基于復(fù)合標(biāo)定和極限學(xué)習(xí)機的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機殘差建模及補償

高貫斌， 謝 佩， 劉 飛， 那 靖

（昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，云南 昆明 650500）

1 引 言

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機（Articulated Arm Coordinate Measuring Machines,AACMM）是一種采用旋轉(zhuǎn)角度為測量基準(zhǔn)的便攜式三坐標(biāo)測量設(shè)備，與測量軟件結(jié)合可以進(jìn)行長度、角度、平面度、同軸度、圓度等幾何特征的測量［1］。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機具有通用性強、測量范圍大以及方便現(xiàn)場測量等優(yōu)點，在汽車制造、模具設(shè)計、零件檢測、設(shè)備維護(hù)等領(lǐng)域得到應(yīng)用［2］。與傳統(tǒng)三坐標(biāo)測量機相比，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的精度較低，限制了其在高精度領(lǐng)域的應(yīng)用。因此，如何進(jìn)一步提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量精度一直是本領(lǐng)域的研究熱點。

引起關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機誤差的因素可分為靜態(tài)因素和動態(tài)因素。靜態(tài)因素主要是由運動學(xué)參數(shù)誤差引起的，可采用運動學(xué)標(biāo)定的方法解決［3-5］。因為工業(yè)機器人與關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)類似，所以二者的運動學(xué)標(biāo)定方法相似且主要集中于建模、測量、參數(shù)辨識和誤差補償方面。

運動學(xué)參數(shù)辨識的研究主要集中于引入智能搜索算法、構(gòu)建適當(dāng)?shù)谋孀R策略以快速準(zhǔn)確地求解運動學(xué)誤差方程。Cholmin 等［6］提出了一種小生境混沌優(yōu)化算法（Niche Chaotic Optimization Algorithm）并運用到關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的運動學(xué)標(biāo)定中，有效地降低了均方根偏差。Chen等［7］將改進(jìn)甲蟲算法應(yīng)用到KR500L340-2 型工業(yè)機器人進(jìn)行運動學(xué)參數(shù)辨識中，在完成參數(shù)誤差補償后KR500L340-2 的位置誤差平均值從2.95 mm 減小到0.20 mm。另外，內(nèi)點法［8］、L-M算法［9］和改進(jìn)教學(xué)-模擬退火算法［10］等也被應(yīng)用于關(guān)節(jié)式機器人的參數(shù)辨識之中。然而，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的運動學(xué)參數(shù)數(shù)量多，構(gòu)成的參數(shù)辨識矩陣維度高，使得智能優(yōu)化算法的求解效率低且易陷入局部最優(yōu)［11］。

運動學(xué)建模方面主要致力于使得關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的運動學(xué)模型變得完整、非冗余且連續(xù)。Benciolini 等［12］提出了基于四元數(shù)的關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測量機運動學(xué)新模型用以避免D-H 模型平行關(guān)節(jié)不連續(xù)的問題。馮旭剛等［13］將廣義幾何誤差模型運用到關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機運動學(xué)建模當(dāng)中，克服了D-H 模型不連續(xù)和無法包含靜態(tài)柔性誤差的問題，有效地提升了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量精度。此外，MCPC 模型［14］、POE 模型［15］和多傳感器坐標(biāo)測量機參數(shù)模型［16］等也被應(yīng)用于關(guān)節(jié)式機器人的運動學(xué)建模之中。其中POE 只需要兩個參考坐標(biāo)系（工具坐標(biāo)系和基礎(chǔ)坐標(biāo)系）就可表達(dá)出機械臂末端執(zhí)行器工具坐標(biāo)系相對于其基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿，但是，POE 仍然無法擺脫參數(shù)冗余和計算量大的問題［17］。

為了求解關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機或機器人的運動學(xué)參數(shù)誤差方程，通常需要準(zhǔn)確測量末端位姿信息或進(jìn)行有效物理約束?？捎糜陉P(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機末端位置測量的儀器主要有激光跟蹤儀、光學(xué)動捕系統(tǒng)、相機［18］等。但是，激光跟蹤儀價格高昂且需要特定的夾持裝置對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機進(jìn)行固定，在實際應(yīng)用中不現(xiàn)實且操作繁瑣，動捕系統(tǒng)布置周期長且所需空間大，相機的測量精度通常是達(dá)不到0.1 mm 從而無法滿足測量精度要求。目前，工業(yè)現(xiàn)場主要采用錐孔約束測頭進(jìn)行關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機自標(biāo)定的方法，無需外部測量儀器，便于在現(xiàn)場應(yīng)用。但是傳統(tǒng)自標(biāo)定采用的是單點重復(fù)標(biāo)定方法，單點重復(fù)標(biāo)定只能將角度參數(shù)準(zhǔn)確辨識出來，長度參數(shù)存在等比例縮放的問題，需要借助精密測量設(shè)備對部分長度參數(shù)進(jìn)行測量并在辨識中進(jìn)行固定。為此提出一種基于單點和空間距離的復(fù)合自標(biāo)定方法完成運動學(xué)標(biāo)定，用以彌補傳統(tǒng)自標(biāo)定方法的不足。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機受重力、軸系晃動、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)不均勻等動態(tài)因素影響而產(chǎn)生的誤差稱為殘余誤差，殘余誤差無法通過運動學(xué)標(biāo)定消除。目前，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機殘差補償方法可分為兩大類，第一類是研究殘差特性，建立殘差與測量構(gòu)型等變量的關(guān)聯(lián)模型，進(jìn)行殘差預(yù)測和補償；第二類不尋求建立模型，而是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)測頭位置或關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角進(jìn)行殘差預(yù)測和補償。

Hamana 等［19］分析了局部關(guān)節(jié)撓度帶來的誤差，基于測量姿態(tài)進(jìn)行了殘差補償建模補償。許鈾等［20］分析了多關(guān)節(jié)測量系統(tǒng)關(guān)節(jié)角度與末端執(zhí)行器殘差之間的關(guān)系，并建立了殘差數(shù)據(jù)庫以修正系統(tǒng)誤差。高群等［21］提出一種基于多項式模型的單點測量殘差校正方法，研究了圓柱坐標(biāo)系中關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度與殘差之間的關(guān)系，建立的多項式誤差補償模型，并補償了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的殘差。

Zhao 等［22］提出了一種使用LM 算法進(jìn)行運動學(xué)誤差標(biāo)定，然后使用由思維進(jìn)化算法優(yōu)化的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非運動學(xué)誤差補償?shù)姆椒?。類似地，工業(yè)機器人的殘差補償方法對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機也存在借鑒意義。Zhao 等［23］使用激光跟蹤儀大規(guī)模測量不同構(gòu)型下末端位姿信息，以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為輸入、實際位姿誤差為輸出，建立了一種基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差補償模型，以KUKA 工業(yè)機器人為實驗對象完成了殘余誤差補償實驗，使得機器人的最大誤差由1.96 mm 減小到0.22 mm。Nguyen 等［24］在運動學(xué)標(biāo)定的基礎(chǔ)上設(shè)計了一個三層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于擬合1到3 關(guān)節(jié)與機器人殘余誤差之間的非線性關(guān)系，完成PUMA560 型工業(yè)機器人非幾何誤差補償模型的建立，補償后機器人的誤差從4.065 4 mm下降到0.336 8 mm。

綜上所述，殘差建模的方法為了構(gòu)建補償模型方便，通常在第5 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中建立殘差補償模型，需通過變換才能得到基坐標(biāo)系下的殘差補償值，在轉(zhuǎn)換的過程中難免會引入轉(zhuǎn)換誤差，從而影響補償效果?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的“黑箱”式殘差補償方法，需要工作空間采集大量數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，才能保證殘差補償泛化性，但是，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機通常具有6 個或者7 個關(guān)節(jié)，這么高的維度下需要的數(shù)據(jù)是海量的，而且測頭的三維空間位置坐標(biāo)的準(zhǔn)確值測量也非常困難。

針對上述問題，本文通過構(gòu)建測量構(gòu)型與殘差的關(guān)系，提出一種在測頭坐標(biāo)系的基于復(fù)合標(biāo)定和極限學(xué)習(xí)機的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機殘差補償方法，其數(shù)據(jù)量需求少、效率和精度高，本文的主要貢獻(xiàn)和創(chuàng)新點總結(jié)如下：

（1）針對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機標(biāo)定中長度參數(shù)具有等比例縮放現(xiàn)象，辨識出來的長度參數(shù)不準(zhǔn)確的問題，提出一種依次進(jìn)行角度參數(shù)辨識、長度參數(shù)辨識和長度參數(shù)等比例縮放的復(fù)合辨識方法，完成了七自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的運動學(xué)標(biāo)定。

（2）通過對標(biāo)定后關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機殘余誤差分布圖譜分析，發(fā)現(xiàn)殘余誤差與測量構(gòu)型參數(shù)之間存在密切關(guān)系，通過基坐標(biāo)系原點、第四關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點和第六關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點構(gòu)建了以測量擺角、仰角、距離和轉(zhuǎn)角為變量的測量構(gòu)型，由于測量構(gòu)型與殘余誤差存在高階非線性關(guān)系，本文采用極限學(xué)習(xí)機（Extreme Learning Machine， ELM）建立殘余誤差補償模型，對殘余誤差進(jìn)行補償。

（3）利用本文提出的復(fù)合參數(shù)辨識和殘余誤差補償方法對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機進(jìn)行了標(biāo)定和補償實驗，結(jié)果證明了本文所提模型及方法可有效提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的精度。

2 運動學(xué)建模及標(biāo)定

2.1 運動學(xué)正解及運動學(xué)誤差建模

本文以某通用型7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機作為測試對象，如圖1 所示，其由基座、2 個連桿、7 個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和測頭組成。

圖1 某通用型7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機Fig.1 7-DoF articulated arm coordinate measuring machine

2.1.1 運動學(xué)正解

本文采用D-H 方法對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機進(jìn)行運動學(xué)建模，D-H 法中定義了四個參數(shù)，分別是關(guān)節(jié)長度、桿件長度，桿件扭轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。其中四個參數(shù)的定義如下［25］：

關(guān)節(jié)長度ai-1：沿xi軸上zi-1與zi之間的距離；

桿件長度di：沿zi-1軸上xi-1與xi之間的距離；

桿件扭轉(zhuǎn)角αi-1：從zi-1到zi繞xi軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，繞xi逆時針轉(zhuǎn)向為正；

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi：從xi-1到xi繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，繞zi-1逆時針轉(zhuǎn)向為正。

根據(jù)D-H 法建立得到關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖2 所示。

圖2 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate systems of the AACMM

每個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系有4 個運動學(xué)參數(shù)，測頭有3個參數(shù)，則七自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機共有31個運動學(xué)參數(shù)。對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)進(jìn)行初始測量可得這些參數(shù)的初始值，如表1所示。

表1 運動學(xué)參數(shù)初始測量值Tab.1 Nominal value of kinematic parameter

完成關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的運動學(xué)建模后，通過平移和旋轉(zhuǎn)可以得到坐標(biāo)系｛xi-1，yi-1，zi-1｝到｛xi，yi，zi｝的齊次變換矩陣Ti-1，i：

通過依次右乘相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系變換矩陣，可得到第7 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的位姿矩陣：

將T0，7右乘齊次化測頭偏置向量（lx，ly，lz，1）T，可得到測頭在基座坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)（x，y，z，1）：

2.1.2 運動學(xué)誤差建模

通?？梢詫㈥P(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測頭固定于一錐孔中，以保持測頭球心位置不變，通過改變各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，獲得一系列的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)通過式（3）計算出的測頭坐標(biāo)值理論上應(yīng)該是相同的［26］，但由于運動學(xué)參數(shù)存在誤差的原因，實際上計算得到的測頭坐標(biāo)值并不相同，測頭坐標(biāo)的重復(fù)性誤差反映了運動學(xué)參數(shù)的誤差。因此，可以將測頭在某一錐孔點的重復(fù)誤差作為目標(biāo)函數(shù)，通過最優(yōu)化方法對運動學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識。

測頭的單點重復(fù)誤差ΔP主要由運動學(xué)參數(shù)誤差（Δdi，Δαi-1，Δai-1，Δθi0，Δlx，Δly，Δlz）所決定，其中Δdi為桿件長度誤差、Δai-1為關(guān)節(jié)長度誤差、Δαi-1為桿件扭轉(zhuǎn)角誤差、Δθi0為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差、（Δlx，Δly，Δlz）為測頭偏置誤差。這些偏差通常足夠小，因此可以用微分運動原理建立運動學(xué)誤差模型，即：

進(jìn)一步寫成矩陣形式：

其中，PN表示測頭的名義坐標(biāo)值，Δk是參數(shù)誤差矢量，，i=1，2，3，…，7，表示單點測量時測頭的平均坐標(biāo)值，即：

Jk是雅克比矩陣：

2.2 運動學(xué)參數(shù)辨識

基于剛體微分法建立的誤差模型是一個線性方程組，若有N組末端測頭坐標(biāo)值和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，則由式（5）可得：

為求得運動學(xué)參數(shù)誤差向量Δk，可將式（8）轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，即：

由于采用單點標(biāo)定的方法缺少距離信息，僅能夠辨識出運動學(xué)參數(shù)中的角度參數(shù)（Δαi-1，Δθi0），而長度參數(shù)（Δdi，Δai-1，Δlx，Δly，Δlz）難以被準(zhǔn)確辨識出來。針對上述問題，Cheng 等［27］提出了一種對長度參數(shù)進(jìn)行等比例放縮的方法對長度參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。此方法對長度參數(shù)進(jìn)行等比例放縮，只會影響長度測量結(jié)果，并不會影響關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的單點精度。如果利用兩個錐孔距離提供的長度信息，則可以辨識長度參數(shù)。若只考慮長度參數(shù)誤差，根據(jù)式（5）可知位置1 處和位置2 處的誤差分別為：

兩個位置的距離誤差為：

令JL=Jk1-Jk2，則有：

為求得長度參數(shù)誤差向量ΔkL，將式（12）轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，即：

上述方法能夠?qū)\動學(xué)參數(shù)中的長度參數(shù)進(jìn)行辨識。完成長度參數(shù)辨識、提升單點測量精度后，再采用等比例放縮法可以進(jìn)一步提升長度測量精度。因此，本文采用角度參數(shù)辨識、長度參數(shù)辨識和長度參數(shù)放縮三種方法分步進(jìn)行的策略對運動學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識，流程如圖3 所示。

圖3 復(fù)合標(biāo)定法流程Fig.3 Flow chart of compound calibration method

3 殘余誤差補償建模

運動學(xué)標(biāo)定能消除靜態(tài)因素引起的誤差，然而想要進(jìn)一步提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量精度及穩(wěn)定性則需要進(jìn)行非運動學(xué)標(biāo)定，消除動態(tài)因素引起的殘差。影響關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機測量精度的動態(tài)因素主要集中在第2 關(guān)節(jié)到第6關(guān)節(jié)之間［28］，因此，本文著重分析了2 到6 關(guān)節(jié)之間的動態(tài)因素對測量精度的影響。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的連桿和關(guān)節(jié)部分的質(zhì)量并不是均勻分布，且測量構(gòu)型的變動會導(dǎo)致關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的重心發(fā)生變化，所以無法對重心位置進(jìn)行準(zhǔn)確地數(shù)學(xué)建模。同樣地，也沒有確定的數(shù)學(xué)模型能對回轉(zhuǎn)不均勻和軸系晃動誤差等動態(tài)因素進(jìn)行嚴(yán)格描述。但與這些動態(tài)因素密切相關(guān)的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量構(gòu)型卻是可以用數(shù)學(xué)建模的方法得到。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機受動態(tài)因素的影響的問題可以轉(zhuǎn)化為殘差與其測量構(gòu)型之間的關(guān)系問題。

3.1 測量構(gòu)型與殘差的關(guān)系建模

在使用關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機進(jìn)行測量時，一旦第1 關(guān)節(jié)、第2 關(guān)節(jié)和6 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角確定，則第4 關(guān)節(jié)在空間的位置也就確定了下來，即測量構(gòu)型確定了。反之，每次測量，只要基坐標(biāo)系原點和測頭位置確定，最后只需要確定第4 關(guān)節(jié)的位置就能使得關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量構(gòu)型確定。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量構(gòu)型可以由基坐標(biāo)原點位置、第4 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點位置和測頭位置決定。

對于任意測量任務(wù)來說，只要基坐標(biāo)系和第六關(guān)節(jié)坐標(biāo)系位置固定，進(jìn)行擺臂測量時第4 關(guān)節(jié)在測量空間中構(gòu)成近似于圓形的軌跡（如圖4），本文將其稱之為構(gòu)型圓。

圖4 第4 關(guān)節(jié)在空間中的軌跡Fig.4 Track of the 4th joint in the measurement space

圖4 表明，無論采用哪種測量構(gòu)型進(jìn)行測量，第4 關(guān)節(jié)一定落在對應(yīng)的構(gòu)型圓上，只是在構(gòu)型圓上的位置和構(gòu)型圓的半徑有所不同。因此，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量構(gòu)型可由第4 關(guān)節(jié)所在的構(gòu)型圓及其在構(gòu)型圓上的位置決定。

首先分析第4 關(guān)節(jié)在任意構(gòu)型圓上位置有相關(guān)聯(lián)的因素。定義基坐標(biāo)系原點、第4 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點和第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點組成的平面為D1，令基平面為D0，則如圖5 所示，第4 關(guān)節(jié)在構(gòu)型圓上的位置與D1和D0的夾角ω有關(guān)。

圖5 測量擺角ω 示意圖Fig.5 Diagram of measuring swing angle ω

擺角ω可以由D1與D0對應(yīng)的法向量之間的夾角表示。D0的法向量V0可表示為V0=［0，0，z］。其中z表示測頭在Z軸方向的坐標(biāo)值。D1的法向量V1可以表示為：

其中：P4i表示第4 關(guān)節(jié)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，是齊次變換矩陣T0，4的第4 列的1～3 行；P6i表示第6 關(guān)節(jié)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，是齊次變換矩陣T0，6的第4 列的1～3 行：

完成法向量V0和V1的求取后即可根據(jù)空間向量夾角公式求得擺角ω：

上述擺角ω表示了第4 關(guān)節(jié)在任意構(gòu)型圓上的位置，接下來需要進(jìn)一步分析第4 關(guān)節(jié)具體位于哪一構(gòu)型圓上。第4 關(guān)節(jié)具體在哪一構(gòu)型圓上的問題實際就是分析構(gòu)型圓的半徑和哪些因素有關(guān)。如圖6 所示，基坐標(biāo)系到第6 關(guān)節(jié)的連線與基平面之間的夾角和第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)原點與基坐標(biāo)原點之間的連線長度決定了第4 關(guān)節(jié)到基座的距離。第4 關(guān)節(jié)到基座的距離一旦固定，那么構(gòu)型圓的半徑也就隨之確定。令第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)原點到基坐標(biāo)原點的連線與基平面之間的夾角為仰角vmc，定義第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)原點與基坐標(biāo)原點之間的連線長度為長度Lmc，而構(gòu)型半徑的大小可由仰角vmc和長度Lmc所決定。

圖6 構(gòu)型圓位置和半徑示意圖Fig.6 Diagram of the position and radius of the configuration circle

vmc實際是P6i與基平面法向量V0之間的夾角，同樣根據(jù)空間向量夾角公式，得到仰角vmc的表達(dá)式：

Lmc實際就是第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)原點到基坐標(biāo)系原點的歐氏距離：

雖然測頭部分（第6 關(guān)節(jié)到測頭）和第1 關(guān)節(jié)的動態(tài)因素可以忽略，但是它們轉(zhuǎn)動會對殘差值造成一定的影響。為了得到較為精確的殘差補償模型，下面依次分析第1 關(guān)節(jié)和測頭部分對殘余誤差值的影響。如圖7 所示，當(dāng)測量構(gòu)型固定時，將測頭與基坐標(biāo)系原點的連線投影到XY平面中，連線會隨著第1 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動與X軸成不同大小的夾角θr（本文稱之為轉(zhuǎn)角）。轉(zhuǎn)角θr的改變則會使得同一測量構(gòu)型下X和Y方向的殘差值發(fā)生改變，但本質(zhì)上是構(gòu)型圓在空間中的位置發(fā)生了變化，從而使得第4 關(guān)節(jié)的位置發(fā)生改變。因此，在構(gòu)建測量構(gòu)型參數(shù)時應(yīng)當(dāng)將θr考慮進(jìn)去，θr可以用以下公式求得：

圖7 第一關(guān)節(jié)對殘差的影響Fig.7 Effect of first joint on residual value

下面分析測頭部分旋轉(zhuǎn)會對殘差值的影響，如圖8 所示，當(dāng)關(guān)節(jié)臂式測量機的測量構(gòu)型確定后，測頭部分可以繞第6 關(guān)節(jié)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)形成圓形軌跡，本文稱之為測頭圓。由于測頭部分的動態(tài)因素忽略不計，所以真實的測頭圓和名義上的測頭圓半徑相同，且測頭在測頭圓上的位置相同。

圖8 測頭部分在空間中形成的軌跡Fig.8 Circular track formed by probe in moving space

為了分析測頭部分旋轉(zhuǎn)會對殘差值的影響，下面將測頭圓投影到XZ平面進(jìn)行分析。如圖9所示當(dāng)測頭部分繞6 軸旋轉(zhuǎn)時，測頭圓的圓心與測頭的連線與X軸形成夾角θp。θp的大小不同可能會對殘差值產(chǎn)生影響，故需要分析θp與殘差值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。為了便于分析，令Lp為測頭圓的半徑、Lrz為兩個測頭圓之間Z方向的圓心距、Lrx為兩個測頭圓之間X方向的圓心距。根據(jù)幾何關(guān)系可以求得X，Z方向上殘差值的表達(dá)式為：

圖9 測頭圓對殘差值的影響Fig.9 Impacts of probe circle on residual value

從式（20）可知，Z和X方向上的殘差值實際上只與兩測頭圓之間的圓心距有關(guān)（Y方向同理）、與θp無關(guān)，而圓心距只與測量構(gòu)型有關(guān)。因此可知測頭部分繞第6 關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)不會對殘差值產(chǎn)生影響。

基于上述分析，本文最終以ω，vmc，Lmc和θr四個參數(shù)來描述關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量構(gòu)型。測量構(gòu)型參數(shù)（ω，vmc，Lmc，θr）與關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機殘余誤差之間的關(guān)系如圖10 所示。

圖10 測量構(gòu)型參數(shù)與殘差Fig.10 Relationship between configuration parameters and residuals

下面通過殘差分布圖譜來分析測量構(gòu)型參數(shù)與殘差之間的關(guān)系。利用錐孔采集多擺角單點數(shù)據(jù)，可以計算得到相應(yīng)的測量構(gòu)型參數(shù)和殘差，繪制殘差分布圖譜如圖11～圖13 所示?？梢钥闯? 個測量構(gòu)型參數(shù)和殘差之間存在明顯的規(guī)律，其形成了一個二維曲面，但其與現(xiàn)有的可用函數(shù)描述的曲面均不相同，因此，很難通過數(shù)學(xué)建模的方法對其進(jìn)行描述，需要找到一種合適的方式將測量構(gòu)型參數(shù)和殘差的非線性關(guān)系擬合出來，才能通過測量構(gòu)型參數(shù)對殘差值進(jìn)行預(yù)測并補償?shù)綔y頭坐標(biāo)上，完成殘差補償。

圖11 仰角和擺角與殘差的關(guān)系Fig.11 Relationship of the elevation angle， swing angle and residual

圖12 長度和擺角與殘差的關(guān)系Fig.12 Relationship of the length， swing angle and residual

3.2 基于ELM 的殘差修正模型

3.1 節(jié)的分析表明測量構(gòu)型與殘差（Δx，Δy，Δz）之間存在著非線性映射關(guān)系，所以尋找測量構(gòu)型參數(shù)與殘差組成的非線性關(guān)系是殘差補償?shù)年P(guān)鍵。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模可以不需要了解內(nèi)部具體結(jié)構(gòu)，只需要具體的輸入量和輸出量經(jīng)過一定的訓(xùn)練，便可準(zhǔn)確地擬合出輸入量和輸出量之間的關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本思想是隱藏層對輸入矢量進(jìn)行變換，將低維的輸入數(shù)據(jù)變換到高維空間內(nèi)，使得在低維空間內(nèi)的線性不可分問題在高維空間內(nèi)線性可分。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用于非線性函數(shù)的擬合。但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的學(xué)習(xí)速度通常較慢，特別是當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)龐大時所消耗的時間成本高昂。極限學(xué)習(xí)機（Extreme Learning Machine，ELM）對前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其反向傳播算法進(jìn)行了改進(jìn)，隱含層節(jié)點的權(quán)重為隨機或人為給定的，且不需要更新，學(xué)習(xí)過程僅計算輸出權(quán)重，只需要一次迭代即可完成，極大縮短了訓(xùn)練所需時間，具有較好的自適應(yīng)性［29］。本文采用ELM 建立殘余誤差補償模型。

將測量構(gòu)型（ω，vmc，Lmc，θr）作為ELM 的輸入?yún)?shù)，殘差（Δx，Δy，Δz）作為輸出量，建立ELM網(wǎng)絡(luò)如圖14 所示。

本文通過計算機編程實現(xiàn)ELM 算法，用于訓(xùn)練和保存ELM 網(wǎng)絡(luò)，ELM 網(wǎng)絡(luò)的具體計算步驟如下：

步驟1：確定ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）和輸出量（Δx，Δy，Δz），設(shè)置ELM 網(wǎng)絡(luò)隱藏層節(jié)點數(shù)為300。

步驟2：隨機生成ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸入連接權(quán)重W，權(quán)值矩陣W的元素?。?1，1］之間的隨機數(shù)。

步驟3：隨機生成ELM 網(wǎng)絡(luò)的隱藏層偏置矩陣b，偏置矩陣b的元素?。?，1］之間的隨機數(shù)。

步驟4：Sigmoidal 函數(shù)具有平滑易于求導(dǎo)的優(yōu)點，可以將低維特征映射到高維非線性空間中，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的激活函數(shù)，本文確定以Sigmoidal 函數(shù)為激活函數(shù)。

步驟5：將實驗采集計算得到的ELM 網(wǎng)絡(luò)輸出量和輸入量帶入到模型中，可求解ELM 網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)重β。

步驟6：將連接權(quán)重W、和偏置矩陣b和輸出權(quán)重β保存下來，即可完成ELM 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

步驟7：在進(jìn)行測量工作時將實時計算的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）代入到訓(xùn)練好的ELM 網(wǎng)絡(luò)中計算輸出量（Δx，Δy，Δz），并將其補償?shù)阶鴺?biāo)值即可完成殘差補償：

其中（xnew1，ynew1，znew1）表示殘差補償后的測量坐標(biāo)值。ELM 的訓(xùn)練流程和補償過程如圖15 所示。

4 實 驗

單點重復(fù)精度是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的重復(fù)性的主要衡量指標(biāo)。為了定義單點重復(fù)精度，首先定義以下幾個參數(shù)。

坐標(biāo)誤差值：

坐標(biāo)誤差平均值：

坐標(biāo)誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ：

其中：E代表所測數(shù)據(jù)的平均誤差大小，σ代表誤差的波動幅度，可以用E和σ組合來定義關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的單點重復(fù)精度（Repeat Precision，RP）：

4.1 運動學(xué)標(biāo)定實驗

根據(jù)上述推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，編寫了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機參數(shù)辨識和補償軟件。該軟件基于C++和QT5.12 開發(fā)平臺，具有數(shù)據(jù)采集、運動學(xué)標(biāo)定和殘差補償?shù)墓δ?，圖16 為軟件界面截圖。利用該軟件采集了500 組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，將采集的數(shù)據(jù)導(dǎo)入事先寫好的標(biāo)定程序中，即可辨識得出標(biāo)定后的運動學(xué)參數(shù)，如表2 所示。

表2 D-H 參數(shù)標(biāo)定后的值Tab.2 D-H parameter of the AACMM after identification

圖16 標(biāo)定補償軟件Fig.16 Calibration compensation software

為了驗證運動學(xué)參數(shù)標(biāo)定是否有效，需要采集數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。在工作臺上采集了300 組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，標(biāo)定前關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機分量上的誤差分布如圖17 所示；標(biāo)定后關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測分量上的誤差分布如圖18 所示。

圖17 運動學(xué)標(biāo)定前的誤差分布圖Fig.17 Error distribution before calibration

圖18 運動學(xué)標(biāo)定后的誤差分布圖Fig.18 Error distribution after calibration

具體數(shù)據(jù)如表3 所示，單點坐標(biāo)誤差的最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差由標(biāo)定前的49.386 mm，26.498 mm，12.348 mm 下降到標(biāo)定后的0.054 mm，0.021 mm，0.009 mm，表明所提復(fù)合標(biāo)定法有效。

表3 復(fù)合運動學(xué)標(biāo)定結(jié)果Tab.3 Compound kinematic calibration results （mm）

為了進(jìn)一步驗證復(fù)合標(biāo)定法在測量空間中的泛化性。在空間隨機采集了20 個點位的數(shù)據(jù)，每個點位采集300 組關(guān)節(jié)角，共計6 000 組數(shù)據(jù)。分別采用單點標(biāo)定法和復(fù)合標(biāo)定法標(biāo)定后的模型計算重復(fù)誤差，對比結(jié)果如圖19 所示。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的單點坐標(biāo)誤差最大值和RP 由單點標(biāo)定后的0.098 mm，0.084 mm 下降到復(fù)合標(biāo)定后的0.061 mm，0.055 mm，實驗結(jié)果表明復(fù)合標(biāo)定法優(yōu)于單點標(biāo)定法，具體數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 運動學(xué)標(biāo)定效果對比Tab.4 Comparison of kinematic calibration effects（mm）

圖19 運動學(xué)標(biāo)定效果對比Fig.19 Comparison of kinematic calibration effects

4.2 殘余誤差補償實驗

在800 mm 長度范圍內(nèi)以40 mm 間隔，每個點位采集300 組不同測量構(gòu)型下的關(guān)節(jié)角。完成數(shù)據(jù)采集后，計算相應(yīng)的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）和輸出量（Δx，Δy，Δz）并導(dǎo)入ELM 模型中進(jìn)行訓(xùn)練。當(dāng)模型訓(xùn)練好后，將驗證數(shù)據(jù)集計算出的輸入量（ω，vmc，Lmc，θr）代入到訓(xùn)練好的ELM 模型中計算輸出量，并補償至坐標(biāo)值中即可完成殘差補償。殘差補償效果如圖20 所示，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的單點殘差最大值和RP 由補償前0.057 mm，0.057 mm 下降到補償后的0.028 mm，0.032 mm，表明本文所提方法是有效的，具體數(shù)據(jù)如表5 所示。

表5 殘差補償結(jié)果Tab.5 Residual compensation results （mm）

圖20 殘差補償結(jié)果Fig.20 Residual compensation results

為了進(jìn)一步驗證所提方法在測量空間中的泛化性。在空間采集了20 個點位的數(shù)據(jù)，每個點位300 組關(guān)節(jié)角共計6 000 組數(shù)據(jù)。

首先完成了基于ELM 測量構(gòu)型修正模型（MCCM-ELM）和基于BP 測量構(gòu)型修正模型（MCCM-BP）的殘差補償對比實驗。實驗結(jié)果如圖21 所示，MCCM-ELM 補償后，殘差的最大值和RP 由0.061 mm，0.055 mm 下降到0.044 mm，0.035 mm；MCCM-BP 補償后，殘差的最大值和RP 由0.061 mm，0.055 mm 下降到0.051 mm，0.043 mm，具體數(shù)據(jù)如表6 所示。實驗結(jié)果表明，在補償效果上MCCM-ELM 優(yōu)于MCCMBP，并且ELM 訓(xùn)練時間為0.375 s、BPNN 的訓(xùn)練時間是17.874 s，所以MCCM-ELM 與MCCM-BP 相比而言具有補償效果更好、訓(xùn)練效率更高的優(yōu)點。

表6 不同擬合算法的殘差補償效果對比Tab.6 Comparison of residual compensation effects of different fitting algorithms（mm）

圖21 不同擬合算法的殘差補償效果Fig.21 Residual compensation effect of different fitting algorithms

完成不同擬合算法的對比實驗后，進(jìn)一步完成了MCCM-ELM 和基于ELM 第五關(guān)節(jié)修正模型（FJCM-ELM）的殘差補償對比實驗。

實驗結(jié)果如圖22 所示，F(xiàn)JCM-ELM 在進(jìn)行泛化性驗證實驗時出現(xiàn)了一些補償無效的點位，故MCCM-ELM 的泛化性優(yōu)于FJCM-ELM，具體數(shù)據(jù)如表7 所示。綜合上面兩個對比實驗可知，MCCM-ELM 具有泛化性更好、訓(xùn)練效率更高的優(yōu)點。故本文最終選擇MCCM-ELM 作為殘差預(yù)測補償?shù)哪Ｐ汀?/p>

表7 不同殘差補償模型的補償效果對比Tab.7 Comparison of compensation effects of different residual compensation models（mm）

圖22 不同殘差補償模型的補償效果Fig.22 Compensation effect of different residual compensation models

由于殘差補償是針對單點進(jìn)行補償?shù)?，單點精度的提高只能表明重復(fù)精度的提高，下面對長度測量精度進(jìn)行檢驗。使用300 mm 標(biāo)準(zhǔn)量塊作為測量對象，分別使用殘差補償前后的坐標(biāo)值對其進(jìn)行120 次測量，其中100 組數(shù)據(jù)用來放縮長度參數(shù)、20 組數(shù)據(jù)作為驗證集，驗證結(jié)果如圖23 所示。具體數(shù)據(jù)如表8 所示，長度測量誤差的最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差由補償前的0.137 mm，0.033 mm，0.037 mm 下降到補償后的0.074 mm，0.021 mm，0.019 mm。上述實驗結(jié)果表明本文所提方法不僅可以提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的重復(fù)精度還可以提高其長度測量精度。

表8 標(biāo)準(zhǔn)量塊測量結(jié)果Tab.8 Measurement results of standard gaug e （mm）

圖23 標(biāo)準(zhǔn)量塊測量結(jié)果Fig.23 Measurement results of standard gauge

5 結(jié) 論

本文以7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機為對象，分析了其測量構(gòu)型對殘余誤差影響的特性。構(gòu)建了以測量擺角、仰角、距離和轉(zhuǎn)角為變量的測量構(gòu)型，在此基礎(chǔ)上提出了基于ELM 的殘差修正模型。單點精度對比測試實驗結(jié)果表明：與只進(jìn)行運動學(xué)標(biāo)定相比，進(jìn)行殘差修正后關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的坐標(biāo)誤差最大值下降27.9%、均值下降39.1%、標(biāo)準(zhǔn)差下降36.4%。同樣地，長度測量實驗結(jié)果表明：進(jìn)行殘差修正后關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機長度測量誤差的最大值下降46.0%、均值下降36.4%、標(biāo)準(zhǔn)差下降48.6%。

實驗中所用的7 自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)變換模型具有通用性，因此所使用方法能便捷、有效地提高類似結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的單點重復(fù)精度，對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機精度補償具有一定參考意義。