內(nèi)爆破.

證設z=是方程(2.3)關于初始值z0∈H2×H1的解,且T是相應解z的最大存在時間.令m(t)=ux(t,q(t,x0))和γ(t)=.由方程(2.3)和(3.8)式得到

由定理3.2知解在有限時間內(nèi)爆破.這就完成了對定理3.4的證明.

定理3.5設z0=∈Hs×Hs-1,s≥是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,,且存在M＞0,使得M,?t∈[0,T).再假設存在x0∈R,使得

則方程的解在有限時間內(nèi)爆破.

證由(3.3)式,可得

由引理3.3知

4 整體解

在這節(jié)中,將證明強解的整體存在性.首先先給出一個重要引理.

引理4.1設z0=∈Hs×Hs-1,s≥2,且T是方程(2.3)關于初始值z0的解的最大存在時間,若-1,?x∈R,則存在β＞0,使得

證由引理3.4知q(t,·)是R上的一個遞增微分同胚映射,滿足

則有

設M(t,x)=ux(t,q(t,x))和γ(t,x)=+1.由方程(2.3)和(3.8)式得

注意

由引理3.3和(4.4)–(4.5)式,得到

若設f(t,x)=u2(t,q)-λux)(t,q),則

且

由引理3.4–3.5知?x∈R,有γ(t,x)與γ(0,x)=ρ(0,x)同號.根據(jù)Sobolev嵌入定理,有且存在R0使得當|x|≥R0時,有因為-1,?x∈R,則有

接下來考慮下述Lyapunov函數(shù)

根據(jù)Sobolev嵌入定理知

將(4.8)式關于t求偏導,再結合(4.2)式和(4.6)–(4.7)式,有

根據(jù)Gronwall不等式和上述不等式及(4.9)式,?(t,x)∈[0,T)×R有

另一方面,

因此得到

根據(jù)(4.1)式和上述不等式,得到

這就完成了對引理4.1的證明.

由定理3.2–3.3和引理4.1,可以直接得到以下兩個定理.

定理4.1設z0=∈H2×H1,若-1,?x∈R,則方程(2.3)的強解整體存在.

定理4.2設z0=若-1,?x∈R,且T是方程關于初始值z0的解的最大存在時間,則方程(2.3)的解在有限時間內(nèi)爆破當且僅當

[1]Camassa R,Holm D D,Hyman J M.A new integrable shallow water equation[J].Adv.Appl.Mech., 1994,31:1–33.

[2]Fuchssteiner B,Fokas A S.Symplectic structures,their Bcklund transformations and hereditary symmetries[J].Physica D:Nonl.Phenomena,1981,4(1):47–66.

[3]Constantin A.On the scattering problem for the Camassa-Holm equation.Proceedings of the Royal Society of London[J].Series A:Math.,Phys.Engin.Sci.,2001,457:953–970.

[4]Constantin A,Escher J.Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equations[J].Acta Math.,1998,181:229–243.

[5]Yin Z.Well-posedness,global existence and blow-up phenomena for an integrable shallow water equation[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.,2004,10:393–411.

[6]C G,Yin Z.Global existence and blow-up phenomena for an integrable two-component Camassa-Holm shallow water system[J].J.Diff.Equ.,2010,248:2003–2014.

[7]Escher J,Lechtenfeld O,Yin Z.Well-posedness and blow-up phenomena for the 2-component Camassa-Holm equation[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.A,2007,19:493–513.

[8]Constantin A,Ivanov R.On an integrable two-component Camassa-Holm shallow water system[J]. Phy.Lett.A,2008,372:7129–7132.

[9]Guan C,Yin Z.Global weak solutions for a two-component Camassa-Holm shallow water system[J]. J.Funct.Anal.,2011,260:1132–1154.

[10]Kato T.Quasi-linear equations of evolution,with applications to partial differential equations[J]. Lecture Notes Math.,1975,448:25–70.

[11]Curtain R,Zwart H.An introduction to infinite-dimensional linear systems theory[M].New York: Springer-Verlag,1995.

[12]Yin Z.On the Cauchy problem for an integrable equation with peakon solutions[J].Illinois J.Math., 2003,47:649–666.

[13]Kato T,Ponce G.Commutator estimates and Navier-stokes equatins[J].Comm.Oure Appl.Math., 1988,41:203–208.

[14]Liu J,Yin Z.On the Cauchy proplem of a periodic 2-componentμ-Hunter-Saxton system[J].Nonl. Anal.,2012,75:131–142.

[15]Beals R,Scattinger D,Szmigielski J.Acoustic scatting and extened Korteweg-de Vries hierarchy[J]. Adv.Math.,1998,140:190–206.

[16]徐能,李子寶.一類耗散型Camassa-Holm方程的解的爆破[J].數(shù)學雜志,2013,33(5):871–880.

GLOBAL EXISTENCE AND BLOW-UP PHENOMENA FOR THE TWO-COMPONENT CAMASSA-HOLM EQUATION WITH ZERO ORDER DISSIPATION

ZHU Shi-shi,ZANG Lin-en
(School of Mathematics,Yunnan Normal University,Kunming 650500,China)

In this paper,we study the two-component Camassa-Holm equation with the zero order dissipation.By using the Kato’s theorem,the local well-posedness is obtain.Then we study the global existence and blow-up phenomena of the solutions for the Cauchy problem.

two-component Camassa-Holm equation;zero order dissipation;local wellposedness;blow-up;global existence

tion:35G25;35L05

O175.29

A

0255-7797(2017)01-0152-17

2015-01-04接收日期:2014-10-27

國家自然科學基金資助(10961029).

朱師師(1989–),女,江西南昌,主要研究方向:偏微分方程.