用軸對稱求線段和最值之錦囊妙計(jì)

陳立娜

本溪市第十二中學(xué)孟麗娜老師的直播課“用軸對稱解決線段和最小問題”選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實(shí)國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個性化提升.

觀看了孟麗娜老師的直播課，受益頗多. 用軸對稱解決線段和最值問題的本質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，關(guān)鍵是抓住動點(diǎn)所在的直線. 我們可以想象動點(diǎn)像一條小船飄蕩在一條河上，我們要先找到這條“河”，然后作某點(diǎn)關(guān)于這條“河”的對稱點(diǎn). 其實(shí)，垂直平分線、角平分線、等腰三角形底邊上的中線就是這條天然的“河”，也是用軸對稱求線段和最值之錦囊妙計(jì).

錦囊一：以垂直平分線為“河”

例1 如圖1，在[△ABC]中，[AB=3]，[AC=4]，[BC=5]，[EF]垂直平分[BC]，點(diǎn)[P]為直線[EF]上的任意一點(diǎn)，則[△ABP]的周長的最小值是.

解析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，動點(diǎn)P所在的直線EF即為所尋找的“河”，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線EF對稱.

連接CP，如圖2，[∵][EF]垂直平分[BC]，[∴]BP = CP，

[∴]AP + BP = AP + CP，

[∴]當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時，[AP+CP]的值最小，

即[AP+BP]的值最小，最小值等于[AC]的長.

[∵][AC=4]，[∴][AP+BP]的最小值是[4]，

[∴][△ABP的周長的最小值為AP+BP+AB] = 4 + 3 = 7.

故應(yīng)填7.

錦囊二：以角平分線為“河”

例2 如圖3，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=6]，[BC=8]，AB = 10，AD平分[∠CAB]，交[BC]于點(diǎn)D，[E]，[F]分別是[AD]，[AC]上的動點(diǎn)，則[CE+EF]的最小值為．

解析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，角平分線AD為動點(diǎn)E所在的“河”，作點(diǎn)F關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)[F']即可.

如圖4，在[AB]上取點(diǎn)[F']，使[AF'=AF]，連接[EF']，過[C]作[CH⊥AB]，垂足為[H]，

[∵][S△ABC=12BC·AC=12BA·CH]，

[∴][CH=BC·ACBA=8×610=245].

[∵][AD]平分[∠CAB]，[∴][∠FAE=∠F'AE].

又[∵][AF'=AF]，[AE=AE，]∴[△FAE≌△F'AE]（SAS），

[∴][EF=EF'，][∴][EF+CE=EF'+CE，]

∴當(dāng)[C]，[E]，[F']三點(diǎn)共線時，[EC+FE]的值最小，此時點(diǎn)F'與點(diǎn)H重合，EC + FE的最小值為CH的長，即[245]. 故應(yīng)填[245].

錦囊三：以等腰三角形底邊上的中線為“河”

例3 如圖5，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，AD = 8，D是BC邊上的中點(diǎn). 若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC + PQ的最小值是．

解析：利用等腰三角形的“三線合一”，可以發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P所在的直線AD即為所尋找的“河”．

[∵]AB = AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，[∴]AD垂直平分BC.

[∵]P是AD上一動點(diǎn)，[∴]BP = CP．

如圖6，過點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，BQ交AD于點(diǎn)P，

此時PC + PQ取最小值，最小值為BQ的長．

[∵][S△ABC=12BC·AD=12AC·BQ]，

[∴][BQ=BC·ADAC=12×810=9.6]．

故應(yīng)填9.6.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時間：3分鐘

如圖7，等腰三角形[ABC]的底邊[BC]長為[4]，面積是[12]，腰[AB]的垂直平分線[EF]分別交[AB]，[AC]于點(diǎn)[E]，[F]，若點(diǎn)[D]為底邊[BC]的中點(diǎn)，點(diǎn)[M]為線段[EF]上一動點(diǎn)，則[△BDM]的周長的最小值為．

（答案見第39頁）