基于矩陣因子重構(gòu)的MIMO雷達角度估計方法

陳金立，蔣志軍，朱熙鋮，李家強

（南京信息工程大學電子與信息學院，江蘇南京 210044）

0 引 言

相較于傳統(tǒng)的相控陣雷達，MIMO 雷達利用波形分集技術形成大孔徑虛擬陣列，具有更強的抗干擾能力以及更優(yōu)的參數(shù)估計性能［1-7］。角度估計是MIMO 雷達系統(tǒng)探測目標信息的核心研究內(nèi)容之一。眾多學者先后提出Capon 算法［8］、MUSIC算法［9］、ESPRIT 算法［10］等多種方法應用于雙基地MIMO 雷達的目標波離角（Direction of Departure,DOD）和波達角（Direction of Arrival, DOA）估計。然而，在實際大規(guī)模雷達陣列系統(tǒng)中，由于工作環(huán)境惡劣、元器件老化以及愈發(fā)復雜的雷達系統(tǒng)等因素的影響，增加了MIMO雷達系統(tǒng)中陣元的受損概率［11-13］。部分陣列天線的損壞會造成陣列采樣數(shù)據(jù)的丟失，產(chǎn)生較差的角度估計性能［14］。因此，在MIMO雷達中，有效地應對陣元故障對目標角度估計帶來的不利影響具有重要的意義。

當陣列中存在故障陣元時，陣列接收數(shù)據(jù)會出現(xiàn)大量的丟失［15-17］。為解決陣元失效導致的角度估計算法性能下降的問題，文獻［18］將深度神經(jīng)網(wǎng)絡（Deep Neural Network,DNN）應用于陣元缺損時的DOA 估計問題，聯(lián)合利用去噪自動編碼器（Denoising Autoencoder, DAE）和并行網(wǎng)絡實現(xiàn)受損數(shù)據(jù)的分類和重建，但該方法需要大量的訓練樣本來提高DNN 的DOA 估計性能。文獻［19］對存在故障陣元的協(xié)方差矩陣進行差分處理，構(gòu)造虛擬差分陣列，利用正常的冗余虛擬陣元數(shù)據(jù)來填充故障陣元的缺失數(shù)據(jù)，進而獲得完整的協(xié)方差矩陣，實現(xiàn)目標DOA 的估計。文獻［20］將該方法拓展應用于陣元故障下單基地MIMO 雷達DOA估計問題中［20］，為了保證MIMO雷達的協(xié)方差矩陣具有Toeplitz 結(jié)構(gòu)，要求發(fā)射陣元間距為接收陣元間距的N倍，其中N為接收陣元數(shù)，因此該方法的應用具有較大的局限性。文獻［21］提出一種結(jié)構(gòu)化的MC（Matrix Completion）算法，該方法首先將虛擬陣列協(xié)方差矩陣構(gòu)造為不存在整行整列元素缺失的四重Hankel矩陣，然后利用低秩MC算法恢復出缺失數(shù)據(jù)。然而，該方法需利用Vandermonde 分解等方法實現(xiàn)角度的精確估計，且四重Hankel 矩陣操作造成了巨大的矩陣維度擴張問題，導致該算法運算時間變長。

在雙基地MIMO 雷達中，為更好地解決因陣元缺損而導致的丟失數(shù)據(jù)恢復問題，并改善陣元缺損時的角度估計性能，提出一種基于不完整矩陣因子重構(gòu)的MIMO 雷達角度估計方法。先使用奇異值分解方法從不完整的協(xié)方差矩陣中提取出維度較低的矩陣因子，并將協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復問題轉(zhuǎn)換為不完整矩陣因子重構(gòu)問題。然后，利用矩陣因子行和列間的結(jié)構(gòu)特性，將不完整矩陣因子變換為塊Hankel 矩陣，并對其施加核范數(shù)約束從而建立不完整矩陣因子重構(gòu)模型。此外，為避免核范數(shù)求解中運算量較大的奇異值分解操作，利用Hankel 矩陣可分解性質(zhì)，重新表征了核范數(shù)約束問題。最后，采用ADMM 算法求解上述矩陣因子重構(gòu)模型。仿真實驗表明本文方法可以有效地恢復MIMO 雷達不完整矩陣因子中的缺失數(shù)據(jù)，在陣元故障時仍獲得較高精度的角度估計，并具有較低的計算復雜度。

1 陣元失效MIMO雷達信號模型

雙基地MIMO 雷達系統(tǒng)具有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元，發(fā)射和接收陣元間隔分別為dt和dr，且收發(fā)陣列均為半波長間距的均勻線陣。發(fā)射陣列發(fā)射M個正交信號且該信號滿足其中，K為每個脈沖周期內(nèi)的采樣個數(shù)表示轉(zhuǎn)置運算表示共軛轉(zhuǎn)置運算。在空間遠場內(nèi)若存在P個非相干目標，第個目標位于其中θp為波離方向角，φp為波達方向角。則在第個脈沖周期的接收信號Xq表示為

式中：Yq=XqWH/K表示經(jīng)匹配濾波后的接收信號矩陣；表示匹配濾波后的噪聲矩陣。將Yq=XqWH/K按列表示MN× 1維列矢量，即

在實際應用中，由于惡劣的外界環(huán)境和日益復雜的雷達系統(tǒng)等因素影響，天線陣列中出現(xiàn)部分陣元失效的概率增加，導致陣列采樣信號的丟失。令ΩT和ΩR分別為發(fā)射和接收陣列中故障陣元的位置集合，由于失效陣元的存在，因此發(fā)射和接收導向矩陣中的一些行元素全為零，可表示為

式中，ct∈?M×1和cr∈?N×1均為由0 和1 構(gòu)成的向量。 若第m(m∈ΩT)個發(fā)射陣元故障，則表示向量ct中第m個元素；若第個接收陣元故障，則表示向量cr中第n個元素。陣元正常時，向量ct和cr中所有元素都為1。陣元失效下虛擬陣列輸出信號矩陣?及其協(xié)方差矩陣?分別表示為

2 基于不完整矩陣因子重構(gòu)的MIMO雷達角度估計

傳統(tǒng)矩陣填充方法是依據(jù)矩陣的低秩特性來約束待重建矩陣，當缺失項隨機分布在待重建矩陣內(nèi)，可以精確地重建出完整矩陣［22］。然而，在雙基地MIMO 雷達中，由于失效陣元的存在，協(xié)方差矩陣中存在一些整行和整列中無觀測數(shù)據(jù)的情況，這些缺失數(shù)據(jù)的位置不符合隨機分布，這類數(shù)據(jù)缺失模式被稱為結(jié)構(gòu)性缺失［22］。此時，傳統(tǒng)矩陣填充方法中的秩最小化不足以在恢復結(jié)構(gòu)性缺失數(shù)據(jù)時產(chǎn)生足夠的約束，例如對矩陣中整列缺失的元素直接填充零元素仍然將使得矩陣的秩最小，因此導致現(xiàn)有的矩陣填充算法無法恢復結(jié)構(gòu)性缺失數(shù)據(jù)［22］。

2.1 不完整矩陣因子的重構(gòu)模型

為解決協(xié)方差矩陣中結(jié)構(gòu)性缺失數(shù)據(jù)重建問題，首先分析協(xié)方差矩陣的分解特性，根據(jù)式（5），陣元正常情況下完整的協(xié)方差矩陣R可表示為

矩陣B∈?MN×P可由P個列向量構(gòu)成，即其中，bp表示矩陣B的第p列元素組成的向量。列向量bp可由N個子列向量構(gòu)成，即，其中，子列向表示中第m個元素。

將向量映射到Hankel矩陣的變換操作?(·)定義為

若收發(fā)陣元數(shù)分別為M=5，N=3，目標個數(shù)為P=3，對虛擬陣列協(xié)方差矩陣分解后可得到矩陣因子B∈?15×3，由矩陣因子B構(gòu)造塊Hankel 矩陣的操作過程如圖1所示。

圖1 塊Hankel矩陣的操作過程示意圖

2.2 優(yōu)化算法

在求解式（16）時，需引入矩陣的SVD（Singular Value Decomposition）運算［23］。對一個維度為M×N的矩陣進行SVD運算時，一般其計算復雜度為由于本文引入了塊Hankel矩陣操作，使得矩陣因子B的維度從MN×P擴大為這樣在采用SVD運算時會產(chǎn)生較高的計算復雜度。

為有效降低計算復雜度，將塊Hankel 矩陣等價表達為兩個矩陣的乘積形式［24］，表示如下：

根據(jù)式（18），將式（16）轉(zhuǎn)換為如下所示的不完整矩陣因子的重構(gòu)模型：

式中，?為不完整矩陣因子，由陣元失效下協(xié)方差矩陣?分解所得。可以根據(jù)式R=BBH從恢復出的完整矩陣因子B估計出完整的協(xié)方差矩陣R。

由于噪聲的影響，完整矩陣B與不完整B?之間會存在誤差，在式（19）模型中加入噪聲約束項。此外，式（19）中的等式約束項在實際情況中也為近似相等，因此引入最小二乘約束項使得逼近UVH。最終建立以下不完整矩陣因子填充的模型：

式中：λ為正則化參數(shù)；μ為權重參數(shù)；E為高斯白噪聲矩陣為Frobenius 范數(shù)約束的噪聲項。將式（20）轉(zhuǎn)化為無約束項的優(yōu)化問題，則其增廣拉格朗日函數(shù)可定義為

式中，M為拉格朗日乘子矩陣，β為懲罰系數(shù)。在ADMM 的框架下，通過固定多個變量的值，迭代更新一個變量的值來依次更新變量U,V,E,B和M。在第k次迭代中，各個變量的更新函數(shù)為

通過求解式（22），更新E的迭代解為

利用最小二乘法求解式（23），可得到更新B的迭代解為

在變量U和V的子問題求解時，對式（24）中的矩陣U求偏導數(shù)得

拉格朗日乘子矩陣M的更新迭代解為

綜上所述，式（20）所表示的優(yōu)化模型求解如表1所示。

表1 式（20）所示的優(yōu)化模型求解算法

在算法1 中，當?shù)鷹l件滿足ΔB≤ε或達到最大迭代次數(shù)K時，迭代停止，其中ε為較小的正數(shù)。此外，本文利用了協(xié)方差矩陣的SVD 分解進行矩陣因子初始化，有效地加快了算法收斂速度。當?shù)Ｖ箷r，可得到完整的矩陣因子B，然后基于完整矩陣因子進行目標角度估計。

2.3 算法復雜度分析

文獻［20］的計算復雜度集中在構(gòu)造完整協(xié)方差矩陣上，需對MN個子矩陣進行取平均操作，其計算復雜度約為；本文算法的計算復雜度主要集中在式（30）和式（31）中的矩陣相乘和求逆運算，其計算復雜度約為其中K1為迭代次數(shù)；文獻［21］方法對由協(xié)方差矩陣構(gòu)造的四重Hankel矩陣進行核范數(shù)最小化求解，需要對復雜度較高的四重Hankel 矩陣進行SVD 分解，其復雜度為其中K2為迭代次數(shù)。

3 仿真與分析

為保證各算法對比的公平性，統(tǒng)一采用ESPRIT 算法［10］對本文方法（記為IMFR-MC）、文獻［20］方法（記為DC-MC）和文獻［21］方法（記為FFH-MC）恢復出的完整協(xié)方差矩陣進行目標角度估計，并以基于完整協(xié)方差矩陣直接進行ESPRIT算法估計的目標角度性能進行對比。在仿真實驗中，設置收發(fā)陣元數(shù)分別為M=5，N=15。假設有P=3 個遠場目標，其角度分別為第m個發(fā)射陣元發(fā)射的波形信號為wm=其中，wm為W的第m行，hm表示維度為256×256的Hadamard矩陣的第m行。信噪比定義為均方根誤差定MT為蒙特卡洛實驗次數(shù)和分別為第p個目標在第i次蒙特卡洛實驗中的DOD 和DOA 估計值。

圖2 目標角度估計星座圖

仿真實驗2：陣列故障陣元位置設置與仿真實驗1 相同，Q=100，MT=100。圖3 為不同方法的RMSE 隨SNR 變化的曲線圖。由圖3 可知，故障陣元會導致陣列接收數(shù)據(jù)缺失，致使協(xié)方差矩陣的完整結(jié)構(gòu)遭到破壞，此時直接使用ESPRIT 算法估計出的目標角度精度非常差，從而無法有效地估計目標的角度。此外，由于目標的DOD 和DOA 不同，MIMO 雷達協(xié)方差矩陣具有塊Toeplitz 特性而非Toeplitz 特性，因此采用差分處理技術的DC-MC算法無法填補故障陣元缺失數(shù)據(jù)，其目標角度估計誤差較大。FFH-MC 算法和IMFR-MC 算法對故障陣元的缺失數(shù)據(jù)進行了有效填補，在低信噪比區(qū)域兩者幾乎具有相同的性能，而在高信噪比區(qū)域IMFR-MC 算法的角度估計精度優(yōu)于FFH-MC算法。

圖3 不同方法的RMSE隨SNR的變化曲線圖

仿真實驗3：設置信噪比為-5 dB，發(fā)射陣列和接收陣列的故障陣元位置設置與仿真實驗1 中相同，MT=100。圖4 為RMSE 隨快拍數(shù)變化的曲線圖，圖中除DC-MC 算法的目標角度估計精度較差以外，其余方法隨著快拍數(shù)的增多，角度估計精度均有所提升，但IMFR-MC 算法明顯優(yōu)于FFH-MC算法。

圖4 不同方法的RMSE隨快拍數(shù)變化曲線圖

仿真實驗4：假設失效接收陣元的數(shù)量從0 至8 遞增，對應的接收陣列的故障率為0%～53%，其中故障率為0%表示接收陣列中故障陣元個數(shù)為0。在每次獨立實驗中，故障接收陣元的位置隨機選取，而發(fā)射陣列中第3個發(fā)射陣元故障。設置信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為Q=100，MT=100。圖5為不同方法的RMSE 隨接收陣列故障率變化的曲線圖，除DC-MC 算法的角度估計性能普遍較差以外，F(xiàn)FH-MC 算法與IMFR-MC 算法的RMSE 隨著接收陣元故障率的增加均有不同程度的增大，但IMFR-MC 算法總體上比FFH-MC 算法具有更低的RMSE值。

圖5 不同方法的RMSE隨接收陣列故障率變化曲線圖

仿真實驗5：本仿真實驗參數(shù)設置與仿真實驗1 相同。實驗仿真軟件為MATLAB2018a，CPU 為Intel Core i5-4570，內(nèi)存為8 GB。由表2 可知，DCMC 算法的運算時間最短，但角度估計誤差較大；FFH-MC 算法和IMFR-MC 算法均能實現(xiàn)目標角度的有效估計，相較于FFH-MC 算法，IMFR-MC 算法的運行時間更短、角度估計精度更高。

表2 不同角度估計方法的運行時間

4 結(jié)束語

雙基地MIMO 雷達收發(fā)陣列中出現(xiàn)失效陣元時，其虛擬協(xié)方差矩陣中會產(chǎn)生大量結(jié)構(gòu)性缺失數(shù)據(jù)，嚴重影響了傳統(tǒng)角度估計算法的性能。為此，本文提出一種有效的不完整矩陣因子重構(gòu)算法?；诰仃嘢VD 分解從不完整協(xié)方差矩陣中提取出維度較低的矩陣因子，通過分析矩陣因子中行和列間相關性，將矩陣因子變換為塊Hankel 矩陣，并對其施加核范數(shù)約束，從而建立不完整矩陣因子的重構(gòu)模型。為了有效降低算法的運算時間，利用Hankel 矩陣分解性質(zhì)，基于低秩矩陣擬合算法重新表征了核范數(shù)約束?；贏DMM 設計了不完整矩陣因子重構(gòu)模型的求解算法，以獲得完整的矩陣因子，從而能有效估計出目標角度。本文方法可以有效緩解因陣元失效而導致MIMO 雷達角度估計性能惡化的影響，實現(xiàn)高精度的角度估計。