基于均值-方差理論的多階段公交走廊設(shè)計

夏 亮 ，江欣國 ，范英飛

（1.西南交通大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院，四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，四川 成都 610031；3.太原科技大學(xué)交通與物流學(xué)院，山西 太原 030024；4.長沙市望城區(qū)交通運輸局，湖南 長沙 410203）

隨著城市范圍的急劇擴張以及城市經(jīng)濟的快速發(fā)展，城市出行需求快速增長，隨之而來的城市交通擁堵問題也開始加劇.為緩解急速增長的出行需求與緩慢擴張的路網(wǎng)通行能力之間的矛盾，城市管理者在增加公交線網(wǎng)覆蓋率的同時，也在努力提高公共交通服務(wù)水平，促使使用低乘坐率小汽車出行的居民改用高乘客率的公共交通出行.

在公交服務(wù)的優(yōu)化中，許多研究已將一些實質(zhì)性的現(xiàn)實世界細節(jié)明確地納入其模型，例如不同的車隊構(gòu)成（如電動車和內(nèi)燃車）、多種運營方案（如全停和躍站?？浚┮约罢军c位置的地理限制[1-4].然而，現(xiàn)有的大多數(shù)模型都建立在固定的公交線路上.現(xiàn)實中有些公交系統(tǒng)（例如地鐵）由于其高昂的建設(shè)成本，在規(guī)劃階段就需要考慮到遠期需求的變化[5-6].因此，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法（公交線一次性建設(shè)完全線并投入使用）無法適用于這種需要兼顧遠期需求變化的公交線設(shè)計.

多階段設(shè)計在軌道交通建設(shè)中比較常見，例如成都地鐵、上海軌道交通和深圳地鐵的線路，都至少分兩期完成全線建設(shè)，時間跨度在十年左右.多階段設(shè)計方法包括向兩端延伸線路和線路內(nèi)增設(shè)站點2 種方式，本文主要研究第1 種方式.針對公交系統(tǒng)多階段設(shè)計，已有研究者作了相關(guān)研究.Matisziw等[7]提出在已有軌道路線不滿足需求時如何延伸線路的方法；Cheng 等[8]提出一個將預(yù)定軌道交通線最佳細分為多個部分以進行分期建設(shè)的模型；Sun等[9]通過雙層規(guī)劃方法提出一個軌道交通線多階段設(shè)計的模型.雖然上述模型都被應(yīng)用到預(yù)定的軌道交通線路中，即給出一些預(yù)設(shè)車站的位置，并著重于解決何時延伸以及被延長公交線路分期實施問題，然而，忽略此時的公交站點選址優(yōu)化問題.因此，Xia 等[10]提出解決上述問題的一種方法，但其仍假設(shè)出行需求是固定變化的，忽略了出行需求的隨機特性.

隨機優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化是2 種研究隨機需求對公交系統(tǒng)影響的方法.前者旨在獲得公交系統(tǒng)或乘客的最低期望成本[11-14]，后者是最小化與不滿足系統(tǒng)服務(wù)情況相關(guān)的成本[15-16].大多數(shù)研究人員傾向于使用隨機優(yōu)化方法[12,14,17]，而忽略隨機因素影響下方案的魯棒性問題.Amiripour 等[18]根據(jù)不同季節(jié)需求的波動，為魯棒性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計提出一種基于期望系統(tǒng)成本的模型；An 等[15]研究了隨機需求下固定線路和“撥號叫車”的多方式服務(wù)優(yōu)化問題，并構(gòu)建一個基于糟糕情況下的成本最小化非線性模型；Hassannayebi 等[11]通過引入過載情況下的懲罰成本，提出隨機需求下列車時刻表優(yōu)化模型；魏長欽等[19]以最大服務(wù)率和最小動態(tài)行程為目標，提出定制公交的站點及路徑優(yōu)化方法.這些研究通常著重于追求目標函數(shù)（如系統(tǒng)成本）期望值的最優(yōu)化，而忽略目標值的波動問題.

系統(tǒng)成本的方差是衡量系統(tǒng)魯棒性能的重要屬性，因此，同時考慮系統(tǒng)成本的均值和方差的優(yōu)化方法更有利于決策者得到隨機需求影響下的理想方案.均值-方差（MV）理論在公交系統(tǒng)設(shè)計的應(yīng)用方面，Yan 等[20]提出一個魯棒性的優(yōu)化模型，用于固定公交路線的時間表設(shè)計，旨在最小化隨機時刻表偏差的期望值及其波動的加權(quán)總和；Huang 等[14]通過將乘客的出行時間、運營成本的期望值以及運營成本的方差線性加權(quán)成目標函數(shù)，并將其降至最低來優(yōu)化發(fā)車時刻表.上述相關(guān)研究雖然使用MV 理論保障了方案在隨機需求下的穩(wěn)定性，但仍存在一些局限性：其求解過程由于利用離散模型而復(fù)雜；大多數(shù)研究都集中在發(fā)車頻率或時刻表的優(yōu)化上，而忽略了站點位置優(yōu)化問題.

本文基于文獻[10]，利用MV 理論構(gòu)建隨機增長需求下的多階段公交走廊設(shè)計決策方法.主要貢獻如下：1）構(gòu)建多種風險態(tài)度下的決策模型，以表達不同投資者在隨機增長需求下的不同決策態(tài)度；2）提出適用于隨機需求下的多階段公交系統(tǒng)優(yōu)化模型，以優(yōu)化不同時期的站點布局和發(fā)車間隔；3）使用連續(xù)近似方法將離散問題連續(xù)化，可將求解結(jié)果表達為解析解，簡化求解過程.最后，本文使用不同的設(shè)計策略（公交線路全覆蓋、單階段、多階段設(shè)計）和分析決策態(tài)度分析模型效果.

1 公交走廊布局

本文假設(shè)公交走廊布局如圖1 所示.為提供日常通勤服務(wù)，公交車輛往返于CBD 與公交線路的邊界，lt≤Lt（lt、Lt分別為t時段的公交線路邊界、居民分布邊界），t為年度.公交車輛在每個車站停下來接送乘客.在t=0,1,···,T,t∈T 期間，住戶人口沿著CBD 和邊界Lt的走廊連續(xù)分布，其中 T 是計劃周期時間段的集合.假設(shè)出行需求是由住戶的通勤行為決定的，住戶往返于其住所和預(yù)定的就業(yè)地點（即本文中的CBD）.在規(guī)劃期間，假設(shè)走廊的總住戶數(shù)Nt以每年gt的速度增長，gt為隨機變量，服從特定概率分布.假設(shè)公交線路的長度可隨住戶向外擴張而延伸，考慮到需求的增加和走廊的延伸，公交運營商會尋求優(yōu)化公交系統(tǒng)的設(shè)計，以更好地滿足出行需求.

圖1 單中心公交走廊Fig.1 Layout of monocentric corridor

2 模型構(gòu)建

2.1 目標函數(shù)

為融入方差對決策結(jié)果的影響，使用MV 函數(shù)（式（1））作為目標函數(shù)，隨機需求下多階段公交走廊設(shè)計模型可表示為式（1）～（5）.

式中：ρ(x) 為站點分布密度（公交站點位置可由站點密度函數(shù)積分得到[4,21,22]）；ht為發(fā)車間隔；E(Z)、D(Z) 分別為 Z 的期望、方差，Z 為所有標準化系統(tǒng)成本Z的集合；τe為線路延伸范圍內(nèi)的最小公交站點數(shù)（本文中取1）；是t時段處于中心的總乘客數(shù)的期望值；CV為車輛的載客量（乘客/車）；κ為高峰小時期間每小時出行需求占全天的比例.

式（2）為公交線路長度約束，防止公交線縮短；式（3）為線路延伸長度最短約束，避免公交線路延伸范圍內(nèi)無公交站點；式（4）為車容量約束；式（5）為非負約束.

2.2 風險態(tài)度決策方法

根據(jù)風險態(tài)度定義3 種決策者：中立風險、規(guī)避風險和尋求風險.眾所周知，具有不同風險態(tài)度的決策者會對同一問題做出不同的決策.針對不同風險態(tài)度的公交系統(tǒng)設(shè)計問題，可以采用效用理論方法或MV 方法.本文中的“風險態(tài)度”是指在MV 框架下對風險的態(tài)度.因此，中立風險的決策者漠視收益的波動，規(guī)避風險的決策者將嘗試使收益的方差最小化，而尋求風險的決策者將嘗試使收益的方差最大化.如果通過成本期望值量化收益，并通過成本方差量化收益的不確定性水平，則可以通過MV 函數(shù)來表達決策者的風險態(tài)度，具體描述如下：

1）中立風險決策

該類決策者對收益不確定性“中立”且漠不關(guān)心，其滿意度只取決于預(yù)期的系統(tǒng)成本.因此，其MV 函數(shù)為

2）規(guī)避風險決策

該類決策者保守且不享有任何系統(tǒng)成本不確定性的決策者，其滿意度隨著系統(tǒng)成本和其不確定性的增加而降低，其MV 函數(shù)表示為

式中：ξ 為方差的影響因子.

3）尋求風險決策

這類決策者是賭徒，享受系統(tǒng)成本不確定性帶來的興奮.隨著系統(tǒng)成本的增加，其滿意度會降低，而隨著系統(tǒng)成本的不確定性的增加，其滿意度則會增加.這類風險決策態(tài)度的MV 函數(shù)為

上述對風險決策的描述方法源自文獻[23].綜合3 種風險決策態(tài)度，MV 函數(shù)可表示為

式中：ζ 為決策分析態(tài)度；ζ=0，表示中立風險決策；ζ=1，表示規(guī)避風險決策；ζ=-1，表示尋求風險決策.

2.3 公交系統(tǒng)成本

系統(tǒng)成本Z是乘客在規(guī)劃范圍內(nèi)各階段t的通勤成本 Γt和公交運營商的成本 Λt的總和，并將其標準化為每戶的日均時間成本，即

式中：μ 為時間價值；Tw為每年工作時間.

1）用戶成本

在時間段t中的任何一天，通勤者都從其居住地x乘公交出行，其旅行時間用 φt(x) 表示.φt(x) 由三部分組成：乘客前往最近公交站點的走行時間At(x)、在公交站的等待時間Wt(x) 和從站點到目的地的在車時間It(x)，如式（11）所示.

為建立簡約模型，應(yīng)用連續(xù)近似法求解.

步驟1假設(shè)到站點的走行時間At(x) 是走行距離d(x) 除以步行速度vw，即d(x)/vw.如果乘客住在公交線所覆蓋的范圍內(nèi)（即x≤lt），則其走行距離近似定義為2 個連續(xù)站點之間距離的1/4[4,10,24]，即1/(4ρ(x)) ；否則，需要增加從其居住位置x到公交線路邊界的距離，即x-lt+1/(4ρ(lt)) .

步驟2乘客在車站的等候時間Wt(x) 近似為發(fā)車間隔時間的一半[20-21].

因此，時間段t的年度通勤總成本 Γt與年度通勤次數(shù)和單次通勤成本有關(guān)，表示為

式中：λt(x) 為日出行需求密度，是住戶密度nt(x)（具體見2.4 節(jié)）和每戶日均出行量 η（假設(shè)為給定的）的乘積，即 λt(x)=ηnt(x) .

2）運營商成本

公交運營商的成本取決于4 個指標[26]：公交線的長度 Λ1(t)、公交站點數(shù)量 Λ2(t)、每輛車行駛的距離 Λ3(t)、公交車輛的行駛時間 Λ4(t) .

式中：Tr為公交每天運營時長.

式（13）中的“2”表示2 個運行方向；式（14）表示公交2 個運行方向共享一個站點；式（15）中，Λ1(t)/ht表示1 h 內(nèi)出發(fā)的所有車輛的行駛里程；式（16）車輛行駛時間由巡航速度行駛的時間和由于停車而延遲時間所構(gòu)成.

因此，公交商運營成本為

式中：πi是與 Λi相關(guān)的單位成本.

2.4 住戶分布模型

當住戶總數(shù)已知時，居民以特定分布函數(shù)在走廊中，且其需滿足總住戶數(shù)平衡條件，即

3 求解方法

該問題假定確定了滿足住宅分布模型的解，即住戶密度和走廊的大小已知，通過式（1）求解公交系統(tǒng)優(yōu)化模型.利用局部分解法和最優(yōu)化理論[10,21]可得

式中：ltmin為由公交線路延長約束式（3）確定的最短公交線路長度；為沒有公交線路延長約束式（3）的目標函數(shù)式（1）的最優(yōu)解，可以通過求解其斜率為0 的位置來獲得，且滿足式（26）所示關(guān)系.

4 數(shù)值分析

首先，假設(shè)戶數(shù)Nt=Nt-1+gt，初始住戶數(shù)為N0，用戶數(shù)增長率gt∈{ga,gb}，其中，，gb=對應(yīng)的概率分別為分別為gt的期望、偏差.然后，以軌道交通為例，分析住戶均勻分布下（住戶分布密度為k），3 種設(shè)計策略和3 種風險決策態(tài)度對軌道公交系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)和各成本情況的影響（所提模型適用于任何公交方式）.3 種設(shè)計策略分別為：1）全覆蓋設(shè)計，也就是公交線路全覆蓋居民分布走廊，令lt=Lt；2）單階段設(shè)計，即在開始時修建的公交線路在之后所有階段都使用，并不發(fā)生變化（可由本文所提模型簡化得到）；3）多階段設(shè)計，即本文所提模型.最后，表1 列出了模型的參數(shù)值[25-27].

表1 實驗中的參數(shù)值Tab.1 Value of parameters in experiment

4.1 公交線路全覆蓋設(shè)計

公交線路全覆蓋設(shè)計是最常見的公交線路設(shè)計策略.表2 為公交線路全覆蓋設(shè)計結(jié)果，表中，括號中兩數(shù)值分別為初始和最終的公交線路/走廊長度，余表同.圖2 為3 種風險決策態(tài)度公交線路全覆蓋設(shè)計中各階段的發(fā)車間隔.

表2 公交線路全覆蓋設(shè)計結(jié)果Tab.2 Result of transit system with full-covered design

圖2 公交線路全覆蓋設(shè)計的發(fā)車間隔Fig.2 Headways of transit system with full-covered design

與中立風險決策態(tài)度的結(jié)果相比，規(guī)避風險態(tài)度決策者通過提供更優(yōu)質(zhì)的公交服務(wù)（更小的發(fā)車間隔和更密集的站點分布），降低用戶通勤成本（約0.17%），從而得到更穩(wěn)定的收益方案（即系統(tǒng)成本的波動降低了約4.16%）.在這種情況下，盡管更優(yōu)質(zhì)的公交服務(wù)增加了運營商成本（約0.38%），但系統(tǒng)成本僅增加0.06%，這相對于降低的系統(tǒng)成本標準差而言，是可接受的.對于尋求風險態(tài)度，其結(jié)果相反.該結(jié)論說明所提出的模型在3 種風險決策態(tài)度下對公交線路全覆蓋設(shè)計都具有良好的效果.此外，在3 種風險決策態(tài)度中，隨著住戶數(shù)增加，發(fā)車間隔都隨之增加（見圖2）.這是因為在公交線路隨住戶分布延伸的同時，為避免運營商成本的過度增加，延長的公交線路限制了公交系統(tǒng)其他參數(shù)性能的提升，即發(fā)車間隔.

4.2 公交線路單階段設(shè)計

公交線路單階段設(shè)計內(nèi)容包括公交線路長度、站點分布和發(fā)車間隔.這意味公交線路并不一定全覆蓋范圍居民分布范圍.表3 和圖3 為3 種風險決策態(tài)度公交線路單階段設(shè)計的結(jié)果.

表3 公交線路單階段設(shè)計結(jié)果Tab.3 Result of transit system with once-and-done design

圖3 公交線路單階段設(shè)計的發(fā)車間隔Fig.3 Headways with once-and-done design

從表3 可得，公交線路單階段設(shè)計中，與中立風險風險決策態(tài)度對比，規(guī)避風險態(tài)度提高12.37%的系統(tǒng)成本穩(wěn)定性，尋求風險方式降低了15.89%.雖然規(guī)避風險方式仍然能獲得更穩(wěn)定的系統(tǒng)成本（表3 最后一列），但其主要原因不再是更低發(fā)車間隔和更密集站點分布，而是更長的公交線路（3.92%）.由于規(guī)避風險決策提供更長的公交線路，縮短了公交線路覆蓋范圍外住戶的通勤時間，從而降低了波動.這暗示最佳的公交線路長度也受風險決策態(tài)度的影響.此外，為降低因公交線路長度增加而上漲的運營成本，公交系統(tǒng)發(fā)車間隔有所增加，平均站點密度有所降低，與全覆蓋設(shè)計方案相反.該結(jié)論驗證了所提模型對公交線路單階段設(shè)計的有效性，并表明其作用機理與全覆蓋設(shè)計有所差異.與全覆蓋設(shè)計類似，單階段設(shè)計中，相較于中立風險決策，規(guī)避風險決策也會降低居民通勤成本，增加運營商成本，并導(dǎo)致系統(tǒng)成本及其穩(wěn)定性增加.

與全覆蓋設(shè)計相比，公交線路單階段設(shè)計的系統(tǒng)成本雖然更低，但其波動更大.這種現(xiàn)象是合理的，因為其固定的公交線路布局難以適應(yīng)因住戶隨機增長所造成的住戶分布范圍隨機波動.

由圖3 可知：在公交線路單階段設(shè)計方案中，隨著住戶數(shù)的增加（即公交出行需求的增加），公交系統(tǒng)的發(fā)車間隔也隨之降低；與中立風險設(shè)計相比，發(fā)車間隔在規(guī)避風險設(shè)計中更高，而在尋求風險設(shè)計中更低.

4.3 公交線路多階段設(shè)計

多階段設(shè)計中，公交線路隨需求的增加而延長，這能有效地避免過早投資修建所造成的浪費（主要是運營和維護成本）.表4 列出了3 種風險決策態(tài)度下公交線路多階段設(shè)計的結(jié)果（階段數(shù)為5 個），圖4 呈現(xiàn)了均勻需求下3 種風險決策態(tài)度公交線路多階段設(shè)計中各階段的發(fā)車間隔和公交線路長度.

表4 公交線路多階段設(shè)計結(jié)果Tab.4 Result of transit system with phased design

圖4 公交系統(tǒng)多階段設(shè)計結(jié)果Fig.4 Result of transit system under phased design

與公交線路單階段設(shè)計中類似，規(guī)避風險決策態(tài)度促使公交線路更長，而尋求風險的更短（表4和圖4（b））.不同的是，多階段設(shè)計在公交線路單階段風險決策態(tài)度下不僅系統(tǒng)成本更低，其系統(tǒng)成本的穩(wěn)定性也更高，這與公交線路的可延伸性有關(guān).多階段的公交線路設(shè)計能適時地響應(yīng)增長的出行需求，降低因過早修建公交線路和站點所帶來的空載運營成本.與公交線路全覆蓋設(shè)計相比，多階段設(shè)計的優(yōu)勢在于其系統(tǒng)成本更低.與公交線路全覆蓋和單階段設(shè)計都不同的是，尋求風險方式與規(guī)避風險方式對公交系統(tǒng)設(shè)計的影響并非完全相反.規(guī)避風險決策和尋求風險決策都會增加平均站點密度和降低平均發(fā)車間隔，該現(xiàn)象與尋求風險決策中第一次公交線路延伸實施時間被推遲有關(guān).綜上，多階段設(shè)計中風險決策態(tài)度對公交系統(tǒng)設(shè)計的影響比較復(fù)雜.

圖4 表明，發(fā)車間隔在未延伸公交線路時隨需求的增加而降低，而在整體上隨出行需求的增加而增加.前者因為公交線路長度未變化，類似公交線路單階段設(shè)計中的發(fā)車間隔變化特征，而后者因為公交線路長度在變化，這與全覆蓋設(shè)計中的結(jié)果類似.圖4（a）還說明在尋求風險方式中，更高的站點密度推遲了公交線路各次延伸的實施時間，但未減少設(shè)計方案的階段數(shù).該結(jié)論暗示當目標函數(shù)中方差影響系數(shù)ξ足夠大時，其設(shè)計方案的階段數(shù)可能會減少.

5 結(jié)論

本文對不同設(shè)計策略（全覆蓋設(shè)計、單階段設(shè)計和多階段非全覆蓋設(shè)計）和不同的風險決策態(tài)度（中立風險決策、規(guī)避風險決策和尋求風險決策）下的公交走廊設(shè)計進行了對比分析.實驗結(jié)果表明：

1）本文提出的基于均值-方差理論的風險態(tài)度決策方法在公交走廊多階段設(shè)計中效果良好，具體表現(xiàn)為與中立風險相比,規(guī)避風險方式能提供系統(tǒng)成本更穩(wěn)定的方案，而追求風險方式則得到系統(tǒng)成本波動更大的方案.

2）多階段設(shè)計具有比單階段設(shè)計和全覆蓋設(shè)計更低的系統(tǒng)成本，比單階段設(shè)計更穩(wěn)定的系統(tǒng)成本.

3）不同風險決策態(tài)度都是通過調(diào)整用戶的通勤成本來控制系統(tǒng)成本的波動（表現(xiàn)為系統(tǒng)成本標準差），即在規(guī)避風險模型中降低通勤成本，尋求規(guī)避模型中增加通勤成本.

4）在不同設(shè)計策略中，不同風險決策態(tài)度對公交系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)（即公交線路長度、站點分布和發(fā)車間隔）的影響有所不同，具體表現(xiàn)為與中立風險決策方案相比：在全覆蓋設(shè)計中，規(guī)避風險決策會增加平均站點密度，并降低平均發(fā)車間隔，而尋求風險決策相反；在單階段設(shè)計中，規(guī)避風險決策會增加公交線路長度和發(fā)車間隔，降低平均站點密集度，而尋求風險決策相反；在多階段設(shè)計中，風險決策態(tài)度對公交系統(tǒng)平均發(fā)車間隔和站點密度的影響較為復(fù)雜，這與線路延伸的實施時間有關(guān).

致謝：太原科技大學(xué)博士科研啟動基金（20202048）.