基于深度學(xué)習(xí)和影響函數(shù)法的機(jī)翼非定常流場預(yù)測

于煜斌，落龑壽，繆 佶，曹雋喆，李京杰

（1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2.大連理工大學(xué)，大連，116024）

0 引言

現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)需要對其周圍流場進(jìn)行細(xì)致的研究，諸如飛機(jī)機(jī)翼的氣動振顫、操縱面的嗡鳴、戰(zhàn)斗機(jī)的過失速飛行等都與非定常擾流有著密切的關(guān)系［1］。準(zhǔn)確地求解非定常流場對于飛行器的研制至關(guān)重要，但是相關(guān)工程問題的復(fù)雜性會導(dǎo)致試驗(yàn)技術(shù)難度及耗費(fèi)的增加。因此，開展對飛行器非定常流場的動態(tài)數(shù)值模擬研究對于飛行器氣動外形設(shè)計(jì)和動態(tài)失速機(jī)理的研究有著重要意義［2］。

目前基于計(jì)算流體力學(xué)的飛行器模擬飛行數(shù)據(jù)的方法，雖然理論可靠性和計(jì)算準(zhǔn)確率較高，但計(jì)算速度較慢，已經(jīng)不能滿足日益增長的設(shè)計(jì)需求對模擬飛行數(shù)據(jù)計(jì)算速度的要求。隨著最近幾年卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)的快速發(fā)展，其突出的非線性映射能力吸引越來越多的學(xué)者將這種方法運(yùn)用到流體力學(xué)領(lǐng)域［3］。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最初用于解決圖像相關(guān)問題，近年來也被用于處理時空序列問題。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)源于人類對圖像的認(rèn)知形式，即對圖像中相近的區(qū)域進(jìn)行一系列分辨，判斷對應(yīng)位置的圖形信息。為此，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過卷積核對圖像進(jìn)行分塊卷積運(yùn)算，以及分區(qū)域的特征提取和學(xué)習(xí)。而隨著批歸一化和殘差連接在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程變得更加容易，其性能退化問題也在一定程度上得到了解決。

劉昕［4］提出了一種基于徑向基函數(shù)（Radial Baisi Function，RBF）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并將其成功運(yùn)用到機(jī)翼沉浮振動中的機(jī)翼升阻力預(yù)測。Balla 等［5］提出了一種多輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行二維和三維機(jī)翼的氣動系數(shù)預(yù)測，并與本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）方法進(jìn)行比較，結(jié)果表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的性能，特別是在預(yù)測包含激波的流場時。Miyanawala 和Jaiman［6］在2017 年首次實(shí)現(xiàn)深度卷積網(wǎng)絡(luò)通過二維柱體尾跡區(qū)流場變量對氣動載荷的準(zhǔn)確預(yù)測。惠心雨等［7］基于深度學(xué)習(xí)提出了一種非定常周期性預(yù)測方法，可以實(shí)時生成給定狀態(tài)的高可信度流場結(jié)果。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然在氣動參數(shù)預(yù)測中表現(xiàn)優(yōu)異，可以得到傳統(tǒng)擬合所不能達(dá)到的較好的非線性擬合效果，但是由于非定常流場問題需要考慮流場域空間各單元之間的相互影響，因此在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時如何將這種影響信息準(zhǔn)確引入到學(xué)習(xí)過程中是一個關(guān)鍵的問題，但目前幾乎沒有文獻(xiàn)對此進(jìn)行研究。

針對上述問題，本文將數(shù)理方程中影響函數(shù)的概念引入到深度學(xué)習(xí)中來構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8］。將每個數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響用一個數(shù)學(xué)函數(shù)形式化建模，該函數(shù)被稱為影響函數(shù)。影響函數(shù)法是一種離散化的方法，它的基本思想是將移動邊界表面離散成若干網(wǎng)格，移動邊界發(fā)生的變形也按相同網(wǎng)格離散化，應(yīng)用影響函數(shù)可以先確定移動邊界各節(jié)點(diǎn)對其他網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的影響，再疊加出各網(wǎng)格受到的總影響［9］。該方法是基于已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)及仿真數(shù)據(jù)建立的數(shù)據(jù)集，通過訓(xùn)練構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型實(shí)現(xiàn)快速網(wǎng)絡(luò)化并用于非定常流場預(yù)測。

1 研究方法

1.1 算法構(gòu)建

對于非定常流場預(yù)測問題，網(wǎng)格間的相互影響可以通過建立相應(yīng)的影響函數(shù)來描述，其邊界節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動信息作為一種流體擾動向四周空間傳播并衰減，當(dāng)前網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)受到的擾動向周圍流場擴(kuò)散，每個流場空間節(jié)點(diǎn)獲取當(dāng)前位置的擾動信息，并對它作出相應(yīng)的反應(yīng)，這種擾動的擴(kuò)散衰減機(jī)制通過影響函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)流體流經(jīng)一個空間位置固定的無窮小微團(tuán)，如圖1 所示，其速度和密度都是關(guān)于空間坐標(biāo)(x，y，z)和時間t的函數(shù)，即微團(tuán)影響函數(shù)。對于不同離散化方法生成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格單元就可以看作是一個無窮小微團(tuán)，若采用有限體積法將計(jì)算區(qū)域離散為若干網(wǎng)格，則每個控制體積就可以看作是一個小微團(tuán)。微團(tuán)移動邊界發(fā)生的變形也按相同網(wǎng)格離散化，移動邊界的運(yùn)動信息可以定義為一個數(shù)據(jù)集合，這個數(shù)據(jù)集合是每個邊界節(jié)點(diǎn)的移動信息，包括節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)的位移量，相關(guān)數(shù)據(jù)可以來自于真實(shí)測量數(shù)據(jù)、風(fēng)洞試驗(yàn)和仿真模擬結(jié)果。

圖1 無窮小微團(tuán)示意Fig.1 A schematic of infinitesimal clumps

基于上述假設(shè)，本文建立如下的算法構(gòu)建微團(tuán)的影響函數(shù)：

a）無窮小微團(tuán)aj=(xj，yj，zj)對無窮小微團(tuán)ai=(xi，yi，zi)的影響記為g(xj-xi，yj-yi，zj-zi)，無窮小微團(tuán)可用數(shù)值仿真中網(wǎng)格單元或?qū)嶋H試驗(yàn)中的采樣數(shù)據(jù)表示；

b）將坐標(biāo)軸上不同區(qū)域D對(xi，yi，zi)的影響構(gòu)建為區(qū)域內(nèi)其它小微團(tuán)對(xi，yi，zi)影響的加權(quán)和gD(x)=∑()x，y，z∈Dwig(xj-xi，yj-yi，zj-zi)，使用歐幾里得距離作為權(quán)重wi；

c）影響函數(shù)定義如下：

影響函數(shù)的類型包括線性影響函數(shù)：

二次影響函數(shù)：

指數(shù)影響函數(shù)：

式中d(aj，ai)為aj至ai的歐氏距離；dmax為兩個節(jié)點(diǎn)之間的最大距離；α為一個常數(shù)。

1.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

本文采用的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架如圖2所示，并引入如圖3所示的基于影響函數(shù)的注意力機(jī)制，使得模型在訓(xùn)練與預(yù)測中間環(huán)節(jié)能進(jìn)一步考慮到流場數(shù)據(jù)無窮小微團(tuán)間的空間影響，進(jìn)而輔助在計(jì)算網(wǎng)格密度變化較大的地方提高控制方程數(shù)值求解的效率，提升整體仿真性能。

圖2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架Fig.2 Convolutional neural network framework

圖3 注意力機(jī)制Fig.3 Attention mechanism

在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時，使用如下加權(quán)誤差平方和作為損失函數(shù)：

式中yi與分別為無窮小微團(tuán)的真實(shí)物理量與估計(jì)值（生成量）；gDi為無窮小微團(tuán)所處區(qū)域的影響函數(shù)。

在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)時，本研究使用以下RANS-SA 方程產(chǎn)生訓(xùn)練數(shù)據(jù)：

在訓(xùn)練模型時，采用以下兩種機(jī)制：

a）早停機(jī)制：理想情況下，模型在訓(xùn)練集上的損失函數(shù)值將隨迭代次數(shù)的增加不斷減小，并無限逼近最小值。此時，若隨著迭代次數(shù)的增加，模型在驗(yàn)證集上的損失函數(shù)值不再變化甚至變大，則模型繼續(xù)訓(xùn)練將導(dǎo)致過擬合而不再具有良好的泛化能力。因此，在試驗(yàn)中引入早停機(jī)制，模型在訓(xùn)練集上進(jìn)行訓(xùn)練時，每輪訓(xùn)練后在驗(yàn)證集上進(jìn)行驗(yàn)證并比較效果，當(dāng)模型在驗(yàn)證集上的性能連續(xù)5輪不再改善時，則停止訓(xùn)練，保存驗(yàn)證效果最好的一次模型參數(shù)并用于預(yù)測。

b）Dropout 機(jī)制：Dropout 機(jī)制可有效防止模型過擬合，其原理為在訓(xùn)練過程中，暫時丟棄部分神經(jīng)元及其連接，使之在該輪訓(xùn)練中不再參與前向傳播計(jì)算及反向參數(shù)更新，在多次迭代中將更加關(guān)注激活狀態(tài)的神經(jīng)元，進(jìn)而避免了所有參數(shù)的協(xié)同適應(yīng)問題。本質(zhì)上每次Dropout 均修改了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使得最終模型可被視為多個模型集成的結(jié)果，進(jìn)而避免了模型的過擬合現(xiàn)象。在本文中，模型正則化Dropout 比率設(shè)定為0.2。

1.3 流場預(yù)測方法

為了將各網(wǎng)格單元的相互影響加入網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)中，本文將1.1 節(jié)中設(shè)計(jì)的影響函數(shù)嵌入深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中，使模型在流場數(shù)據(jù)的擬合、預(yù)測時能夠?qū)o窮小微團(tuán)間相互影響進(jìn)行自適應(yīng)。而在構(gòu)建深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)時，采用了殘差連接方法，該方法在卷積層之間建立恒等映射，使得深層網(wǎng)絡(luò)得到的特征相比淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不會出現(xiàn)損失。所建立的深度學(xué)習(xí)主干網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 主干網(wǎng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Backbone network structure

基于上述的影響函數(shù)和深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，本文采用如圖5所示的方法進(jìn)行非定常流場的預(yù)測。首先利用試驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)的空間坐標(biāo)信息作為影響函數(shù)的輸入生成權(quán)重，然后基于所得權(quán)重與數(shù)據(jù)構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最終生成流場預(yù)測數(shù)據(jù)。該方法利用影響函數(shù)確定移動邊界各節(jié)點(diǎn)對其他網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的影響疊加，并將其導(dǎo)入深度學(xué)習(xí)過程，能夠?qū)Ψ嵌ǔＡ鲌鲞M(jìn)行可靠預(yù)測。

圖5 基于深度學(xué)習(xí)與影響函數(shù)的流場數(shù)據(jù)生成流程Fig.5 Flow field data generation process based on deep learning and influence function

2 算例與數(shù)值試驗(yàn)

2.1 算例描述

算例采用經(jīng)典的RAE 2822翼型［10］，如圖6所示。該翼型是一個典型的二維跨聲速湍流流動算例，本文分別對其采用CFD仿真軟件和所提出深度學(xué)習(xí)模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算對比試驗(yàn)。測試數(shù)據(jù)為速度為1馬赫的機(jī)翼周圍流場，整個求解區(qū)域的網(wǎng)格量約為180 萬個，初始攻角為0。

圖6 RAE 2822翼型示意Fig.6 Schematic diagram of RAE 2822 airfoil

2.2 數(shù)值試驗(yàn)

試驗(yàn)隨機(jī)選擇10 000個網(wǎng)格的氣動數(shù)據(jù)作為微團(tuán)訓(xùn)練集構(gòu)建深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，再隨機(jī)選擇其他60 000個網(wǎng)格的氣動數(shù)據(jù)作為測試集進(jìn)行驗(yàn)證，采用決定系數(shù)R2表示深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的效果。決定系數(shù)R2可理解為模型輸出與實(shí)際數(shù)據(jù)間相關(guān)系數(shù)的平方，當(dāng)R2≥0.8時模型具有良好的預(yù)測性能。

圖7～10給出了本文方法與仿真軟件所生成流場數(shù)據(jù)在訓(xùn)練集和測試集的擬合結(jié)果。計(jì)算采用一臺2個CPU 的工作站進(jìn)行并行計(jì)算，每個CPU 為10 核的Intel Xeon E5-2650 v3，主頻2.0 GHz，內(nèi)存共128 GB，并采用一張含有4 992 顆CUDA 核心的NVIDIA Tesla K80 深度學(xué)習(xí)顯卡以檢測GPU 加速效果。

圖7 訓(xùn)練集和測試集表面壓力擬合結(jié)果Fig.7 Surface pressure fitting results of training set and test set

圖8 訓(xùn)練集和測試集速度x分量擬合結(jié)果Fig.8 Speed x component fitting results of training set and test set

圖9 訓(xùn)練集和測試集速度y分量擬合結(jié)果Fig.9 Speed y component fitting result of training set and test set

圖10 訓(xùn)練集和測試集速度z分量擬合結(jié)果Fig.10 Speed z component fitting result of training set and test set

表1給出了CFD計(jì)算時長和深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測時長的比較，可以看到本文所構(gòu)建方法的計(jì)算效率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)CFD方法。在只采用CPU進(jìn)行計(jì)算的時候，深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)用于訓(xùn)練和預(yù)測的總時間比傳統(tǒng)CFD計(jì)算總時間相差至少一個數(shù)量級，而在采用GPU 加速之后，CFD計(jì)算時間只降低了10%左右，提升的效果較為有限；而深度學(xué)習(xí)方法則在經(jīng)過了GPU 加速后計(jì)算用時得到了極大的縮短，計(jì)算效率提升了11倍，這是因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的迭代計(jì)算方式能較為充分調(diào)用CUDA 和底層硬件進(jìn)行并行計(jì)算任務(wù)，因此GPU加速效果明顯。

表1 CFD計(jì)算時長和深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測時長Tab.1 CFD calculation time and deep learning network prediction time 單位：min

3 結(jié)束語

本文提出了一種基于深度學(xué)習(xí)和影響函數(shù)法的機(jī)翼非定常流場預(yù)測方法。該方法不需要求解復(fù)雜的離散方程，而是利用已有的試驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)并快速輸出預(yù)測結(jié)果，且在只有少量數(shù)據(jù)情況下仍可以有效建模，從而具有更快的氣動數(shù)據(jù)擬合、預(yù)測與插值速度。

通過本文的研究，說明深度學(xué)習(xí)在機(jī)翼流場數(shù)值仿真計(jì)算方面具有較大的發(fā)展?jié)摿?，可以通過增加網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、卷積核數(shù)量、迭代次數(shù)和設(shè)計(jì)有效的損失函數(shù)等措施，加大深度網(wǎng)絡(luò)的擬合和泛化能力，從而適應(yīng)更加復(fù)雜的翼型。