基于模態(tài)控制法的平板揚(yáng)聲器指向性控制算法研究

衛(wèi)文港,程嘉正,馮雪磊,沈 勇

（近代聲學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京大學(xué)物理學(xué)院，南京，210023）

平板揚(yáng)聲器指一種使用單個或多個激勵器驅(qū)動薄板產(chǎn)生彎曲振動從而發(fā)聲的揚(yáng)聲器類型［1］.相比于傳統(tǒng)的動圈式揚(yáng)聲器，平板揚(yáng)聲器具有更好的集成性，無須額外的出聲孔，在手機(jī)、電視機(jī)等追求超薄結(jié)構(gòu)的設(shè)備中很有優(yōu)勢，近年來，OLED 屏幕的普及大大提高了屏幕發(fā)聲技術(shù)的可行性［2-3］.基于平板揚(yáng)聲器的屏幕發(fā)聲所輻射聲波的主瓣位于屏幕的正前方，而傳統(tǒng)的內(nèi)置揚(yáng)聲器系統(tǒng)，由于出聲孔的限制，聲波只能從屏幕的側(cè)邊發(fā)出，其所輻射聲波的主瓣更多位于屏幕所處的平面內(nèi).這一特點(diǎn)使得屏幕發(fā)聲更適用于結(jié)合聲投射技術(shù)進(jìn)行空間聲重放.聲投射技術(shù)指通過控制一個緊湊型聲系統(tǒng)（手機(jī)、電視機(jī)等屬于該類型聲系統(tǒng)）的聲輻射指向性，形成相應(yīng)的波束，波束經(jīng)過壁面的一次反射到達(dá)聽者.通過控制聲系統(tǒng)的指向性，產(chǎn)生不同的波束，即可產(chǎn)生多個虛擬聲源，從而達(dá)到使用一個緊湊型聲系統(tǒng)完成空間聲重放的目的.目前已有將該技術(shù)應(yīng)用于電視機(jī)的內(nèi)置揚(yáng)聲器系統(tǒng)的實(shí)例［4］，但尚未發(fā)現(xiàn)將模態(tài)控制法應(yīng)用于平板揚(yáng)聲器指向性控制的研究先例.聲投射技術(shù)的核心，在于控制聲系統(tǒng)的指向性，形成定向波束.因此，有必要對平板揚(yáng)聲器的指向性控制進(jìn)行研究.

2017 年Anderson et al［5］基于薄板振動的模態(tài)行為更新了平板揚(yáng)聲器的仿真模型，考慮了薄板尺寸以及后腔的影響，并在模型搭建時考慮到了多個激勵器間的耦合.平板揚(yáng)聲器的控制主要分為針對振動的控制和針對聲輻射的控制.

平板揚(yáng)聲器的振動控制具有較為豐富的研究基礎(chǔ)，因?yàn)榘宓恼駝涌刂埔恢笔枪こ填I(lǐng)域的一個重要研究課題［6-9］.早期研究中，平板揚(yáng)聲器的振動控制是通過在特定位點(diǎn)附加質(zhì)量或彈簧質(zhì)量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的［10-13］.2016 年Anderson et al［14-16］提出一種模態(tài)交叉網(wǎng)絡(luò)的控制方法，由于薄板的振動可以視為無數(shù)個模態(tài)振型的疊加，通過控制前幾個模態(tài)的激勵幅度及相位，實(shí)現(xiàn)只激發(fā)特定模態(tài)，或同時激勵多個模態(tài)，使其疊加獲得期望的振動響應(yīng)，可以在低頻段實(shí)現(xiàn)對振動的主動控制.相關(guān)研究表明，在高頻段，薄板的模態(tài)分布足夠密，由于模態(tài)間的相互堆疊，薄板的振動會明顯地聚集在激勵點(diǎn)附近，薄板的模態(tài)行為明顯減弱，模態(tài)方法在高頻的作用效果也會大大降低［17］.

相比于振動控制，針對平板揚(yáng)聲器聲輻射控制的研究不多.由于平板揚(yáng)聲器的模態(tài)行為，其頻響曲線在低頻容易出現(xiàn)較大的峰谷，即使在高頻也會有許多小峰谷.為此，Bai et al［18-19］基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法對平板揚(yáng)聲器的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，得到平滑的頻響曲線，同時更接近于全指向性.在指向性控制方面，早期曾有研究使用多個單激勵器驅(qū)動的平板揚(yáng)聲器進(jìn)行波場合成（Wave Field Synthesis，WFS）［20］，但相鄰板之間激勵器的間距會在高頻造成混疊，而低頻受到模態(tài)行為的影響，WFS 的效果也會較差.為修正上述缺點(diǎn)，采用多激勵器驅(qū)動的平板揚(yáng)聲器，可以有效降低高頻聲波混疊的影響，雖然實(shí)驗(yàn)效果和前者比較有提升，但是在低頻，仍然存在模態(tài)行為及激勵器之間互相耦合的影響，導(dǎo)致控制效果較差［21］.最近，出現(xiàn)使用聲對比度控制算法（Acoustic Contrast Control，ACC）研究平板揚(yáng)聲器的指向性控制［22-23］.該方法將不同角度劃分為明區(qū)與暗區(qū)，并通過施加濾波器使輻射聲能盡可能集中于明區(qū).但是，該方法無法控制聲波在明區(qū)的分布，可能會在明區(qū)造成嚴(yán)重的幅度和相位失真，在明區(qū)范圍較大的情況下，失真尤其嚴(yán)重，影響聽者的聽感，因而局限了該方法的應(yīng)用.

本文主要研究了平板揚(yáng)聲器的指向性控制.目前，關(guān)于使用平板揚(yáng)聲器實(shí)現(xiàn)任意指向性的相關(guān)研究較少，僅有基于WFS 方法［20-21］和基于ACC 方法的研究［22-23］.為進(jìn)一步完善該領(lǐng)域的理論研究，本文從模態(tài)控制法出發(fā)，對平板揚(yáng)聲器的指向性控制開展理論研究.結(jié)合數(shù)值仿真，進(jìn)行方法的可行性驗(yàn)證以及后續(xù)的參數(shù)化分析.

1 平板揚(yáng)聲器波束形成理論模型

平板揚(yáng)聲器是由激勵器驅(qū)動薄板，產(chǎn)生彎曲振動，進(jìn)而輻射聲能的揚(yáng)聲器.本節(jié)首先介紹平板揚(yáng)聲器的物理模型，包括激勵器、薄板的彎曲振動與聲輻射三部分；再介紹評價指向性控制的關(guān)鍵性能指標(biāo)［24-26］；最后介紹利用模態(tài)控制法實(shí)現(xiàn)平板揚(yáng)聲器指向性控制的理論.

1.1 平板揚(yáng)聲器聲輻射理論平板揚(yáng)聲器用動圈式激勵器的等效電路演示（圖1）.

圖1 激勵器等效電路圖Fig.1 Exciter equivalent circuit diagram

其中，e為激勵器輸入電壓，i為流經(jīng)激勵器電路的電流，Zvce為激勵器電路部分的電阻抗，β=Bl為激勵器磁回路的力因子，Cms為激勵器懸置系統(tǒng)的力順，Rms為激勵器懸置系統(tǒng)的力阻，v1為流經(jīng)Cms和Rms的速度，Mmag為磁鐵的質(zhì)量，Mms為激勵器懸置系統(tǒng)的振動質(zhì)量，Zpan為薄板給到激勵器的力阻抗，v為激勵器振膜的振動速度，即薄板受激勵點(diǎn)的振動速度.基于圖1，可得激勵器輸入電壓e，激勵器電路的電流i，激勵器振膜的振動速度v和薄板受到的激勵力F之間的方程為：

其中，s=jω為復(fù)頻率，ω為角頻率.根據(jù)式（1）～（4），可得激勵器輸入電壓e與激勵器振膜的振動速度v和薄板受到的激勵力F之間的物理關(guān)系為：

式（6）中的Zpan為未知量，受到薄板本身物理特性的影響，且有可能受到其他激勵器的影響，Zpan在本文中是中間變量，在已知輸入電壓e和激勵器振膜的振動速度v以及Mms等參數(shù)時，可以根據(jù)式（5）理論計(jì)算得到Zpan.

關(guān)于薄板的彎曲振動已有較為豐富的理論研究［27］，本文以各向同性結(jié)構(gòu)化損耗因子η的形式引入阻尼，引入阻尼后薄板彎曲剛度D0變?yōu)椋?/p>

基于Kirchhoff 板振動理論，直角坐標(biāo)系中各向同性薄板彎曲振動方程如下：

其中，w為薄板彎曲振動位移，ρ為薄板的密度，τ為板厚度，F(xiàn)為施加在薄板上沿z方向的外力.

在遠(yuǎn)場時薄板振動的輻射聲場可以積分計(jì)算［28］：

其中，rp為輻射空間中某點(diǎn)的坐標(biāo)，p(rp)為空間中一點(diǎn)的聲壓，r為平板上某點(diǎn)的坐標(biāo)，w(r)為平板上某點(diǎn)位移，ρ0為空氣的密度.

1.2 指向性控制關(guān)鍵性能指標(biāo)指向性控制的關(guān)鍵指標(biāo)包括聲對比度、匹配誤差、陣列效率.定義pb和pd分別為明區(qū)Lb個采樣點(diǎn)聲壓向量和暗區(qū)Ld個采樣點(diǎn)聲壓向量，聲對比度定義為明區(qū)和暗區(qū)內(nèi)的平均聲能之比，即：

其中，上標(biāo)H為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符.

匹配誤差反映了進(jìn)行波束形成后重放聲與目標(biāo)聲的誤差大小，假設(shè)p為重放聲場采樣點(diǎn)聲壓向量，pdes為目標(biāo)聲場采樣點(diǎn)聲壓向量，匹配誤差定義為重放聲壓與目標(biāo)聲壓之間誤差的平方和與目標(biāo)聲壓平方和之比，即：

匹配誤差越小，代表重放聲與目標(biāo)波束越接近.

陣列效率反映了揚(yáng)聲器陣列為實(shí)現(xiàn)重放聲場效率的高低，定義為重放聲場與參考聲場總能量之比，其表達(dá)式可以寫為：

其中，e為輸入電壓向量，p為在輸入為e時的重放聲場采樣點(diǎn)聲壓向量，eref為參考輸入電壓向量，向量元素全部為1 V，pref為輸入為eref時參考聲源重放聲場采樣點(diǎn)聲壓向量，陣列效率越低意味著產(chǎn)生相同重放聲場能量需要更高的輸入.

1.3 基于模態(tài)控制法的平板揚(yáng)聲器指向性控制算法頻率f處，在Ls個驅(qū)動力作用下，薄板的彎曲振動方程可寫作：

假定薄板的位移w(x，y)可以用無限多個正交的模態(tài)來表示，即：

其中，Am為每個模態(tài)的激勵大小，Φm，n(x，y)為對應(yīng)模態(tài)的振型函數(shù)，下標(biāo)m對應(yīng)x方向上的模態(tài)階數(shù)，下標(biāo)n對應(yīng)y方向上的模態(tài)階數(shù).模態(tài)Φm，n(x，y)的振型函數(shù)由平板揚(yáng)聲器的邊界條件決定.如在經(jīng)典的簡支邊界條件下模態(tài)的振型函數(shù)可寫作：

不同邊界條件下模態(tài)振型函數(shù)已有相關(guān)研究［29-31］.將式（15）代入式（14）中，計(jì)算得到：

為簡便起見，下文中仍將下標(biāo)m0和n0寫作m和n.即可得到驅(qū)動力與模態(tài)大小之間的關(guān)系為：

將式（18）寫作矩陣形式，則：

其中，下標(biāo)B代表共選取了B個模態(tài)，Φ為耦合矩陣，代表了驅(qū)動力作用點(diǎn)與各模態(tài)之間的耦合特性，Zmode為模態(tài)阻抗矩陣，為一對角陣，其對角線上的值為各模態(tài)的阻抗大小.參考式（4）～（6），關(guān)于第ls個激勵器的表達(dá)式為：

整理后得：

vls為每個激勵點(diǎn)位的振動速度，可表示為：

式（23）寫成矩陣形式，則：

將式（24）寫成矩陣形式，則：

聯(lián)立式（19），（25）和（29），得：

因而得到傳遞函數(shù)：

假設(shè)目標(biāo)的模態(tài)激勵大小為ades，指向性控制的目標(biāo)為使重放模態(tài)激勵大小a盡可能接近于目標(biāo)模態(tài)激勵大小ades，則需使a與ades之間的距離最短，即最小化二者之差的平方.如此，可得式（32）所示的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

其中，τ為正則化參數(shù)，起到提高算法效率和算法魯棒性的作用.求解式（32），可得：

式（33）表明了如何施加驅(qū)動電壓，使所選取的模態(tài)激勵a盡可能接近目標(biāo)模態(tài)激勵ades.這是首次不將激勵器當(dāng)作力源，得到的關(guān)于平板揚(yáng)聲器的傳遞函數(shù)公式.

將模態(tài)控制法應(yīng)用于平板揚(yáng)聲器的指向性控制，關(guān)鍵在于如何得到目標(biāo)模態(tài)激勵ades.由于平板的位移是不同模態(tài)振型的疊加，其輻射的聲壓也可以是不同模態(tài)輻射聲壓的疊加，由式（9）可得：

其中pm，n(r)為對應(yīng)模態(tài)振型函數(shù)產(chǎn)生的輻射聲壓.將式（34）寫作矩陣形式，則：

其中，

Gmode為不同模態(tài)激勵到輻射聲壓的傳遞函數(shù).亦可得式（37）所示的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

ades即為式（33）所示的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題之解，求解式（37）可得：

本小節(jié)描述了如何計(jì)算得到目標(biāo)模態(tài)激勵ades，根據(jù)不同的目的有不同的計(jì)算方法，得到ades后，可基于式（33）計(jì)算得到激勵器陣列的輸入電壓e.

2 平板揚(yáng)聲器波束形成數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證平板揚(yáng)聲器模態(tài)控制法波束形成效果，本節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真，首先研究算法控制波束主瓣軸向的和覆蓋角的效果，然后探究模態(tài)數(shù)量、激勵器數(shù)量兩個參數(shù)對算法的影響，最后對算法的魯棒性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)與分析.

2.1 模型設(shè)置數(shù)值仿真在頻域進(jìn)行，薄板用MATLAB 建模，薄板的尺寸如圖2 所示，其中板使用電子設(shè)備屏幕常用的玻璃材質(zhì)，參數(shù)為楊氏模量E=73.6 GPa，泊松比ν=0.23，密度ρ=2380 kg·m-3，各向同性損耗因子η=0.1.

圖2 薄板仿真示意圖Fig.2 Schematic diagram of thin plate simulation

激勵器的位置均勻分布在板對稱軸上，間距為2 cm.

為驗(yàn)證模態(tài)法能夠有效控制平板揚(yáng)聲器聲輻射指向性，首先基于1.3 建立激勵電壓e計(jì)算模型，使用前200 個模態(tài)進(jìn)行計(jì)算.邊界條件設(shè)置為簡支，在xz平面距離板中心五倍板長的半圓上取角度間隔為 10°的 19 個點(diǎn)，坐標(biāo)為(-5Dx，0，0)的點(diǎn)的角度定義為-90°，坐標(biāo)為(5Dx，0，0)的點(diǎn)的角度定義為90°，作為計(jì)算作用力與聲壓傳遞函數(shù)的聲壓采樣點(diǎn)，近似為遠(yuǎn)場聲壓，聲壓向量記為：

為了計(jì)算pG與激勵器輸入電壓之間的傳遞函數(shù)G，依次將第ls個激勵器的輸入電壓設(shè)置為1 V，計(jì)算采樣點(diǎn)聲壓記為：

于是對應(yīng)頻率的傳遞函數(shù)矩陣G為：

已知傳遞函數(shù)矩陣G與目標(biāo)聲壓pdes，可基于式（33）和式（38）計(jì)算所需的激勵器電壓edes.其中計(jì)算傳遞函數(shù)G時，當(dāng)它的條件數(shù)小于1×1012時，設(shè)置正則化參數(shù)λ為零；如果條件數(shù)大于1×1012，設(shè)置初始正則化參數(shù)為1×10-20并以10倍逐步加大，直到傳遞函數(shù)G滿足條件數(shù)小于1×1012.

下一步，建立聲重放模型.為了讓模型盡量接近真實(shí)物理場景，盡可能使用更多模態(tài).計(jì)算最高共振頻率為196 kHz，對應(yīng)第476 個模態(tài)，選取前476 個模態(tài)建立重放模型.將計(jì)算得到的激勵器電壓輸入到重放模型中進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在xz平面距離板中心五倍板長的半圓上取角度間隔為5°的37 個點(diǎn)，作為重放聲壓采樣點(diǎn)，用于計(jì)算評估指向性控制效果的性能指標(biāo)，聲壓向量記為：

2.2 控制波束主瓣軸向和覆蓋角為了驗(yàn)證模態(tài)控制法能夠控制平板揚(yáng)聲器的波束主瓣軸向和覆蓋角，設(shè)定薄板基本參數(shù)、聲壓采樣點(diǎn)以及正則化參數(shù)設(shè)置與2.1 節(jié)相同，設(shè)定頻率范圍為100～4000 Hz，目標(biāo)覆蓋角為20°，邊界條件為簡支，使用前200 個模態(tài)進(jìn)行仿真.設(shè)定不同目標(biāo)波束主瓣軸向分別為0°，30°，60°，仿真結(jié)果如圖3 所示.由圖3 可以看出利用模態(tài)控制法能夠精確地控制平板揚(yáng)聲器聲輻射波束主瓣軸向.

圖3 不同波束主瓣軸向等值線圖，波束主瓣軸向：(a) 0°；(b) 30°；(c) 60°Fig.3 Contour diagrams of different beam main lobe axis directions，beam main lobe axis direction：(a) 0°，(b) 30°，(c) 60°

為驗(yàn)證模態(tài)控制法控制覆蓋角的效果，設(shè)定目標(biāo)波束主瓣軸向?yàn)?°，設(shè)定目標(biāo)覆蓋角分別為20°，80°，140°，仿真結(jié)果如圖4 所示.由圖4 能夠看出利用模態(tài)控制法能控制平板揚(yáng)聲器覆蓋角，頻率越高覆蓋角控制得越精確.

圖4 不同覆蓋角等值線圖，覆蓋角: (a) 20°；(b) 80°；(c) 140°Fig.4 Contour diagrams of different coverage angles，coverage angles：(a) 20°，(b) 80°，(c) 140°

2.3 模態(tài)數(shù)量由1.3 平板揚(yáng)聲器的位移w(x，y)可以用無限多個正交的模態(tài)來表示，在使用模態(tài)控制法進(jìn)行波束控制時，模態(tài)使用數(shù)量是我們關(guān)心的問題.設(shè)定薄板基本參數(shù)、聲壓采樣點(diǎn)以及正則化參數(shù)設(shè)置與2.1 相同，本小節(jié)分別使用前6，24，200 個模態(tài)進(jìn)行波束控制，波束主瓣軸向?yàn)?°，覆蓋角為20°，結(jié)果如圖5 和圖6 所示.由圖5 和圖6 能夠看出，隨模態(tài)數(shù)量增加，聲對比度升高，匹配誤差降低，陣列效率降低，意味著控制產(chǎn)生的波束性能變好.

圖6 不同模態(tài)數(shù)量的性能指標(biāo)：(a)聲對比度；(b)匹配誤差；(c)陣列效率Fig.6 Performance indicators for different mode numbers：(a) acoustic contrast，(b) matching error，(c) array efficiency

2.4 激勵器數(shù)量激勵器驅(qū)動平板揚(yáng)聲器振動，由1.3 可知，由于線性疊加原理，當(dāng)板受到多個點(diǎn)力作用時，平板的位移w為各驅(qū)動力單獨(dú)作用時的位移之和，因而激勵器的數(shù)量對波束形成的影響值得探究.設(shè)定薄板基本參數(shù)、聲壓采樣點(diǎn)以及正則化參數(shù)設(shè)置與2.1 相同，設(shè)置波束主瓣軸向?yàn)?°，覆蓋角為20°.激勵器等間隔分布在薄板中心兩側(cè)，當(dāng)使用的激勵器數(shù)量分別為2，4，6，8，10 時，仿真結(jié)果如圖7 和圖8 所示.

圖7 不同激勵器數(shù)量計(jì)算結(jié)果，激勵器數(shù)量:(a) 2；(b) 4；(c) 6；(d) 8；(e) 10Fig.7 Calculation results of different exciter numbers，the number of exciters：(a) 2，(b) 4，(c) 6，(d) 8，(e) 10

圖8 不同激勵器數(shù)量的性能指標(biāo)：(a)聲對比度；(b)匹配誤差；(c)陣列效率Fig.8 Performance indicators of different exciter numbers：(a) acoustic contrast，(b) matching error，(c) array efficiency

由圖7 和圖8 能夠看出，隨激勵器數(shù)量增加，模態(tài)控制法在低于300 Hz 時聲對比度降低，高于300 Hz 時聲對比度升高，在全頻域內(nèi)匹配誤差和控制效率降低.總體控制效果變好.

2.5 魯棒性分析在實(shí)際應(yīng)用場景中，平板揚(yáng)聲器的參數(shù)可能會有誤差，本小節(jié)研究了激勵器位置發(fā)生偏移時的波束形成效果.設(shè)定薄板基本參數(shù)、聲壓采樣點(diǎn)以及正則化參數(shù)設(shè)置與2.1 相同，對其中某一激勵器位置誤差分別設(shè)為無誤差，10-6m，10-5m，10-4m，10-3m，10-2m 時，仿真分析波束形成效果，仿真結(jié)果如圖9 和圖10 所示.

圖9 激勵器位置誤差：(a) 無誤差；(b) 10-6 m；(c) 10-5 m；(d) 10-4 m；(e) 10-3 m；(f) 10-2 mFig.9 Actuator position errors：(a) no error，(b) 10-6 m，(c) 10-5 m，(d) 10-4 m，(e) 10-3 m，(f) 10-2 m

圖10 激勵器位置不同誤差的性能指標(biāo)：(a)聲對比度；(b)匹配誤差；(c)陣列效率Fig.10 Performance indicators of actuator position with different errors：(a) acoustic contrast，(b) matching error，(c) array efficiency

由圖9 和圖10 能夠看出，激勵器位置誤差為10-6m 時，聲對比度、匹配誤差、陣列效率變化較小，有較好的魯棒性.當(dāng)激勵器位置誤差大于10-6m 時，控制效果明顯變差.

3 結(jié)論

指向性控制是實(shí)現(xiàn)定向發(fā)聲的關(guān)鍵，尚未發(fā)現(xiàn)將模態(tài)控制法應(yīng)用于平板揚(yáng)聲器指向性控制的研究先例.本文創(chuàng)新性地引入模態(tài)控制法對平板揚(yáng)聲器指向性進(jìn)行控制，推導(dǎo)了激勵器陣列到輻射空間中各點(diǎn)的傳遞函數(shù)，給出了波束形成所需激勵的計(jì)算方法.通過數(shù)值仿真對其進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，模態(tài)控制法具有顯著效果，能夠精確控制波束主瓣軸向，在高頻時能夠更精確地控制覆蓋角.本文對模態(tài)數(shù)量、激勵器數(shù)量、算法魯棒性進(jìn)行了分析.結(jié)果表明，模態(tài)數(shù)量增加時，控制產(chǎn)生的波束性能變好；激勵器數(shù)量增加時，總體控制效果變好；模態(tài)控制法在激勵器位置誤差低于10-6m 時有較好的魯棒性，當(dāng)激勵器位置誤差量級大于10-6m 時，控制效果明顯變差.因而，本研究可為平板揚(yáng)聲器的部分參數(shù)設(shè)置提供指導(dǎo).

本文的進(jìn)一步工作包括設(shè)計(jì)組裝實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與分析、與數(shù)值仿真比對分析等.